高考数学二轮复习专项训练：定点、定值问题（含答案及解析）

2025二轮复习专项训练28

定点、定值问题

［考情分析］解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识模块，定点和定值问题是

高考考查的重点知识，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等，试题难度较大,

多次以压轴题出现.

【练前疑难讲解】

一、定点问题

求解定点问题常用的方法

(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般

性证明.

⑵“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定

点坐标.

(3)求证直线过定点(xo,yo),常利用直线的点斜式方程y—yo=Z(x—xo)来证明.

二、定值问题

求圆锥曲线中定值问题常用的方法

(1)引出变量法：其解题流程为

(2)特例法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.

一、单选题

1.(22-23高三下•河北衡水•阶段练习)己知抛物线。：^=22日(夕>0)过点4(2,4),动点

M,N为C上的两点，且直线AM与AN的斜率之和为0,直线/的斜率为-1,且过C的焦

点F,/把一4VW分成面积相等的两部分，则直线的方程为()

A.x+y-6=QB.x-y+6=0

C.尤一y+40-6=OD.无+y+4&-6=0

22

2.(22-23高二上•山东济宁•期末)已知双曲线C:0-2=l(a>O/>O),抛物线

E：y2=4x的焦点为尸，抛物线E的准线与双曲线C的两条渐近线分别交于点若

△ABF为正三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）

A.y=±^-xB.y=±^-x

32

C.y=±2近xD.y=±V3x

3

二、多选题

22

3.（22-23高三上•山东东营•期末）已知椭圆C:*+方=l（〃>b>0）与直线/：%—>T=0交

于两点，记直线/与工轴的交点为E,点瓦厂关于原点对称，若/AEB=90，贝IJ

（）

A.2a2+b2=a2b2B.椭圆。过4个定点

7

C.存在实数a,使得|回卜3D.\AB\<-

22

4.（2023・江苏•二模）已知椭圆币尢=1,点P为右焦点，直线丫=质优片0）与椭圆交于

P，。两点，直线尸尸与椭圆交于另一点〃，则（）

A.PQM周长为定值B.直线鹿与的斜率乘积为定值

C.线段的长度存在最小值D.该椭圆离心率为:

三、填空题

5.（2023・全国•模拟预测）已知双曲线?-%=1（6>0）的一条渐近线的倾斜角的正切值为

口5.若直线丁=〃优+”（环<4且/*2）与双曲线交于A,2两点，直线Q4,。8的斜

55

率的倒数和为此，则直线V=："+"恒经过的定点为.

m

22

6.（2023•福建漳州•三模）已知椭圆C:a+方=1（。>6>。）的长轴长为4，离心率为

显,RQ为C上的两个动点，且直线。尸与。。斜率之积为-。（。为坐标原点），则椭圆

C的短轴长为,|OP|2+|OQ「=.

四、解答题

22

7.（2024・北京•高考真题）已知椭圆E：口方=l（a>6>0）,以椭圆E的焦点和短轴端

点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点（0,。1>0）且斜率存在的直线与椭圆E交于

不同的两点A,B,过点A和C（0,l）的直线AC与椭圆E的另一个交点为D.

⑴求椭圆E的方程及离心率；

（2）若直线8。的斜率为0,求f的值.

8.（23-24高三上•上海闵行•期中）已知双曲线C：，-2=1（。＞0/＞0）的离心率为

ab

0，点（3,-1）在双曲线C上.过C的左焦点厂作直线/交C的左支于A、B两点.

（1）求双曲线C的方程；

⑵若M（-2,0）,试问：是否存在直线/,使得点M在以A3为直径的圆上?请说明理由.

⑶点P（T,2）,直线AP交直线x=-2于点。.设直线。4、的斜率分别《、k2,求

证：为定值.

