高二数学讲义（人教A版2019）14空间向量的应用（七大题型）

1.4空间向量的应用目录TOC\o"12"\h\z\u【题型归纳目录】 2【思维导图】 3【知识点梳理】 3【典型例题】 7题型一：求平面的法向量 7题型二：利用向量研究平行问题 10题型三：利用向量研究垂直问题 16题型四：异面直线所成的角 22题型五：线面角 26题型六：二面角 35题型七：距离问题 45

【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】知识点一：直线的方向向量和平面的法向量1、直线的方向向量：点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式.知识点诠释：（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量．（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算．2、平面的法向量定义：直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量．3、平面的法向量确定通常有两种方法：（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；（2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：（i）设出平面的法向量为；（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，；（iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程；（iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行．（1）线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即．（2）线面平行线面平行的判定方法一般有三种：①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即．②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明．知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直．（1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即．（2）线面垂直①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明．②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．（3）面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直．知识点四、用向量方法求空间角（1）求异面直线所成的角已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则．知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．（2）求直线和平面所成的角设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．（3）求二面角如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面的法向量，则二面角的平面角或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小．②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小．知识点五、用向量方法求空间距离1、求点面距的一般步骤：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量．2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解．直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量．3、点线距设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离.【典型例题】题型一：求平面的法向量【典例11】（2024·高三·全国·专题练习）已知是平面内的两个不共线的向量，，求平面的一个法向量．【解析】设是平面的一个法向量，由直线与平面垂直的判定定理知即不妨设，得解得∴平面的一个法向量．【典例12】（2024·高二·江苏·课后作业）在空间直角坐标系中，设平面经过点，平面的一个法向量为，是平面内任意一点，求满足的关系式.【解析】由题得，因为是平面的一个法向量，所以，从而，即，所以，整理可得，即为所求.【方法技巧与总结】求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出．【变式11】（2024·高二·全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立适当的空间直角坐标系，分别求平面与平面的一个法向量．

【解析】∵⊥底面，底面是直角梯形且，∴两两垂直．以A点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，易知向量是平面的一个法向量．设为平面的法向量，则即，取，则，所以平面的一个法向量为.【变式12】（2024·高二·广东广州·期中）如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面的一个法向量.

【解析】因为正方体的棱长为3，，所以，，，则，，设是平面的法向量，则，，所以，取，则，，故，于是是平面的一个法向量（答案不唯一）．【变式13】（2024·高二·全国·课后作业）四边形是直角梯形，，，平面，，，建立适当的空间直角坐标系，并求平面和平面的法向量．

【解析】因为，平面，平面，所以又，，所以所以以为原点，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以是平面的一个法向量．因为，设平面的一个法向量，则

，取，得，所以是平面的一个法向量．题型二：利用向量研究平行问题【典例21】（2024·高三·全国·专题练习）如图，已知多面体是由正四棱锥PABCD与正方体组合而成的，且.求证：平面；【解析】如图,以点为原点，分别以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系．设，则，过P作平面，垂足为点,则点是正方形的中心，则于是，则设平面法向量为n=x,y,z又，则，因，故可取由，可得，又平面，故平面.【典例22】（2024·高二·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，.求证：平面平面.【解析】以D为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，则，，，.设平面的法向量为，则.取，则，，所以平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则.取，则，，所以平面的一个法向量为.因为，即，所以平面平面.【方法技巧与总结】（1）线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即．（2）线面平行线面平行的判定方法一般有三种：①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即．②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明．【变式21】（2024·高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，侧棱平面，点是的中点，底面是直角梯形，.求证：平面；【解析】平面，以为原点，分别以、、的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.，点是的中点，,，则平面，平面的一个法向量为.，平面，平面.【变式22】（2024·高三·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点．求证：平面；【解析】以为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，因为，由不在一条直线上，所以，又平面，平面，所以平面．【变式23】（2024·高二·全国·课后作业）如图所示，四边形为矩形，平面，，，，分别是，，的中点.

