中考数学三轮冲刺培优训练专题07二次函数的应用（解析版）

专题07二次函数的应用最新模拟50道押题预测（销售、分段、投球、喷水、拱桥）类型一、二次函数的应用：销售问题1．（2023·广西南宁·校考一模）某商店购进一批清洁剂，每瓶进价为20元，出于营销考虑，要求每瓶清洁剂的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该清洁剂每周的销售量y（瓶）与每瓶清洁剂的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为23元时，销售量为34瓶；当销售单价为25元时，销售量为30瓶．(1)求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)设该商店每周销售这种清洁剂所获得的利润为w元，将该清洁剂销售单价定为多少元时，才能使商店销售该清洁剂所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)y=−2x+80(2)该清洁剂销售单价定为28元时，才能使商店销售该清洁剂所获利润最大，最大利润是192元．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题.【详解】（1）解：设y与x的关系式为y=kx+b，由题意，得，图象过点23,34与25,30，把23,34与25,30代入，得：23k+b=3425k+b=30解得：k=−2b=80∴y与x之间的函数关系式为y=−2x+80，∵每瓶清洁剂的售价不低于20元且不高于28元，∴20≤x≤28；（2）解：由题意可得：w==−2=−2x−30此时当x=30时，w最大，又由（1）可知：20≤x≤28，当x<30时，y随x的增大而增大，即当x=28时，w最大=−228−30答：该清洁剂销售单价定为28元时，才能使商店销售该清洁剂所获利润最大，最大利润是192元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质．2．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发现进价为40元的新款头盔每月的销售量y(件)与售价x(元)的相关信息如下：售价x(元)60708090…销售量y(件)280260240220…(1)试用你学过的函数来描述与x的关系，这个函数可以是(填“一次函数”或“二次函数”)，写出这个函数解析式为．(2)若获利不得高于进价的80%【答案】(1)一次函数；y=−2x+400(2)售价定为72元时，月销售利润达到最大【分析】（1）由表格知，售价每增加10元，销售量对应减少20元，所以这个函数是一次函数，然后待定系数法求解析式即可求解；（2）设利润为W，则W=(x−40)(−2x+400)=−2(x−120)【详解】（1）由表格知，售价每增加10元，销售量对应减少20元，所以这个函数是一次函数，设其解析式为y=kx+b，根据题意，得60k+b=280解得k=−2∴y=−2x+400，故答案为：一次函数；y=−2x+400；（2）设利润为W，则W=(x−40)(−2x+400)=−2(x−120)∵获利不得高于进价的80%∴40≤x≤72，∵−2<0，∴当x≤120时，W随着x的增大而增大，∴当x=72时，W最大，答：售价定为72元时，月销售利润达到最大．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键．3．（2023·广东茂名·统考一模）我市某景区商店在销售北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品时，发现该纪念品的月销售量y件是销售单价x元的一次函数，如表是该商品的销售数据．销售单价x（元）4050月销售量y（件）10080(1)求y与x的函数关系式；(2)若该商品的进货单价是30元．请问，每件商品的销售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？【答案】(1)y与x的函数关系式为y=−2x+180；(2)每件商品的销售价定为60元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是1800元．【分析】（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，再根据待定系数法求解即可；（2）根据月利润=每件商品的利润×月销售量列出列出解析式，再将其化为顶点式，再根据其性质取最大值即可．【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为y=kx+b，根据题意得，100=40k+b80=50k+b解得：k=−2b=180∴y与x的函数关系式为y=−2x+180；（2）解：设每个月可获得的利润为w，根据题意得，w=x−30整理得，w=−2x−60∵−2<0，∴该抛物线开口向下，w有最大值，当x=60时，w有最大值，最大值为1800元．∴每件商品的销售价定为60元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是1800元．【点睛】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．4．（2023·河南周口·校联考一模）受2022年卡塔尔世界杯的影响，全世界范围内掀起了踢足球热潮，值此时机，某足球生产厂商推出了一款成本为50元的足球，物价部门规定，该产品利润率不得高于100%，经调查，该产品的日销量（个)与售价x（元)(x>50)售价x（元）6070100日销量y（个）14012060(1)求日销量y（个）与售价x（元）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)①请写出每天销售总利润w（元）与售价x（元）之间的函数关系式；②如果厂商请你帮忙定价，售价定为多少元可使每天总利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)y=−2x+260，50≤x≤100(2)①w=−2x2+360x−1300；②当x=90【分析】（1）根据一次函数过(60，140),(70，120)可求出函数关系式；（2）①根据题意求出总利润w与x的函数关系式即可；②依据函数的增减性和自变量的取值范围即可得到结论．【详解】（1）解：设关系式为y=kx+b，把(60，140),(70，120)代入得：60k+b=14070k+b=120解得k=−2b=260故y与x的之间的函数关系式为y=−2x+260，x的取值范围为：50≤x≤100；（2）①w=(x−50)(−2x+260)=−2x即每天销售总利润w（元）与售价x（元）之间的函数关系式为w=−2x②w=−2x∵a=−2<0，抛物线开口向下，对称轴为x=90，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，∵50≤x≤100，∴当x=90时，利润w最大，最大利润为14900元．