【基础保分训练】

一、单选题

1.（22-23高二上•北京丰台•期末）设圆O:/+y2=2,直线/:尤+y-4=0,尸为/上的动

点.过点P作圆。的两条切线尸4尸2,切点为42,给出下列四个结论：

①当四边形OAP3为正方形时，点尸的坐标为（2,2）

②1PAi的取值范围为［#,+8）

③当，加为等边三角形时，点尸坐标为（1,3）

④直线A3恒过定点

其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

2.（21-22高二上•安徽蚌埠•期末）已知直线/与抛物线丁=4无交于不同的两点A,B,O

为坐标原点，若直线OAOB的斜率之积为一1,则直线/恒过定点（）

A.（4,0）B.（0,4）C.（0,-4）D.（-4,0）

3.（22-23高三下•湖南•阶段练习）已知抛物线＞2=8x的焦点为F，点M在抛物线上（异

于顶点），OM=2ON（点。为坐标原点），过点N作直线的垂线与x轴交于点尸，则

2\OP\-\MF\^（）

A.6B.26C.4D.2百

22

4.（22-23高二上•上海浦东新,期末）已知双曲线「：土-匕=1,点尸为曲线「在第三象限

2425

一个动点，以下两个命题，则（）

①点P到双曲线两条渐近线的距离为4，d2,贝lj4-4为定值.

②己知A、8是双曲线上关于原点对称不同于P的两个点，若抬、尸8的斜率存在且分别为

h，k2,则尤•后2为定值.

A.①真②真B.①假②真

C.①真②假D.①假②假

二、多选题

5.（23-24高三上•湖南长沙•阶段练习）已知尸是抛物线C:y2=x的焦点,

4（%1，%）,3（%2，%）是C上的两点，。为原点，则（）

A.若88,垂直C的准线于点？，且忸Bl=2|OF|,则四边形丽画的周长为21

4

B.若区产|=:，贝UA"的面积为1

C.若直线过点歹，则2%+%的最小值为变

2

D.若OAOB==,则直线A3恒过定点［可

6.（22-23高二下•浙江,开学考试）设〃为双曲线C：y一二=］上一动点，片,尸2为上、

3

下焦点，。为原点，则下列结论正确的是（）

A.若点N（0,8）,则|网最小值为7

B.若过点。的直线交C于A8两点（A8与M均不重合），贝

C.若点0（8,1）,M在双曲线C的上支，则|飒|+|同。最小值为2+屈

D.过K的直线/交C于G、H不同两点，若|G"|=7,贝心有4条

7.（22-23高二上•湖南衡阳•期中）圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫

做"阿基米德三角形".如图△肠仍是抛物线E-.y2=2Px（p>0）的阿基米德三角形，弦AB经

过焦点尸，又BC,均垂直于准线/,且C,。为垂足，则下列说法正确的有（）

A.以AB为直径的圆必与准线/相切于加点

B.制而为定值4

\Ar'\Dr

C.k°A*k°B为定值—4

4

D.tanNAQB有最小值-1

22

8.（22-23高三上•广东云浮•阶段练习）已知椭圆C:±+上=1的左、右焦点分别是

169

耳心，左、右顶点分别是4,4,点尸是椭圆C上异于4,4的任意一点，则下列说法正

确的是（）

A.\PF^\PF2\=4B.若耳尸鸟的面积为2々，则点尸的横坐

标为±g行

C.存在点尸满足/耳尸乙=90。D.直线尸4与直线尸&的斜率之积为-J9

16

三、填空题

9.（2023・湖南长沙•一模）如图，已知抛物线C：V=2x,圆E：（x-2）2+/=4,直线

OA,。8分别交抛物线于A,8两点，且直线OA与直线08的斜率之积等于-2,则直线

被圆E所截的弦长最小值为.

10.（22-23高二上•山东枣庄•期末）设椭圆C的上顶点为。（0,1）,且长轴长为2板，过。

任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A,3两点，则直线A3过定点.

11.（2022高三・全国•专题练习）已知椭圆C:5+y2=i左顶点为A,尸,。为椭圆C上两动

点，直线P。交AQ于E,直线。。交AP于。，直线OROQ的斜率分别为左,%且

k&=_g,AD=ADF,AE=^iEQ（4〃是非零实数），求4+筋=.

22

12.（2023•湖北武汉•模拟预测）已知产为双曲线二-±=1上一点，以P为切点的切线为

45

I,直线/与双曲线C的两条渐近线分别交于点贝必的（O为坐标原点）的面积

为.

四、解答题

13.（2024•浙江杭州•二模）已知是椭圆E:土+y2=i的左，右顶点，点

4,

”（〃7,0）（〃2>0）与椭圆上的点的距离的最小值为1.

