二次函数与几何图形综合题（与三角形全等或三角形相似有关问题）（解析版）

专题22二次函数与几何图形综合题

(与三角形全等或三角形相似有关问题)

1.(2022•四川乐山)如图1,已知二次函数丁="2+法+0(。＞0)的图象与*轴交于点

5(2,0),与y轴交于点C,且tan/CUC=2.

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图2,过点C作。〃》轴交二次函数图象于点D,P是二次函数图象上异于点D的一

个动点，连接PB、PC,若S&PBC=SABCD，求点P的坐标；

⑶如图3,若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接0P交BC于点Q.设点P

的横坐标为t,试用含t的代数式表示器的值，并求器的最大值.

【答案】(l)y=x2-x-2；

(2)P(1+V2,V2)或(1-夜,-血)；

【分析】(1)在RtZiAOC中求出0C的长，从而确定点C的坐标，将二次函数设为交点式，

将点C的坐标代入，进一步求得结果；

(2)可分为点P在第三象限和第一象限两种情况：当点P在第三象限时，设点P(a,

a2-a-2),可表示出4BCD的面积，作PE〃AB交BC于E,先求出直线BC,从而得到E点

坐标，从而表示出△PBC的面积，根据S^PBC=SABCD,列出方程，进一步求得结果，当P在

第一象限，同样的方法求得结果；

(3)作PNLAB于N,交BC于M,根据P(t,t2-t-2),M(t,t-2),表示出PM的长，

PQPMPQ

根据PN〃OC,得出△PQMS/XOQC,从而得出万石=不不，从而得出万方的函数表达式，进一

步求得结果.

(1)

VA(-1,0),

；.OA=1,

oc

XVZA0C=90°，tanZOAC=—=2,

OA

.♦.0C=20A=2即点C的坐标为(0,-2),

设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-2),

将C点坐标代入得：a=l,

y=(x+1)(x-2)=x2—x—2；

(2)

设点P(a,cr-a-2),如图所示，当点P在第三象限时，作PE〃AB交BC于E,

直线BC的解析式为：y=x-2,

...当y=/-a-2时，x=y+2=a2-a,

PE=a2-a-a=a2-2a,

/.SAPBCIPE•OC,

:抛物线的对称轴为y=g，CD〃x轴，C(0,-2),

.•.点D(1,-2),

；.CD=1,

/.SABCD=|CD•OC,

11

.'.-PE•OC=-CD•OC,

22

a2-2a=l,

解得@尸1+收(舍去)，④2=1-0；

当x二l-亚时，y=tz2-6z-2=a-l=-V2，

*,«P(I-V2,~42),

如图，当点P在第一象限时，作PE，x轴于点E,交直线BC于F,

PF=(a?-Q—2)-(a-2)=a2-2a

/.SAPBC=|PF•OB=gcD•OC,

・・/—2a—1,

解得aj=l+C，a2=l-V2(舍去)；

当a=l+亚时，y=a2-a-2=72，

AP(1+V2,V2),

综上所述，P点坐标为(1+V2)V2)或(>£-夜);

(3)

如图，作PN_LAB于N,交BC于M,

由题意可知，p(t,一2),M(t,t-2),

；.PM=(t-2)-(?-/-2)=~t2+2t,

又：PN〃OC,

.'.△PQM^AOQC,

...当t=l时，（黑）最大=；•

【点睛】本题考查二次函数的综合应用，三角函数的应用、二次函数的解析式、相似三角形

的综合和配方法求最值等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决此类问题的关键.

2.（2022•浙江湖州）如图1,已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的

正方形，其中顶点A,C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线歹=--+加+。经

过A,C两点，与x轴交于另一个点D.

图2

⑴①求点AB,C的坐标;

②求b,c的值.

⑵若点P是边BC上的一个动点，连结AP,过点P作PMLAP,交y轴于点M（如图2所

示）.当点P在BC上运动时，点M也随之运动.设BP=m,CM=n,试用含m的代数式表示

n,并求出n的最大值.

b=2

【答案】⑴①A(3,0),B(3,3),C(0,3)；②

c=3

3

4

【分析】（1）①根据坐标与图形的性质即可求解；②利用待定系数法求解即可；

（2）证明Rt^ABPsRt^PCM,根据相似三角形的性质得到n关于m的二次函数，利用二次

函数的性质即可求解.

