高考数学二轮复习典例分析及重难突破：平面向量

专题四平面向量

高考数学二轮复习典例分析及重难突破

►典例分析

考查方式

平面向量在高考中更注重基础，时有创新.平面向量以选择题、填空题为主，主要考查平

面向量的基本概念、线性运算、数量积，其中平面向量的线性运算、数量积、向量共线、向量

垂直、向量的模及向量的夹角问题是重点和热点，平面向量大多单独考查，有时也出现平面向

量与其他知识的交汇问题，或以平面向量为载体的综合探究题.

高考真题

1.[2022年新高考H卷]已知向量a=(3,4),b=(1,0),c—a+tb,若〈a,c〉=〈瓦c〉，则/=()

A.-6B.-5C.5D.6

2.[2024年新课标H卷]已知向量a,b满足|a|=l,|a+2万|=2,^.(b-2a)±b,贝！!网=()

A.-B.—C.—D.l

222

3.[2022年新高考I卷]在△回(3中，点。在边A3上，5。=2八4.记。4=加，CD=〃，则=

()

A.3m-2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

4.[2024年新课标I卷]已知向量a=(0,1),5=(2,x),若〃，(万―4a),则x=()

A.-2B.-lC.lD.2

5.[2023年新课标I卷]已知向量a=(1,1),5=(1,—1).若(a+砌，(a+W)，则()

A.X+〃=lB.2+//=—1C.X/z=1D.2//=—1

6.[2023年新课标H卷]已知向量a,〃满足|a-切=后，\a+b\=\2a-b\,

参考答案

1.答案：C

解析：c=(3+f,4),cos〈a,c〉=cos〈〃,c〉，BP9+3r+163+r解得=5,故选c.

51cl|c|

2.答案：B

解析：由S—2«)_L，,得(b—2a)b=b2—2ab=0,所以♦=2«.人将|a+2)|=2的两边同时平

方，得/+4«小+4)2=4,即1+2/+4/=1+6防|2=4,解得|〃F=g,所以|。|=乎，故选

B.

3.答案：B

解析：如图，因为点。在边A3上，BD=2DA,所以

CB=CA+AB=CA+3AD=CA+3(CD-CA)=-2CA+3CD=-2m+3n,故选B.

解析：解法一：因为ss-4a),所以4s—4a)=0,即必=4a2.因为a=(0,1),b=(2,x),

所以〃=4+%2,ab=x,得4+/=4X,所以(x-2)2=0,解得％=2,故选D.

解法二：因为a=(0,l),b=(2,x),所以8—4a=(2,%)—4(0,1)=(2,%)—(0,4)=(2,%—4).因为

bl(b-4a),所以—4a)=0,所以2x2+x(x—4)=0,所以(x—2)2=0,解得％=2,故选

D.

5.答案：D

解析：因为a=(1,1),b=(1,-1)；所以a+Ab—(1+A,l—A),a+/nb=(1+//,1—//),因为

(a+2^)1(a+//£>),所以++=0,所以(l+4)(l+〃)+(l—2)(1—4)=0,整理得

初=-1.故选D.

6.答案：V3

解析：由|a—切=百，得2a1+》2=3,即2a小="+"—3①.由卜+同=|2a—引，得

a2+2ab+b2=4a2-4ab+b2,整理得，3a2-6ab=0,结合①，得3a?—3（片+/—3）=0,

整理得，白=3,所以|。|=百.

►重难突破

1.在矩形ABCD中，卜母=豆，pc|=l,则向量AB+AP+AC的长度等于()

A.4B.2月C.3D.2

2.已知向量a=(m,3),8=(1,m).若a与方反向共线，则|a-岛|的值为()

A.OB.48C.44D.3V6

3.在△ABC中，点P在上，且BP=2PC，点Q是AC的中点，若PA=(4,3)，PQ=(1,5)，

则3C等于()

A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,-21)

4.已知向量a,b满足|a|=l,|a+2川=2,且(A—2a)，5,则|〃|=()

A.-B.—C.—D.l

222

5.已知点4(2,3),5(5,4),C(7,10),若AP=AB+2AC(/lwR),点当尸在第一、三象限的角

平分线上时，2的值为()

A.lB.2C.-D.-

32

f—、府

6.已知向量访力满足|a|=l,|a+2W=J7,|a—切=三，则〈风力=()

A.-B.—C.-D.—

2433

AnAr

7.已知43,C是平面内不共线的三个点.若AB+AC=2——，4e(0,+oo),则△ABC

[\AB\\AC\J

一定是()

A.直角(非等腰)三角形B.等腰三角形

C.等边三角形D.锐角(非等腰)三角形

8.若｛a,6｝是一组基底，向量/=xa+y/(x,yeR),则称(x,y)为向量〉在基底｛a/｝下的坐

标.现已知向量a在基底p=(1,-1)，g=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m,

〃=(1,2)下的坐标为()

