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文档简介
《数学物理方法》(第3版)
2
复变函数引论本章对复变函数作了概论式的介绍。首先在1.1中对高中所学过的复数作了简单的回顾和拓展，介绍了复变函数概念、复幂级数、复变函数的极限和连续性；接着在1.2讨论了初等复变函数、反函数；然后在1.3和1.4中引入复变函数的分析运算，即导数和积分运算，重点放在解析函数的求导方法与积分求解；从1.5开始讨论复变函数的级数，包括如何将复变函数展开成幂级数、罗朗级数，并且引入了留数的概念。本章内容是针对如何将复变函数应用到工程和物理问题中
而写的，省略了复变函数中的很多精彩内容，为了叙述的简洁和连续，对部分定理和结论的证明过程作了简化。对这方面有兴趣的读者，可以进一步阅读复变函数的专著。4
复变函数引论§
1.1
复数与复变函数
§
1.2
初等复变函数与反函数
§
1.3
复变函数的导数与解析函数
§
1.4
复变函数的积分
§
1.5
解析函数的高阶导数和泰勒级数
§
1.6
罗朗级数与留数
§
1.7
留数在定积分中的应用51.1
复数与复变函数§
1.1.1
复数表示法
§
1.1.2
复数的运算规则
§
1.1.3
复变函数的概念
§
1.1.4
复多项式与复变函数的幂级数6复数定义：z
=x
+jy为复数，其中j
=一1是虚数单位，x
和y都是实数。x
是复数z
的实部，记为x
=Rez
；y是复数Z
的虚部，记为y
=Imz
。当x
=0时，z
=jy称为纯虚数；称z
=x
一jy是x
+jy的共轭复数。相等定义：两个复数只有它们的实部、虚部分别相等时才相等。复数的向量表示法：图1.1的复平面上M
点对应了复数z
，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。复数z
=x
+jy与向量OM
互相对应。注意：
复数
0
与零向量对应。1.1.1
复数表示法7z
的辐角:Argz
=
9主辐角arg
z
:z
的所有辐角中介于与之间(包括)的那一个，记作1.1.1
复数表示法
yr
9复数z
的模:z
=r
=
<arg
z
22图
1.1
复平面示意图(1.1-1)(1.1-2)xxx
+
yM(z)8y一个不为0的复数z
=x
+jy，它的主辐角可用下式表示
"
x
arg
z
=〈
arctan
+
",
x
<
0,
y
>
0
复数z
=0对应零向量，它没有确定的方向，其辐角9是不确定的。-ar||yxararararararararct,>0,>0,>0,xy,yn2ctctar0数y意0任,a1.1.1
复数表示法9Argz与arg
z
的关系是Argz
=arg
z+2k
(k是任意整数)复数的三角表示式：z
=x
+jy
=r
(cos9+jsin9)ej9
=cos9+jsin9代入式(1.1-4)，可以得到复数z
的指数表达式为z
=r
(cos9+jsin9)
=rej9
=z
ej9由于一个不为零的复数的辐角有无穷多，所以复数的三角表示式不唯一。复数的指数表示式：欧拉公式：1.1.1
复数表示法(1.1-3)(1.1-4)例1.1(1.1-5)(1.1-6)101.1.2
复数的运算规则两个复数z1
=x1
+jy1
、z2
=x2
+jy2
的复数运算规则如下：
加法规则：z1
士z2
=(x1
士x2
)+j
(y1
士y2
)乘法规则：z1
.z2
=(x1
+jy1
).(x2
+jy2
)=(x1x2
-y1y2
)+j
(y1x2
+x1y2
)z1
.z2
=(r1ej91
)(r2
ej92
)
=r1r2
ej(91
+92
)
=r1r2
cos
(91
+92
)+jsin
(91
+92
)
除法规则：
=
=
+
j
(z2
才
0)222
=ej(91
-92
)
=cos
(91
-92
)+jsin
(91
-92