(1)

解：①•.•正方形OABC的边长为3,

...点A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(3,3),C(0,3)；

②把点A(3,0),C(0,3)的坐标分别代入y=-x?+bx+c,

一9+36+c=06=2

得，解得

c=3c=3

(2)

解：由题意，得/APB=90°-ZMPC=ZPMC,NB=/PCM=90°,

ARtAABP^RtAPCM,

整理,得"=—w+m,BP«=——fm——.

33(2)4

...当机=3时，n的值最大，最大值是3：.

24

【点睛】本题综合考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，待定

系数法求函数解析式，根据正方形的性质求出点A,B,C的坐标是解题的关键.

3.(2022•湖南衡阳)如图，已知抛物线＞交x轴于A、B两点，将该抛物线位

于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象印”，图象少交了

轴于点C.

(1)写出图象印位于线段NB上方部分对应的函数关系式；

⑵若直线＞+6与图象印有三个交点，请结合图象，直接写出6的值；

(3)尸为x轴正半轴上一动点，过点P作尸〃//了轴交直线8C于点交图象少于点N,是

否存在这样的点尸，使△CMN与AOBC相似？若存在，求出所有符合条件的点尸的坐标;

若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=*+x+2(T4x42)

(2)6=2或6=3

⑶存在，(1,0)或[邛7,o)或(1+后0)

【分析】(1)先求出点A、B、C坐标，再利用待定系数法求解函数关系式即可；

(2)联立方程组，由判别式△=()求得b值，结合图象即可求解；

(3)根据相似三角形的性质分NCNM=90°和/NCM=90°讨论求解即可.

(1)

解：由翻折可知：C(0,2),

令x-2=0,解得：X]=—1,X,=2,

.•./(TO),5(2,0),

设图象少的解析式为P=a(x+l)(x-2),代入C(0,2),解得°=-1,

对应函数关系式为y=-(x+l)(x-2)=-x2+x+2(-1VXV2).

(2)

[y=—x+b

解：联立方程组.2c，

[y=-x+x+2

整理，得：x2-2x+6-2=0,

由4=4-4(b-2)=0得:b=3,此时方程有两个相等的实数根，

由图象可知，当b=2或b=3时，直线y=f+6与图象印有三个交点；

(3)

解存在.如图1,当CN〃O8时，AOBCsANMC,此时，N与C关于直线x=1对称,

...点N的横坐标为1,.•.P(l,0)；

如图2,当CN〃03时，AOBCsA2WC,此时，N点纵坐标为2,

由12一%一2二2,解得占=1+，x2=--（舍），

222

・・・N的横坐标为匕姮，

2

所以尸p±^7,o|

\7

如图3,当/NCW=90。时，△OBCsMMN,此时，直线CN的解析式为》=x+2,

y

联立方程组：［解得再=1+6，x2=1-V5（舍），

［y=x~-x-2

AN的横坐标为1+石,

所以尸（1+石,0）,

因此，综上所述：尸点坐标为（1,0）或（邛7,0］或（1+逐,0卜

【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及翻折性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函

数与一次函数的图象交点问题、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，综合体现数形

结合思想和分类讨论思想的运用，属于综合题型，有点难度.

4.（2021•湖北十堰市•中考真题）已知抛物线y=ax2+6x-5与x轴交于点N（-l,0）和

8（-5,0）,与y轴交于点C,顶点为P,点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连AN交

抛物线于M,连AC、CM.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,当tan/ZCW=2时，求M点的横坐标；

(3)如图2,过点P作x轴的平行线1,过M作“于D,若MD=CMN，求N点

的坐标.

【答案】(1)y=—x2—6x—5；(2)——；(3)N«3,-2一疵))

