二次函数中几何存在性的问题（重点突围）（解析版）

专题17二次函数中几何存在性的问题

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目录

【直击中考】...................................................................................1

【考向一二次函数中构成等腰三角形存在性问题】............................................1

【考向二二次函数中构成直角三角形存在性问题】............................................8

【考向三二次函数中构成三角形相似存在性问题】...........................................16

【考向四二次函数中构成矩形存在性问题】..................................................23

【考向五二次函数中构成菱形存在性问题】..................................................33

【考向六二次函数中构成正方形存在性问题】...............................................42

【直击中考】

【考向一二次函数中构成等腰三角形存在性问题】

例题：（2022秋,青海西宁•九年级校考期末）如图,在平面直角坐标系中，已知抛物线尤轴交于A（-l,0）,B（5,0）

两点，与y轴交于点。（0,-3）.

⑴求抛物线的解析式；

⑵求抛物线的对称轴及顶点坐标

（3）在坐标轴是否存在一点尸.使得△「口是等腰三角形，若存在，请直接写出点尸的坐标，若不存在，请说

明理由；

【答案】⑴y=—%—3

⑵直线％=2,

⑶（-5,0）或（0,扃-3）或（0,-阴-3）或（后-5,0阈序+5,0）或（0,3）或修0）或（0高

【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解;

（2）把抛物线解析式化为顶点式，即可求解；

(3)分三种情况：当PC=BC=用时，当尸B=BC=衣时，当尸3=PC时，即可求解.

【详解】(1)解：设抛物线的解析式为y=分+6x+c,

把点A(-LO),3(5,0),C(0,-3)代入得:

3

a=一

a-b+c=Q5

25a+5b+c=0,角毕得：＜b7=--1-2

5

c=-3

Q17

回抛物线的解析式为y=£尤2-T尤-3；

(2)解：回y=-gx-3=g(x-2)2-g,

回抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为［2,-弓｝

(3)解：团点3(5,0),C(0,-3),

B1OB=5,OC=3,

^BC=y/OB2+OC2=y/34，

当PC=BC=J§?时，

若点尸在x轴上，点尸与点2关于y轴对称，

回此时点尸的坐标为(—5,0)；

若点尸在y轴上，OP=PC-OC=734-3^OP=PC+OC=A/34+3,

毗时点P的坐标为(0,取-3)或倒,-南-3)；

当PB=BC=后时，

若点P在x轴上，OP=BP-OB=y/34-5^OP=BP+OB=y(34+5,

眦时点P的坐标为(取-5,0)或(取+5,0)；

若点P在y轴上，点尸与点8关于x轴对称，

回此时点尸的坐标为(。,3)；

当P3=PC时，

若点P在x轴上，连接CP,如图，

设点P的坐标为（m,0），则OP=m,

团PB=PC=5—m,

在Rt^COP中，OP2+OC2=PC2,

0m2+32=（5—m）2,

Q

解得：m=

回此时点P的坐标为1,0）；

若点尸在y轴上，连接3P,如图，

设点P的坐标为（。,〃），则。尸=〃，

团尸3=尸。=3+〃，

在中，OP2+OB2=PB2,

0n2+52=（3+n）2,

Q

解得：九=|，

回此时点尸的坐标为。I];

综上所述，（-5,0）或（0,后-3）或（0,一衣-3）或（南-5,0）或（后+5,0）或（0,3）或||,0）或。|].

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，还涉及了求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定

理，利用分类讨论思想解答是解题的关键.

【变式训练】

1.（2023秋・陕西商洛•九年级校考期末）如图，已知抛物线＞=0？+纵+4（。力0）与》轴交于A（-l,0）,B（2,0）

两点，与y轴交于点c.

⑴求抛物线的解析式及点C的坐标；

⑵若尸为抛物线上一点，连接BC,是否存在以BC为底的等腰△BCF?若存在，请求出点尸的坐标；若不

存在，请说明理由.

【答案】⑴y=-2/+2x+4；C（0,4）

⑵存在，点尸的坐标为[¥，言普，或[¥，言消

【分析】（1）将点A（T,O），3（2,0）代入解析式，待定系数法求解析式，进而令x=0,得出点C的坐标；

（2）若存在以BC为底的等腰△3CF,则CP=M,点尸在AC的垂直平分线上，如图，设的垂直平

分线交》轴于点N,交8c于点连接3N,勾股定理得出ON,即可得出点N的坐标，进而根据中点坐

标公式得出点M的坐标，待定系数法求解析式求得直线MN的解析式，联立组成方程组即可求解.