)11乘方运算：zn
=(rej9
)n
=rn
ejn9
=rn
(cos
n9+jsin
n9)
(1.1-7)开方运算：记n
为正整数，在z
丰0时wn
=z
，开方后1
1w
=
z
n
=
rej(2k"+9)
nw
=
r
cos
+
jsin
，(k
=
0,1,
2,
…
,
n-
1)
(1.1-8)1.1.2
复数的运算规则例1.2例1.312复变函数的极限和连续的定义：对于预先给定的任意小的正数c
>0，总存在正数6，只要0<z
一z0
<6，就有f
(z)一w
<c，则称w是z
趋近于z0
时f
(z)的极限，记为lz
f
(z)=
w或简记为z
)z0
时，f
(z))w
。若w=f
(z0
)，即lz
f
(z)=
f
(z0
)就说f
(z)在z0
处连续。)z0im)z0im复变函数定义：设在复平面上任意点集G
中的一点z
=x
+jy，有一个或多个复数w
与之对应，就说在G
上定义了一个复变函数w=f(z)。此定义可用公式表示为w=f
(z)=u
+jv式中的u和v
均为实值函数。1.1.3
复变函数的概念例1.5例1.4(1.1-11)13复变函数的极限运算法则：当lz
f
(z
)=A
，lz
g
(z
)
=B，有加法运算规则：lz
f
(z
)土
g(z
)=
A土
B，乘法运算规则：lz
f
(z
)g
(z
)=AB，除法运算规则：lz
(B
丰
0))z0im)z0im)z0im)z0im)z0im1.1.3
复变函数的概念141.1.3
复变函数的概念复变函数的含w的极限：lz
f
1(z
)
=
0
一
lz
f
(z
)
=
w
f
(
t
)
=
0
一
lz
f
(z
)
=
wf
))|
=
a
一
lz
f
(z
)=
a
(a
为有限复数)w相当于一个特殊复数，与“”相当。但是，w土w、0.w
、w.0、、都无意义。在一点z0
(或在一个点集G
内)连续的两个函数f
(z
)和Q(z
)的和、差、积在这一点(或在这个点集G
内)仍然是连续的；在Q(z0
)士0时(或在点集G
内Q(z
)士0)，f
(z
))wim)0imtl)wim11)0imtl)z0im)z0imQ(z
)
也是连续的，即商是连续的。151.1.3
复变函数的概念扩充的复平面：从几何观点来看，普通复平面上并没有与对应的点。但是，可以设想普通复平面上附加了一个理想点与之对应，此点称为无穷远点。普通的复平面加上无穷远点合在一起称为扩充的复平面，扩充复平面上的每一条直线都经过无穷远点。16定理
1.1
设z0
=x0
+jy0
，w0
=u0
+jv0
，f
(z
)=u
(x,y
)+jv
(x,y
)，则lz
f
(z
)=w0
的充要条件是lx
u
(x,y
)=
u0
，lx
v
(x,y
)=
v0
。y
y0
y
y0特别是u0
=u
(x0
,
y0
)，v0
=v
(x0
,y0
)时，上两式也是f
(z
)在z0
点连续的充要条件。
x0im
x0im
z0im1.1.3
复变函数的概念例1.8例1.6例1.717复变函数的幂级数定义式是
cn
(z
-
z0
)(z
-
z0
<
R
)
(1.1-12)n=0式中系数cn
、z0
都是复常数，z
是一个复变量。幂级数的收敛和sn
(z
)=c0
+c1
(z
-z0
)+c2
(z
-z0
)+…
+cn
(z
-z0
)n
,(n
=1,2,3,…)
即s
(z
)=ln
sn
成立。定理
1.2
级数收敛的必要条件：ln
cn
(z
-z0
)n
=0。
im
imn
1.1.4
复多项式与复变函数的幂级数18幂级数的收敛性判断：
cn
(z
z0
)=
un
(x,
y
)+j
vn
(x,
y
)(1.1-13)n=0n=0
n=0若上式右边的两个级数收敛，cn
(z
zn
)n
一定收敛；n=0并且
un
和
vn
收敛时，
cn
(z
z0
)也是绝对收敛的。n=0n=0