(1)求证：平面；(2)求证：平面平面.【解析】（1）证明：因为平面，平面，所以，因为四边形为矩形，所以，所以两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，设，，.则，因为，，分别是，，的中点，所以，，，所以.因为平面的一个法向量为，所以，即.又因为平面，所以平面.（2）因为，所以，所以，又平面，所以平面.又因为，平面，所以平面平面.【变式24】（2024·高二·天津蓟州·阶段练习）如图，在长方体中，，，.(1)求证：平面平面.(2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由.【解析】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，则，，，.设平面的法向量为，则.取，则，，所以平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则.取，则，，所以平面的一个法向量为.因为，即，所以平面平面.（2）设线段上存在点P使得平面，.由（1）得，，平面的一个法向量为，所以.所以，解得.所以当P为线段的中点时，平面.题型三：利用向量研究垂直问题【典例31】（2024·高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．求证：平面平面.【解析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设，则A0,0,0，，，，，，.设平面PCD的一个法向量为n1则，即，不妨令，则，，所以，设平面PAC的一个法向量为，则，即，不妨令，则，，所以，因为，所以，所以平面平面．【典例32】（2024·高二·全国·课后作业）如图，在三棱柱中，平面分别是的中点．求证：．【解析】选取作为空间的一个基底，设．由已知条件和三棱柱的性质，得，，，．所以，所以，即．【方法技巧与总结】（1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即．（2）线面垂直①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明．②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直．（3）面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直．【变式31】（2024·高三·全国·专题练习）如图，在正三棱柱中，分别是的中点．在线段上是否存在一点Q，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，也请说明理由．【解析】假设在线段上存在一点，使平面．取的中点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，．显然，平面，面，则，，解得，满足要求，在线段上存在一点，使平面，此时点为点．【变式32】（2024·高二·安徽阜阳·阶段练习）如图，已知平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点.求证：平面PCD．【解析】如图，因平面ABCD，底面ABCD为正方形，故可以分别为的正方向建立空间直角坐标系.又PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点，则,,于是，不妨设平面PCD的法向量为，则有令，故可取，因，则平面PCD.【变式33】（2024·高二·四川成都·期中）已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M为PD中点，.求证：平面平面.（注：必须用向量法做，否则不得分）【解析】证明：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，以A为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，，则，故,设平面的法向量为，则,令，则，，设平面的法向量为，则,令，则，则，故平面平面.【变式34】（2024·高三·全国·专题练习）斜三棱柱的各棱长都为2，，点在下底面ABC的投影为AB的中点O．在棱（含端点）上是否存在一点D使？若存在，求出BD的长；若不存在，请说明理由；【解析】连接，因为，为的中点，所以，由题意知平面ABC，，又，，所以，以O点为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，由得，同理得，设，得，又，，由，则，可得，得，又，即，所以存在点D且满足条件.【变式35】（2024·高二·福建福州·阶段练习）如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2.

(1)求证：平面；(2)判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【解析】（1），，，，，平面，平面，平面，，，，平面，平面；（2）由题意，以，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，设，，则，，设平面的法向量为，则，取，平面平面，，解得，，在线段上不存在一点，使平面平面．题型四：异面直线所成的角【典例41】（2024·高二·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为．

