2024-2025学年广东省肇庆市封开县高三上册10月月考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年广东省肇庆市封开县高三上学期10月月考试数学检测试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则A. B. C. D.2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.3.若，则（）A. B. C. D.4.若正实数满足，则的最小值为（）A.7 B.8 C.9 D.105.已知向量满足，且，则（）A. B. C. D.6.满足集合为的子集且的集合的个数是（

）A.6 B.7 C.8 D.157已知向量满足，且，则（）A. B. C. D.18.若不等式在x1≤x≤2上有解，则a的取值范围是（）A. B. C. D.二､多选题：（每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）9.下列选项中，正确的是（

）A.若，，则，B.若不等式的解集为，则C.函数的图象恒过定点D.若，，且，则的最小值为910.下列说法中正确的是（）A.非零向量和满足，则与夹角为B.向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C.若，则在方向上的投影向量的模为D.若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是11.已知函数的图像关于点中心对称，则（）A.在区间单调递减B.在区间有两个极值点C.直线是曲线的对称轴D.直线是曲线的切线三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12已知，，则________．13.若函数在上为增函数，则取值范围为_____.14.在边长为1正方形中，点为线段的三等分点，，则__________；为线段上的动点，为中点，则的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A．（2）若，，求的周长．16.函数，其中．（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，f（x）的最小值为0，求a的值．17.设函数，其中其中的最小正周期为．（1）求；（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的值域．18.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．19.通过两角和的正､余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式.例如.（1）根据上述过程，推导出关于表达式；（2）求的值；（3）求的值.2024-2025学年广东省肇庆市封开县高三上学期10月月考试数学检测试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则A. B. C. D.【正确答案】B【分析】解一元二次不等式化简集合A,求函数的值域化简B.然后求.【详解】依题意，，故.故选B.本题考查了集合的交集运算,属基础题.2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由题意可得，再根据复数的四则运算计算即可.【详解】因为，所以.故选：A.3.若，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】结合三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，化简，代入即可求解.【详解】由三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，可得.故选：C.4.若正实数满足，则的最小值为（）A.7 B.8 C.9 D.10【正确答案】C【分析】利用消元法，消去，再利用基本不等式进行求解即可.【详解】由为正实数，且，得，则，当且仅当，即时，取最小值9.故选：C.5.已知向量满足，且，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为,所以,即,即,所以.如图,设,由题知,是等腰直角三角形,AB边上的高,所以,,.故选:D.6.满足集合为的子集且的集合的个数是（

）A.6 B.7 C.8 D.15【正确答案】C【分析】根据子集的概念得到答案.【详解】因为集合，则集合可以为,，，，，，，共8个，故选：C7.已知向量满足，且，则（）A. B. C. D.1【正确答案】B【分析】由得，结合，得，由此即可得解.【详解】因为，所以，即，又因为，所以，从而.故选：B.8.若不等式在x1≤x≤2上有解，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由已知将不等式进行参变分离得，再根据函数的单调性求得最值，由此可得选项.【详解】解：因为，所以不等式化为，又在上单调递减，所以当时，有最小值．所以a的取值范围是．故选：B．方法点睛：解答本题有两个关键，其一是分离参数得到有解，其二是求出函数在x1≤x≤2上的最小值．二､多选题：（每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）9.下列选项中，正确的是（