【点睛】本题考查一次函数、二次函数的性质，求出相应的函数关系式和自变量的取值范围是解决问题的关键，在求二次函数的最值时，注意自变量的取值范围，容易出错．5．（2023·黑龙江大庆·校考一模）某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过50万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图像是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图像是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）(1)直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式，（不必写出自变量的取值范围）；(2)求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？(3)由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过80万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？【答案】(1)y=(2)W=−2(3)今年最多可获得毛利润240万元【分析】（1）结合图像，利用待定系数法求出y与x以及z与x之间的函数关系式即可；（2）根据“毛利润=销售额﹣生产费用”可得w与x之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可；（3）令y=80，解方程求得x的值，然后根据函数图像结合y的取值范围，求得x的取值范围，最后根据二次函数的性质即可解答．【详解】（1）解：图①可得函数经过点50，设抛物线的解析式为y=ax将点50，500代入得：500=2500a，解得：故y与x之间的关系式为y=1图②可得：函数经过点0，设z=kx+b，则b=2050x+b=10，解得：b=20故z与x之间的关系式为z=−1故答案为：y=1（2）解：W=zx−y=−=−=−=−∵−2∴当x＝25时，W有最大值250，∴年产量为25万件时毛利润最大，最大毛利润为250万元．（3）解：令y=80，得15x2由图像可知，当0＜y≤80时，由y=−x−25当0＜x≤20时，W随故当x＝20时，W有最大值240．答：今年最多可获得毛利润240万元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、运用待定系数法求函数解析式、二次函数的图像和性质等知识点，根据二次函数图像获取所需信息是解答本题的关键．6．（2023·北京海淀·人大附中校考一模）为指导菜农生产和销售某种蔬菜，小明进行了如下调查，得到某种蔬菜的售价x（元/千克）与相应需求量p（千克）以及供给量q（千克）的数据，如下表：售价x（元/千克）…2.533.54…需求量p（千克）…7.757.26.555.8…供给量q（千克）…1.522.53(1)观察表中的数据，小明发现：供给量q（千克）与售价x（元/千克）之间满足______函数关系（横线上填“一次”、“二次”或“反比例”），它的函数表达式为______；(2)为了研究这种蔬菜的需求量p（千克）与售价x（元/千克）之间的关系，小明在坐标系中，以售价为横坐标、相应需求量为纵坐标描出下列四个点，将其用平滑曲线连线，如图．通过再图观察，小明发现这种蔬菜的需求量p（千克）与售价x（元/千克）之间满足二次函数关系，并进一步确定它的函数表达式满足p=ax2+c的形式，请求出p(3)为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为多少？【答案】(1)一次函数，y=x−1(2)p=−(3)为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为5元．【分析】（1）根据供给量q（千克）与售价x（元/千克）之间的数量关系可得到答案；（2）利用待定系数法求出函数表达式即可；（3）根据供给量与需求量相等得到−1【详解】（1）解：观察表中的数据，可发现供给量q（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，它的函数表达式是y=x−1，故答案为：一次函数，y=x−1（2）由表格可知当x=2.5时，y=7.75，当x=3时，y=7.2，∴7.75=a×解得a=−1∴p关于x关于的函数表达式是p=−1（3）当蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等）时，−1即x2解得x1∴为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为5元．【点睛】此题考查了一次函数和二次函数的综合应用，还考查了待定系数法、解一元二次方程等知识，根据题意得到函数解析式是解题的关键．7．（2023·湖北孝感·校考一模）中考临近，某中学食堂为提高全体初三学子伙食，精心购买A、B两种食材共600kg，A食材的价格为每千克5元，当B食材购买量不大于300kg时，B食材的价格为每千克9元，当B食材购买量大于300kg时，每增加10kg，B食材的价格降低0.1元．设购买B种食材(1)若x<300，购买A、B两种食材共花了3800元，求A、B两种食材各多少千克？(2)若x>300，且购买A食材的数量不少于B食材数量的一半，求购买A种食材多少千克时，购买的总费用最少，最少总费用是多少元？(3)若购买A食材不超过mkg(m<250)，购买B食材超过300kg【答案】(1)购买A种食材400kg，购买B种食材200(2)购买A种食材200千克时，购买的总费用最少，最少总费用是4200元(3)100【分析】（1）设购买B种食材xkg，则购买A种食材600−x（2）根据总费用等于A，B两种食材费用之和列出函数解析式，再根据函数的性质求最值；（3）令（2）中解析式w=4000，则解一元二次方程即可．【详解】（1）解：设购买B种食材xkg，则购买A种食材600−x5600−x解得：x=200，所以600−x=400，答：购买A种食材400kg，购买B种食材200kg（2）解：当x>300时，购买B种食材的价格为每千克9−x−300设购买的总费用为w元，根据题意得：w=5600−x整理得：w=−0.01x∴该函数图象的对称轴为直线x=350，∵购买A食材的数量不少于B食材数量的一半，∴600−x≥12x∵x>300且x为10的整数倍，∴300<x≤400且x为10的整数倍，∵−0.01<0，∴该函数图象向下，∴当300<x<350时，w随x的增大而增大，当350<x≤400时，w随x的增大而减小，∴当x=400时，w有最小值，最小值为w=−0.01400−3502+4225=4200∴购买A种食材200千克时，购买的总费用最少，最少总费用是4200元；（3）解：由题意，结合（2）得：令w=−0.01x解得：x1∵购买B食材超过300千克，∴x=200应舍去，只取x=500，∴m=600−500=100．