【答案】/【解析】以A为坐标原点，在平面ABC内作垂直于AC的直线Ax为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，所以，，所以，则直线与所成角的余弦值为，故答案为：.【典例42】（2024·广东·一模）在正方体中，点P、Q分别在、上，且，，则异面直线与所成角的余弦值为【答案】45/【解析】设正方体中棱长为3，以D为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，设异面直线与所成角为，则.即异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：.【方法技巧与总结】已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则．【变式41】（2024·高二·上海·随堂练习）已知，，则异面直线AB和CD所成角的大小为.【答案】【解析】，因为异面直线所成角的范围为，所以异面直线AB和CD所成角的大小为.故答案为：.【变式42】（2024·高二·全国·随堂练习）棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点，G在棱CD上，且，H是的中点．求直线与直线夹角的余弦值.【解析】如图，以D为原点，DA，DC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则E0,0,1，，，，可得，，则，，，设直线与直线夹角为，则，所以直线与直线夹角余弦值为.【变式43】（2024·高三·江苏扬州·期中）如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，BA＝BC＝BB1＝1，BA⊥BC(1)记平面平面，证明：平面；(2)点Q是直线上的点，若直线与所成角的余弦值为，求线段长.【解析】（1）证明：连接交于点，连接交于点，连接，则平面和平面交线为，即因为为直三棱柱，所以为平行四边形，所以为中点，为中点，所以，又平面平面，所以平面，即平面.（2）直三棱柱中，，所以两两垂直.以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则.设，则，所以解得，所以线段长为.题型五：线面角【典例51】（2024·高三·山东潍坊·开学考试）如图，中，，过点作，垂足为，将沿翻折至，使得.(1)求证：平面；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.【解析】（1）由题意可知，在中，，在中，，所以，所以所以，所以，因为，所以，又，且平面，平面，所以平面，（2）由（1）知，以为原点，分别为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，所以，所以，设平面的一个法向量，所以，令，可得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.【典例52】（浙江省名校协作体20232024学年高三开学考试数学试题）已知三棱锥满足，且．

(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值，【解析】（1）,,,即：,取中点，连接，则，且平面,平面,

平面（2）解法一：由（1）知，平面平面平面作，垂足为平面平面，且平面平面中记点到平面的距离为与平面所成角为，则由得：因此，解法二：如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系由（1）可知中，设的法向量由得：取记与平面所成角为．则.【方法技巧与总结】设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有．【变式51】（2024·高三·广东·开学考试）如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面.(1)证明：平面；(2)若，求直线与平面所成角的余弦值.【解析】（1）如图1，取为内一点，作，交于点，作，交于点，因为平面平面且平面平面平面，所以平面，因为平面，所以，同理，因为，且平面，所以平面.（2）因为两两垂直，以为原点，建立空间直角坐标系，如图2所示.依题意.则.设平面的法向量为n=x,y,z，则，令，则，所以.设直线与平面所成的角为，则.因，故，故直线与平面所成角的余弦值为.【变式52】（2024·江苏南京·模拟预测）如图，四棱锥中，底面，，分别为线段上一点，.(1)若为的中点，证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值.【解析】（1）证明：由已知得，取的中点T，连接，由N为的中点知，．又，故，且，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面．（2）取的中点，连接，建立如图所示的空间坐标系．，不妨设，则，设平面的一个法向量为n=x,y,z，取，则.设直线与平面所成角为.故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.【变式53】（2024·高三·江苏南京·开学考试）如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，，.(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的正弦值.【解析】（1）证明：作的中点，连接，因为是正三角形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因为∥，所以，又平面，所以平面；（2）以为坐标原点,所在直线分别为为轴非负半轴，建立空间直角坐标系如图示，则，所以，设平面的法向量为m=x,y,z，则，取，则，设与平面所成角为，则.所以与平面所成角的正弦值为.【变式54】（2024·高三·陕西·开学考试）如图，四棱锥中，底面，四边形是正方形，分别是的中点．(1)求证：平面；(2)若，求直线与平面所成角的大小．【解析】（1）分别为的中点，，四边形为正方形，，则，平面不在平面内，平面；（2）四边形为正方形，，平面平面，两两垂直，故以A为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则即得令，则，则，设直线与平面所成角为，，由，故直线与平面所成角的大小为．【变式55】（2024·安徽·一模）如图，四棱锥中，底面是矩形，，，，M是的中点，.(1)证明：平面；(2)若点P是棱上的动点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值.【解析】（1）取的中点，连接，与交于Q点，在底面矩形中，易知，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以，易知，所以，由题意可知,所以，而相交，且平面，所以平面；（2）由上可知，，，以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，则A0,0,0、、、、，设平面的法向量为m=x,y,z，则，，则，取，则，设，其中，则，因为直线与平面所成角的正弦值为，则，解得，即.题型六：二面角【典例61】（2024·高三·山东德州·开学考试）如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，.(1)证明：平面平面；(2)若为线段上一点，且，求二面角的余弦值.【解析】（1）证明：在平面内，过做垂直于交于点，由为等腰梯形，且，则又，所以，连接，由，可知且，所以在三角形中，，从而，又平面，，所以平面，平面，所以平面平面（2）由（1）知，平面平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为n=x,y,z则，即，取，则，设平面的法向量为m=x则，即，取，则，所以，由图可以看出二面角为锐角，故二面角的余弦值为.【典例62】（2024·广东珠海·一模）如图，三棱柱中，侧面底面，，，点是棱的中点．(1)证明：；(2)求面与面夹角的正切值．【解析】（1）因为三棱柱中，故四边形为菱形，又因，点是棱的中点，故，又侧面底面，侧面底面，侧面，所以底面，又底面，故.（2）因，，故为直角三角形，故，如图分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则A0,0,0，，，由（1）可知，，，故，，则，由题意平面的一个法向量为设平面的一个法向量为n=x,y,z则即，令，则，，则，设面与面夹角为，则，故，面与面夹角的正切值为.【方法技巧与总结】如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，.若分别为面的法向量，则二面角的平面角或，【变式61】（2024·高三·河北保定·开学考试）如图所示，在四面体中，平面是的中点，是的中点,点在线段上，且.(1)求证：平面.(2)若，求二面角的正弦值.【解析】（1）方法一：如图，取中点，因是中点，且，取的四等分点，使，又，则，且，四边形为平行四边形，,又平面，且平面，平面.方法二：如图，连接并延长交于，连接，在中，过点作交于点,因为是的中点，则，又是的中点，则，得在中，因，故，又平面平面，平面.（2）由，知.以为坐标原点，过点与平行的直线为轴，分别以所在直线为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系.又，得，则.设平面的一个法向量为n=x,y,z则，即，取，则，即；设平面BCM的一个法向量为，则，即，取，得因为，设二面角的平面角为，则,所以二面角的正弦值为.【变式62】（2024·高三·河北邢台·开学考试）如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且分别为的中点.