n=0nwwwwwwnw复幂级数的收敛区域：是z
z0
<R的一个圆，圆的半径称为收敛半径R。(1)当R
=0时，幂级数在整个复平面上发散；(2)当R
=w时，幂级数在整个复平面上收敛。1.1.4
复多项式与复变函数的幂级数191.1.4
复多项式与复变函数的幂级数(3)幂级数在复平面上既有收敛的点，也有发散的点。假设zc
是离z0
距离是最远的收敛点，这种情况如图1.3所示。这时，所有的收敛点都在半径R
=zc
一z0
的圆内，而圆外所有的点都发散。
zc
Rz图
1.3
幂级数收敛圆示意图0
x20y0z
-z0
=R上的点，它的收敛性要另外判定。复幂级数也能进行加、减、乘的运算。虽然幂级数的这些运算与多项式的加、减、乘类似，但是合成后的幂级数收敛半径可能改变，应当取参加运算的幂级数的最小收敛半径作为运算结果的收敛半径。1.1.4
复多项式与复变函数的幂级数达朗贝尔判定方法和柯西判定法：wR
=
ln
n
cn
。而对于在1--1)wim(1)达朗贝尔判定法：设幂级数为xcn
(z
-z0
)n
，收敛半径R
=limcn
；w(2)柯西判定法：设幂级数为xcn
(z
-z0
)n
，收敛半径n=0n=0
n+1例1.9例1.10例1.11n)w
c21§
1.2.1
初等复变函数的定义§
1.2.2
指数函数、三角函数与双曲函数
§
1.2.3
反函数1.2
初等复变函数与反函数22指数函数、三角函数和双曲函数的幂级数定义式是2
n
n2!n!
n=0
n!sin
z
=
z
+
+
…
=
)
cos
z
=
1
+
+
…
=
z)!
352n+1242n2n2n1n(1.2-1)(1.2-2)(1.2-3)(1.2-4)(1.2-5)sinh
z
=
z
+
+
+
…
=
(2
+
1)!nzcosh
z
=
1
+
+
+
…
=
(
n)!2z上述5个式子所定义的初等函数在全复平面上收敛且绝对收敛。1.2.1
初等复变函数的定义ez
=1+z
+
z
+…
+
z
+…
=
z
23欧拉公式的导出：将式(1.2-1)中z
用jz
代入，得到234n2!3!4!
n!注意到j4n
=1，j4n+1
=j
，j4n+2
=-1，j4n+3
=-j，这些代入上式后，得到e
=
1-
+
+
…
+
j
z
-
+
+
…))|=
(-
1)
(
)!
+
(-
1)
(
)!nnnnnnnnnnnnnnnnn2nz2n2n2zjzjz=cosz
+jsinz类似有e-jz
=cos
z
-
jsinz式(1.2-6)和(1.2-7)是著名的欧拉公式。1.2.1
初等复变函数的定义ejz
=1+jz
+j2
z
+j3
z
+j4
z
+…+jn
z
+…(1.2-6)(1.2-7)241.
指数的运算法则将ez1
和ez2
直接相乘，得到e
.
e
=
.
=1+(z1
+z2
)+
1
(z1
+z2
)2
+…+
1
(z1
+z2
)n
+
…=ez1+z2
(1.2-8)z1z1z1z1z1z1z1z1z1z1z2z2z1z11.2.2
指数函数、三角函数与双曲函数式(1.2-8)和(1.2-9)说明复指数函数保持了实指数函数的乘法与除法规则。=e一z2
.ez1
=ez1一z2
(1.2-9)2!
n!z2
ez1
e252.
指数函数的特性(1)复指数函数有周期性：设k为任意整数，对于z
=x
+jy，有
ez+2k
j
=ez
.e2k
j
=ez
(cos2k
+j
sin2k
)
=ez故ez
是以2k
j
(k
=
1,
2,
…)为周期的函数，该性质是实变量指数函数没有的。(2)ez
的模是ez
=
ex+jy
=
ex
cos
y
+
jsin
y
=
ex1.2.2
指数函数、三角函数与双曲函数26由式(1.2-10)和(1.2-11)很容易导出三角函数如下性质(1)sin
z
和cos
z
均是以2为周期的周期函数；(2)sin
z
为奇函数，cos
z
为偶函数；3.