【分析】

(1)将点幺(一1,0)和点8(—5,0)代入解析式，即可求解；

(2)由tan/4CW=2想到将NZCM放到直角三角形中，即过点A作NEL4C交CM的

延长线于点E,即可知——=2,再由NZOC=NE4C=90°想到过点E作轴，即

AC

可得到ZUOCSAEFC,故点E的坐标可求，结合点C坐标可求直线CE解析式，点M是直

线CE与抛物线交点，联立解析式即可求解；

(3)过点M作L的垂线交于点D,故设点M的横坐标为ni,则点M的纵坐标可表示，且MD

的长度也可表示，由H/M7/NQ可得A4HMs儿4纱即可结合两点间距离公式表示出MN,

最后由=即可求解

【详解】

解：⑴将点幺(-1,0)和点4-5,0)代入^=加+&_5得

a-b-5=0a=-1

,,解得：\

25a—5b—5=0b=-6

y=_/_6x_5

(2)点A作交CM的延长线于点E,过£作跖轴于E,如下图

轴，AE1AC

:.ZEFA=ZEAC=90°

.\ZFAE+ZOAC=90°

又.•.NZCO+NCMC=90。

ZEAF=NACO

AAOC^AEFA

.ACAO_CO

"EA~EF^AF

AE

tanAACM=2即=2

AC

ACAOCO1

"EA~EF~AF~2

当x=o时，y=~5

・..c（o,-5）即0C=5

EF=2,AF=10即£（-11,-2）

・・・设直线CE的解析式为y=+左wO),并将C、E两点代入得

,3

-llk+b=-2k=----

b=—5解得11

b=-5

-11

•••点M是直线CE与抛物线交点

3.

y-----x—563

*.<11解得石二—一,％2=°（不合题意，舍去）

y=-x2-6x-511

.・•点M的横坐标为-五

（3）设过点M垂直于L的直线交x轴于点H,对称轴交x轴于点Q,M的横坐标为m

则OH=-m

A,H——1—TTI

y=—X2—6x—5

对称轴X=-二=一3

2a

・•・P、Q、N的横坐标为一3,即。。=3

:.AQ=OQ-OA=1

•・•当x=—3时，y=—（—31—（—3）x6—5=4

，P（-3,4）

点D的纵坐标为4

/.MD=4-（^-m2-6m-5）=m?+6%+9=（加+3）?

・・・HM//NQ

.AH_HM-1-mm2+6m+5

一近一国即2=—QN—

/.QN=—2m-10

MN2=（m—3）-+[—机2—6m—5—2m一10]=3（m+3）'[（机+5）一+1]

•••MD=6MN

:.MD2=3MN2,即（机+3）4=3（m+3）2[（ffl+5）2+l],

•.•机+3=0,加=-3不符合题意，舍去，

当加+3w0时，

/.2m之+24m+69=0,

解得加=一12土在,

2

由题意知/=—12—血

2

」.田-3,_2-网

【点睛】

本题考察二次函数的综合运用、相似三角形、锐角三角函数的运用、交点坐标的求法和两点

间的距离公式，属于综合运用题，难度偏大.解题的关键是由锐角三角函数做出辅助线和设

坐标的方程思想.

5.(2021•湖北黄冈市•中考真题)已知抛物线歹=依2+云-3与x轴相交于4-1,0),

5(3,0)两点，与y轴交于点C,点N(%0)是x轴上的动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,若"<3,过点N作x轴的垂线交抛物线于点P,交直线8C于点G.过点P

作尸8c于点D,当n为何值时，APDGaBNG；

（3）如图2,将直线8C绕点B顺时针旋转，使它恰好经过线段。。的中点，然后将它向

3

上平移一个单位长度，得到直线。回.

2

（1）tanZBOBl=；

②当点N关于直线的对称点2落在抛物线上时，求点N的坐标.

【答案】（1）歹=/—2x—3；⑵n=亚;⑶①；；②（25+1。回期或

29

25-10V13

（9''

【分析】

（1）根据点45的坐标，利用待定系数法即可得；

（2）先根据抛物线的解析式可得点C,P的坐标，再利用待定系数法可得直线的解析式,

从而可得点G的坐标，然后分别求出PG,BG的长，最后根据全等三角形的性质可得

PG=BG,由此建立方程求解即可得；

（3）①先利用待定系数法求出直线助的解析式，再根据平移的性质可得直线的解析

式，从而可得点£的坐标，然后根据正切三角函数的定义即可得；

②先求出直线MV】的解析式，再与直线的解析式联立求出它们的交点坐标，从而可得

点乂的坐标，然后代入抛物线的解析式求解即可得.