【点睛】本题考查了二次函数和一元一次方程以及一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式或方程．8．（2023·广东佛山·统考一模）垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个方面共同发力．洛阳市某超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销，生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，定制不超过200套时．每套费用60元；超过200套后，超出的部分8折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为56元1套(1)该超市定制了这款垃圾桶多少套？(2)超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为80/套时，平均每天可售出20套；售价每降低1元．平均每天可多售出2套，售价下降多少元时．可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？【答案】(1)该超市定制这款垃圾桶300套(2)售价下降7元时，平均每天销售此款垃圾桶的利润最大【分析】（1）设该超市定制了这款垃圾桶x套，根据题意，列出方程，即可；（2）设售价下降m元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为y元，根据题意，列出方程，解出方程，即可．【详解】（1）设该超市定制了这款垃圾桶x套，∵56<60，∴x>200，∴60×200+60×x−200解得：x=300，答：该超市定制了这款垃圾桶300套．（2）设售价下降m元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为y元，∴y=80−56−my=−2m∵−2<0且0<m<24，∴当m=7时，y有最大值，答：售价下降7元时，平均每天销售此款垃圾桶的利润最大．【点睛】本题考查一元一次方程和二次函数的知识，解题的关键是掌握一元一次方程和二次函数的运用，根据题意，列出等式．9．（2023·安徽淮北·淮北一中校联考一模）某商场试销一款玩具，进价为20元/件，商场与供货商约定，试销期间利润不高于30%，且同一周内售价不变．从试销记录看到，当售价为22元时，一周销售了80件该玩具；当售价为24元时，一周销售了60件该玩具．每周销量y（件）与售价x(1)求每周销量y（件）与售价x（元）之间的关系式；(2)若商场一周内销售该玩具获得的利润为210元，则该玩具的售价为多少元?(3)商场将该玩具的售价定为多少时，一周内销售该玩具获得利润最大?最大利润W为多少元?【答案】(1)y=−10x+300(2)23元(3)25元；250元【详解】（1）解：（1）设每周销量y（件）与销售单价x（元）之间的关系式为y=kx+b则22k+b=8024k+b=60解得：∴y（件）与销售单价x（元）之间的关系式为：y=−10x+300故答案为：y=−10x+300（2）解：根据题意可得x−20整理，得x2−50x+621=0，解得x∵利润不高于30%∴x≤20×(1+30∴x∴x=23答：该玩具的售价为23元．故答案为：23元．（3）根据题意得：W=x−20∵a=−10<0∴W随着x的减小而增大∴当x=25时，W取最大值且W=250元答：最大利润W为250元．故答案为：250元【点睛】本题主要考查的是二次函数的图像和性质、解一元二次方程、解二元一次方程以及待定系数法求一次函数．解题过程中需要注意通过因式分解实现降次求得的x取值是否符合题意以及是否能熟练掌握顶点式二次函数的解析式．10．（2023·陕西西安·模拟预测）一食品店平均每天可卖出300个某种甜点，卖出1个甜点的利润是1元，经调查发现，零售单价每下降0.1元，每天可多卖出100个甜点，为了使每天获得的利润更多，该店决定把零售单价下降m(0<m<1)元．(1)零售单价下降0.2元后，该店平均每天可卖出______个甜点，利润是______元；(2)在不考虑其它因素的条件下，当m定为多少元时，才能使该店每天获得的利润是420元，并且卖出的甜点更多；(3)若使该店每天获取的利润最大，m应定为多少元？并求出此时的最大利润．【答案】(1)500，400(2)0.4元(3)当m应定为0.35元时，该店每天获取的利润最大，最大利润为422.5元【分析】（1）根据题意先求出每天可卖出的甜点数，再根据利润=单个甜点利润×销售量求出对应的利润即可；（2）根据利润=单个甜点利润×销售量列出方程求解即可；（3）设每天的利润为W，根据利润=单个甜点利润×销售量列出W与x的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：300+100×0.2∴零售单价下降0.2元后，该店平均每天可卖出500个甜点，∴此时的利润是1−0.2×500=400故答案为：500，400；（2）解：由题意得，300+m整理得：50m2−35m+6=0解得m=0.3或m=0.4，∵要使且卖出的甜点更多，∴降价越多，即m=0.4，∴当m定为0.4元时，才能使该店每天获得的利润是420元，并且卖出的甜点更多，（3）解：设每天的利润为W，由题意得，W=300+==−1000=−1000m−0.35∵−1000<0，∴当m=0.35时，W最大，最大为422.5，∴当m应定为0.35元时，该店每天获取的利润最大，最大利润为422.5元．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出对应的方程和函数关系式是解题的关键．类型二、二次函数的应用：分段问题11．（2023·河北保定·校考模拟预测）东东在网上销售一种成本为30元/件的T恤衫，销售过程中的其他各种费用（不再含T恤衫成本）总计50（百元）．若销售价格为x（元/件），销售量为y（百件），当40≤x≤60时，y与x之间满足一次函数关系，且当x=40时，y=6，有关销售量y（百件）与销售价格x（元/件）的相关信息如表：销售量y(百件)______y=销售价格x(元/件)40≤x≤6060≤x≤80(1)求当40≤x≤60时，y与x的函数关系式；(2)①求销售这种T恤衫的纯利润w(百元)与销售价格x(元/件)的函数关系式；②销售价格定为每件多少元时，获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)y=−(2)①w=−0.1x2+13x−350(40≤x≤60)−【分析】（1）把x=60代入y=240x得y=3，设y与x的函数关系式为：y=kx+b，把x=40，y=6；x=60，（2）①根据x的范围分类讨论，由“总利润=单件利润×销售量”可得函数解析式；②结合（1）中两个函数解析式，分别依据二次函数的性质和反比例函数的性质求其最值即可．