数理统计课件：区间估计的基本概念

区间估计的基本概念可靠度：越大越好

估计你的年龄八成在21—28岁之间区间：越小越好被估参数可靠度范围、区间4.1.1参数的区间估计问题引例：在估计湖中鱼数的问题中，若根据一个实际样本，得到鱼数n

的极大似然估计为1000条.实际上，n

的真实值可能大于1000条，也可能小于1000条.为此，希望确定一个区间来估计参数n.a

使我们能以比较高的可靠程度相信它包含参数真值.湖中鱼数的真值[]这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的b

区间估计的精度要高.定义4.1.1：设是一个参数分布族，

其中Θ为参数空间，g(

)是定义在Θ上的一个已知函数，

X1,X2,…,Xn

是从分布族中的某总体f(x，

)中抽取的样本.

是定义在样本空间χ上的函数，且满足则称随机区间为g(

)的一个区间估计.令4.1.2区间估计的定义根据这个定义，从形式上看，任何一个满足条件既然一个未知参数的区间估计有很多种，如何从中挑选一个好的区间估计？的统计量和都可以构成g(

)的一个区间估计解决办法：就需要给出刻画区间估计优劣的准则和标准.评价标准：可靠度与精度(精确度).1可靠度要求g(

)以很大的可能被包含在区间内，就是说，概率要尽可能大.2精度估计的精度要尽可能的高.如:要求随机区间的平均长度越短越好.即要求估计尽量可靠.Neyman提出的妥协方案在保证可靠度的前提下，选择精度尽可能高的区间估计.如果在应用中要求可靠度和精度都很高，则必须加大样本容量，即多做一些实验，才可能实现.如何构造可靠度和精度尽可能高的区间估计？对于一个区间估计来说，当样本容量固定的时候，提高可靠度就要降低精度，提高精度就得降低可靠度.为该区间估计的置信水平或置信度.不失一般性，我们假设待估参数就是

本身，即g(

)

=

.定义4.1.2：设随机区间是参数

的一个区间估计，称包含

的概率(1)这个概率与

有关.(2)若对参数空间Θ中任一

，其置信水平都很大，

则这个区间估计就是一个好的区间估计.定义4.1.3：设随机区间是参数

的一个区间估计，置信水平在参数空间Θ上的下确界称为该区间估计的置信系数.一个区间估计的置信水平越大越好.为了计算置信水平和置信系数，需要利用统计量的精确分布或者渐近分布.精度的标准不止一个.只介绍最常见的，随机区间的平均长度越短越好这一标准，即下面的这个例子说明了精度，置信水平(置信度)及其它们的关系.越小越好用来构造参数μ的区间估计.试分析这个区间估计的置信水平和估计精度之间的关系.令=(μ,σ2)，上述区间估计的置信水平为解：为什么用这个区间？例4.1.1设X1,X2,…,Xn是来自正态总体N(μ,σ2)，其中-∞<μ<∞,σ2>0，

μ

和σ2的估计量分别是样本均值和样本方差.显然，k越大，置信水平越大，区间估计越可靠.下面考虑区间的平均长度其中其分布与参数

无关.因此，区间估计的置信水平为显然，k越大，区间平均长度越长，精度越低.k越大，区间的置信水平越大，区间越可靠.由于，因此区间估计的平均长度为由此例可以看出：在样本容量n给定后，为了提高置信水平，需要增加k值，从而增加了区间长度，降低了精度.置信水平与精度相互制约着.著名统计学家Neyman提出了妥协方案：保证置信水平达到指定要求的前提下，尽可能提高精度.由此引入置信区间的概念.通常置信区间也称为Neyman置信区间定义4.1.4：设随机区间是参数

的一个区间估计，对给定0<α<1，如果对任意

Θ，都有成立，则称是参数

的置信水平为1-α的置信区间.

称为相应的置信系数.1.对于样本(X1,X2

,…,Xn)

置信水平不小于1-α，但是在实际问题中我们常常要求取满足.随机区间的置信区间.说明：2.对于样本观察值(x1,x2

,…,xn)常数区间只有两个结果，包含θ

和不包含θ.此时，不能说：没有随机变量，自然不能谈概率说明：

和都是随机变量的函数，因而也是随机变量.但是给定样本观察值

就得到一个具体的闭区间，我们以1-α的概率保证未知参数在得到的100个区间中包含参数

真值的平均有95个左右，不包含参数

真值的平均有5个左右.如：取1−

=0.95.若重复抽样100次，样本观察值为对应的常数区间为3.区间估计有时用开区间或半开半闭区间，但从置信水平角度考虑，这几种区间估计没有本质的区别.说明：4.实际应用中，经常取α

为0.01,0.05,0.1等.在一些实际问题中，有时候感兴趣的仅仅是未知参数的置信上限或者置信下限.例如：一种新材料的强度，关心的是它最低不少于多少；一个工厂的废品率，关心它最高不超过多少.这些也是区间估计，称为置信上限或者置信下限.定义如下：定义4.1.5：设总体X的分布为f(x,θ)，其中θ为未知参数，θ∈Θ，Θ为参数空间，X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，给定0<α<1，对于任意θ∈Θ,存在统计量

使得存在统计量

使得则称随机区间是θ的置信水平为1−α的单侧置信区间.称为置信水平为1−α的为单侧置信下限.则称随机区间是θ的置信水平为1−α的单侧置信区间.称为置信水平为1−α的为单侧置信上限.分别称为置信上限下限的置信系数越大，则置信下限的精度越高.

对置信上限而言，若越小，则置信上限的精度越高.单侧置信上、下限都是置信区间的特例.因此，寻求置信区间的方法可以用来求置信上、下限.单侧置信限与双侧置信区间之间存在一个简单的联系.对置信下限而言，若引理4.1.1设和分别是参数

的置信水平为1-α1和1-α2的单侧置信下限和单侧置信上限，且对任何样本X1,X2,…,Xn，都有则是参数

的置信水平为

1-(α1+α2)的置信区间.在引理的假定下，下列三个事件互不相容，“三个事件之并”为“必然事件”.证明:考虑因此引理4.1.1说明:在有了单侧置信上、下限后，不难求得置信区间.定义4.1.6：设有一个参数分布族，Θ是参数空间，其中.X1,X2,…,Xn是来自分布族中某总体f(x,

)的样本.若统计量S(X1,X2,…,Xn

)满足(1)对任一样本X1,X2,…,Xn

X,S(X1,X2,…,Xn

)是Θ的一个子集；(2)对给定的0<α<1，则称S(X1,X2