（1）求点〃的坐标.

⑵过点M作直线/交椭圆E于C，D两点（与A,2不重合），连接AC,BD交于点G.

（回）证明：点G在定直线上；

（回）是否存在点G使得CGJ_DG,若存在，求出直线/的斜率；若不存在，请说明理由.

22

14.（2023•江苏南通•一模）已知双曲线C:三-马=1（。>0,6>0）的左顶点为A,过左焦点

ab

产的直线与C交于两点.当尸QJL无轴时，|E4|=JI5,△尸A。的面积为3.

（1）求C的方程；

（2）证明：以PQ为直径的圆经过定点.

22

15.（2023・四川南充・三模）己知椭圆<7:\+2=1（。>6>0）的左、右焦点为片，F］,离

心率为:•点尸是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线尸耳、尸居分别与椭圆C交于点

A、B,△尸£8的周长为8.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若尸石PFL&F/,求证：4+4为定值.

22

16.（23-24高二上•浙江•期中）已知双曲线二-斗=1（°>0,6>0）的右焦点尸（2,0）,离心

ab

率为空.

3

⑴求双曲线的方程；

⑵过点尸］|,。］直线与双曲线交于A,3两点，设直线AF,BF的斜率分别为KK（她W0）,

求证：K+瓦为定值.

【能力提升训练】

一、单选题

L（21-22高二下•四川遂宁•阶段练习）点片，工是曲线C上-丁=1的左右焦点，过耳

-3

作互相垂直的两条直线分别与曲线交于A,8和C,D-,线段A8,CD的中点分别为

N,直线明与x轴垂直且点G在C上.若以G为圆心的圆与直线MN恒有公共点，则圆面

积的最小值为（）

115176%49乃28万

A.------B.-----C.-----D.-----

3333

2.（21-22高二下•贵州贵阳•期末）抛物线V=4x的焦点为厂，其准线与x轴的交点为

N,过点尸作直线与此抛物线交于A,3两点，若NBLAB,则|人尸|-|卸尸（）

A.3B.4C.5D.6

二、多选题

3.（2023・安徽•三模）已知抛物线C:尤2=2y的焦点为p，准线为/,A、B是C上异于点

。的两点（。为坐标原点）则下列说法正确的是（）

A.若A、F、3三点共线，则|明的最小值为2

B.若|A刊=|，则AO尸的面积为当

C.若。则直线A3过定点（2,0）

AB

D.若NAEB=60,过AB的中点。作DE，/于点E,则苛的最小值为1

DE

4.（22-23高三下•广东清远•阶段练习）己知P是抛物线W：y2=2px（p>0）的焦点，点

4（1,2）在抛物线W上，过点尸的两条互相垂直的直线上乙分别与抛物线W交于8，C和

D,E,过点A分别作乙，4的垂线，垂足分别为M，N,则（）

A.四边形AWW面积的最大值为2

B.四边形AMF7V周长的最大值为4近

111

c-归可为定值万

D.四边形BDCE面积的最小值为32

三、填空题

22

5.（2023•辽宁大连•三模）已知。为坐标原点，耳居是双曲线2=l（a>0,b>0）的

左、右焦点,双曲线C上一点尸满足（。2+。层）•耳尸=。，且|尸司•|尸q=2",则双曲线C

的渐近线方程为.点A是双曲线C上一定点，过点5（0,1）的动直线/与双曲线C交

于M,N两点，七”+左期为定值几，则当a=0时实数2的值为.

22

6.（2023•黑龙江哈尔滨•一模）如图，椭圆忘=l（a>b>0）与双曲线

22

3一与=1（根>0,">0）有公共焦点耳口,0）,鸟（c,o）（c>o）,椭圆的离心率为％,双曲

mn

13

线的离心率为与，点尸为两曲线的一个公共点，且4尸居=60。，则下+下=_____；/为

6]e2

月产入的内心，耳,1,G三点共线，且GP/P=0，无轴上点AB满足A/=&P，

22

7.（2022・辽宁沈阳•二模）已知椭圆C:会+方=1（。>6>0）的焦距为2,且经过点

（1）求椭圆C的方程；

⑵经过椭圆右焦点p且斜率为无体片0）的动直线/与椭圆交于A、8两点，试问龙轴上是否

存在异于点尸的定点T，使|A斗忸刀=忸用但刀恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存

在，说明理由.