【详解】（1）解：把x=60代入y=240x得设y与x的函数关系式为：y=kx+b，∵当x=40时，y=6，当x=60时，y=4，∴40k+b=660k+b=4解得：k=−1∴y与x的函数关系式为：y=−1故答案为：y=−1（2）①当40≤x≤60时，w=(x−30)(−0.1x+10)−50=−0.1x当60≤x≤80时，w=(x−30)⋅240∴销售这种T恤衫的纯利润w（百元）与销售价格x（元/件）的函数关系式为w=−0.1②当40≤x≤60时，w=−0.1x∵−0.1<0，∴当x=60时，w取得最大值70（百元）；当60≤x≤80时，w=−7200∵−7200<0，∴w随x的增大而增大，∴当x=80时，w最大=100（百元）答：销售价格定为80元/件时，获得的利润最大，最大利润是10000元．【点睛】本题主要考查二次函数和反比例函数的应用，理解题意依据相等关系列出函数解析式，并熟练掌握二次函数和反比例函数的性质是解题的关键．12．（2023·湖北咸宁·校联考一模）李丽大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理品牌服装的销售．已知该品牌服装进价每件40元，日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图所示（实线），每天付员工的工资每人82元，每天应支付其他费用106元．(1)直接写出日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；(2)当某天的销售价为48元/件时，收支恰好平衡（收入=支出），求该店员工人数；(3)若该店只有2名员工，则每天能获得的最大利润是多少元?此时，每件服装的价格应定为多少元?【答案】(1)y=−2x+140(2)3人．(3)每天能获得的最大利润是180元，此时，每件服装的价格应定为55元．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据收入等于支出，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案；（3）分两种情况解答：①当40≤x<58时；②当58≤x≤71时，依据：总利润=单件利润×销售量-工人工资及其他费用列出函数解析式，求解即可．【详解】（1）解：（1）当40≤x<58时，设y与x的函数解析式为y=k1x+b1∴y=−2x+140；当58≤x≤71时，设y与x的函数解析式为y=k24=58k2+∴y=−x+82．综上所述：y=−2x+140(40≤x≤58)−x+82(58（2）设人数为a，当x=48时，y=−2×48+140=44，则(48−40)×44=106+82a，解得：a=3．答：该店员工人数为3．（3）设每件服装的价格为x元时，每天获得的利润为w元．当40≤x<58时w=(x−40)(−2x+140)−82×2−106=−2=−2当x=55时，w最大值=180．当58≤x≤71时w=(x−40)(−x+82)−82×2−106=−=−当x=61时，w最大值＝171．∵180>171∴w最大值=180答：每天能获得的最大利润是180元，此时，每件服装的价格应定为55元．【点睛】本题考查了二次函数的应用与一次函数和一元一次方程的应用能力，理解题意找到符合题意得相等关系函数解析式是解题的关键．13．（2023·湖北孝感·统考一模）某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售120天后，统计发现：在这120天内，该商品每天的销售价格x（元/件）与时间t（第t天）之间满足如图所示的函数关系，该商品的日销售量y（件）与时间t（第t天）之间满足一次函数关系y=150−t．(1)直接写出x与t之间的函数关系式；(2)设销售该商品的日利润为w（元），求w与t之间的函数关系式，并求出在这120天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？(3)在这120天内，日利润不低于4800元的共有多少天？请直接写出结果．【答案】(1)x=(2)w=−(t−55)2+9025(0≤t≤80,且t为整数(3)日利润不低于4800元的共有96天；【分析】（1）根据函数图像利用待定系数法可直接得到答案；（2）根据利润=利润单价×数量，写出函数关系式，再根据函数的性质可直接得到答案；（3）根据利润不低于4800原列不等式即可得到答案；【详解】（1）解：由题意可得，①当0≤t≤80时，设函数解析式为：x=kt+b，由图像可得，函数经过(0,40)，(80,120)，将点代入解析式得，b=4080k+b=120解得：b=40k=1∴x=t+40(0≤t≤80)，②当120≥t≥80时，此时x=120，综上所述可得，x=t+40(0≤t≤80,（2）解：由题意可得，①

当0≤t≤80时，w=(x−30)y=(t+40)(150−t)=−t∵a=−1<0，0≤t≤80，∴当t=55时，w最大，wmax②

当120≥t≥80时，w=(x−30)y=(120−30)(150−t)=−90t+13500，∵k=−1<0，∴y随x增大而减小，∴当t=120时，w最大，∴wmax综上所述：w=−(t−55)2+9025(0≤t≤80,且t为整数（3）解：根据题意可得，−(t−55)2+9025≥4800(0≤t≤80,且t为整数)，解得：0≤t≤80，且t∴80+16=96，综上所述：日利润不低于4800元的共有96天；【点睛】本题考查一次函数解决销售利润问题，二次函数解决销售利润问题及不等式解决销售利润问题，解题的关键是求出利润w与t的函数关系式．14．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．(1)求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？