山东省名校联盟2024-2025学年高三下学期开学考试 数学试题

“名校教研共同体”2024—2025学年（下）高三年级开学质量检测数学考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．在复平面内，对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限` D．第四象限3．若椭圆C：的离心率为，则（）A．3 B．2 C． D.4．设等差数列的公差为，，若，，成等比数列，则（）A．3 B．2 C．－2 D．－45．已知方程在区间上有两个不相等的实数根，，则（）A． B． C． D．6．已知，，则（）A．10 B．8 C．6 D．47．已知正方体的棱长为3，平面平面且与线段，分别交于点E，H，则EH长度的最小值为（）A．1 B． C． D．28．墙上挂着一幅高为1m的画，画的上端到地面的距离为2m，某摄像机在地面上拍摄这幅画．将画上端一点A、下端一点B与摄像机连线的夹角称为视角（点A，B与摄像机在同一竖直平面内），且把最大的视角称为最佳视角．若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正弦值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．新能源汽车具有环保、效率高、使用成本低等优点，国家对新能源汽车提供了多种政策支持．有7种新能源汽车在2024年12月的销售量（单位：千辆）如下：31，6，12，19，17，16，11，则该组数据的（）A．极差为27 B．75%分位数为19C．平均数为16 D．中位数为1610．已知点P到点的距离与点P到y轴的距离的差为定值m，记动点P的轨迹为曲线C，则（）A．当时，C由抛物线和x轴的负半轴构成B．当时，C关于原点中心对称C．当时，C为轴对称图形D．当时，C是由两部分抛物线构成的封闭图形11．将七个边长相等的正六边形拼成如图所示的图形，其中O为中间六边形的中心，且．设点T是图中所有正六边形中的任意一个顶点，则下列结论中正确的是（）A．B．存在T，使得C．若，则的所有取值的和为0D．若，则的取值集合为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则______．13．已知函数的图象关于点对称，则______．14．某校为弘扬“顽强拼搏的马拉松”精神，举办了5千米长跑比赛，若包含甲、乙在内的共6名同学进入了决赛，通过赛后成绩得知，其中没有名次并列的情况，甲不是第一名，且甲和乙的名次之差的绝对值为2．（1）若甲的名次为偶数，则这6名同学的名次排列情况共有______种；（2）甲和乙的名次之和为10的概率为______.（本题第一空3分，第二空2分）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求的最值．16．（15分）在一个不透明的盒子中装有除颜色外其余完全相同的若干个小球，其中有m个白球，m个黑球，2个黑白相间的球，且从盒子中随机摸出1个球，摸到黑白相间的球的概率为．（Ⅰ）从盒子中随机摸出1个球，求在摸出的球上带有黑色的条件下，摸出黑白相间的球的概率；（Ⅱ）从盒子中1次随机取出1个球，取出后不放回，共取2次，设取出的黑球数量为X，求X的分布列与期望．17．（15分）已知双曲线C：的离心率为，左、右顶点分别为M，N，过点的直线l与C的右支交于P，Q两点．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）证明直线MP与NQ的斜率之比为定值．18．（17分）如图，圆柱的体积为，侧面积也为，AB为的直径，C，D分别为上、下底面圆周上的点，且直线CD与交于点O．（Ⅰ）求圆柱的高；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若直线AC与下底面所成角的正切值为，求平面ACD与平面BCD夹角的余弦值．19．（17分）将数列，，，，…，，（其中在前面，）称为数列，，…，，，，…，的“第1次重排数列”，照此规律，将数列，，…，，，，…，进行n次重排后得到的数列称为“第n次重排数列”．例如，数列1，2，3，4的第1次重排数列是3，1，4，2；第2次重排数列是4，3，2，1．（Ⅰ）直接写出数列1，2，3，4，5，6，7，8的第1，3，6次重排数列．（Ⅱ）若递增数列，，