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文档简介
2024-2025学年河北省张家口市尚义县高二上学期10月月考数学阶段检测试卷(一)一、单选题(本大题共2小题)1.在空间直角坐标系中,点的坐标为,点关于平面对称的点是(
)A. B.C. D.2.已知,且与共线,则的坐标是(
)A. B.C. D.二、多选题(本大题共1小题)3.一组样本数据为6,11,12,16,17,19,31,则错误的选项为(
)A.该组数据的极差为25B.该组数据的分位数为17C.该组数据的平均数为16D.若该组数据去掉一个数得到一组新数据,则这两组数据的平均数可能相等三、单选题(本大题共5小题)4.在三棱柱中,(
)A. B. C. D.5.若空间中有三点,则点到平面的距离为(
)A. B. C. D.6.已知点,又点在平面内,则的值为(
)A.1 B.2 C.3 D.47.如图,二面角等于是棱上两点,分别在半平面内,,且,则CD的长等于(
)
A. B. C. D.8.已知四棱锥平面BCDE,底面EBCD是为直角,的直角梯形,如图所示,且,点为AD的中点,则到直线BC的距离为(
)A. B. C. D.四、多选题(本大题共3小题)9.下列利用方向向量、法向量判断直线、平面位置关系的结论中,正确的是(
)A.若两个不重合的平面法向量平行,则这两个平面平行B.若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行C.两条不重合直线的方向向量分别是,则D.直线的方向向量,平面的法向量是,则10.下列说法正确的是(
)A.向量与向量共面B.若与共面,则,使得C.若是空间的一个基底,则能构成空间一个基底D.若,则共面,反之不正确11.棱长为1的正方体中,点在棱CD上运动,点在侧面上运动,满足平面,则(
)A.点在侧面对角线上 B.点在侧面对角线上C.线段PQ的最小值为 D.线段PQ的最小值为五、填空题(本大题共3小题)12.已知平面的一个法向量为,点是平面上的一点,则点到平面的距离为.13.如图,两个开关串联再与开关并联,在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是能够闭合的概率为0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率为.
14.空间直角坐标系中,经过点且法向量为的平面方程为,经过点且一个方向向量为的直线的方程为,阅读上面的材料并解决下面问题:现给出平面的方程为,经过的直线的方程为,则当变化时,直线与平面所成角的正弦值最大时,平面的方程为.六、解答题(本大题共5小题)15.在第29个“世界读书日”到来之际,树人中学举办了读书知识竞赛,现从参加竞赛的同学中,选取100名同学并将其成绩(百分制,均为整数)分成六组:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,第6组90,100,得到如图所示的频率分布直方图.(1)求a的值,并估计这100名学生成绩的第85百分位数(保留一位小数);(2)若先用分层抽样方法从得分在和的学生中抽取5人,然后再从抽出的5人中任意选取2人,调查其读书情况,求此2人得分不在同一组的概率.16.如图,在四棱锥中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱AP的长为2,且与的夹角都等于在棱PD上,,设,.
(1)试用表示向量;(2)求与的夹角.17.如图,在长方体中,.
(1)证明:平面;(2)求到平面的距离.18.如图1,等腰中,底分别为的中点,为的中点,将沿折起到的位置,使得平面平面,如图2.(1)求证:平面;(2)为线段上靠近的三等分点,求平面与平面夹角的余弦值.19.如图,已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形,,且底面,点P、Q分别是棱的中点.(1)在底面内是否存在点,满足平面?若存在,请说明点的位置,若不存在,请说明理由;(2)设平面交棱于点T,平面将四棱台分成上,下两部分,求与平面所成角的正弦值.