【详解】（1）解：团已知抛物线、=加+施+4"/0）与无轴交于A（-LO）,3（2,0）两点，

[a-b+4=0

14〃+2Z?+4=0

[a=—2

解得：,_.

[b=2

回抛物线解析式为：y=-2x2+2x+4,

令x=0,解得：y=4,

0C（O,4）；

（2）存在，

0A（-1,O）,B（2,O）,C（O,4）,

B1OA=1,OB=2,AB=3,OC=4,

若存在以BC为底的等腰△BCF,则b=点尸在AC的垂直平分线上，

如图，设BC的垂直平分线交>轴于点N,交BC于点连接BN,

则3N=QV,设ON=〃，则3N=OV=4-〃，

在RSNOB中，ON?+OB?=BN?,

0n2+22=（4

3

解得：〃=:,

回点N的坐标为（。，I"

回M为BC的中点，

0M（1,2）,

设直线MN得到的解析式为1=h+6,

k+b=2

回1,3

b--

I2

解得：；

b=-

I2

13

团直线MN的解析式为y=-x+-,

13

联立户寸+5

y——2x?+2x+4

3+国

解得:

27+V89'

%=—

【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，等腰三角形的性质，一次函数与抛物线交点问题，掌握以上知

识是解题的关键.

2.(2022秋・广西南宁•九年级校考阶段练习)已知抛物线丁=以2+版+3经过4(-1,0),3(3,0)两点，直线/

是抛物线的对称轴.

⑴求抛物线的函数关系式；

⑵设点P是直线/上的一个动点，当△P4C的周长最小时，求点尸的坐标以及这个最小周长；

⑶在直线/上是否存在点M,使ZW4c为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若

不存在，请说明理由.

【答案】⑴>=-/+2方+3

⑵点P坐标为(1,2)；AB4C的周长最小值为屈+3及

⑶存在符合条件的M点，且坐标为(1，#),(1)-V6),(1,1),(1,0).

【分析】(1)把A(TO)、8(3,0)代入抛物线解析式，即可求解；

(2)连结8c交/于P,根据抛物线的对称性可得上4=P3,从而得至UPC+上4=PC+P3=BC,此时AR4c

的周长最小，再求出直线3c解析式，即可求解；

(3)根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论，即可求解.

【详解】(1)解：把A(-LO)、3(3,0)代入抛物线解析式得:

[〃-/?+3=01Q=—1

19a+36+3=0解得:[b=2

回抛物线解析式为y=*+2丈+3.

(2)解：当x=0时，y=3,

0C(O,3),

连结3C交/于P,如图,

回点A与点8关于直线I对称，

^\PA=PB,

BPC+PA=PC+PB=BC,

此时△PAC的周长最小，

设直线8c解析式为丫=丘+々,

把3(3,0),C(0,3)代入得:

4=0

I4=3

\k=-l

解得：,°，

[4=3

团直线BC解析式为y=-x+3.

把x=l代入得：y=-l+3=2,

则尸坐标为(1,2).

0A(-1,O),3(3,0),C(0,3),

团OA=1,OC=3,OB=3,

回AC=7CM2+OC2=Vio,BC=4OB2+OC-=30，

则APAC的周长最小值=AC+BC=V10+3y/2.

(3)解：存在，理由如下：

设A/(l,m),

已知A(—1,0),C(0,3),

则M42=;〃2+4,AC2=10,MC2+12-m2-6m+10,

①若M4=MC,则MA2=/C2,

即m2+4=冽2_6m+10,

解得，m=l.

②若M4=AC,则山2=人。2,

得，病+4=10,

解得，m=±A/6.

③若MC=AC,则MC2=AC2,

得，m1—6/77+10=10,

解得，叫=。，牡=6,

当机=6时，M,A,C三点共线，构不成三角形，不合题意，舍去.

综上可知，存在符合条件的M点，坐标为(1，佝，(1，-周，(叫，。，0).

【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识,

在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解.

【考向二二次函数中构成直角三角形存在性问题】

例题：(2022秋,陕西渭南•九年级统考期末)如图，抛物线片好+法+c与x轴交于A(-l,0)、*3,0)两点,

与>轴交于点C.

⑴求该抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得以P、3、C为顶点的三角形为直角三角形，若存在，请求出

点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=x2-2x-3

(2)存在，坐标为(1,2)或(1,-4)或卜一3丁］或:-31

【分析】(1)把43两点坐标代入抛物线的解析式，构建方程组求出6,c的值即可；

(2)分三种情形：B是直角顶点，C是直角顶点，P是直角顶点，分别求解即可.