三角函数的性质三角函数的运算规则可由指数函数得到式(1.2-6)和(1.2-7)
联立后，可以解出cos
z
=(ejz
+e
jz
)sin
z
=(ejz
e
jz
)1.2.2
指数函数、三角函数与双曲函数(1.2-10)(1.2-11)27(3)实变量的三角公式对于复变量的三角函数也成立，例如
sin2
z
+cos2
z
=1，sin(z1
+z2
)=sin
z1
cos
z2
+cos
z1
sin
z2(4)sin
z
和cos
z
的无界性。令z
=x
+jy，可以导出：cos
z
=由于coshy和sinhy是无界的，所以cos
z
是无界的。同理可以证明sin
z
也是无界的。(5)其它复变量三角函数定义如下：tan
z
=，cot
z
=，sec
z
=，cscz
=1.2.2
指数函数、三角函数与双曲函数sin
z
cos
z
1
1 cos
z
sin
z
cos
z
sinz28在sin
z
和cos
z
的表达式(1.2-10)和(1.2-11)中，用jz
代替z
可得cos
jz
=(ej.jz
+e
j
.jz
)
=(ez
+e
z
)
=coshzsin
jz
=(ej.jz
e
j.jz
)=(ez
e
z
)=jsinhz上面两式说明双曲函数也是周期函数，cosh
y和sinhy周期都是2j
。而且coshy与sinhy分别是偶函数和奇函数。4.
双曲线函数cosh
z
=(ez
+
e
z
)sinh
z
=(ez
e
z
)1.2.2
指数函数、三角函数与双曲函数(1.2-12)(1.2-13)29可以导出tanh
z
===j
tan
jzcosh
z
ez
+e
z
1.2.2
指数函数、三角函数与双曲函数coth
z
=
sinh
z
=
ez
e
z
=
jcot
jz例1.14例1.13例1.12301.2.3
反函数复变函数与实函数一样，每个函数都有反函数。但是，有的反函数是多值函数。1.对数函数对数函数是指数函数ez
的反函数，是一个基本初等函数。先分析ez
的几何特性。设z
=x
+jy
，w
=u
+jv
=pejQ
，有w
=ez
=ex+jy
=ex
(cosy
+jsiny
)
=pejQQ
=2k冗
+arctany(1.2-14)(1.2-15)22u
+vx=
ep
=31考虑k
=0，对于z
=x
+jy
，一冗
<y
=Im
(z
)<冗
。z
取图1.6(a)上条形区域内所有点时，p
=ex
，Q
=arctan
y相当于一根半径p
=w的极径绕坐标原点旋转一周,得到了除了坐标正实轴以外的w
平面上的所有点，如图1.6(b)所示；当k士0时，每增加2冗，相当于图1.6(c)中增加一个条形区域gi
，而w
平面上多旋转了一圈。这样看来，图1.6(c)中的每个区域gi
，都映射成了图1.6(b)所示w
平面。w
平面上的一个点wi
对应了z
平面上的…z一
1
,z0
,z1
,z2
…无穷多个点，是一对多的关系。即wi
为自变量时，因变量zi
有多个，所以指数函数的反函数是多值函数，称这个指数函数的反函数为对数函数，用Lnz表示。1.2.3
反函数32
1.2.3
反函数图
1.6
ez
与反函数的图像g0g
1
g
22
g2Z1
g
10 1 2wiZZ33ZZ1.2.3
反函数对数函数的表达式因为w
=
ez
=
ex+jy，而x+jy
x
jy
jArgw所以ex
=w,x
=ln
w;y
=Argw。这样就有z
=Lnw
=x
+jy
=ln
w
+
jArgw按照以往约定，用z
表示自变量，w表示因变量，上式可改写成w
=Lnz
=ln
z
+jArgz
=ln
z
+j
arg
z
+2k几j,(k
=0,1,
2,3,…)k
=0时w
的值称为对数主值，用ln
z
表示，根据式(1.2-16)得到ln
z
=ln
z
+j
arg
z注意：
ln
z
是一个复值函数，并且是单值的。e
=e
.e
=w
=w
e(1.2-17)(1.2-16)34对数函数有下列运算性质：Ln
(z1
.z2
)=Lnz1
+Lnz2122Lnzn
丰nLnz,(n
=2,3,…),Lnz
丰Lnz,(n
=2,3,…)1.2.3
反函数一般对于复变函数有Ln
z1
=Lnz
一Lnz例1.15例1.16(1.2-18)(1.2-19)35z1.2.3
反函数2.幂函数复幂函数用下式定义z以
=e以Lnz
(1.2-20)式中以为复常数，且z
才0；在z
=0且以为正实数时，规定z以
=0。很明显，由于Lnz
是一个多值函数，所以幂函数是一个多值函数。
下面讨论以取不同值时幂函数取值。(1)
以
=0,z以
=z0
=e0.Lnz
=1。(2)设以
=n
，n
=1,2,…为正整数，有zn
=
enLnz
=
en
ln
z
+jarg
z+j2kT
=
en
ln
z
.
