G201第一型曲线积分教学教案

寄语假舟楫者，非能水也，而绝江河。假舆马者，非利足也，而致千里；------旬子1第20章第一节、第一型曲线积分

第二节、第二型曲线积分曲线积分第20章本章内容：（或称：关于弧长的曲线积分）（或称：关于坐标的曲线积分）2积分学

积分域

曲线积分曲线域曲面域曲线积分对弧长的曲线积分（第一型）对坐标的曲线积分（第二型）曲面积分空间域区间域平面域定积分二重积分三重积分几类积分概况3一、第一型曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在平面或空间所占可求长弧段为AB,其线密度为连续函数“分割,近似代替,求和,取极限”

可得(以平面内为例)为计算此构件的质量,1.引例:

曲线形构件的质量采用5设L

是平面中一条可求长度的曲线段,义在L上的函数,都存在,L上的第一类曲线积分,记作若通过对L的任意分割T任意取点,2.定义下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或对弧长的曲线积分.称为被积函数，L称为积分弧段.和对局部的6思考:(1)若在L上f(x,y)≡1,(2)定积分是否可看作第一类曲线积分的特例?否!

对弧长的曲线积分要求ds0,但定积分中dx可能为负.此为一种新的和式极限。定积分：线积分：不是定积分。如果L

是闭曲线,则记为7对空间曲线弧

,类似地可定义第一类曲线积分为平面曲线形构件的质量物理意义:空间曲线形构件的质量83.性质（k为常数)(L由L1,L2组成)(l为曲线弧L

的长度)(因为由定义可知：此曲线积分不论积分弧段的方向如何，总取正值，定义中右端的和式极限不变.)换向不变号9(6)都存在,且在L上则(7)存在,则也存在,且(8)存在,L的弧长为s,则存在常数c,使得其中10二、对弧长的曲线积分的计算法定理:且上的连续函数,是定义在光滑曲线弧则曲线积分思想方法：统一变量化为定积分,积分限由小到大。11点设各分点对应参数为对应参数为则证:根据定义12下只需证明由关于t的连续性知其在有界.即存在M>0,对一切都有13于是从而因此14说明:因此积分限必须满足(2)注意到因此上述计算公式相当于“换元法”.15如果曲线L的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广:设空间曲线弧的参数方程为则16例1

计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:上点O(0,0)17例2计算L为图示三角形周界.解：18例3.计算其中L为双纽线解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得19例4.计算曲线积分

其中

为螺旋的一段弧.解:

线20例5.计算其中为球面解:化为参数方程则21例6.计算其中

为球面被平面所截的圆周.解:由对称性可知22三、应用2324例7.例6中L改为计算解:

令,则圆L的形心在原点,故,如何25例8.计算半径为R,中心角为的圆弧L

对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度

=1).解:建立坐标系如图,由对称性则26例9.

设均匀螺旋形弹簧L的方程为(1)求它关于z轴的转动惯量(2)求它的质心.解:设其密度为

ρ(常数).(2)L的质量而(1)27故重心坐标为28思考与练习1.已知椭圆周长为a,求提示:原式=利用对称性分析:29作业P2011(2),(4),(7),2;330内容小结1.定义2.性质(l曲线弧

的长度)……313.计算•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧322.设C是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求提示:分段积分（习题--P2014(1)）333.已知曲杆方程为其上各点的密度求:1)曲杆的长S;2)质量M;3)重心4)曲杆的转动惯量解：34解1.备用题352.

L为球面面的交线,求其形心.在第一卦限与三个坐标解:如图所示,交线长度为由对称性,形心坐标为363.计算其中曲线L为单位圆从点A(0,1)到点解法一：解法二：37解法三