A.(2,0)B.(0,-2)C.(-2,0)D.(0,2)

9.在△AB。中，M是5C的中点，AM=1，点P在AM上且满足AP=2PM，则P4(P3+PC)

等于()

A.--B.--C.-D.-

9339

10.我国东汉末年数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后

人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，

如图所示.在“赵爽弦图”中，若BC=a,BA=b,BE=3EF,则3尸=()

11.在△ABC中，ZBAC,ZABC,ZACB所对的边分别为a,4°,若8=c=4,ZBAC=120°,

且。是边上的动点（不含端点），则（。4+。3）.（£>4+£>。）的取值范围是（）

A.[-8,10）B.[-16,40）C.[-8,40）D.[-16,48）

12.已知△ABC中，AB=AC=2超,BQ=2QA,\AB+ABC\=3（2eR）,

IImin

i2.

AP=2〃A3+(1—〃)AC,-<//<-,贝U|PQ|的最小值为()

A.3B.5C.^^~D.

3

13.（多选）设a,力是两个非零向量.若方，（a-㈤，则下列结论正确的是（）

A.ab=\b\2B.\aHa-2b\

C.a在8上的投影向量为〃D.cos〈a,力=—

㈤

14.(多选)已知AB=(2,1),AC=(-1,1),AD=(1,//),则()

A.CB+DC=(2-1,1-//)

B.若AB//AD,则2=2,u=-

2

C.若点A是3。的中点，则3,C两点重合

D.若点3,C,。共线，则〃=1

15.（多选）如图，在△ABC中，BD=-BC,AE=-AC,AD与BE交于点R则下列说法

32

正确的是（）

A.AD=-AB+-ACB.\BF\=^\BE\

33

jc"vABFD•^qAAFE=_i,-.3”D.AF+2BF+CF=0

16.已知m=(—1,32+2),w=(-2,-1-22),若加//〃，则实数2的值为.

17.设点。在△ABC的内部，D,E分别为边AC,3c的中点，且|20E|=1,则

\pA+2OB+3QC卜.

18.如图，A,B,C,。为平面内的四个点，BC=AB+AD>E为线段3c的中点，若

DE=ADA+RDC，则/I+〃=

19.已知平面单位向量6],e2,满足—e?|<0.设。=e1+e?,b^3ex+e2,向量a,的夹角

为，，则cos?。的最小值是,

20.如图，在矩形ABC。中，M,N分别为线段5C,的中点，若MN/AM+&BN,4,

&eR,则4+4的值为.

21.已知在平面直角坐标系中，点A(0,2),B(Z,l)(?>0),\AB\=45.

(1)求才的值；

(2)若点P,。满足3P=(3,2),OQ=xOA+[^-^OP,。为坐标原点，求的最小值.

22.如图，在平行四边形ABCD中，AP±BD,垂足为P.

(1)若APAC=8,求AP的长；

(2)设|AB|=6，|AC|=8,ZBAC=~,AP=xAB+yAC,求y—x的值.

23.已知向量(2根+〃)〃+(加+〃»以｛，勺｝为基底的分解式为2“+02，其中a=ex+e2,

b=el-e2.

(1)求加，n的值；

(2)若c=(2加+〃)〃+(相+〃)力，且。〃(“+必)，求实数上的值.

24.如图，在△ABC中，AD是3c边上的中线.

(1)取3。的中点试用A3和AC表示AM.

(2)若G是AD上一点，且AG=2GD,直线ER过点G,交A3于点E,交AC于点R若AE=AAB,

AF=/nAC(2>0,〃>0),求2+〃的最小值.

25.如图，在矩形ABCD中，E是的中点，点R在边CD上.

(1)若AB=5C=2,R是边CD上靠近C的三等分点，求AE-EF的值;

⑵若AB=&BC=2,当=O时，求CT的长.

答案以及解析

1.答案：A

解析：在矩形ABC。中，由网=百，冈=1可得国卜2,又因为AB+AD=AC,故

AB+AD+AC=2AC,故1AB+AD+A«=4,故选：A.

2.答案：C

解析：由题意得M=3,解得根=+y/3，又a■与b反向共线,故加=-A/3,此时a-y/3b=(-2^/3,6),

故|a-其1=46.故选C.

3.答案：B

解析：点。是AC的中点，,PQ=^PA+PO，:.PC=2PQ-PA^PA=(4,3)-PQ=(1,5)，

.-.PC=(-2,7)-BP=2PC，.-.56=3^0=(-6,21).

4.答案：B

解析：由S—2土)得S—2a)b=/—2ab=0,所以♦=2a6.将|a+2川=2的两边同时平

方，得/+4«小+4/=4,即1+2/+4/=1+6|加2=4,解得=所以|切=乎，故选

B.