答案1.【正确答案】C【详解】在空间直角坐标系中,关于平面的对称点的特征为坐标不变,取相反数,因为点的坐标为,所以点关于平面对称的点是.故选:C.2.【正确答案】B【详解】因为,且与共线,所以,解得,所以.故选:B.3.【正确答案】ACD【详解】对于A,根据极差定义,该组数据的极差为,故A正确;对于B,因为,所以该组数据的分位数为,故B错误;对于C,该组数据的平均数为,故C正确;对于D,若该组数据去掉得到一组新数据,则新数据6,11,12,17,19,31的平均数为,所以这两组数据的平均数相等,故D正确.故选:ACD.4.【正确答案】C【详解】如图所示根据题意知又因三棱柱,所以可知平面都是矩形,则,所以,根据向量的平行四边形法则可得故选:C5.【正确答案】D【详解】,设平面的一个法向量为,由得,令得,所以,则点到平面的距离为.故选:D.6.【正确答案】C【详解】,,由于,所以三点不共线,可得,即可得,解得.故选:C.7.【正确答案】A【详解】由二面角的平面角的定义知向量,所以,得,由得,因为,所以,可得.故选:A.8.【正确答案】A【详解】由题意知,平面,平面,所以,又,故以为原点,所在的直线分别为轴,建立如图空间直角坐标系,则,得所以,,记,则,所以F到直线BC的距离为.故选:A9.【正确答案】ABC【详解】解:对于A,因为两个不重合的平面法向量平行,则其中一个平面的法向量也垂直于另一个平面,即可得一平面的法向量垂直于两个不同平面,所以这两个平面平行,故正确;对于B,因为两直线的方向向量不平行,所以这两直线不平行,故正确;对于C,因为,所以,所以,故正确;对于D,因为,,所以,所以,所以或,故错误.故选:ABC.10.【正确答案】AB【详解】对于A,令,则,解得,可得,故A正确;对于B,若与共面,则,使得,故B正确;对于C,因为是空间的一个基底,所以不共面,假设共面,则存在实数,使得,即,解得,所以假设成立,所以不能构成空间一个基底,故C错误;对于D,若,则共面,反之也正确,故D错误.故选:AB.11.【正确答案】BD【详解】如图建立以为坐标原点空间直角坐标系,设,,则,所以因为平面,所以,可得,由可知点在侧面对角线上,故A错误,B正确;,可得,所以,故当时,,故D正确.故选:BD.12.【正确答案】【详解】由题意可知,根据点到平面的距离为.故13.【正确答案】0.775/【详解】由题意,开关在某段时间均正常工作的概率,开关在某段时间正常工作的概率,这段时间内线路正常工作的概率为.故0.775.14.【正确答案】【详解】由题设知:平面的法向量,直线的方向向量,且平面与直线相交于,所以直线与平面所成角的正弦值为,对于二次函数,其是图象一条开口向上的抛物线,对称轴为,当时,函数取到最小值,且最小值为,此时直线l与平面α所成角的正弦值取到最大值,最大值为,对应平面的方程为.故答案为.15.【正确答案】(1),(2)【详解】(1)由频率分布直方图可得:,解得;因为成绩在的频率为,所以,第百分位数位于,设其为,则,解得,所以,第百分位数约为.(2)由频率分布直方图可知:得分在和内的频率分别为0.04和0.06,采用分层抽样知,抽取的5人,在内的人数为2人,在内的人数为3人,设分数在[40,50)内的2人为,分数在[50,60)内的3人为,则在这5人中抽取2人的情况有:,,,,,,,,,,共有10种情况,其中得分不在同一组的2人有:,,,,,,有6种情况,所以概率为.16.【正确答案】(1)(2)【详解】(1);(2)因为,,,所以,所以,因为,所以与的夹角为.17.【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】(1)在长方体中,以D为坐标原点,向量分别为轴建立空间直角坐标系,