【详解】(1)回抛物线、=/+法+。与x轴交于4(—1,0)、3(3,0)两点,

\l-b+c=0,-2,

,解得

(9+3Z?+c=0,c=-3,

回抛物线的解析式为y=x2-2x-3.

(2)=x2-2x-3=(x-l)-4,

国抛物线的对称轴为直线x=l,顶点坐标为(1，-4).

如图，连接3C.

回8(3,0),C(0,-3)

0OB=OC=3,EZOBC=ZOCB=45°,

团当N6BC=90°时，APXBO=ZPtBC-ZOBC=45°,可得<(1,2).

当/鸟CB=90。时，同理可得鸟(1,-4).

当N3PC=90°时，设点尸的坐标为(1，m),

则PC?=l+(m+3)2,PB2=m2+4,BC2=18.

SPC2+PB2=BC2,

01+(m+3)2+m2+4=18,

解得m=一3±M,

2

回点P的坐标为‘士叵［或卜夫叵］

综上可得点P的坐标为。，2)或(1，-4)或卜一3［&］或卜-3裂).

【点睛】考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形等知识，解题的关键是掌握

待定系数法，学会用分类讨论的思想思考问题.

【变式训练】

1.(2023秋•山东枣庄•九年级统考期末)如图，抛物线>=尤2+法+。与x轴相交于A,8两点，与y轴相交

于点C,对称轴为直线x=2,顶点为。，点8的坐标为(3,0).

（1）求出点A点、点。的坐标及抛物线的解析式；

（2）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P,使△ELC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点

尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴A（1,O）,r»（2,-l）,y=？-4x+3；

⑵存在，P点坐标为（2,2）或（2,1）.

【分析】（1）根据对称轴为直线x=2,点3的坐标为（3,0）,得到关于。，。的方程组，解方程组，即可得到

抛物线的解析式，令＞=0,得到/-4x+3=0,解方程即可得到点A的坐标，把抛物线的解析式化为顶点

式，即可得到点。的坐标；

（2）先求出点C的坐标，再求出AC=M，设AC的中点为E,贝1］（；，胃，设P（2/）,利用直角三角形

斜边上的中线等于斜边的一半得到方程，解方程即可得到答案.

【详解】（1）解：团对称轴为直线x=2,点8的坐标为（3,0）.

9+3b+c=0

=X2-4X+3,

令y=。，4X+3=0,

回%—3,x2—1,

团A(l,0),

回。是抛物线的顶点，y=x2—4x+3=(x—2)-1,

团。(2,-1),

(2)存在，理由如下：

当％=0时，y=%2-4x+3=3,

回。(0,3),

团OC=3,

回A（1,O）,

回0c=1,

回AC=JG@+OC2=晒，

设AC的中点为E,贝I」E［，|J，设P（2,f）,

回AR4c是以AC为斜边的直角三角形，

SPE=-AC,

国P（2,2）或尸（2,1）,

回使AB4c是以AC为斜边的直角三角形时，P点坐标为（2,2）或（2,1）.

【点睛】此题考查了二次函数与几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式、抛物线与坐标轴的交点、

抛物线的顶点、直角三角形的性质等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键.

2.（2023秋・山西阳泉•九年级统考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线丁=以2+法+《。W0）的

顶点坐标为c（3,6）,并与y轴交于点3（0,3）,点A是对称轴与X轴的交点，直线A3与抛物线的另一个交点

为。.

⑴求抛物线的解析式；

（2）连接3C、CD,判断△BCD是什么特殊三角形，并说明理由；

⑶在坐标轴上是否存在一点P,使△BDP为以8。为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若

不存在，说明理由.

【答案】⑴>=-$2+2彳+3

⑵△BCD是直角三角形，理由见解析

⑶存在，点尸的坐标为（15,0）,（—3,0）或（0,-15）

【分析】（1）由题意可设抛物线顶点式为y=a（尤-3『+6,然后将点以0,3）代入求解即可；

（2）先求出直线A2的解析式，然后联立直线A3的解析式和抛物线的解析式得出点。的坐标，最后利用

勾股定理证明即可；

(3)分两种情况讨论：①当点尸在x轴上时，②当点尸在y轴上时，根据勾股定理进行求解即可.