(2)该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表，售价x（元/件）50≤x≤6060<x≤80销售量（件）100400−5x①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件mm>30元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m【答案】(1)A，B两种纪念品每件的进价分别是50元和20元(2)①当x=65时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为1125元；②32【分析】（1）设B纪念品每件的进价是x元，则A纪念品每件的进价是x+30元，根据用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可；（2）①设利润为w，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可；②根据题意可得60<x≤80，此时该商场购进A型纪念品为400−5x件，再由A型纪念品的件数不小于50件，可得60<x≤70，设总利润为y，求出函数关系式，根据二次函数函数的性质，即可求出m的值．【详解】（1）解：设B纪念品每件的进价是x元，则A纪念品每件的进价是x+30元，由题意，得：1000x+30解得：x=20，经检验：x=20是原方程的解；当x=20时：x+30=20+30=50；∴A，B两种纪念品每件的进价分别是50元和20元；（2）解：①设利润为w，由表格，得：当50≤x≤60时，w=x−50∵k=100>0，∴w随着x的增大而增大，∴当售价为60元时，利润最大为：100×60−5000=1000元；当60<x≤80，w=x−50∵a=−5<0，∴当x=65时，利润最大为1125元；综上：当x=65时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为1125元．②∵商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，∴A型纪念品的件数小于100件，∴60<x≤80，此时该商场购进A型纪念品为400−5x件，∴购进B型纪念品为200−400−5x∵A型纪念品的件数不小于50件，∴50≤400−5x<100，∴60<x≤70，设总利润为y元，根据题意得：y=x−50∴y=−5=−5x−55−∴当x<55+m2时，y随∵m>30，∴x=55+m∴当x=70时，y有最大值，∵将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，∴−570−55−解得：m=32．【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，二次函数的应用．根据题意，正确的列出分式方程和函数表示式，利用函数的性质，求最值是解题的关键．15．（2023·四川·校联考模拟预测）2022年全球疫情肆虐，医用物质紧缺，一线的抗议人员奋不顾身，用血肉之躯为我们开辟一条安全的道路，直至11月，全国各地相继宣布解封，各行各业纷纷复工投入上产，“阳光医疗器械厂”立即投入生产，下图表是12月份前5天的防护服售价y（元/套），和销量t（套）的关系表：第x天12345销售价格y（元/套）3032343638销量t（套）100120140160180由于物价部门发现这种乱象，从第5天开始工厂对外调整价格为28元一套，据统计第6天以后防护服销量t（套）和第x天的关系出现：t=−x2+50x−100（6≤x≤20(1)直接写出销量t与第x天（前4天）满足的关系式：并且求出第6天以后第几天的销量最大，最大值为多少；(2)若成本价为22元，该工厂这些天（按20天计）出售防护服得到的利润W（元）与x的函数关系式：直接写出第几天的利润的最大．【答案】(1)t=20x+801≤x≤4(2)第20天的利润的最大，最大值3000元．【分析】（1）前4天销量每天增加20套，故属于一次函数，用待定系数法求解即可；第6天以后销量最值直接求t=−x2+50x−100（2）表示出20天的利润W（元）与x的函数关系式再求最值即可，注意分两种情况讨论即可．【详解】（1）∵由表格可知，前4天销量每天增加20套，∴销量t与第x天（前4天）满足的一次函数关系，设t=kx+b由表格可知1,100和2,120在t=kx+b上∴100=k+b120=2k+b，解得∴销量t与第x天（前4天）满足的t=20x+80；∵t=−x2+50x−100的对称轴为直线∴当6≤x≤20时，t随x的增大而增大∴当x=20时，t最大，最大值t=−20即第6天以后第20天的销量最大，最大值为500套；（2）当1≤x≤5时销售价格y=2x+28∴W=对称轴为直线x=−72∴当1≤x≤5时，W随x的增大而增大∴当x=5时，W最大，最大值W=40×8×9=2880元，当6≤x≤20时，W=对称轴为直线x=25，而−6<0∴当6≤x≤20时，W随x的增大而增大∴当x=20时，W最大，最大值w=6×500=3000，综上所述，第20天的利润的最大，最大值3000元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求函数解析式及分段函数的知识，解答本题的关键是要求同学们熟练掌握配方法求二次函数最值的应用，难度较大．16．（2023·辽宁阜新·校考一模）某玩具连锁店研制出一种新式文具，试销一段时间后发现，若每件文具的售价不超过10元，每天可销售300件；若每件文具售价超过10元，每提高1元，每天的销量就会减少30件，但每件文具售价不得高于20元，这家文具连锁店每天需要支付因这种文具而产生的其他费用（不含文具成本）200元，设每件文具的售价为x（元），文具连锁店每件利润为y元，文具连锁店每天销售这种文具的纯收入为w（元）．（注：纯收入＝销售额﹣成本﹣其他费用）(1)根据题意，填写下表：文具的销售量（件）…300___240___…每件文具售价（元）…8101216…(2)经调查，该文具店每天销售这种文具的每件收入为p（元）与零售价x（元/件）满足一次函数关系，其图象如图，求出p与x之间的函数关系式；(3)如果这种文具每件的售价不超过12元，那么如何定价才能使该文具连锁店每天销售这种文具的纯收入最高？最高纯收入为多少元？【答案】(1)300，(2)p=(3)当售价为12元时可该使该文具连锁店每天销售这种文具的的纯收入最高，最高纯收入为1240元【分析】（1）根据表中文具的销售量和售价的变化情况填空即可；（2）利用表中的对应值确定一次函数解析式即可；（3）分x≤10和x>10两种情况，根据“纯收入=（售价−进价）×销售量−每天固定成本”可得函数解析式，当x≤10时，利用一次函数的增减性求解；当x>10时将二次函数配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解；综合以上两种情况下的最值，从而得出答案．【详解】（1）解：根据题意，当x=10时，销售量为300件，当x=16时，销售量为300−16−10补全表格如图：文具的销售量（件）…300

300

240

120