则,所以,,所以,又因,平面,平面,所以平面;(2)设平面的法向量为n=x,y,z,到平面的距离为,由,所以,令,可求得则,所以.18.【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】(1)因为,为的中点,所以,因为平面平面,平面平面,平面,所以平面;(2)如图,由(1)知平面,取的中点,连接,则,以为坐标原点,所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系,因为,所以,可得,,由得,则,设n=x,y,z为平面则,即,令,则,所以,为平面的一个法向量,所以,由图可得平面与平面夹角的余弦值为.19.【正确答案】(1)存在点(2)【详解】(1)因底面,且是正方形,故可以点为坐标原点,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,如图所示.则因点P、Q分别是棱的中点,则,,假设在底面内存在点,使得平面,则则由,解得,故存在点,满足平面;(2)按照(1)建系,设点,依题意,四点共面,故必有,即,则得,,解得,即,又,设平面的法向量为,则,故可取.因,设与平面所成角为,则.即与平面所成角的正弦值为.2024-2025学年河北省张家口市尚义县高二上学期10月月考数学阶段检测试卷(二)一、单选题(本大题共8小题)1.设直线的倾斜角为,则(
)A. B. C. D.2.已知平面的一个法向量为,直线的一个方向向量为,若,则(
)A. B. C.1 D.23.已知直线与平行,且过点,则(
)A. B.3 C. D.24.如图,在正三棱锥中,点为的重心,点是线段上的一点,且,记,则(
)A. B.C. D.5.已知从点发出的一束光线,经过直线反射,反射光线恰好过点,则反射光线所在的直线方程为(
)A. B.C. D.6.如图,在直三棱柱中,是等边三角形,,,则点到直线的距离为(
)A. B. C. D.7.已知实数满足,且,则的取值范围为(
)A. B.C. D.8.在正三棱锥中,,点满足,则的最小值为(
)A. B. C. D.二、多选题(本大题共3小题)9.已知空间向量,且,则下列说法正确的是(
)A. B.C. D.10.已知直线:和直线:,下列说法正确的是(
)A.始终过定点 B.若,则或C.若,则或2 D.当时,始终不过第三象限11.如图,在棱长为2的正方体中,点是底面内的一点(包括边界),且,则下列说法正确的是(
)A.点的轨迹长度为B.点到平面的距离是定值C.直线与平面所成角的正切值的最大值为D.的最小值为三、填空题(本大题共3小题)12.已知过点的直线在轴上的截距是其在轴上截距的3倍,则满足条件的一条直线的方程为.13.已知向量,若共面,则.14.如图,在正三棱柱中,为棱上的动点(包括端点),为的中点,则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.四、解答题(本大题共5小题)15.已知的顶点坐标为.(1)若点是边上的中点,求直线的方程;(2)求边上的高所在的直线方程.16.如图,在直三棱柱中,,点分别为棱的中点.(1)求证:平面;(2)求直线与直线的夹角的余弦值.17.如图,在直四棱柱中,四边形是矩形,,点是棱上的一点,且.(1)求证:四边形为正方形;(2)求直线与平面所成角的正弦值.18.已知直线过定点P.(1)求过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程;(2)若直线过点且交轴正半轴于点,交轴负半轴于点,记的面积为(为坐标原点),求的最小值,并求此时直线的方程.19.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,,,,,且平面平面,在平面内过作,交于,连.(1)求证:平面;(2)求二面角的正弦值;(3)在线段上存在一点,使直线与平面所成的角的正弦值为,求的长.