【详解】

ci—b—3—0

解：（1）将点4（一1,0）,^。。代入片尔+法-3得：工”c八，

9。+36-3=0

a=\

解得「C，

b=-2

则抛物线的解析式为了=炉-2x-3；

（2）由题意得：点P的坐标为尸（外〃2一2及—3）,

对于二次函数歹=/—2x—3,

当x=0时，y=—3,即C(0,—3),

设直线BC的解析式为y=kx+c,

3左+c=0[k=1

将点5(3,0),C(0,—3)代入得：.，解得

c=-3①=一

则直线BC的解析式为y=x—3,

G(〃，〃一3),

PG="一3——2〃—3)=—n2+3”,BG=—3)2+(ji—3)2=(3—,

,:RDGvBNG,

PG=BG,即-/+3〃=(3-〃)底,

解得或〃=3(与"<3不符，舍去)，

故当时，MG=ABNG；

(3)①如图，设线段OC的中点为点。，过点2作x轴的垂线，交直线于点£,

T'1/

\BtSi/

\，JV，，»

J*(//

3

则点。的坐标为。(0,-]),点£的横坐标为3,

设直线BD的解析式为y=kox+co,

(1

c3左o+/=0耳=

将点3(3,0),代入得：3，解得

21%=——2卜。。3

13

则直线BD的解析式为y=-x--,

由平移的性质得：直线的解析式为

33

当x=3时，y=~,即£（3,5）,

3

;.OB=3,BE=—,

2

BE

.’.tan/BOB、=---

1OB2

故答案为：I；

②由题意得：NNJOB「

则设直线MV】的解析式为y=-2x+C1,

将点N(〃,0)代入得：—2〃+q=0,解得c1=2〃，

则直线NN】的解析式为y=-2x+2n,

rccf4

y=-2x+2nx=—n

5

联立〈1,解得〈;，

y=—x2

1-2\y=~5n

42

即直线MV1与直线的交点坐标为（1〃,《〃），

设点2的坐标为NG，。，

s+n4[3

----=—ns=­n

25534

贝1J,+02，解得4，即乂[〃/〃），

-=—nt-—n--

[25L5

将点乂（3〃，3〃）代入y=x2-2x-3^：（g”）？_2xg〃_3=,

整理得：9/—50〃—75=0，

到汨25+10*5-25-10V13

国牛得n=----------或〃=-----------

99

IJ..II-ArAAAiz-i-AL,z25+10A/1-3C、T,25—loV^

则点N的坐标为（----!一,0）或（-------―,0）.

【点睛】

本题考查了二次函数与一次函数的综合、全等三角形的性质、正切三角函数等知识点，熟练

掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键.

6.（2021•陕西中考真题）已知抛物线歹=—f+2x+8与x轴交于点A、B（其中A在点B

的左侧），与y轴交于点C.

（1）求点B、C的坐标；

（2）设点C'与点C关于该抛物线的对称轴对称在y轴上是否存在点P,使△PCC'与APOB

相似且PC与尸。是对应边？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴8（4,0）,C（0,8）；⑵存在，P（0,16）或尸，

【分析】

（1）令y=0,求—X?+2x+8=0的根即可；令x=0,求得y值即可确定点C的坐标；

（2）确定抛物线的对称轴为x=l,确定。的坐标为（2,8）,计算C'C=2,利用直角相等,

两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，分类求解即可.

【详解】

解：（1）令了=。，则—必+2》+8=0，

..X]=—2rx,—4

.-.5(4,0).

令x=0,则y=8.

.\C(0,8).

(2)存在.由已知得，该抛物线的对称轴为直线x=l.

•••点C'与点C关于直线x=1对称，

.•.0(2,8),CC=2.

：.CC'UOB.

•.•点P在y轴上，

ZPCC=ZPOB=90°

PCCC

...当一=——时，△尸CC's△尸08.

POOB

设尸（0/），

cv-82

i）当y〉8时，则^——=-

J4

.'.J=16.

.1.P（0,16）

cc8-V2

ii）当0<y<8时，则----=—,

J4

16

PC1

iii)当J<0时，则CP>0尸，与---=—矛盾.

PO2

/.点P不存在

.•.。(0,16)或尸。片［

【点睛】

本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，对称轴的意义，三角形相似的判定和性质，熟

练掌握二次函数的性质，灵活运用三角形的相似和进行一元二次方程根的求解是解题的关键.

7.(2021•四川遂宁市•中考真题)如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B(—3,

0)两点，与y轴交于C(0,-3),对称轴为直线x=-1,直线y=—2x+m经过点A,且

与y轴交于点D,与抛物线交于点E,与对称轴交于点F.