5.答案：D

解析：设点P的坐标为(x,y),则AP=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),

AP=AB+2AC=[(5,4)-(2,3)]+2[(7,10)-(2,3)]=(3+52,1+72),

/-2=3+5X=x=5+54又点。在第一、三象限的角平分线上，%即5+52=4+72，

y-3=1+74=4+7Z,

解得;l=L故选：D.

2

6.答案：D

解析：由题可得|a+2肝=a2+4a必+4/=l+4a•〃+4历|2=7①，

\a-b\^=a2-2ab+b2=l-2ab+\b\1=—@,①②两式联立得a•5=—二，\b\=-,

442

d.I)1271、

...cos〈a,b)=p-7|—।=——，而〈a,〃〉£[0,兀]，(a,b)=一.故选D.

m\b\23

7.答案：B

解析：设AP=AB+AC,则根据平行四边形法则知，点P在边上的中线所在的直线上.设

AE=/竺，=£，它们都是单位向量.由平行四边形法则，知点P也在NA的平分线上，

\AB\|AC|

所以AABC一定是等腰三角形，不能确定是等边三角形.故选B.

8.答案：D

解析：因为a在基底｛p,g｝下的坐标为(-2,2),所以a=—2p+2q=—2(1,-1)+2(2,1)=(2,4).

^a=xm+yn=(-%+y,x+2y),所以J'解得<'所以a在基底｛〃〃｝下的坐标为

%+2y=4,[y=2,

(0,2).

9.答案：A

解析：因为M是5c的中点，所以P5+PC=2PM，

又因为点P在74A/上且满足AP=2PM，AA/=1,所以|PA|=g，1PM=g，

r\-tA

所以PA・(P5+PC)=2PA.PM=2|PA,PMkos7i=—2><§X3=—3.

故选：A.

10.答案:B

解析：因为“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且

33

BC=a,BA=b,BE=3EF,所以3尸=3C+CF=3C+—EA=3C+—(E3+•)

44

^BC+-\--BF+BA]^BC--BF+-BA,^-^BF=—BC+—BA,所以3/=史.+竺瓦

4(4)16425252525

故选B.

n.答案：c

解析：以3C所在直线为x轴，3c的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,

设D(x,0),xw(-26,26),

则ZM=(—x,2),DB=(-2y/3-x,0),DC=(273-x,0),

所以(ZM+DB)(DA+DC)=(―2百-2x,2)•(20-2x,2)=4/—8,

因为xe(—2620),所以_8e[-8,40),所以(DA+DB)(DA+DC)的取值范围是[-8,40).

故选C.

12.答案：C

解析：设点。为3c上的一点，令=^\\AB+ABC=AB+BO=AO,当时,

|AO|取最小值3,此时根据勾股定理可得50=OC=6，由此可知△ABC为等边三角形，当

点。为3C的中点时建立如图所示的平面直角坐标系,

则有A(0,3),B(-A/3,0),C(V3,0),所以AB=(-G,—3),AC=(V3,-3),所以

2〃AB=(-2®,-6〃)，(1-〃)AC=(®-)),所以

AP=24AB+(1-AC=(若-3岛,-3〃-3),故P(#)-3岛,-3〃).

因为3Q=2QA,所以Q-—,2,则PQ=、%—迪,3〃+2,

、3J13?

IPQ\=卜®-畏+(3〃+工=(6①：］.

因为:<〃<|,所以当〃=；时|PQ|取最小值，|「°京=用.故选©.

13.答案：ABC

解析:因为：所以》•("+》)=»。一"=0,所以e〃=Z>2=防|2,所以选项A正确；

因为如》=|〃『，所以/=1-4°・万+4",所以|”|=卜-2可，所以选项B正确；a在8上的投

影向量为回空也2力=R〃=人所以选项c正确；由向量数量积的定义可知，

a-b=\a\\b\cos(a,b)=|b|2所以cos〈a,Z»〉=牌，所以选项D错误.故选ABC.

14.答案：ACD

解析：因为AB=(/M),AC=(-1,1),A£>=(1,〃)，所以

CB+DC=DB=AB-AD=(2,l)-(l，x/)=(2-l,l-//),A正确;

因为A5//AD,所以切―1=0,所以〃/=1,取2=3,贝1]〃=；,

B不正确；

因为点A是的中点，所以A3+A£>=(4l)+(l,〃)=(0,0),即2=—1,〃=—1,从而有

BC=AC-AB=(-1,1)-(-1,1)=(0,0),所以3,C两点重合，C正确；

因为点3,C,。共线，所以存在实数/,使得

AD=(1,/z)=tAB+(1—?)AC=Z(A,1)+(1—?)(—1,1)=(^tA+Z—1,1),所以〃=1,D正确.

综上所述，正确选项为ACD.

