二次函数的最值（解析）-2025届高三数学一轮复习

二次函数的最值

二次函数在某一闭区间上的最值：

首先将二次函数式化为y=a（x—k）2+h的形式.

1.若顶点的横坐标在给定的区间上，则

当a>0时，

在顶点处取得最小值，

在离对称轴较远的端点处取得最大值.

当a<0时，

在顶点处取得最大值,

在离对称轴较远的端点处取得最小值.

二次函数在某一闭区间上的最值：

首先将二次函数式化为y=a（x—kF+h的形式.

2.若顶点的横坐标不在给定的区间上，则

当a>0时，

最小值在距离对称轴较近的端点处取得,

最大值在距离对称轴较远的端点处取得.

当a<0时，

最大值在距离对称轴较近的端点处取得,

最小值在距离对称轴较远的端点处取得.

3.二次函数在闭区间上的最值问题的思路：

抓住"三点一轴"数形结合，

"三点"是指区间两个端点和中点，

"一轴"指的是对称轴，结合配方法，

根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题.

1.函数了=f+4》+3在［―1,0］上的最小值是（）【答案】B

A.-1B.0C.1D.3

2.当0<x«3时，二次函数/（九）=必一4尤+3的值域为（）

A.[f(D,/(O)]B.[/(2),/(3)]

c.[f(3),/(0)]D.[/(2),/(0)]

【答案】D

【解析】••"(x)=(x-2)2—1,0<%<3,

•••/(%焉=于⑵，/(X)max=f(0)•

3.函数/(x)=2+2x-x?,xe[0,3]的值域是()

A.(—8,3]B.[-1,3]

C.[—2,3]D.(—3,+8)

【答案】B

—

,*,f(x)—(x—1)2+3,xE,[0,3]J

...=/(3)=-1,—=/(1)=3・

4.对任意的xe[—2,1]时，不等式为2+2x—a<o恒成立，则实数a的取值范围是（）

A.(—00,0]B.(—00,3]C.[0,+oo)D.[3,4-00)

【答案】D

【解析】设/0）=炉+2》一。，；./。）1_<0-

:二次函数开口向上，最大值在端点处取得,

/(-2)<0

解得a>3.

/(1)<0

考点一对称轴、区间都给定

【例1】如果函数/（%）=必+伍+1h+6（>6[0力]）的图象关于直线1=1对称，求函数

/（x）的的最大值为最小值为则M+m的值为（）

A.8B.16C.24D.40

【答案】C

a+1

------二1

2a=-3

【解析】在［a,句上的图象关于直线x=l对称，.,•<:解得

a+b1b=5

----二1

[2

/(x)-X2-2x+5,xe[-3,5]./(x)=x2-2x+5=(x-1)2+4.

・・・%=lw[—3,5]，・・・%=1时，/(%)*=4；/(矶1ax=〃—3)=/(5)=20.

【方法技巧】二次函数/0)=以2+法+。在［/〃,川|上的最值：

b

(1)当x=------e[m,n]Ht,

2a

4ac-b2„.人日，+

--------是它的一个最值,

4a

另一个最值在区间端点处取得.

b

(2)当％=----［［m,n］时，

2a

最大值和最小值分别在区间的两个端点处取得.

考点二对称轴定、区间变动

【例2】已知二次函数/(幻=必—2x+2,在+上有最大值g⑺，求g⑺的解

析式.

【解析】•••/(X)=/—2X+2,对称轴是X=1.

当即时，有g«)=/«)=产一2/+2,

当^^〉1,即时，有g⑺=/«+1)=产+1,

2cc1

t—2t+2,%«—,

2

【方法技巧】二次函数/(x)=ajc2+bx+c(a>0)在区间［相,n］上的最值的步骤:

(1)求最大值时需分两类，

±

当X-Tn-\-H.r/、r/、

-一时，/(©max=/(〃)；

2±«

当X-

-之三一时，/Max=/(㈤•

2«

(2)求最小值时需分三类.

。

当

X

-

-

-

；

/(附

焉=

，/。

<7"时

2«

±

X

当b

-

-

--);

=/(

)^

，/(x

,n\时

e[m

X

2a

2a

±

当

-

-

-

)-

=/(«

^n

，/(X

>“时

2a

解

。⑺的

⑺，求

小值°

上有最

j+l]

xe[/

2,在

2%+

=好一

数/(%)

二次函

】已知

【变式

析式.

2

l,

=t+

+l)

=f(t

，(p(t)

<0时

,即/

1<1

】当。+

【解析

1,

/⑴=

双力=

1时，

WY

,即0

f+1

当YlW

,

2t+2

——

f(?)

((t)—

时,p

当1>1

t<0,

t~+1,

V1,

0V/

,

=<1

；・(p(t)

.

Z>1

/+2,

/—2

间固定

动、区

对称轴

考点三

的解

g(a)

a),求

值g(

最小

]上有

e[0,2

,当x

以-1

f—2

)=-

数/(x

次函

知二

】已

【例3

析式.

2

2

.

=—1

轴是x

对称

—a,

+a)

—(%

(x)=

】f

【解析

,

5-4a

2)--

)-/(

，g(a

时

,即

VI

当一a

1,

)=-

=/(0

(a)

时，g

<一1

即。

>l,

当一a

1,

a<—

—1,

={

g(a)

l.

a>

4a,

[-5-

骤：

的步

最值

上的

[冽,n\

在区间

<0)

+c(a

？+法

)=奴

数/(x

次函

】二

技巧

【方法

类，

分三

时需

大值

求最

(1)

b

)；

=/(m

max

，/(©

<7"时

-「

当％=

2a

-)；

/(-

)^=

，/(x

,汨时

e["2

=一丁

当工

2a

2a

b

/(〃)・

ax=