(1)证明：平面.(2)求平面与平面夹角的余弦值.【解析】（1）不妨设，则，如图建立空间直角坐标系，则，，，A1,0,0，，，所以，，，设m=x,y,z是平面则，取，则，所以平面的一个法向量，又，所以，因为平面，所以平面.（2）因为平面，所以是平面的一个法向量，又因为，所以平面与平面夹角的余弦值为.【变式63】（2024·高三·山东菏泽·开学考试）如图，在三棱柱中，平面.(1)求证：平面平面；(2)设点为的中点，求平面与平面夹角的余弦值.【解析】（1）证明平面平面，.又，且平面，平面.平面.又，且平面，平面.平面，平面平面.（2）由（1）知，所以四边形为正方形，即，且有.以点为原点，以所在直线分别为轴，以过点和垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，设平面的一个法向量n=x,y,z则即取，同理可得平面的一个法向量，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.【变式64】（2024·河南新乡·模拟预测）如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为矩形，且平面平面分别为棱的中点．(1)证明：平面；(2)若，且二面角的大小为120°，求的值．【解析】（1）如图，取棱的中点，连接．因为是棱的中点，所以且．又因为四边形是矩形，是棱的中点，故且，所以四边形是平行四边形，所以．又平面平面，故平面．（2）取棱的中点，则在正三角形中，，所以平面．以为坐标原点，的方向分别为轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系设，则．所以．设平面的法向量为，则即可取．设平面的法向量为，则即可取．由题设知，故，即．【变式65】（2024·高三·河南·期中）如图，在三棱锥中，，,，，于点.(1)证明：平面；(2)若点满足，求二面角的余弦值．【解析】（1）因为是公共边，所以，因为，所以，且，设，则，所以，解得，故，在中，因为，所以，又因为，所以平面.（2）如图所示，以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建