【详解】(1)回抛物线的顶点坐标为c(3,6),

回可设抛物线顶点式为y=a(x-3)2+6,

将点3(0,3)代入顶点式得3=a(O-3y+6,

解得a=一§,

191

0y=-—(x-3)"+6=一§无2+2x+3；

(2)△3CD是直角三角形，理由如下：

回直线AB过点网0,3),

回设直线AB的解析式为y=kx+3,

回点A是对称轴与x轴的交点，

0A(3,O),

把点A(3,0)代入〉=履+3,并解得左=一1,

团直线AB的解析式为y=-尤+3,

y=—x+3

%=0X2=9

联立-I-并解得

M=3%=一6

00（9,-6）,

BBC2=（3-0）2+（6-3）2=18,BD2=（9-0）2+（-6-3）2=162,

CD2=（9-3）2+（-6-6）2=180,

0CD2=BC1+BD2,

回△BCD是直角三角形;

(3)存在，点尸的坐标为(15,0),(—3,0)或(0,-15).

①当点尸在无轴上时，设尸(％0),

EBD2=162,BP2=X2+32,DP2=(X-9)2+62,

若成为斜边，贝ij有炉+32=(*-9)2+62+162,

解得x=15,

回片(15,0),

若。P为斜边，则有(工一9)2+62=/+32+162,

解得x--3,

回£(-3,0)；

②当点尸在y轴上时，设尸(o,y),

0B£>2=162,8尸'(y—3「£>P2=92+(y+6)2,

若3P为斜边，贝IJ有(y-3)2=92+(y+6y+162,

解得y=T5,

EP3(。，-15),

若DP为斜边，则有9?+(y+6)2=(>-3)2+162,

解得y=3(与8点重合舍去)，

综上所述，点尸的坐标为(15,0),(-3,0)或(0,-15).

【点睛】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象与性质，能够利用勾股定理证明直角三

角形是解题的关键.

3.(2023秋•广东广州•九年级统考期末)抛物线丁=加+灰-4("0)与无轴交于点A(-2,0)和3(4,0),与y

轴交于点C,连接BC.点P是线段BC下方抛物线上的一个动点(不与点8,C重合)，过点P作y轴的平

行线交8c于M,交无轴于N.

(备用图)

⑴求该抛物线的解析式；

(2)过点C作C"_LPN于点、H,BN=3CH,

①求点尸的坐标；

②连接CP,在y轴上是否存在点。，使得ACP。为直角三角形？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请

说明理由.

［答案］(i)y=；/〜4

⑵①『3）②卜一皆或.¥

【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式即可；

（2）①由题可得OCHN为矩形，根据5N=3CH,可得点尸的横坐标，代入解析式即可求出坐标；②分

NCPQ=90°和ZCQP=90°两种情况解题即可.

【详解】（1）解：把点（—2,0）和（4,0）代入1加+法—4得：

J4Q-20-4=0

[16a+4b-4=09

解得：”一5,

b=-\

2

^\y=­1x-x-44

(2)①解：©CH_LPN,PN_Lx轴，^COB=90°

回四边形OC”N为矩形，

RON=HC

⑦BN=3CH

回ON=1

1g

当x=1时y=—xl2-l-4=--

9

回点P的坐标(1,-万)

②由题可知，显然-PC。不能为90。

如图，当ZCPQ=90。时，

9

在RtACPH中，CH=1,PH=-4-1

回CP=《CH。+PH2=JF+gj=与，

回PN||y轴，

*PCQ=NCPH

团cosNPCQ=cosNCPH,

PHPC

即正=诙，

即:卜主

2

解得：ce=1,

513

^\OQ=OC+CQ=4+-=—

如图，当/CQP=90。时,

显然，OQFN为矩形，

9

^OQ=NP=~,

回点Q的坐标为；

13

综上所述：点。的坐标为0,-

皆或。42

【点睛】本题考查二次函数的解析式，矩形的性质，勾股定理和三角函数，掌握二次函数的图象和性质是

解题的关键.

【考向三二次函数中构成三角形相似存在性问题】

例题：(2022秋•广西百色・九年级统考期中)如图，抛物线经过点A(-2,0),8(-3,3)和坐标原点。，顶点为

⑴求抛物线的表达式;

⑵求证：ABOC是直角三角形;

(3)若点尸是抛物线上第一象限内的一个动点，过点尸作PMLx轴，垂足为是否存在点尸，使得以P,

M,A为顶点的三角形与ABOC相似？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=f+2x

⑵见解析

⑶存在，点尸坐标为1或（3,15）

359

【分析】(1)设抛物线的解析式为y=a/+fox+c(awO),把点A(-2,0),3(-3,3),0(0,0),代入求出。，b,

c的值即可;

(2)先求出点C坐标，然后根据A、B、C的坐标，分别求出BC?、OB\OC2,利用勾股定理逆定理判

定即可;

(3)分APMASACOB和APMASABOC表示出和4W,从而表示出点P的坐标，代入求得的抛物线的

解析式即可求得t的值，从而确定点尸的坐标.