）A.若，，则，B.若不等式的解集为，则C.函数的图象恒过定点D.若，，且，则的最小值为9【正确答案】ACD【分析】根据命题的否定即可判断A选项；利用一元二次不等式的解集即可判断B选项；利用对数函数过定点即可判断C选项；利用基本不等式即可判断D选项.【详解】对于A：由题知，“”的否定是“”，故A正确；对于B：若不等式的解集为，则的两根为，且，根据韦达定理有:，解得，所以，故B错误；对于C：对数函数恒过，所以恒过，故C正确；对于D：因为，所以，当且仅当，即时等式成立，故的最小值为9，故D正确.故选：ACD.10.下列说法中正确的是（）A.非零向量和满足，则与的夹角为B.向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C.若，则在方向上的投影向量的模为D.若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是【正确答案】BC【分析】利用数量积的运算律可得，再求出，最后根据夹角公式计算即可判断A，由即可判断B，根据投影的定义判断C，根据且与不能同向，即可得到不等式组，解得即可判断D.【详解】对于A：由，，所以，即，所以，所以，所以与的夹角为，故A错误；对于B：由，，所以，则与共线，不能作为平面向量的基底，故B正确；对于C：，则或，则在方向上的投影向量的模为，故C正确；对于D：由，，则，若与的夹角为锐角，则且与不能同向，即，解得且，故D正确；故选：BC．11.已知函数的图像关于点中心对称，则（）A.在区间单调递减B.在区间有两个极值点C.直线是曲线的对称轴D.直线是曲线的切线【正确答案】AD【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：f2π3=sin即，又，所以时，，故．对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；对C，当时，2x+2π3=3π，对D，由y'=2cos2x+2解得或,从而得：或,所以函数在点处的切线斜率为k=y'x=0=2切线方程为：y−32=−(x−0)故选：AD．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则________．【正确答案】【分析】利用三角函数的基本关系式结合即可求得和的具体值，则可求.【详解】因为，由解得或又，所以，，所以．故答案为.13.若函数在上增函数，则取值范围为_____.【正确答案】【详解】函数在上为增函数，则需，解得，故填.14.在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则__________；为线段上的动点，为中点，则的取值范围为__________.【正确答案】①②.【分析】第一空：解法一：由图结合向量加减法可得答案；解法二：如图建立直角坐标系，由题意可得答案；第二空：在上一空解法二的基础上，设，结合题意可得关于的表达式，即可求得取值范围.【详解】第一空：解法一：因为，即，则，可得，所以；解法二：由题意可知：以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则，可得，因为，则，所以；第二空：因为点在线段上，设，且中点，则，可得，则，因为时函数递增，所以当时，取到最小值为；当时，取到最大值为；则的取值范围为，故答案：；.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A．（2）若，，求的周长．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长.【小问1详解】方法一：常规方法（辅助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用极值点求解设，则，显然时，，注意到，，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，即，即，又，故方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设，由题意，，根据向量的数量积公式，，则，此时，即同向共线，根据向量共线条件，，又，故方法五：利用万能公式求解设，根据万能公式，，整理可得，，解得，根据二倍角公式，，又，故【小问2详解】由题设条件和正弦定理，又，则，进而，得到，于是，，由正弦定理可得，，即，解得，故的周长为16函数，其中．（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，f（x）的最小值为0，求a的值．【正确答案】（1）或（2）或【分析】（1）直接解一元二次不等式；（2）先求出对称轴，然后分，和三种情况求其最小值即可.【小问1详解】当时，不等式，即，解得或，所以不等式的解集为或；【小问2详解】易知的对称轴为，①当时，函数在上单调递增，则，得，符合题意；②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，解得或（舍）；③当时，函数在上单调递减，则，解得，不符合题意，综上所述，的值为或.17.设函数，其中其中的最小正周期为．（1）求；（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的值域．【正确答案】（1）2（2）【分析】（1）根据两角差的正弦公式，诱导公式，辅助角公式得，结合周期公式即可求解；（2）根据图象变换，得，结合正弦函数的图象即可求解值域．【小问1详解】，因为的最小正周期为，所以．【小问2详解】由（1）得，根据变换，得，因为，所以，所以，所以．18.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可.【小问1详解】当时，则，，可得，，即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即.【小问2详解】解法一：因为的定义域为R，且，若，则对任意x∈R恒成立，可知在R上单调递增，无极值，不合题意；若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则有极小值，无极大值，由题意可得：，即，构建，则，可知在0,+∞内单调递增，且，不等式等价于，解得，所以a的取值范围为1,+∞解法二：因为的定义域为R，且，若有极小值，则有零点，令，可得，可知与有交点，则，若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则有极小值，无极大值，符合题意，由题意可得：，即，构建，因为则在0,+∞内单调递增，可知在0,+∞内单调递增，且，不等式等价于，解得，