ejn
arg
z
=
z
n
ejnargz上式表明zn
是一个单值函数。361.2.3
反函数(3)议
=(n
=1,2,3,…)，则有
1
1
ln
z
1
j
2k几+arg
zz
n
=
en
=
z
n
e
n1k
=0,1,2,…
,n一1，z
n
有不同值。11但k取n,n
+1,n
+2,…
时，z
n
必定和前面Bn
个值相同，因此z
n
是Bn
值函数。(4)议
=,其中B,n
.B,,n和q为互质的整数，且q
>0，此时有z
=
e
=
e
(ej
2kp几
)
k为整数设ej
2kp几
=
w为一复数，则有p
p
ln
z
1q
q
q1
p根据(3)的讨论可知wq
是q值函数，所以z
q
是q值函数。LnzLnzLnzLnzLnzLnzLnzLnzLnzLnzLnzLnzLnzLnzLnzzlnLnzLnzz
=e
w37(5)为无理数或者复数时，
ln
z
j2k
由于k在(k
=0,1,2,…)中无论取什么值，ej
2k
都不会重复，因此z
是一个无穷多值函数。幂函数的主值P.V.z
=
e
ln
zP.V.z
表示z
的主值支，它是一个单值函数。1.2.3
反函数例1.18例1.17(1.2-21)z
=e
.
e38w
=Arcsin
z可以导出w
=
Arc
sin
z
=
jLn
(jz
+
)由于对数函数是多值函数，所以反三角函数也是多值函数。1.2.3
反函数3.反三角函数与反双曲函数三角函数的反函数称为反三角函数。例如sin
w
=z
，反正弦函数记作注意式(1.3-23)中
前没有
号，
从指数函数一节中可知，
是一个二值函
数，所以无须加
号。例1.19例1.20(1.2-22)(1.2-23)39类似可以导出其它的反三角函数，例如Arccos
z
=
-jLn
(z
+
)Arc
tan
z
=
jLnArc
coth
z
=Ln
(1.2-29)2z
-1等式右端中对数函数的多值性和方根的二值性导致了这些反函数是多值函数。Arc
sinh
z
=
Ln
(z
+
)
Arc
cosh
z
=
Ln
(z
+
)1
1+z21-z反双曲函数也可以用对数函数表达出来，它们的推导过程与式(1.2-23)的推导过程类似，从定义式中可以解相应的反函数。部分公式列举如下：(1.2-26)(1.2-27)(1.2-28)1.2.3
反函数(1.2-24)(1.2-25)1
z
+j2j
-
zArc
tanh
z
=
Ln1
1+z40§
1.3.1
复变函数的导数与解析函数的定义§
1.3.2
柯西－黎曼方程
§
1.3.3
多值函数的解析延拓1.3
复变函数的导数与解析函数41复变函数的导数也是增量比的极限，其定义与高等数学中导数定义相似。复变函数的导数定义：函数f
(z
)在点z0
及邻域内有定义，z
是一个复变量，且设z0
+z
仍在f
(z
)的定义域内，若极限f
(z0
)
=
=
i存在，则称此极限为f
(z
)在z0
点的导数，也称该点是可微的。z=z0z=z0z=z0z=z0zz=z0z=z0z=z0z=z0
0m
l1.3.1
复变函数的导数与解析函数的定义42复变函数导数求法与高等数学中的单变量函数的导数求法相同。例如在n
为自然数时，zn
的导数是(z
)
=
iz
=
lim=iz
(C
zn
1
+C
zn
2
z
+…
+C
1z
zn
2
+C
zn