【详解】(1)解：设抛物线的解析式为、=办2+施+。(。片0),

将点A(—2,0),3(—3,3),0(0,0),代入可得:

4。一26+c=0

<9。一35+c=3,

c=0

〃=1

解得：<b=2,

c=0

所以函数解析式为：y=f+2x；

(2)证明：Bly=x2+2x=(x+l)2-1,

回抛物线的顶点C的坐标为

00(0,0),5(-3,3),

0OB2=(-3-0)2+(3-0)=18,OC2=(-1-0)2+(-1-0)=2,

BC2=[-3-(-l)]2+[3-(-l)]=20,

^OB2+OC2=BC2,

回/OC是直角三角形；

(3)解：假设存在点尸，使以P,M,A为顶点的三角形与A3OC相似，如图,

aA\\^\OMx

设尸(x,y),由题意知x>0,y>0,且y=_?+2x

由(2)知，EOC为直角三角形，ZCOB=90°,且OC:O3=1:3,

①若APM4sAe03,则黑=黑，

DUCCZ

即x+2=3C?+2x),得

占=；,x?=-2(舍去)，当x=；时，y=(,即/&?)；

②若APM4sA^oc,瞿=需，

BP：x2+2x=3(x+2),

即尸

得：%=3,x2=-2(舍去)当x=3时，、=15,(3,15).

回存在，当点尸坐标为或(3,15),使得以P,M,A为顶点的三角形与屈心相似.

【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、两点间距离、勾股定理、相似三角形的判定和性质

等知识点，综合性强，同时也考查数形结合的数学思想方法.

【变式训练】

1.(2023秋•湖南株洲•九年级统考期末)如图，以。为顶点的抛物线y=尤+。交尤轴于A、两点,

交y轴于点C,直线8C的表达式为y=-尤+6.

(1)求抛物线的表达式；

⑵在直线上存在一点P,使PO+%的值最小，求此最小值；

⑶在x轴上是否存在一点Q,使得以A、C、0为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点。的坐标；

若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=-；f+2x+6

⑵10

(3)当Q的坐标为(0,0)或(18,0)时，以A、C、。为顶点的三角形与△BCD相似

【分析】(1)先根据一次函数解析式求出2、C的坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可；

(2)由正方形的性质和判定求出点。关于直线BC的对称点就是。(6,6),进一步推出尸0+上4有最小值且

等于AO'的长度，求出点A的坐标，利用勾股定理求出AO'的长即可得到答案.

(3)先求出点。的坐标，进而利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，再证明

△AOC^ADCB,得到NC4O=N3DC,则分当△ACQS2^DCB时，当△ACQS^OBC时，两种情况利用

相似三角形的性质求解即可.

【详解】(1)解：把x=0代入y=-尤+6,得：y=6,

0C(O,6),

ftly=o代入y=_尤+6得：x=6,

团3(6,0),

.—x62+6b+c=0

由点3、。在抛物线上可得：彳2

c=6

回抛物线的解析式为y=-Jf+2x+6；

（2）解：由（1）所得5（6,。），C（0,6）可知以线段03、OC为邻边的四边形为正方形，其第四个顶点的

坐标为（6,6）,记为0（6,6）.

由正方形的性质可知点。关于直线8c的对称点就是O'.

回O'与。关于BC对称，

回PO=PO',

SPO+PA=PO'+AP>AO',

回当AP、O'在一条直线上时，PO+PA有最小值且等于AO'的长度.

当y=0,即一工彳2+2尤+6=0时，

2

解得了=-2或%=6,

0A（-2,O）,

回AO'=^（-2-6）2+（0-6）2=10，

回PO+24的最小值为10；

119

（3）解：回抛物线解析式为>=一5/+2》+6=-5（无一2）一+8,

回点D的坐标为（2,8）,

又回C（0,6）、8（6,0）,

0BC=V62+62=6A/2-CD=^22+（8-6）2=2>/2-BD=不（2-6?+8?=46,

0（6后）2+（2拒）2=80=（4句，

EBC2+CD2=BD2,

回NBCD=90°,

团A(-2,0),

0AC=V22+62=25/10-

回空一1_CD2A/2

ZAOC=ZDCB=90°,

OC63-BC-6A/2

^^AOC^^DCB,

aNCAO=NBDC,

当――时,贝嗡噎,即鬻嗯,

0A2=2O,

02(18,0)；

当△ACQS^DBC时，则4£=强，即冬仅=芈，

BDCD4V52V2

0AQ=2,

回。(o,o)

综上所述，当。的坐标为(0,0)或(18,0)时，以A、C、。为顶点的三角形与△BCD相似.

