2024-2025学年浙江省宁波市鄞州区九年级（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省宁波市鄞州区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列函数对应的抛物线中，形状与抛物线y=2x2+3相同的是A.y=−2x2+3 B.y=3x2+22.下列事件中，属于随机事件的是(

)A.普通无人机飞行1小时到月球 B.一个人奔跑速度是每秒500米

C.将普通的冷水加热后水温上升 D.篮球队员投一次篮球正好投中3.以矩形ABCD的对角线AC为直径作圆，则下列说法正确的是(

)A.点B在圆内 B.点B在圆外 C.点D在圆上 D.点D在圆内4.将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为(

)A.y=(x−2)2+3 B.y=(x−2)2−35.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=35，AB=10，则BC的长是(

)A.6 B.8 C.63 6.如图，△ABC与△A1B1C1是位似图形，位似中心为点O.若△ABC的面积为40cm2，OB：BBA.60cm2

B.90cm2

C.7.在平面直角坐标系中，将点A(−4,2)绕原点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A′的坐标是(

)A.(2,4) B.(4,2) C.(−4,−2) D.(−4,2)8.圆内接四边形ABCD中，AB=AD，BD是对角线，∠ABD=40°，则∠C的度数是(

)A.50°

B.60°

C.80°

D.100°9.如图，在5×4的正方形网格中，点A，B，C，D都是网格的格点，点G是△ABC的重心，则下列说法正确的是(

)A.连接DG，则DG=14BC

B.连接BG，CG，则∠BGC=2∠A

C.连接DG，则DG/​/BC

D.连接AG，BG10.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的正半轴交于点A(m,0)，m<3，与y轴的负半轴交于点B，对称轴为直线x=1.其中判断错误的是(

)A.3a+c>0

B.若点P(4,2n)，Q(−1,4n+2)在图象上，则n<−1

C.3b<2c

D.若点P(1+2k,2n)，Q(1−2k,4n+2)在图象上，则a−c≤2二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.若4个成比例的数满足1：2=3：x，则这个数x是______．12.如表记录了某种树苗在一定条件下移植成活的情况：由此估计这种树苗的移植成活的概率为______．移植的棵数10020050010002000成活的棵数911864458901800成活的频率0.910.930.890.890.913.一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的弧长为______.(结果保留π)14.小宁在复习二次函数时进行如下整理，请写出满足条件的一个函数关系式：抛物线与坐标轴的交点个数：抛物线与坐标轴有3个交点，如y=x2+2x−3；抛物线与坐标轴有2个交点，如______.抛物线与坐标轴有1个交点，如y=x15.如图，△ABC中，AB=AC，BC=6，⊙O与△ABC的各边分别相切于点D，E，F，若⊙O的半径为2，则△ABC的周长是______．16.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，过点C作BC的垂线CD，点P在线段BC上运动，点Q在射线CD上运动，始终满足∠BAP=∠CAQ，连结PQ，当△PCQ与△ABC相似时，线段BP的长是______．三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

(1)计算：sin245°+tan60°⋅cos30°；

(2)已知x−2yx+3y18.(本小题6分)

某校推荐了4名学生为区域中学生中华经典诵读比赛主持人，其中1名七年级女生、2名八年级学生(刚好1名男生和1名女生)、1名九年级男生．

(1)若从4名学生中任选一名作为主持人，抽到九年级学生的概率是______；

(2)若先从八年级的2名学生中任抽1名，再从剩下的3名学生任抽1名，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率，请画表格或树状图等方法说明．19.(本小题6分)

如图4×4正方形方格中的两个△ABC和△DEF的顶点都是格点．

(1)求证：△ABC∽△DEF；

(2)在该网格中画一个顶点都是格点的三角形，要求与△ABC相似且面积最小．20.(本小题8分)

宁波中心大厦是浙江在建第一高楼，某兴趣小组用无人机航拍测量宁波中心大厦的高度.无人机的起飞点为地面上的点O处，点O与办公楼的水平距离OA为100m，与宁波中心大厦的水平距离OB为260m.无人机先从点O处垂直起飞，到高度为89米的P处时，沿与地面平行方向水平飞行到点Q，此时测得办公楼顶部C的仰角∠CQE为58°，宁波中心大厦顶部D的仰角∠DQE也为58°.已知办公楼AC的高度是153m．

(1)求从点P飞行到点Q的水平距离；

(2)求宁波中心大厦的高度．

(参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)．21.(本小题8分)

如图，AB是⊙O的弦，分别以点A，B为圆心，同样长度为半径画圆弧交圆内于点C，连结OC并延长交⊙O于点D，连结OA，OB．

(1)求证：∠AOD=∠BOD；

(2)若∠AOD：∠AOB=3：2，AB=42，CD=OC，求CD22.(本小题10分)

如图1所示风筝的筝面可以抽象成图2的筝形ABCD，AB=AD，CB=CD，风筝的骨架由3条竹棒AC、BD、EF组成，其中E，F分别是CB和CD的中点.现有一根总长为90cm的竹棒可截成三段做风筝的骨架.为合理利用筝面ABCD的材料，作了如下探究：

(1)设筝面ABCD的面积为s(cm2)，骨架BD的长度为x(cm)，求s关于x的函数关系式；

(2)在图3中画出(1)中s关于x的函数图象；

(3)利用图象分析，当骨架AC长度大于BD长度且筝面的面积超过432cm2时，骨架BD23.(本小题10分)