1
)=
C1zn
1
=
nzn
1
n类似上面方法可以求出其它的复变函数的导数公式。nnnnn2n1
0m
lnn
0m
l1.3.1
复变函数的导数与解析函数的定义zn
+
C
zn
1
z
+
C
zn
2
z2
+
…
+
C
1z
zn
1
+
C
zn
znnnnnn2n1
z
0
z(1.3-1)431.3.1
复变函数的导数与解析函数的定义解析函数定义
若复变函数f(z
)在它的定义域G
内每一点都有导数存在，就称f
(z
)为G内的解析函数；如果在z0
点不解析，则称z0
点为f
(z
)的奇点。解析函数的和、差、积、商(分母不为零)也是解析函数。解析函数导数的
运算法则如下：[f(z)士g(z)]，=f
，(z)士g，(z)；[f(z)g(z)]，=f
，(z)g(z)+f(z)g，(z)；「f(z)
]，
f
，(z)g(z)-f(z)g，(z)若w(z)=g
[f(z)]，则有w，(z)=g，[f(z)]f
，(z)；若f
，(z)
丰
0,
z
=
f
(w)存在且连续，则有
f
(w)
，=
f
，(f
1-1
(w))-1-1--1|L
g(z)
」|
=
[g
(z)]2
；441.3.1
复变函数的导数与解析函数的定义注意：若解析函数可导，也一定是连续的；但是，函数的连续性不能保证函数的可导和解析。一些复杂函数的导数可以用复合函数求导和求导运算法则求解。所得到的结果列举如下：(ez
)=ez
(tan
z)=(zn
)=nzn
1
(sin
z)
=cosz(cosz)=sinz(sinhz)=cosh
z(cosh
z)=sinh
z(tanh
z)=
451.3.1
复变函数的导数与解析函数的定义对数函数的导数
多值函数不能求极限，因此导数不存在，但是
它们的主值是单值的，因此主值的导数是存在的。对数函数的主值是w
=ln
z
=ln
z
+j
arg
z,(<arg
z
)在区域<arg
z
<内ln
z
是单值有定义的，根据反函数的求导法则，得到(ln
z
)
=
=
=
例1.22例1.21(1.3-4)46证
先证必要性.因为f(x)在z
点的导数存在，所以极限f
(z
)
=
i存在。由于在求极限时，z
可以以任意方式趋近于零，取两种z
0
的方式：第一种如图1.7的AB直线。z
0m
l1.3.2
柯西－黎曼方程定理
1.4
函数f
(z
)=u
(x,y
)+jv
(x,y
)在z
=x
+jy处可导的充要条件是u
(x,y
)和v
(x,y
)在点(x,y
)处可微，并且满足柯西－黎曼方程?u
?v?x
?y式(1.3-5)又称为CR方程。?u
?v?y
?x(1.3-5)=
47=,1.3.2
柯西－黎曼方程图
1.7
z0的两种不同方式z
+
zA(x,y
+y)''0
xz
+
z
(x
+x,y)A48By这时编y
=
0
，因此有f
，(z
)
=
lim
f
(x
+
编x
+
jy
)
-
f
(x
+
jy
)=
lim
u
(x
+
编x
,
y
)
+
jv
(x
+
编x
,
y
)-
u
(x
,
y
)-
jv
(x
,
y
)=
li
u
(x
+
编x
,
)x
-
u
(x
,
y
)
+
j
li
v
(x
+
编x
,
)x
-
v
(x
,
y
)
?u
?vx编x编编y)0m编y)0m1.3.2
柯西－黎曼方程编x)
0