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，轴对称最短路

径问题，勾股定理和勾股定理的逆定理，正方形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键.

2.(2023秋・湖南邵阳•九年级统考期末)如图，抛物线y=ar2+Zzr+c(。w0)与左轴交于点A(-l,0)、8两点，

顶点。(1,4),过点A的直线与抛物线相交于点C,与抛物线对称轴交于点E,ZC4B=45°.

⑴求该抛物线解析式；

(2)在对称轴。尸上是否存在一点M,使以点A、E、M为顶点的三角形与ACDE相似，若存在，求出点M的

坐标；若不存在，请说明理由.

(3)点P是线段AC上一动点，过点尸作直线轴交抛物线于点。，当线段PQ的长度最大时，求尸点坐

标与PQ的最大值.

【答案】⑴y=-(x-iy+4或＞=-_?+2尤+3

(2)存在，加(1,-2)或(1,0)

9

⑶尸Q4)

【分析】（1）根据抛物线的顶点为。（1,4）可设y=a（x-l）2+4,再把A的坐标代入计算即可；

（2）如图，y=—（x-l）2+4的对称轴为直线x=l,先求解直线AC:y=x+l；C（2,3）；由C（2,3）,D（l,4）,

E（l,2）结合勾股定理可得，DE=4—2=2.CE=5/（2-1）2+（3-2）2=72,AE=M+2。=2应，再分两种

DECEDECE

情况讨论：当皿―时’则归旋，当△8-MAAE时，则正=海，从而可得答案;

（3）设点尸（“初+1）,则点。济+2m+3）,可得

P2=（-m2+2m+3）-（m+l）=-m2+m+2=-^m-1j+：,再利用二次函数的性质解决问题即可.

【详解】（1）解：由题意可设y=a（x-iy+4,将A（T,O）代人解析式中得，

a——1f

团y=-(工-1)2+4或>=-九2+2x+3.

(2)如图，y=—(%—1『+4的对称轴为直线1=1,

回网1,0),而A(-l,0),

团AF=2,

0ZC4B=45°,

团EF=AF=2,

团石(1,2),设AC为丁=如+〃,

\-m+n=0fm=l

回r，解得：।，

\m+n=2[H=1

团直线AC:y=x+l；

令x+l=f2+2x+3,解得尤1=一1,X2=2,所以C（2,3）；

由C（2,3）,D（l,4）,E（l,2）结合勾股定理可得,

DE=4-2=2.CE=J（2-+（3-2『=叵,AE=y[^^=2\/2,

当时，则——DF二一CF,

MEAE

回3.巫

ME-2也

回胡/=4,则MF=2,

0M（l,-2）.

DECE

当时，则年=育石,

1VJ.1JLv

回二-=XL

2V2M£

回函|=2,此时厂重合,

回M（LO）.

团存在点M（L-2）或（1,0）；

（3）如图，

19

回当机=/时，p。最大，最大值为PQ=]

此时P■

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质,

二次函数的性质，清晰的分类讨论与数形结合的方法都是解本题的关键.

【考向四二次函数中构成矩形存在性问题】

例题：(2023秋•贵州遵义•九年级统考期末)己知抛物线与无轴交于点A(TO)、B(3,0),与y轴交于点C(0,3),

(1)求抛物线解析式；

⑵如图①，若点尸是第一象限内抛物线上一动点，过点尸作尸3c于点求线段尸£＞长的最大值

(3)如图②，若点N是抛物线上另一动点，点”是平面内一点，是否存在以点8、C、M、N为顶点，且

以8C为边的矩形，若存在，求出点"的坐标；若不存在，请说明理由

【答案】⑴抛物线解析式为尸--+2方+3

⑵DP的长的最大值为还

8

(3)存在，点/的坐标为(4,1)或(-5,-2)

【分析】(1)根据题意，设抛物线解析式为y=a(》+l)(x-3),再把C(O,3)代入，计算即可得出答案；

(2)过点P作尸轴交于点E,交BC于点歹，根据题意，得出O3=OC=3,进而得出NOBC=45。，

再根据直角三角形两锐角互余，得出N3EE=45。，再根据对顶角相等，得出/DFP=ZBFE=45。,进而得

出是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，彳导出DF=DP=^PF,再根据待定系数法

2

求出直线的解析式，然后设点产«，-产+2r+3),贝IJb(r,-t+3),再根据两点之间的距离公式，得出

PF=-r+3t,nmDF=DP=^PF,得出。尸=一走.一31+皿1,再根据二次函数的性质，即可得

2212)8

出答案；

(3)根据题意，设N(〃,-/+2"+3),然后分两种情况：当V、N在直线BC的上方时和当N在直

线3c的下方时，根据相似三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，即可得出点”的

坐标.