(1)求抛物线的解析式和m的值；

(2)在y轴上是否存在点P,使得以D、E、P为顶点的三角形与AAOD相似，若存在，求出

点P的坐标；若不存在，试说明理由；

(3)直线y=l上有M、N两点(M在N的左侧)，且MN=2,若将线段MN在直线y=1上平

移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值(结果

保留根号).

【答案】⑴y=(x+l)2—4；m=2；⑵存在，P(0,12)或(0,14.5)；(3)

1072+475+2

【分析】

(1)根据抛物线的对称性求出A(1,0),再利用待定系数法，即可求解；再把点A坐标

代入直线的解析式，即可求出m的值；

(2)先求出E(-5,12),过点E作EPLy轴于点P,从而得AEDPSA^DO,即可得到P

的坐标，过点E作£P'_L/E,交y轴于点P,可得AP'DESAADO,再利用tanZADO=tan

ZPEP,,即可求解；

(3)作直线y=l,将点F向左平移2个单位得到F'，作点E关于y=l的对称点E',连接£户'

与直线y=l交于点M,过点F作FN〃E'F',交直线y=l于点N,在Rt^EWF中和Rt^E'WF'

中分别求出EF,E'F',进而即可求解.

【详解】

(1)解：•.•二次函数的图象与x轴交于A和B(-3,0)两点，对称轴为直线x=—1,

AA(1,0),

设二次函数解析式为：y=a(xT)(x+3),把C(0,—3)代入得：-3=a(0T)(解3),解得：

a=l,

二次函数解析式为：y=(xT)(x+3),即：j=(x+1)2-4,

•直线y=-2x+m经过点A,

.•.0=-2Xl+m,解得：m=2；

(2)由(1)得：直线AF的解析式为：y=-2x+2,

又：直线y=-2x+2与y轴父于点D,与抛物线父于点E,

...当x=0时，y=2,即D(0,2),

y——2x+2X]——5%2=1

联立《解得:

J=(x+1)2-4

Ji=12y2=°

•.•点E在第二象限,

AE(-5,12),

过点E作EPLy轴于点P,

."ZADO=ZEDP,ZD0A=ZDPE=90°,

AEDPSAADO,

,.P(0,12)；

过点E作£尸［4£,交y轴于点P，可得AP'DESA4DO,

：ZEDP'+ZPED=ZPEP'+ZPED=90°,

ZAD0=ZEDJ>,=ZPEP，,即：tanZADO=tanZPEP，,

器=益’即：FV,解得：PP=25'

*.P'(0,14.5),

综上所述：点P的坐标为（0,12）或（0,14.5）；

（3）1点E、F均为定点,

线段EF长为定值,

：MN=2,

/.当EM+FN为最小值时，四边形MEFN的周长最小,

作直线y=l,将点F向左平移2个单位得到尸，，作点E关于y=l的对称点连接E户'

与直线y=l交于点M,过点F作FN〃£'F',交直线y=l于点N,

由作图可知：EM=E'M,F'M=FN,

又；E',M,尸'三点共线，

Z.EM+FN=E'M+F'M=E'F',此时,EM+FN的值最小，

;点F为直线y=-2x+2与直线x=-l的交点，

：.F(-1,4),

：.F'(-3,4),

又：E(-5,12),

：.E'(-5,-10),

延长Fp交线段EE'于点肌

厂,与直线y=l平行,

；.FW_LE£',

..•在尺〃£件中，由勾股定理得：EF=J(12-4'+(-1+5『=46,

在放△£'竹'中，由勾股定理得：£户'=J(4+10『+(—3+5『=10后,

四边形MEFN的周长最小值=ME+FN+EF+MN=E'F'+EF+MN=1072+46+2.

【点睛】

本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握待定系数法，相似三角形的判定和性质，添

加辅助线，利用轴对称图形的性质，构造线段和的最小值，是解题的关键.

8.(2021•四川泸州市•中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线

1,3一

y=一一厂+-x+4与两坐标轴分别相交于A,B,C三点

42

(1)求证：ZACB=90°

(2)点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E,交x轴于点

F.

①求DE+BF的最大值；

②点G是AC的中点，若以点C,D,E为顶点的三角形与AAOG相似，求点D的坐标.