15.答案:BCD

_________1_____1_____2__.1_.

解析：AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,故A错误；

因为3,F,E三点共线，所以存在实数2WAF=2AB+(1-2)AE=2AB+-^AC,

因为A,E。三点共线，所以存在实数〃使得4尸=〃4£>=生45+夕4?,从而有<

33fl1-A

.丁丁"

09___,]_]___.1

解得12即AE=—A3+—AE,所以R为BE的中点，从而有|3尸|=—|3E|,故B正确;

3222

C_C_C_J_V_J_C_AQ_J_C=1S

°4BFD~0AABD°AABF--30AABC40AABC一合△ABC

c—Av_Ax__J_v

94NFE~2AASE_22AASC_4AASC

所以SABFO：£AFE=1：3，故C正确；取A3的中点G,3c的中点“，连接GH,如图，则G,

F,H三点共线,

所以AF+2BF+C户=(AF+BF)+(BF+CF)

=-[(FA+FB)+(FB+FC)]=-(2FG+2FH)=—(EA+5C)=0,故D正确.故选BCD.

16.答案：-1或-1

3

解析：因为m=(—1,32+2),w=(-2,-1-22),mlIn.

所以22+l+〃3；l+2)=0,即3%+42+1=0,解得；[=_1或X=.故实数九的值为/或—1.

33

17.答案：2

解析：如图所示，易知

|OA+2OB+3OC\=\OA+OC+2(OB+OC)\=^OD+40£卜2口。+20q=2.

A

C

BE

18.答案：-/1.25

4

解析：因为BC=AB+A。，即AC—A8=AB+AD，所以2A3=DC•

又石为线段的中点，所以

1111

DE^-DC+-DB=~DC+~(DA+AB]=-DC+-DA+-|-DC|=-DC+-DA,所以X=L

2222、'2222422

//=■—»则2+〃=1+』=工

4244

故答案为：-

4

19.答案：—

29

b-a

a=6+电，

解析：由题可知＜

b=Be1+e23a-b

2

b-a

=1,

\b-a\=2,2a5+/=4,①

3a-b

从而＜=1,0<\3a-b\=2,9a2-6aC+/=4,②

2

J3b-5a|<27225a2—30。■+9/<8,③

3b-5a<72

-2-

ab=2a2,®

由①②可得＜

b2=4+3a2,©

代入③可得/之工,

2

ab_2a2_2|a|_

从而cos02

1。1传1\a\\b\|b|4+3|a|229

—7+3

\a\~

所以cos?。、当，故cos?。的最小值为”.

2929

20.答案：j

解析：因为M,N分别为线段BC,CD的中点,

所以政V=LBD=L(AD—AB\=-AD--AB,

22、'22

—.1

AM=AB+BM=AB+-AD,

2

BN=BC+CN=AD--AB,

2

AD--AB\

2)

4AB+'q+4卜D

.1,1

4------42=-------一1

所以2_2,解得.

—4+%二一

[2"22

132

所以4+4=_g+g=g

所以4+4的值为

故答案为：

21.答案：（1）t=2

G5而

\Z7--------------

26

解析：（1）由题意得A3=C-1）,则|他|=5产+（—1）2=逐

解得，=±2.因为，＞0,所以/=2.

(2)由题意得BP=OP—。3,则。。=BP+QB=(3,2)+(2,1)=(5,3),

所以OQ=xOA+[g—x)OP=(0,2x)+[g—5x，m—3x)=[g—5x,|—x

贝1J|OQ『=g—5x]+gT=26f—28x+-=26(x—曰+||>||,

所以|OQ|2第6,

26

即|。。|的最小值为号.

22.答案:(1)2

⑵-

7

解析：(1)在平行四边形ABCD中，AP±BD,垂足为P,

AP-AC=AP-2AO=2AP-^AP+PO^=2AP-AP+0=8,

.-.(AP)2=|AP|2=4,

解得网=2,故”长为2.

(2)AP=xAB+yAC=xAB+2yAO,且3,P,。三点共线，

x+2y=1①，

又网=6,|AC|=8,ZBAC=|,

则AB.A。=AB'ACcos/BAC=12,

2

由AP,BD可知APBO=^AB+2yAO^AO-AB^=0,

-2-2.

展开2yAO-xAB+(%-2y)A-AO=0,化简得到y=3x②，

联立①②解得X=Ly,故y-%=2.

777

m=1,

23.答案：(1)1

n=——

[2

⑵k=-

3

解析：(1)由题得(2zn+〃)a+(zn+〃)力=(2:+〃)(与+«2)+(加+九)(6一十)

=(3m+2〃)C]+me2=2e1+e2,

m=

nlf3m+2n=2,_ZB\^

则彳斛得(1

m=l,n-——.

II2

3i

(2)由(1)=(2m+n)a+(m+n)b=—a+—b.