22

8.（2023・重庆・一模）已知双曲线E：3-2=1（。>02>0）的离心率为2,左、右焦点分

ab

别为6月（c,0）,点为双曲线E右支上异于其顶点的动点，过点A作圆C：

必+>2="的一条切线AM,切点为Af,且|AM『+3=4X；-/.

⑴求双曲线E的标准方程;

(2)设直线A片与双曲线左支交于点8,双曲线的右顶点为。(a,0),直线A。，分别与

圆C相交，交点分别为异于点。的点P,Q.判断弦是否过定点，如果过定点，求出

定点，如果不过定点，说明理由.

9.(24-25高二上•湖南株洲•阶段练习)椭圆C与椭圆C]：]+y2=i有相同的焦点，且经

过点

(1)求椭圆C的方程；

⑵椭圆C的右焦点为8,设动直线/与坐标轴不垂直，/与椭圆C交于不同的M,N两

点，且直线9和3N的斜率互为相反数.

①证明：动直线/恒过龙轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；

②求面积的最大值.

10.(23-24高二上•江苏盐城•阶段练习)己知片(近,0),6bs',()),M为平面上一动点，

且满足1河区1-1班1=4,记动点M的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)若4-2,0),8(2,0),过点(1,0)的动直线/交曲线E于P,Q(不同于A,B)两点，直线

AP与直线BQ的斜率分别记为七°,kBQ,求证：｝为定值，并求出定值.

KBQ

2025二轮复习专项训练28

定点、定值问题

［考情分析］解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识模块，定点和定值问题是

高考考查的重点知识，在解答题中一般会综合考查直线、圆、圆锥曲线等，试题难度较大,

多次以压轴题出现.

【练前疑难讲解】

一、定点问题

求解定点问题常用的方法

(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般

性证明.

⑵“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定

点坐标.

(3)求证直线过定点(xo,yo),常利用直线的点斜式方程y—yo=Z(x—xo)来证明.

二、定值问题

求圆锥曲线中定值问题常用的方法

(1)引出变量法：其解题流程为

(2)特例法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.

一、单选题

1.(22-23高三下•河北衡水•阶段练习)己知抛物线。：^=22日(夕>0)过点4(2,4),动点

M,N为C上的两点，且直线AM与AN的斜率之和为0,直线/的斜率为-1,且过C的焦

点F,/把一4VW分成面积相等的两部分，则直线的方程为()

A.x+y-6=QB.x-y+6=0

C.尤一y+40-6=OD.无+y+4&-6=0

22

2.(22-23高二上•山东济宁•期末)已知双曲线C:0-2=l(a>O/>O),抛物线

E：y2=4x的焦点为尸，抛物线E的准线与双曲线C的两条渐近线分别交于点若

△ABF为正三角形，则双曲线C的渐近线方程为（）

A.y=±^-xB.y=±^-x

32

C.y=±2近xD.y=±V3x

3

二、多选题

22

3.（22-23高三上•山东东营•期末）已知椭圆C:*+方=l（〃>b>0）与直线/：%—>T=0交

于两点，记直线/与工轴的交点为E,点瓦厂关于原点对称，若/AEB=90，贝IJ

（）

A.2a2+b2=a2b2B.椭圆。过4个定点

7

C.存在实数a,使得|回卜3D.\AB\<-

22

4.（2023・江苏•二模）已知椭圆币尢=1,点P为右焦点，直线丫=质优片0）与椭圆交于

P，。两点，直线尸尸与椭圆交于另一点〃，则（）

A.PQM周长为定值B.直线鹿与的斜率乘积为定值

C.线段的长度存在最小值D.该椭圆离心率为:

三、填空题

5.（2023・全国•模拟预测）已知双曲线?-%=l（b>0）的一条渐近线的倾斜角的正切值为

口5.若直线丁=〃优+”（环<4且/*2）与双曲线交于A,2两点，直线Q4,。8的斜

55

率的倒数和为此，则直线V=："+"恒经过的定点为.

m

22

6.（2023•福建漳州•三模）已知椭圆C:a+方=1（。>6>。）的长轴长为4，离心率为

显,RQ为C上的两个动点，且直线。尸与。。斜率之积为-。（。为坐标原点），则椭圆

C的短轴长为,|OP|2+|OQ「=.