【答案】(1)(2)①9；②。(4,6)或。(3,—).

4

【分析】

(1)分别计算A,B,C三点的坐标，再利用勾股定理求得AB、BC、AC的长，最后利用勾股

定理逆定理解题；

1、3

(2)①先解出直线BC的解析式，设。(x,——#+—x+4),接着解出

42

1,

BF=8—x,DE=—-X2+2X,利用二次函数的配方法求最值；②根据直角三角形斜边的

4

中线性质，解得AG的长，再证明NC40=ND£C,再分两种情况讨论以点C,D,E为顶

点的三角形与AAOG相似，结合相似三角形对应边成比例性质解题即可.

【详解】

解：(1)令x=0,得>=4

C(0,4)

令y=o得

13“八

——2+—x+4=0

42

\X2-6x-16=0

(x-8)(x+2)=0

.,.4(—2,0),5(8,0)

AB=\Q,AC=7(0+2)2+(4-0)2=275,BC=7(8-0)2+(0-4)2=475

vlO2=(2A/5)2+(4V5)2

AB-=AC1+BC-

NACB=90°

(2)①设直线BC的解析式为：^=履+/左/0),代入3(8,0),C(0,4)得

^k+b=Q

\b=4

k=--

：.<2

b=4

1,

y——x+4

2

13

设。(x,—X9H—X+4)

42

1311

1.BF=8—x,DE='—x9H—x+4—(—x+4)=—x9+2x

4224

1

1.DE+BF=—9x+2x+8—x

4

1

——x7+x+8

4

1

=--(x27-4x)+8

19

=--(X-2)2+9

4

1

.-.--(x-2)92<0

1,

:.--(x-2)2+9<9

DE+BF<9

即DE+BF的最大值为9；

②：点G是AC的中点，

在R/ZXNOC中，0G==AC=AG=4i

2

即AZOG为等腰三角形，

•/ZCAO+NACO=ZACO+ZOCB=90°

ZCAO=ZOCB

OC//DF

40cB=ZDEC

ZCAO=ZDEC

若以点C,D,E为顶点的三角形与AAOG相似,

则①任="=在

AOCE2

12C

丁+2、逐

CE一不

又•.♦OC//OE

CEBC

'OF~OB

5BCOF&

OB2

x2-3x=0

再=0,x2=3

25

「3(0,4)或。⑶下)

4

经检验：。(0,4)不符合题意，舍去,

②任=0=叱

AODE2

又••・OC//OE

CE_BC

OF~OB

0B2

y[5x

下一非

--X2+2x2

4

整理得，；.尤2-4》=0

国=0,x2=4

.•.0(0,4)或。(4,6),

同理：。(0,4)不合题意，舍去，

25

综上所述，。(4,6)或。(3,一).

4

【点睛】

本题考查二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、

勾股定理及其逆定理、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，是重要考点，有难度，掌

握相关知识是解题关键.

9.(2021•山东泰安市•中考真题)二次函数y=。必+bx+4(aw0)的图象经过点

/(-4,0),5(1,0),与y轴交于点C,点P为第二象限内抛物线上一点，连接AP、AC,

交于点Q,过点P作PQLx轴于点D.

(1)求二次函数的表达式；

(2)连接BC,当ND尸8=2N8C0时，求直线AP的表达式；

PO

(3)请判断：焉是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理

由.

1515P04

【答案】(1)J=-X2-3X+4；(2)y=——x+一；(3)焉有最大值为一，P点坐

88QB5

标为(—2,6)

【分析】

(1)将2(—4,0),8(1,0)代入3；=。必+6%+4(4/0)中，列出关于a、b的二元一次方程

组，求出a、b的值即可；

(2)设AP与y轴交于点E,根据PDUy轴可知，ZDPB=ZOEB,当NDPB=2ZBCO，

即NO£8=2NBC。，由此推断AOEB为等腰三角形，设。£=a,则C£=4—a,所以

BE=4—a,由勾股定理得BE?=。£2+。52,解出点E的坐标，用待定系数法确定出BP

的函数解析式即可；

(3)设尸。与NC交于点N,过B作y轴的平行线与ZC相交于点M.由A、C两点坐标可

得NC所在直线表达式，求得M点坐标，则8河=5,由BM〃PN,可得

APNQsABMQ,-^=-,设尸(4,-旬2—3旬+4)(—4<为<0),则

DM.J

,.八PQ一第—3tz+4_(tz„+4)―ctn_4fl!—(ctr,+2)~+4

MT«o^o+4)—=———n2-----—-=3——nq--——，根据二次函数

QB555

性质求解即可.