…每件文具售价（元）…8101216…（2）解：p与x之间的函数关系式为p=kx+b，把点9，3和9k+b=313k+b=7解得k=1b=−6即p与x之间的函数关系式为p=x−6；（3）解：p=0时，解得x=所以文具的进价为6元，每件利润y=x−6，当每件文具售价不超过10元，即x≤10时，w=当每件文具售价超过10元，即x>10时，w=x−6①当x≤10时，w=300x−2000中w随∴当x=10时，w取得最大值，最大值②当x>10时，w=∵−30<0，∴当10<x<13时，w随x的增大而增大，∵x≤12，∴当x=12时，w取得最大值1240；综上，当x=12时，w取得最大值1240；答：当售价为12元时可该使该文具连锁店每天销售这种文具的的纯收入最高，最高纯收入为1240元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此正确列出函数解析式，还要熟练掌握一次函数和二次函数的性质．17．（2023·江西南昌·统考一模）小黄做小商品的批发生意，其中某款“中国结”每件的成本为15元，该款“中国结”的批发单价y（元）与一次性批发量x（x为正整数）（件）之间满足如图所示的函数关系．(1)当200≤x≤400时，求y与x的函数关系式．(2)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”，共支付7280元，求此次批发量．(3)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”x（200≤x≤600）件，小黄获得的利润为w元，当x为何值时，小黄获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)y=−120(2)280件(3)当x=250时，小黄获得的利润最大，最大利润是3125元【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）首先可判断出购买的数量小于400而大于200，则由数量×单价=付款额，列出关于x的一元二次方程即可求解；（3）分200≤x≤400及400<x≤600两种情况分别计算所获的最大利润，再比较即可．【详解】（1）解：由图知，当200≤x≤400时，线段过点(200,30)及(400,20)，设过这两点的线段解析式为：y=kx+b，则有：200k+b=30400k+b=20解得：k=−1即y=−120x+40（2）解：由图知，当x=200时，所付款为：30×200=6000（元），当x=400时，所付款为：20×400=8000（元），而6000<7280<8000，则购买数量位于200与400之间；由题意得：−1即−1解得：x1=280，即此次批发量为280件；（3）解：当200≤x≤400时，w=即w=−1当x=250时，w有最大值，且最大值为3125；当400<x≤600时，批发价固定，批发量越大，则利润越大，则当x=600时，利润最大，且最大利润为：600×(20−15)=3000（元）由于3000<3125，所以当x=250时，小黄获得的利润最大，最大利润是3125元．【点睛】本题是函数与方程的综合，考查了待定系数法求一次函数的解析式，解一元二次方程，二次函数的图象与性质等知识，正确理解题意，准确列出方程或函数关系式是关键，注意数形结合．18．（2023·江苏扬州·校考一模）精准扶贫工作已经进入攻坚阶段，贫苦户李大叔在政府的帮助下，建起塑料大棚，种植优质草莓，今年二月份正式上市销售．在30天的试销中，每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，部分数据如下表：x（天）123…x每天的销售量（千克）101214…

设第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数关系满足如下图像：已知种植销售草莓的成本为5元/千克，每天的利润是w元．（利润＝销售收入﹣成本）(1)将表格中的最后一列补充完整；(2)求y关于x的函数关系式；(3)求销售草莓的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？【答案】(1)见解析(2)y＝{(3)销售草莓的第30天时，当天的利润最大，最大利润是272元【分析】（1）设每天的销售量为z，则用待定系数法可求出每天的销售量与销售天数x的一次函数关系式，根据关系式填表即可；（2）根据图像写出分段函数即可；（3）根据函数关系列出x和w之间的关系式，利用二次函数的性质求最值即可．【详解】（1）设每天的销量为z，∵每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，∴z＝sx+t，∵当x＝1时，z＝10，x＝2时z＝12，∴{s+t=10解得{s=2即z＝2x+8，当x=30时，销售量z=68，则将表格中的最后一列补充完整如下表：x（天）123…30每天的销售量（千克）101214…68（2）由函数图像知，当0＜x≤20时，y与x成一次函数，且函数图像过(10，14)，(20，9)，设y＝kx+b，∴{10k+b=14解得{k=−∴y＝-12x+19（0＜x当20＜x≤30时，y＝9，∴y关于x的函数关系式为y＝{−（3）由题意知，当0＜x≤20时，w＝(2x+8)(−12x+19−5)＝﹣x2+24x∴此时当x＝12时，w有最大值为256，当20＜x≤30时，w＝（2x+8）×（9-5）＝18x+32，∴此时当x＝30时，w有最大值为272，综上所述，销售草莓的第30天时，当天的利润最大，最大利润是272元．【点睛】本题主要考查一次函数的图像和性质，二次函数的应用等知识，熟练掌握一次函数的图像和性质及二次函数的应用是解题的关键．19．（2023·浙江杭州·模拟预测）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．(1)科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？(2)为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？【答案】(1)科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．(2)社区至少要准备2700元购书款．【分析】（1）设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，然后根据题意可列出方程组进行求解；（2）设社区需要准备w元购书款，购买科技类图书m本，则文学类图书有（100-m）本，由（1）及题意可分当30≤m<40时，当40≤m≤50时及当50<m≤60时，进而问题可分类求解即可．【详解】（1）解：设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，由题意得：2x+3y=1544x+5y=282，解得：x=38答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．