四、解答题

22

7.（2024・北京•高考真题）已知椭圆E：]+方=1（a>6>0）,以椭圆E的焦点和短轴端

点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点（0,。1>3）且斜率存在的直线与椭圆E交于

不同的两点A,B,过点A和C（0,l）的直线AC与椭圆E的另一个交点为D.

⑴求椭圆E的方程及离心率；

（2）若直线8。的斜率为0,求f的值.

8.（23-24高三上•上海闵行•期中）已知双曲线C：，-2=1（。>0,6>0）的离心率为

ab

0，点（3,-1）在双曲线C上.过C的左焦点厂作直线/交C的左支于A、B两点.

（1）求双曲线C的方程；

⑵若M（-2,0）,试问：是否存在直线/,使得点M在以A3为直径的圆上?请说明理由.

⑶点P（T,2）,直线AP交直线x=-2于点。.设直线。4、的斜率分别《、k2,求

证：为定值.

参考答案：

题号1234

答案DCABBCD

1.D

【分析】由题意求出抛物线方程为V=8x,设时（4％）Q（々,％），直线MN:x=Cy+机,

联立直线和抛物线的方程结合韦达定理由心时+左3=0,可求出/=-1,再求出直线/的方

程，由题意可转化为A（2,4）到直线/:尤+y-2=0的距离为A（2,4）到直线MN:x+y-机=0距

离的赵，代入求解即可得出答案.

2

【详解】因为抛物线C：V=2px（p>0）过点A（2,4）,

所以16=4p,解得：p=4,所以y2=8x,

设（巧，%），

直线肱V:x=/y+机，代入y2=8工中整理得y2-8（y-8%=0,

所以X+%=&,yty2=-8机，

kk=二

所以期+期一%-2%-2-2'2

J理-2

88

888(%+4)+8(%+4)

--------1---------=0,即％+%+8=0,

%+4必+4(%+4)(%+4)

则%+%+8=8f+8=0,解得：t=-l,

所以直线肋V:%+y-根=0,

直线/的斜率为-1,且过C的焦点厂(2,0),

|2+4-2|

所以/:x+y-2=0,贝p(2,4)到直线/的距离为d==2后,

~1T~

所以/把，AWN分成面积相等的两部分，因为直线/与直线MN平行,

所以A(2,4)到直线-2=0的距离为A(2.4)到直线脑V:x+y7"=0距离的年，

2A/2=------y=--,解得：相=6-4&或根=6+4&(舍去).

2，2

所以直线的方程为x+y+4后-6=0.

故选：D.

2.C

【分析】根据双曲线方程，把渐近线表示出来，推出两点坐标，利用△树为正三角

形，列方程解系数既可.

b

【详解】双曲线。的两条渐近线方程为〉=±2］，

a

抛物线E的焦点为尸(1,0),准线方程为x=-l,不妨取«T，。，

b

△ABF为正三角形，由对称性可知，直线AF的倾斜角为30。，则〉_&_走，解得

AF~2~3

b2A/3

—=---,

a3

所以双曲线C的两条渐近线方程为y=±亚x.

3

故选：C

3.AB

【分析】将椭圆方程与直线方程联立可得韦达定理的结论，利用垂直关系的向量表示，结

17

合向量数量积坐标运算和韦达定理可整理得到A正确；由A中结论变形可得靛+记=1,

由此可得椭圆所过四个定点坐标，知B正确；利用弦长公式表示并化简得到

+1,根据0＜与＜1可求得|他|的范围，由此可知C错误；令

网=2"

a

7h1

|AB|=4,可解得勺，知D错误.