【详解】

解：(1)由题意可得：

。•(―/+>(—4)+4=0

<

a+b+4=0

二二次函数的表达式为J=-X2-3X+4；

(2)设AP与y轴交于点E,

-：PDHy^,

：.ZDPB=ZOEB,

,：ZDPB=2ZBCO,

：.ZOEB=2ZBCO,

ZECB=ZEBC,

BE=CE,设OE=a,

则CE=4—a,BE=4—a,

在RtABOE中，由勾股定理得BE?=。£2+。台2,

.-.（4-a）2=a2+l2

解得a=—，

8

设BE所在直线表达式为y=Ax+e(左w0)

15

k-Q+e

T'解得＜8

15

k-1+e=0.e=一.

8

*,•直线BP的表达式为y-......xH—.

88

(3)设尸。与/C交于点N.

过B作y轴的平行线与AC相交于点M.

由A、C两点坐标分别为(—4,0),(0,4)

可得NC所在直线表达式为y=x+4

点坐标为(1,5),BM=5

由BM//PN,可得LPNQS^BMQ,

.PQPNPN

设尸(4,—。()2—3ao+4)(—4<4<0),则N(a。,4+4)

•丝二_Q：_3/+4一(为+4)_Q：_4Q0一(Q0+2)2+4

^~QB~5-5-5

.•.当4=—2时，电有最大值0.8,

此时P点坐标为(-2,6).

【点睛】

本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定

理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广,

难度较大，属于中考压轴题.

10.(2021•重庆中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线歹=必+江+。经过A

(0,-1),B(4,1).直线AB交x轴于点C,P是直线AB下方抛物线上的一个动点.过

点P作PDLAB,垂足为D,PE〃x轴，交AB于点E.

备用图

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当4PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和4PDE周长的最大值；

（3）把抛物线丁=/+云+。平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P.M是新抛

物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A,B,M,N为顶点的四

边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来.

【答案】（1）y=x2--x-l；（2）t=2时，4PDE周长取得最大值，最大值为

24、/?

—^+8，点P的坐标为（2,-4）；（3）满足条件的点M的坐标有（2,-4）,（6,

5

12）,（-2,12）,过程见解析

【分析】

（1）利用待定系数法求函数表达式即可；

(2)先求出直线AB的函数表达式和点C坐标，设P“/2—g/一)，其中o〈t〈4,则E

12〃—7/,/-1；证明△PDEs^AOC,根据周长之比等于相似比可得

/=咨土£1—2。—2)2+8]=——2)2+等5+8,根据二次函数求最值的方

法求解即可；

(3)分以下情况①若AB是平行四边形的对角线；②若AB是平行四边形的边，1)当MN〃

AB时；2)当NM〃AB时，利用平行四边形的性质分别进行求解即可.

【详解】

解(1)•抛物线>=/+加；+。经过点人(0,-1),点B(4,1),

c=-1

・•・\，

16+46+。=1

解得彳2,

c=-1

7

该抛物线的函数表达式为y=x92--x-l；

(2)VA(0,-1),B(4,1),

•••直线AB的函数表达式为y=；x—1,

；.C(2,0),

设B'T)，其中°〈t<4，

:点E在直线y=gx-1上，PE〃x轴，

.•.E12/—7//—/―1],ZOCA=ZDEP,

PE=-2t2+8?=-2(r-2)2+8,

VPD±AB,

NEDP=NCOA,

.'.△PDE^AAOC,

VAO=1,OC=2,

***AC=9

AAAOC的周长为3+石，

令APDE的周长为1,则3+石=江,

IPE

­,./=^+5-[-2(r-2)2+8]=-6^+10(r-2)2+^y^+8,

...当t=2时，4PDE周长取得最大值，最大值为生5+8，

5

此时点P的坐标为(2,-4),

(3)如图所示，满足条件的点M的坐标有(2,-4),(6,12),(-2,12).

由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为歹=/—4x,对称轴为直线x=2.