【详解】(1)解：回抛物线与尤轴交于点4(一L0)、8(3,0),

回设抛物线解析式为V=a(x+l)(x-3),

又回抛物线与y轴交于点c(o,3),

回把。(。,3)代入y=a(x+l)(x-3),

可得：-3。=3,

解得：a=—l,

回抛物线解析式为丁=一(％+1)(尤一3)=—/+2%+3；

(2)解：过点尸作PELx轴交于点E,交3C于点F,

Al0\EB\x

05(3,0),C(0,3),

SOB=OC=3,

0ZOBC=45°,

!2PE_Lx轴，

BZBEF=90°,

0ZBFE=90°-ZEBF=90°-ZOBC=90°-45°=45°,

EZr)FP=ZBFE=45°,

^PDLBC,

EZPDF=90°,

回是等腰直角三角形，

SDF=DP=—PF,

设直线BC的解析式为、=履+以

国3(3,0),C(0,3),

b=3

团可得:

3k+b=0

解得:

回直线BC的解析式为V=-％+3,

设点尸仅，一/+2/+3),则尸，,—+3),

回尸方1=―干+2/+3+%—3——广+3t，

回当f时，DP的长的最大值为还；

28

(3)解：存在以点8、C、M.N为顶点，且以BC为边的矩形，理由如下：

设N(〃,-/+2〃+3),

如图1,当M、N在直线3c的上方时，过点N作轴交于点G,过点加作必/，1轴交于点H,

0Z7VCB=9O°,

团NGOV+NQCB=90。，

0ZOCS+ZOBC=90°,

国NGCN=NOBC,

国△GCNs^OBC,

团CG=GN,即〃=—〃之+2〃+3—3,

解得：〃=1,

团N(l,4),

出CN=6，

团亚

团ZHBM=90°-ZOBC=45°,

出BH=HM=1,

0M(4,1)；

如图2,当M、N在直线3C的下方时，过点5作尸轴，过点。作C尸，尸Q交于点P,过点N作NQL?。

交于。点，过点M作研，PC交于点火，

同理可得：XBCPSANBQ,

0NQ=BQ,即3—"=I—2〃—3,

解得：n—3（舍去）或〃=—2,

回N（-2,-5）,

mBN=5亚，

回CM=50，

0Z7?CM=45°,

团CR=RM=5,

0M（-5,-2）,

综上所述：点M的坐标为（4,1）或（-5,-2）.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、直角三角形两锐角互余、等

腰直角三角形的性质、求一次函数解析式、两点之间的距离公式、相似三角形的判定与性质、矩形的性质，

解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线.

【变式训练】

1.（2022秋・湖北黄冈•九年级统考期末）如图，抛物线y=-/+2尤+3与x轴交于4、B两点（点A在点B的

备用图1备用图2

⑴求直线AZ)的解析式；

⑵如图，直线AD上方的抛物线上有一点E过点尸作FGLAD于点G,求线段尸G的最大值；

⑶点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点0是坐标平面内一点，以A,M,P,。为顶点的四边形是

以AM为边的矩形，求点。的坐标.

【答案】⑴直线AD的解析式为y=x+l;

⑵FG的最大值为：还；

8

⑶《引或《唱

【分析】(1)先求解A,B,C的坐标，再求解。的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；

(2)记AD于y轴的交点为E,证明为等腰直角三角形，过/作FN〃y轴交于N,AFGN为

等腰直角三角形，则FG泻FN,设P(x,-d+2尤+3),则N(x,x+1),再建立二次函数，利用二次函

数的性质解题即可；

(3)如图，当尸在力〃的右边，记直线A"交y轴于R,y=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,则M(l,4),求解

直线AM的解析式为V=2x+2,可得R(0,2),设尸(0,y),而四边形4尸。河为矩形，可得44P=90。，

再利用勾股定理建立方程求解结合平移的性质可得：如图，当P在A"的左边，同理

可得：尸(oq；结合平移的性质可得：012,£|.