2a~

【详解】设人(%,%)，3(%,为)，

—1

由<Q2白一得：）x2-2a2x+a2-a2b2=0,

y=x-l

贝ijA=4a2b2（/+/_1）>0,.../+〃>i,

2a2a2-a2b2

,',%1+X2=77F,中2=,+从；

对于A,由题意知：£（l,o）,F（-l,0）,

NA尸3=90,:.FAFB=0^

即（西+1）（九2+1）+X、2=（西+1）（%2+1）+（西一1）（尤2-1）=2芯%2+2=0,

UClU4UU-fU

••X]%2+]1_o_99—0,2a2+b2=a2b2,A正确；

12a2+b2a2+b2

19（X2=1

对于B,由2a2+Z?2=a2b2知：—+记=1，则当2.时，椭圆方程恒成立,

[y=2

二椭圆C过定点（1,0）,（-1,AB）,（-1,-72）,共4个，B正确；

______________2、£2b2（〃2+82_1）

对于C，=0.J（X]+%2『一4%兀2=—

a2+b2

即期"『[明…匚巴k«2+/『+/+02b2-2Q2—b1

J（a2+b2）2

二s"

4

=272-[（6Z2+/72）V]（〃+。b2）2z+l

b2

又a>Z?,0<——<1,

Vio<2V2-+1<4,即厢〈⑷?|<4,

二不存在实数a,使得|AB|=3,C错误；

7

对于D,令解得：^=4A/34-17（

三（0,1）,.•.存在实数。使得|AB|=5,D错误.

112a217

故选：AB.

4.BCD

【分析】通过左取不同值求出周长即可判断A,设出点的坐标利用斜率公式化简即可判断

B,确定线段PM取最小值的条件即可判断C,确定“、c的值即可求出离心率从而判断

D.

【详解】该椭圆中a=4,b=2®c=2,则*2,0）,

所以离心率为：，故D正确；

设”（外,％）,尸（孙羽），。（-孙-3），

则在PM、叫斜率都存在的前提下有心“=又二匹，kQM=A±2i；

再一々再+无2

22

于是kpM'kX一%

QM（七一工2）（%1+%）

由题意可设PM的方程为犬=加＞+2,

联立1612消X得（31+4）y2+12/ny-36=0,

x=my+2

12m36

则X+%=一，%%=一

3m2+43m2+4

24（疗+1）

所以IPMI=，1+后+

3m2+4

24_24

3疗+一+J

m2+1m+1

则当机=0时，|刈/而口=6,

所以线段RW的长度存在最小值，故c正确.

当女=叵时，直线

6

不妨取点尸为得直线尸产方程为y=

求得交点”为

则河咛，|刎=咛7,间卜后，此时一尸QM的周长为》吁1+历,

[22

W

当左=]时，联立1612,解得x=±2,不妨取P（2,3）,

y=­x

[2

则PM垂直于x轴，此时1PM=6,|QM|=4,|PQ|=2屈,

此时11PoM的周长为10+2万，

显然尸加周长不为定值，故A错误;

故选：BCD.

5.（-2,0）

【分析】先根据渐近线的倾斜角算出6,然后联立直线和双曲线，结合题目条件和韦达定

理找到机，”的关系，从而得到定点.

[详解】因为双曲线方程为--4=1一条渐近线的倾斜角的正切值为拽.所以

5b25

上哼解得I，所以双曲线方程为

y=mx+n,

222

设A（石,yj,B（x2,y2）,联立＜f,2^^4-5m）%-10mnx-5n-20=0,

154

A=（-10mn）2+4x（4-5m2）（5n2+20）=80（n2+4-5m2）＞0.

10m几5及2+20

由韦达定理得%+%2=

4-5m2124-5m2

%2工2%二

11101।1=1।1=m।=3%+

k

因为7一十=二一所以自AOBM2%为%为

k0Ak0Bm

再

5/+2010m几

-2m-------------\-n-----------

+〃）+%2（叫+〃）也+〃（项）

xx^mx22mx+x24一5/4一5疗

22

^mx+n）（mx2+〃）mxx+mn（西+9）+〃25n+2010m几2

x12-m2•———+mn--------5+n

4-5m4-5m

10m_10

5m2-n2m

所以〃=2相，由题意知病＜4,止匕时△=80（〃2+4—5机=80（4—加之）＞。.

所以直线方程为了二痛+2根=根（1+2）,恒经过的定点为（-2,0）.

故答案为：（-2,0）

6.25

【分析】根据椭圆长轴长、离心率可求得6,由此可得短轴长及椭圆方程；设

P（2coscr,sincr）,Q（2cos以sin0,根据斜率关系，结合两角和差公式可整理得到

7T

a-分=]+E（%eZ）,利用两点间距离公式，结合诱导公式和同角三角函数关系可求得结

果.