（2）解：设社区需要准备w元购书款，购买科技类图书m本，则文学类图书有（100-m）本，由（1）可得：①当30≤m<40时，则有：w=38m+26100−m∵12＞0，∴当m=30时，w有最小值，即为w=360+2600=2960；②当40≤m≤50时，则有：w=38−m+40∵-1＜0，对称轴为直线m=26，∴当40≤m≤50时，w随m的增大而减小，∴当m=50时，w有最小值，即为w=−50③当50<m≤60时，此时科技类图书的单价为78−50=28（元），则有w=28m+26100−m∵2＞0，∴当m=51时，w有最小值，即为w=102+2600=2702；综上所述：社区至少要准备2700元的购书款．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用、一次函数与二次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，注意分类讨论．20．（2023·湖北武汉·校考一模）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．冰墩墩以熊猫为原型设计，寓意创造非凡、探索未来．某批发市场购进一批冰墩墩玩偶出售，每件进货价为50元．经市场调查，每月的销传量y（万件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元/件）606268销售量y（万件）403624(1)直接写出y与x之间的函数表达式为；(2)批发市场销售冰墩墩玩偶希望每月获利352万元，且尽量给客户实惠，每件冰墩墩应该如何定价？(3)批发市场规定，冰墩墩的每件利润率不低于10%，若这批玩偶每月销售量不低于20a万件，最大利润为400万元，求a的值．【答案】(1)y=−2x+160(2)每件冰墩墩定价为58元(3)a=2【分析】（1）由表可知单价为60元时，可买40万件，每上涨2元，销量就降4万件，据此有y=40−x−60（2）根据题意列出一元二次方程即可求解，注意以让利给顾客为依据对根作取舍；（3）设销售总利润为w，由题意，得w=x−50−2x+160=−2x−652+450，根据题意得出关于x【详解】（1）由表可知单价为60元时，可买40万件，每上涨2元，销量就降4万件，据此有y=40−x−602×4（2）x−50解得x1=58∵尽量给客户优惠∴每件冰墩墩定价为58元；（3）设销售总利润为w，由题意，得w=x−50−2x+160又∵x−5050≥10∵二次项系数−2<0，抛物线开口向下，①若80−10a≥65，则当x=65时，w最大②若55<80−10a<65，即1.5<a<2.5当55≤x≤80−10a时，w随x的增大而增大，∴x=80−10a时，w最大，此时80−10a−50解得a1=2，∴a=2．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用，根据题意得出y与x的关系式以及列出二元二次方程是解答本题的关键．类型三、二次函数的应用：投球问题21．（2023·河北沧州·校考模拟预测）学校举办篮球比赛，运动员小明跳起投篮，已知球出手时离地面2.4米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手的水平距离4米时到达最大高度（M点）4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈中心距地面3.1米．以地面为x轴，经过最高点（M点）与地面垂直的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．(1)请根据图中信息，求出篮球运行轨迹的抛物线解析式；(2)请问运动员小明的这次跳起投篮能否投中？(3)此时，对方队员乙上前拦截盖帽，且队员乙最大摸高3.2米，若队员乙盖帽失败，则他距运动员小明至少多远？（2≈1.414【答案】(1)y=−(2)小明的这次跳起投篮能投中(3)他距运动员小明至少1.2米【分析】（1）先根据题意得出点的坐标，在根据顶点式带入求解．（2）求当x=3时的求函数值．（3）求出y=3.2时的x值．【详解】（1）解：由题意及图形知：抛物线的顶点为：M(0,4)，过点A(−4,2.4)，设抛物线的解析式为：y=ax∴(−4)解得：a=−1∴抛物线的解析式为y=−1（2）解：当x=3时，y=−1所以小明的这次跳起投篮能投中．（3）解：当y=3.2时，3.2=−1解得：x=±22由题意知：x<0，∴x=−22∴−22所以他距运动员小明至少1.2米．【点睛】此题考查了二次函数的解析式求解及应用，解题的关键是熟练应用二次函数性质．22．（2023·福建·福建省福州第十九中学校考一模）排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次摸拟测试中，某生在O处将球垫偏，之后又在A、B两处先后垫球，球沿抛物线C1→C2→C3运动（假设抛物线C1、C2、C3在同一平面内），最终正好在O处垫住，O处离地面的距离为1米．如图所示，以O为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，x轴平行于地面水平直线m，已知点A32,(1)求抛物线C1(2)第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；(3)为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处B离地面的高度至少为多少米？【答案】(1)y=−1(2)最大高度未达到要求，理由见解析；(3)1.75米．【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出抛物线C1（2）将抛物线C1表达式化为顶点式，得到顶点坐标1,（3）由（1）可知，a=−12，得到抛物线C3表达式为y=−x2+bx，进而得到对称轴为直线x=b2，顶点坐标为b2,b【详解】（1）解：∵抛物线C1表达式为y=ax2∴3解得：a=−1∴抛物线C1的函数表达式为：（2）解：最大高度未达到要求，理由如下：由（1）得，抛物线C1的函数表达式为y=−∵y=−1∴抛物线C1的顶点坐标为1,∵O处离地面的距离为1米，∴球在运动中离地面的最大高度为1+1∴最大高度未达到要求；（3）解：由（1）可知，a=−1∵抛物线C3表达式为y=−∴对称轴为直线x=b2，顶点坐标为∵球在运动中离地面的最大高度达到要求，∴b∴b≥2或b≤−2，∵对称轴在x轴负半轴，∴b<0，∴b≤−2，∵点B的横坐标为−3∴y∴当b=−2时，yB有最小值，最小值为−∴点B离地面的高度至少为1+3【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．23．