【详解】(1)解：当x=0时，J=-X2+2X+3=3,则C(0,3),

当>=°时，-/+2》+3=0,

解得玉=-1,X2=3,则A(-LO),3(3,0)，

0y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

回抛物线对称轴为直线x=l,而点Z)和点C关于直线x=l对称，

00(2,3),

设直线AD的解析式为，=履+方，

1一女+匕=0

把A(TO),0(2,3)分别代入得c,,「

[2化+〃=5

[k=\

解得一,

回直线AD的解析式为y=x+l；

(2)记AD于y轴的交点为E,

当x=0时，y=%+1=1,则E(0,l),

团OA=OE,

回△CHE为等腰直角三角形，

^\ZEAO=ZAEO=45°,

过厂作短V〃y轴交AD于N,

团N7WG=45。，

设尸(%-%之+2x+3),贝ijN(x,x+1),

回FN=-%2+2%+3-x-1=-%2+%+2=-(%—]H—，

I2)4

19

当％=彳时，尸N有最大值:，

24

9在

X9V2

I3FG的最大值为:4-

2~1T

（3）如图，当尸在的右边,

记直线AM交y轴于R,y=-/+2x+3=-(x-l)2+4,则

设直线A"的解析式为y=?我+〃,

-m+〃=0

把4（-1,0）、相。,4）分别代入得

m+n=4

m=2

解得

n=2

回直线AM的解析式为y=2尤+2,

当尤=0时，y=2x+2=2,则R（0,2）,

设尸（0,y）,而四边形AP。”为矩形,

回44尸=90°,

0（2-y）2=I2+y2+12+22,

1

解得：y=_

r即尸。2

由平移的性质可得：0（2,£|；

如图，当尸在4W的左边,

同理可得：（y-2）2=（l-O）2+（4—2）2+（O—l）2+（y—4）2,

解得：y=|,即

由平移的性质可得：。［一2，；）

综上：《吗或《一唱.

【点睛】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的

判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题

是解本题的关键.

2.（2023秋・广东江门•九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=^2+桁-2（aw0）交

x轴于A（T，0）、8两点，交y轴于点C,其对称轴为尤=1.5,

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）尸为第四象限内抛物线上一点，连接PB,过点C作交无轴于点Q,连接P。，求APBQ面积的最

大值及此时点尸的坐标.

（3）在（2）的条件下，将抛物线丫=依2+桁一2（。*0）向右平移经过点。得到新抛物线，点E在新抛物线

的对称轴上，是否在平面内存在一点「使得以A、P、E、尸为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点

尸的坐标；若不存在，请说明理由.

1

【答案】⑴y=#_”Q2

（2）△尸8。面积的最大值为4,此时尸的坐标为（2,-3）

⑶存在，点尸的坐标为磴用，工［2；］

【分析】（1）把点A的坐标代入得到0=。-2,再根据抛物线的对称轴，得出。和6的关系式，即可求

解；

（2）连接PC,PB,BC,过产点作平行于y轴的直线交BC于H点，根据可得，叫=冬咏，从而

求APBC面积的最大值即可，通过设尸的坐标，得到〃的坐标，从而建立关于APBC面积的二次函数表达式，

最终结合二次函数的性质求解即可；

（3）通过（2）的结论首先确定出平移后抛物线的解析式，设出E,b的坐标，运用勾股定理进行分类讨论

即可.

【详解】（1）将代入,=加+法一2得：0=a-b-2,

回抛物线对称轴为对称轴为九=1.5,

br

团---=1.5,即人=—3〃，

2a

把b=—3a代入0=a—Z?—2得：0=a+3〃—2,

解得：〃=

Sb=--,

2

i3

回抛物线的解析式为：y=-x2-j%-2；

（2）如图所示，连接PC,PB,BC,过尸点作平行于y轴的直线交8c于〃点,

^CQUBP,

0S^PBQ=S*BC,即求APBC面积的最大值即可，

把x=0代入>一畀一2得尸一2,

回C坐标为（0,-2）,

设直线BC的解析式为：y=tx+c,

/、/、f4,+c=0t=—

将3（4,0）,C（0,—2代入得：。,解得：2,

〔0=一2c=-2

回直线BC的解析式为：y=gx-2,

设机,;m2,则,

1-「123八12c

团PnTH7=-m—2—\~mm—2\=—m+2m,

2（22J2

12

0S~PH—XQ）=—根2+4/tl——（777—2）+4,

根据二次函数的性质可得：当“=2时，S/BC取得最大值为4,

将机=2代入p1根,;根2-T根-2）,得到此时P的坐标为（2,-3）,

回APB。面积的最大值为4,此时P的坐标为（2,-3）；

（3）存