编x编x)
0
编x=+
j?x
?x491.3.2
柯西－黎曼方程第二种方式是z
+编z
与T(x
)恒在一条垂线上，如图1.7的A，B直线，编x
=0，有f
，(z
)
=
lim
f
(x
+
jy
+
j编y)
-
f
(x
+
jy)lim「u
(x,
y
+编y
)
-
u
(x,
y
)]
lim「v
(x,
y
+
编y
)
-
v
(x,
y
)]比较f
，(z)
的两次结果，
可以得到au
av
au
avax
ay
ay
ax=
编y)0
|L
j编y
」|
+
编y)0
|L编y
」|
au
av=
-j
ay
+
ay编y)0
编x=，=-50充分性证明如下.由于u
(x,y
)和v
(x,y
)在(x,y
)处可导，且(1.3-5)式成立，按二元函数全微分的存在性，并且应用CR方程，可以得到编u
=
编x
+
编y
=
编x
+
-
))|编y编v
=
?v
编x+
?v
编y
=
?v
编x+
?u
编y1.3.2
柯西－黎曼方程?x
?y
?x
?x51而f
(z
)的增量Aw为Aw
=f
(z
+Az
)-f
(z
)=Au
+jAv(au
av
)(av
au
)=
(Ax
+
jAy)+j
(Ax
+
jAy)=
+
j
))|(Ax
+
jAy)(au
av
)f
，(z
)
=
lAiz
=
lAiz
+
j
=
+
j)0m)0m=
|\ax
Ax
-
ax
Ay)|+
j
|\ax
Ax
+
ax
Ay)|1.3.2
柯西－黎曼方程=
|\ax
+
j
ax
)|
Az[证毕]521.3.2
柯西－黎曼方程定理1.4的证明过程也表明，在满足定理条件时，f
(z
)的导数为f
(z
)=
+
j
=
+
j
=
-
j
=
-
j
(1.3-6)必须注意的是此充要条件包含了CR方程和u
(x,y
)、v
(x,y
)在点(x,y
)可微两个条件。如何判断函数的解析性呢？请见下面的定理1.5。定理
1.5
函数f
(z
)=u
(x,y
)+jv
(x,y
)在区域G
内解析的充要条件是u
(x,y
)和v
(x,y
)在区域G内处处可微，并且满足CR方程。例1.23531.3.3
多值函数的解析延拓这里以对数函数Lnz为例，介绍解析延拓的概念。设z
=x
+jy
=rej9
，对数函数为w
=Lnz
=lnr
+j
(2k几
+9),(k
=0,1,2,...)从1.2.3可知，对应于z
平面上一点z0
(r
,90
)
，w
平面上的对应值是...w一2
=ln
r
+j
(一4几
+90
)、
w一
1
=lnr
+j
(一2几
+90
)、w0
=lnr
+j90
、w1
=ln
r
+j
(2几
+90
)...，有无穷多个对应值。为了把z
与w
的映射成一对一的，引入黎曼曲面描述z
平面。将z
平面上不是Lnz
的定义域原点和正实轴剪开，形成上岸和下岸，再把无穷张这样剪开的上岸和下岸依次粘贴起来，就形成了对数函数的黎曼曲面。54图1.9(a)是一张这样剪开的平面，图1.9(b)是许多张平面粘贴后的黎曼曲面。当r
在z
平面上旋转时，z0
点在黎曼曲面上进入了不同的页面...D
1、D0
、D1、D2
,...，形成了...G
1、G0、G1、G2
,
...
等不再重合的
1.9(b)和图1.9(c)显示了这种一一对应关系，这是一个单值函数。...1,0,1,2,...