如下表格是抛物线y=ax2+bx+c上部分点x…−2−10123…y…m−8np7q…(1)若m=n，该函数有最大值还是最小值？请作出判断并写出最值；

(2)若a=−4，请通过计算判断p与q的大小关系；

(3)若点(x,y)在抛物线上，当−1≤x≤2时，−8≤y≤7，求a的取值范围．24.(本小题12分)

如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=20，BC=15，以AB为直径的⊙O交AC于点D，M是BC的中点，连结DM．

(1)求证：MD是⊙O的切线；

(2)如图2，过点B作MD的平行线交AC于点E．

①求AE的长；

②如图3，点P在线段BE上，连结DP交并延长交⊙O于点Q，当EPBP=214时，求DQ的值．参考答案1.A

2.D

3.C

4.D

5.B

6.D

7.A

8.C

9.C

10.D

11.6

12.0.9

13.2π

14.y=x2+2x(15.21.6

16.5或6.4

17.解：(1)sin245°+tan60°⋅cos30°

=(22)2+3×32

=12+318.19.(1)证明：4×4正方形方格中的两个△ABC和△DEF的顶点都是格点．设网格中每个小正方形的边长为1，

∴AC=2，AB=22，BC=10，DE=5，EF=25，DF=5，

∴ACDE=AB20.解：(1)由题意得，OP⊥OA，CA⊥OA，PE⊥OP，PE⊥CA，

∴四边形OAEP为矩形，

∴AE=OP=89m，

在Rt△CQE中，

∵∠CQE=58°，CE=AC−OP=64m，

∴QE=CEtan58∘=40m．

∴PQ=OA−QE=100−40=60m；

(2)如图，延长PQ交BD于点F，

由题意得，由条件可知四边形OBFP为矩形，

∴BF=OP=89m，

∴Q、C、D共线，

在Rt△QFD中，∵∠DQF=58°，QF=PF−PQ=200m，

∴DF=QF×tan58°=320m，

21.解：(1)如图，连接AC、BC，

由条件可知AC=BC，

又∵AO=BO，OC=OC，

∴△AOC≌△BOC(SSS)

∴∠AOD=∠BOD．

(2)由条件可知∠AOD=∠BOD=32∠AOB，

∵∠AOB+∠AOD+∠BOD=360°，

∴∠AOB+32∠AOB+32∠AOB=360°，解得：∠AOB=90°，

∵AO=BO，

∴△AOB为等腰直角三角形．

∴AO2+B22.解：(1)∵AB=AD，CB=CD，

∴AC是BD的垂直平分线，

∵E，F分别是CB和CD的中点，

∴EF=12BD，

设筝面ABCD的面积为s(cm2)，骨架BD的长度为x(cm)，

∴s=12×AC×BD=12(90−32x)x=−34x2+45x(0<x<60)；

(2)s=−34x2+45x=−34(x−30)2+675(0<x<60)，

∴当x=30时，s取最大值675；

当y=0时，得：−34(x−30)2+675=0，

解得：x1=0，x23.解：(1)若m=n，该函数有最小值；最小值为−8；理由如下：

∵m=n，

∴当x=−2和当x=0时的函数值相等，

∴对称轴为直线x=−2+02=−1，

∵−8<7，

∴x=−1时的函数值小于x=2时的函数值，

∴该函数有最小值，最小值为−8；

(2)由表中数据可知，抛物线y=ax2+bx+c经过(−1,−8)，(2,7)，将(−1,−8)，(2,7)代入得：

a−b+c=−84a+2b+c=7，

解得b=−a+5c=−2a−3，

把a=−4代入得：b=9c=5，

∴此时函数解析式为y=−4x2+9x+5，

当x=1时，y=−4x2+9x+5=−4+9+5=10；

当x=3时，y=−4x2+9x+5=−4×9+9×3+5=−4，

∴p=10，q=−4，

∴p>q；

(3)由题意得，抛物线对称轴为直线x=−b2a=−−a+52a=a−52a；

①当−b2a≤−1时，若a>0，则当x≥1时，y随x增大而增大，

∵当−1≤x≤2时，−8≤y≤7，

∴此时满足题意，

∴a−52a≤−1，

∴a≤53，

∴0<a≤53；

若a<0，则当x≥1时，y随x增大而减小，

∵当−1≤x≤2时，−8≤y≤7，

∴此时不满足题意；

②当−b2a≥2时，若a<0，则当x≤2时，y随x增大而增大，

∵当−1≤x≤2时，−8≤y≤7，

∴此时满足题意，

∴a−52a≥2，

∴−53≤a，

∴−524.(1)证明：以AB为直径的⊙O交AC于点D，M是BC的中点，如图1，连接OD、BD、OM，

∴∠ADB=∠CDB=90°，

∴BM=DM=CM．

∴∠MDB=∠MBD，

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠OBD，

∵∠MBD+∠OBD=∠ABC=90°

∴∠ODM=∠MDB+∠ODB=90°，

∵OD是⊙O的半径，

∴MD是⊙O的切线；

(2)解：①在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=20，BC=15，如图2，连结BD，

由勾股定理得：AC=AB2+BC2=25，

而CDC