【详解】・••椭圆C的长轴长为2a=4,二。=2,又离心率e=£=且，.”=百

a2

,_____2

••2々片—=1，椭圆。的短轴长为》=2,••・椭圆C:r\+y2=i；

设P(2cosa,sina),Q(2cos力,sin£),

k卜_sinasin[3_sinasin/_1

OP0Q2coscr2cos[34coscosp4

cosacos/?+sincrsin/3=cos(a-^=0,

.」OP「+|OQ『=4cos2a+sin2«+4cos2/?+sin2/3

=4cos2\—+kii+(3\+sin2+fat+/7|+4cos2(3+sin1(5

=4sin2^?+cos2^+4cos2^+sin2(3=5.

故答案为：2；5.

【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的几何性质，求解距离平方和的关键是能够通过三角

换元的方式，结合斜率关系得到名尸所满足的关系式，进而结合诱导公式来进行求解.

（2）？=2

【分析】（1）由题意得。=c=后，进一步得。，由此即可得解；

（2）设="+4（%,%）,8（々，%），联立椭圆方程，由韦达定理有

x+彳=三匕,匹马=与心，而A。：）7："1&（x-%）+X,令尤=0,即可得解.

【详解】（1）由题意。=。=0=应，从而q==2，

所以椭圆方程为三+二=1，离心率为6=受；

422

（2）直线A3斜率不为0,否则直线A3与椭圆无交点，矛盾,

yt

从而设AB：y=，A（%，%），5（孙，2），

R£,

+"

联立，42,化简并整理得(1+2/+4依+2产一4=0,

y=kx+t

由题意A=16公/一8(26+1)(z2-2)=8(4/+2-产)>0,即匕r应满足软？+2_»>°,

-4kt2〃一4

所以％i+々=1+2小再无2~2k2+l

若直线5。斜率为0,由椭圆的对称性可设£＞（-x,,%）,

所以A2:y="之（x-xJ+必,在直线A。方程中令尤=0,

尤］+%

M(kx?+Z)+x(Axj+。2kxxx2+1(%j+x2)4攵(r_2)2

得/—+AX2-----------------------=---------------1——=1,

玉+x2玉+%2xx+x2—4ktt

所以T=2,

此时k应满足ST-4k-2＞。，即人应满足左＜一也或左＞走,

上k022

综上所述，/=2满足题意，此时左〈一且或人＞1.

22

（2）不存在，理由见解析;

⑶证明见解析

【分析】⑴根据题意列式求",b,c，进而可得双曲线方程;

（2）设/:彳=祇-4,4（和%）,3（%2，%），联立方程，利用韦达定理判断是否为零即

可；

⑶用AB两点坐标表示出直线AP,得点。坐标，表示出左,修，结合韦达定理，证明匕-自

为定值.

22

【详解】⑴由双曲线C：T-当=1的离心率为右，且M（3,—l）在双曲线C上,

ab

\91-

/下=1

22

可得e=£=应，解得片=8万=8,回双曲线的方程为二一二=1.

a88

c2=a2+b2

（2）双曲线C的左焦点为b（TO）,

当直线/的斜率为。时，此时直线为y=o,与双曲线C左支只有一个交点，舍去;

当直线/的斜率不为。时，设/：尤=，冲-4,

联立方程组｛“:已一：，消尤得（加2-1）产―8阳+8=0,易得A>0,

[x—y=8'）

8

设4（久1，%）,8（%2，>2），则%+%=。，X%=，_,<°，可得-1（机<1,

m-1m-1

团M4=（X]+2,=（无2+2,%）,

则=（无2+2）（芯+2）+%为=（噂1一2）（加为一2）+%%

8(疗+1)16m2

=(m2+1)-2闻%+%)+4=+4=-4，

m2—1m2-l

即M4-M3wO，可得与MB不垂直，

团不存在直线/,使得点M在以A3为直径的圆上.

(3)由直线AP:y-2=《(x+4),得Q(-2,2+2瓦),

回」「2丁=%-2方,又=

X2+2my2-2玉+4myx

_k=_y「2_2k\=(\一2)(.%_2)一m％(%_2_2幻

myxmy2—2myx^my2—2)

_-2my2一2%+4+2myl+2mkxyx