答案1.【正确答案】A【分析】设直线的倾斜角为,根据题意,得到,即可求解.【详解】由直线,可得直线的斜率为,设直线的倾斜角为,其中,可得,所以.故选A.2.【正确答案】B【分析】根据得到,根据数量积为求解.【详解】因为,所以,所以,解得.故选B.3.【正确答案】D【分析】根据两直线平行的条件求出,将代入直线求出即可.【详解】因为直线与直线平行,所以,解得,又直线过,则,解得,经验证与不重合,所以.故选D.4.【正确答案】A【分析】结合图形,利用向量的线性运算将所求向量用基底表示化简即得.【详解】如图,连接并延长交于点,连接.因为为的重心,故,又点是线段上的一点,且,故.故选A.5.【正确答案】C【分析】运用点关于线的对称找出对称点,结合光线反射性质计算即可.【详解】点关于对称的点设为,则,反射光线经过点,则反射光线所在的直线方程为,即.故选C.6.【正确答案】C【分析】取的中点,以所在直线为轴,所在直线为轴,与中点连线所在直线为轴,建立空间坐标系,利用空间向量求解即可.【详解】取的中点,则,以所在直线为轴,所在直线为轴,与中点连线所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,所以,所以,所以在上的投影的长度为,故点到直线的距离为.故选C.7.【正确答案】D【详解】由题意知,点满足关系式,且,可得点在线段上移动,且,,如图所示,设,则,因为点在线段上,所以的取值范围是.故选:D.8.【正确答案】B【详解】如图所示,延长至点,使得,所以,又由,所以四点共面,所以的最小值,即为点到平面的距离,因为点是的中点,则点到平面的距离是点到平面的距离的一半,又因为,所以三棱锥为正三棱锥,取等边的中心为,连接,可得平面,所以即为点到平面的距离,在等边,因为,可得,在直角中,可得,即点到平面的距离为,所以的最小值为.故选:B.9.【正确答案】ABD【分析】根据空间向量的模的坐标公式即可判断A;根据空间向量共线定理即可判断B;根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标公式即可判断C;根据空间向量夹角的坐标公式即可判断D.【详解】对于A,,,故A正确;对于B,,设,故B正确;对于C,,故C错误;对于D,,故D正确.故选ABD.10.【正确答案】ACD【详解】选项A::,令,得,过点,A正确;选项B:当时,,重合,故B错误;选项C:当时,由,得或2,故C正确;选项D:当时,:始终过,斜率为负,不会过第三象限,故D正确.故选:ACD11.【正确答案】BCD【详解】对于A,因为,即,所以,即点在底面内是以为圆心、半径为1的圆上,所以点的轨迹长度为,故A错误;对于B,在正方体中,,又平面,所以平面,所以点的轨迹为线段,又平面,所以点到平面的距离是定值,故B正确;对于C,因为平面,所以为直线与平面所成角,因为点到的距离为定值2,记点在平面的投影为,所以当取得最小值时,直线与平面所成角的正切值最大,又,所以直线与平面所成角的正切值的最大值为,故C正确;对于D,到直线的距离为,当点落在上时,,故D正确.故选:BCD.12.【正确答案】(答案不唯一:或)【详解】由题意若过点的直线在坐标轴上的截距均为0,则显然满足题意,即,否则设满足题意的直线方程为,将代入得a=2,即也满足题意.故(答案不唯一:或).13.【正确答案】5【分析】根据共面向量基本定理,即可列式求解.【详解】因为共面,所以存在实数,使得,即,即,解得:,,.故5.14.【正确答案】【详解】取中点,以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,设,且,因为为的中点,故,于是,平面的一个法向量为,,设,则,,故,即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为.故.15.【正确答案】(1)(2)【分析】(1)由中点坐标公式得到,再由两点求出斜率,最后由点斜式方程求出即可;(2)由两直线垂直求出边上的高所在的直线的斜率为,再由点斜式得到直线方程即可;【详解】(1)因为点是边上的中点,则,所以,所以直线的方程为,即;(2)因为,所以边上的高所在的直线的斜率为,所以边上的高所在的直线方程为,即.【关键点拨】求三角形一边的高所在的直线方程时,可利用点斜式求解,由于高线过三角形一个顶点,与对边垂直,借助垂直求出斜率,利用点斜式写出直线方程.16.【正确答案】(1)答案见解析(2)【分析】(1)先证,再由线线平行正线面平行即可;(2)由题意建系,求出相关点和向量的坐标,利用空间向量的夹角公式计算即得.【详解】(1)因为是直三棱柱,则,又因为点分别为棱的中点,所以,则四边形是平行四边形,所以,又因为平面平面,故平面;(2)如图
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