点，这些点对应到w平面上就形成了w
w
w
w
等诸多映射点，图1.3.3
多值函数的解析延拓55图
1.9
(a)一张有上岸和下岸的坐标平面；(b)对数函数的黎曼曲面，D
1
、D0
、D1
、D2
是曲面的页面编号，
1，G0
，G1
，G2
是图(a)中的点在极径转动不同圈数时留
下的位置，注意此时它们不再重合；(c)与Gi
点对应的wi
点。
G1.3.3
多值函数的解析延拓
Z0
(r,90
)
w210
w
w2G0G210 1DDDD56
w
1GG 11黎曼曲面上的对数函数的定义式是
")
,
((r
,
))
n
r
j
(9-
"
,
(
>
-3
<
9
<
-")r-：lw
=w
=w
=w
=w
=w
=w
=w
=w
=w
=w
=w
=w
=w
=w
=w
=w
=w
=w
="0,)r3"3"〈=LnzLnzLnzw
=w
=9",30,9,(9(9jjjrrrnnnlll：这里选定逆时针旋转为正，辐角增加；反之为负，辐角减小。上述过程称为解析延拓，它将z
与w
映射成一一对应关系，w
是
z
的单值函数。1.3.3
多值函数的解析延拓(1.3-7)57Lnz
的导数.设极坐标中x
=rcos9，y
=r
sin
9，不难证明它的导数公式是d
ln
z
1
j9
1dz
r
z即函数的各个分支的导数相等。11
Lnz幂函数n
也是一个多值函数，有n
个分支。根据定义式z
n
=en
，解析延拓后n
的导数是(n
)
=
z
1
11.3.3
多值函数的解析延拓例1.24=e
=58§
1.4.1
复变函数积分的概念和计算§
1.4.2
柯西－古萨定理
§
1.4.3
复变函数的原函数与积分1.4
复变函数的积分59复变函数积分定义
设f(z
)是一个定义在分段光滑曲线AB上的复变函数，如图1.10所示。n
个分点z0
、z1、…zi、…zn
把弧AB分为若干段，每段n=1当弧长As
)0，分点n
)w时，若和式的极限存在，其值就是复积分，若是闭曲线积分，曲线C
正向取为逆时针方向，记作C
f
(z
)dz；曲线C的反向取为顺时针方向，记作
C-
f
(z
)dz。记作jAB
f
(z
)dz
=
lin)mw
f
(毛i
)Azi0)AsAsi弧长为ASi
，记Azi
=
zi
-
zi-1
。在zi-1
和zi
中任取一点毛i
，做和式xf
(毛i
)Azi
。1.4.1
复变函数积分的概念和计算(1.4-1)601.4.1
复变函数积分的概念和计算
2
n
1z
1
z1z
n
1z0
=
A图
1.10
复积分定义示意图C
nz
=
Bn61yxz21.4.1
复变函数积分的概念和计算从定义式(1.4.1)可见，设积分变量z
=x
+jy，函数f
(z)=u(x,y)+jv(x,y)，有复变函数的积分公式：jAB
f
(z)dz
=
jAB
u
(x,y)+jv(x,y)(dx+
jdy)=
jABu
(x,y)dx
一v(x,y)dy+jjAB
v(x,y)dx+u
(x,y)dy
(1.4-2)存在，有jAB
f
(z
)dz
=
j
a
恳u
x,
f
(x
)一
v
x,
f
(x
)f
,(x
)}dx+
jj
a
恳v
x,
f
(x
)+
u
x,
f
(x
)f
,(x
)}dxbb有两种方法计算式(1.4-2)的积分：(1)若曲线AB可以由方程y
=f
(x
),(a
共x
共b)表示，f
(x
)的导数f
,(x
)(1.4-3)62(2)曲线AB
由参数方程x
=x(t
)，y
=y
(t
)，t1
三t
三t2
表示。z
(t
)=x(t
)+jy(t
)，有jAB
f
(z
)dz
=
j
f
z
(t
)x，(t
)+
jy，(t
)dt=
j
恳u
x
(t
),
y
(t
)x，(t
)-
v
x
(t
),
y
(t
)y，(t
)}dt+
jj
恳v
x
(t
),
y
(t
)x，(t
)+
u
x
(t
),
y
(t
)y，(t
)}dt1.4.1
复变函数积分的概念和计算(1.4-4)631.4.1复变函数积分的概念和计算复积分的一些基本性质与线积分的基本性质类似：(1)
jC
kf
(z
)dz
=
kjC
f
(z
)dz
,k
=
复常数(2)
jC
f
(z
)dz
=
-jC-
f
(z
)dz(3)
jC
[f
(z
)土g(z
)]dz
=jC
f
(z
)dz
土jC
g
(z
)dz(4)
jC
+C
f
(z
)dz
=
jC
f
(z
)dz+jC
f
(z
)dz(5)
jC
f
(z
)dz
共
jC
f
(z
)dz
=
jC
f
(z
)ds
(ds是弧微元)1111111111111111111122121例1.25例1.26例1.2764柯西－古萨定理
1.6
若函数f(z)在单连通区域G内解析，则函数在区域G内的任何分段光滑封闭曲线上的积分为零，即c
f
(z
)dz
=
0。
C
f
(z
)dz
=
c
(udx
-
vdy)+
j
C
(vdx
+
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