①若AB是平行四边形的对角线，

当MN与AB互相平分时，四边形ANBM是平行四边形，

即MN经过AB的中点C(2,0),

•••点N的横坐标为2,

点M的横坐标为2,

.,.点M的坐标为(2,-4)；

②若AB是平行四边形的边，

1)MN〃AB时，四边形ABNM是平行四边形，

VA(0,-1),B(4,1),点N的横坐标为2,

.•.点M的横坐标为2-4=-2,

.,.点M的坐标为(-2,12)；

2)当NM〃AB时，四边形ABMN是平行四边形，

VA(0,-1),B(4,1),点N的横坐标为2,

...点M的横坐标为2+4=6,

.•.点M的坐标为(6,12),

综上，满足条件的点M的坐标有(2,-4),(6,12),(-2,12).

本题考查待定系数法求函数的表达式、相似三角形的判定与性质、求二次函数的最值、平行

四边形的性质等知识，解答的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用平行四边形的性质，结

合数形结合和分类讨论的思想方法进行探究、推导和计算.

11.（2021•四川自贡市•中考真题）如图，抛物线y=（x+l）（x-a）（其中4>1）与X轴

交于A、B两点，交y轴于点C.

（1）直接写出NOC4的度数和线段AB的长（用a表示）；

（2）若点D为4/台。的外心，且△BCD与△/CO的周长之比为加：4,求此抛物线

的解析式;

(3)在(2)的前提下，试探究抛物线＞=(》+1)(》-。)上是否存在一点「，使得

NCAP=NDBA?若存在,求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)Z0CA=45°,AB=a+l；(2)y=x2-x-2-(3)存在，Pj(,

24

P2(1,-2).

【分析】

(1)根据二次函数解析式可得A(a,0),C(0,-a),B(-1,0),即可得出0A=0B=a,

0B=L即可证明aOCA是等腰直角三角形，可得N0CA=45°,根据线段的和差关系可表示AB

的长；

(2)如图，作AABC的外接圆。D,根据等腰直角三角形的性质可得AC=J^,利用两点间

距离公式可用a表示出BC的长，根据圆周角定理可得ND=2N0AC=90°,可得ADBC是等腰

直角三角形，即可证明△DBCs^OCA,根据相似三角形周长之比等于相似比列方程求出a值

即可得答案；

(3)如图，过点D作DHJ_AB于H,过点C作AC的垂线，交x轴于F,过点0作OG_LAC于

G,连接AP交CF于E,可得aOCF是等腰直角三角形，利用待定系数法可得直线CF的解析

式，根据外心的定义及等腰直角三角形的性质可求出点D坐标，即可得出BH、DH的长，根

据NC4P=NDB4,/BHD=/ACE=90°可证明△BHDs^ACE,根据相似三角形的性质可求

出CE的长，根据两点间距离公式可得点E坐标，利用待定系数法可得直线AE解析式，联立

直线AE与抛物线的解析式求出点P坐标即可得答案.

【详解】

(1):抛物线J=(x+l)(x—(其中。＞1)与x轴交于A、B两点，交y轴于点C.

.,.当x=0时，y=-a,

当y=o时，(x+l)(x-a)=0,

解得：石=—1,々=。，

/.A(a,0),C(0,-a),B(-1,0),

/.OB=1,OA=OC=a,

.'.△OCA是等腰直角三角形，

N0CA=45°,AB=OA+OB=a+l.

(2)如图，作AABC的外接圆。D,

•.•点D为A48C的外心，

；.DB=DC,

「△OCA是等腰直角三角形，0A=a,

/.Z0AC=45°,AC=V2«>

,/ZBDC和NBAC是前所对的圆心角和圆周角,

.,.ZBDC=2ZBAC=90°,

；.NDBC=45°,

.,.ZDBC=Z0AC,

.'.△DBC^AOCA,

V/\BCD与△/CO的周长之比为丽：4，

.BCV10日口J"1VTo

AC442a4

解得：a=+2,

经检验：a=±2是原方程的根，

'：a>l,

a=2,

2

二抛物线解析式为：j=(x+l)(x-2)=x-x-2.

(3)如图，过点D作DHLAB于H,过点C作AC的垂线，交x轴于F,过点。作0GLAC于

G,连接AP交CF于E,

Va=2,

AC(0,-2),A(2,0),AC=2V2，

Z0C