（2023·江西南昌·统考一模）为增强学生身体素质，创设体育文化氛围，某校开展田径运动会，小贤同学报了投铅球比赛的项目，如图曲线AB就是他投出的铅球运动路线，呈抛物线形，出手点A离地面BC的高度为85m，铅球飞行的水平距离的长度为13m．过A作AO⊥BC于点O，以OB为x轴，OA为(1)写出A，B两点的坐标；(2)若抛物线的解析式为y=a①求ba②若ba【答案】(1)A0,8(2)①−26<ba<0【分析】（1）根据题意可直接得出结果；（2）①根据对称轴在O、B之间可得：0<−b2a<13②利用待定系数法设该抛物线的表达式为y=ax+3x−13，然后将点【详解】（1）解：∵出手点A离地面BC的高度为85m，铅球飞行的水平距离的长度为∴A0,85（2）解：①∵0<−b∴−26<b②∵ba∴对称轴：直线x=5．故该抛物线与x轴的另一个交点为−3,0．∴设y=ax+3将0,85代入上式子得∴a=−8∴b=16故小贤同学投出的铅球运动路线的解析式为y=−8【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意，掌握用待定系数法确定函数解析式及求方程的解是解题关键．24．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图，一小球M从斜坡OA上的O点处抛出，建立如图所示的平面直角坐标系，球的抛出路线是抛物线L1:y=−12x(1)求抛物线L1的表达式，并直接写出抛物线L(2)小球在斜坡上的落点为A，求A点的坐标；(3)在斜坡OA上的B点有一棵树，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由；(4)直接写出小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度．【答案】(1)y=−12(2)7,(3)小球M能飞过这棵，理由见解析(4)49【分析】（1）把点6,6代入L1:y=−1（2）联立得：y=−1（3）把x=2分别代入L2:y=12x（4）根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】（1）解：把点6,6代入L16=−12×∴抛物线L的解析式为y=−1∵y=−1∴抛物线L的对称轴为直线x=4；（2）解：联立得：y=−1解得：x=0y=0或x=7∴A点的坐标为7,7（3）解：小球M能飞过这棵，理由如下：当x=2时，对于L2:y=1对于L1:y=−16−1=5>4，∴小球M能飞过这棵树；（4）解：根据题意得：小球M在飞行的过程中离斜坡OA的距离为−1∵−1∴小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度为498【点睛】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键．25．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）在某场足球比赛中，球员甲将在地面上点A处的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的高度ym与球和点O的水平距离xm的函数y=ax−ℎ2+k的部分图象（不考虑空气的阻力），当足球运行到最高点D时，此时球恰好在球员乙的正上方，球员乙在距点O，12m的点C处，球距地面的高度为(1)当OA=2时，①求y与x的关系式；②当球的高度为3.2m(2)防守队员丙站在距点O正前方10m的点B处，球员甲罚出的任意球高过球员丙的头顶并直接射进对方球门，已知丙的身高为1.76m，即BG=1.76m，球门的高度为2.44m，即【答案】(1)①y=−120x−122+5；②当球的高度为(2)−【分析】（1）依题意，设抛物线解析式为y=ax−122+5，将点A2,0代入，待定系数法求解析式，进而y=3.2，根据对方球门与点（2）设抛物线解析式为y=ax−122+5，依题意，当x=10时，a10−122【详解】（1）解：依题意，设抛物线解析式为y=ax−122+50=100a+5，解得：a=−1∴抛物线解析式为y=−1令y=3.2，即3.2=−1解得：x1∵对方球门与点O的水平距离为20m∴当球的高度为3.2m时，求足球与对方球门的水平距离为14m或（2）解：设抛物线解析式为y=ax−12依题意，当x=10时，a10−12解得：a>−81当x=20时，a20−12解得：a<−1∴−81【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．26．（2023·浙江湖州·统考一模）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，滑雪大跳台在设计时融入了敦煌壁画中“飞天”的元素，故又名“雪飞天”．图1为“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．运动员从D点起跳后到着陆坡AC着落时的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，取水平线OC为x轴，铅垂线OB为y轴，建立平面直角坐标示如图2，从起跳到着落的过程中，运动员的铅垂高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax−ℎ2+ka<0．在着陆坡AC上设置点K32,4水平距离x（m）026101418铅垂高度y（m）20.0021.8024.2025.0024.2021.80(1)在某运动员的一次试跳中，测得该运动员的水平距离x与铅垂高度y的几组数据如上表，根据上述数据，直接写出该运动员铅垂高度的最大值，并求出满足的函数关系式(2)请问在此次试跳中，该运动员的成绩是否达标？(3)此次试跳中，该运动员在空中从起跳到达最高点的高度或从最高点到下落的高度ℎ（m）与时间t（s）均满足ℎ=12gt2【答案】(1)25m；(2)不达标(3)不能【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为10，25.00，从而得到抛物线的解析式为y=ax−10（2）把x=32代入（1）中解析式，即可求解；（3）分别把ℎ=20和ℎ=0.8代入ℎ=12g【详解】（1）解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为10，∴抛物线的解析式为y=ax−10即ℎ=10,k=25，即该运动员铅垂高度的最大值为25m把点0,20代入y=ax−1020=a0−102+25∴满足的函数关系式为y=−1（2）解：当x=32时，y=−1∴该运动员的成绩不达标；（3）解：当ℎ=20时，20=1解得：t=2或−2，当ℎ=0.8时，0.8=1解得：t=0.4或−0.4，∴该运动员从起跳到落地所用时间为2+0.4=2.4<3，∵运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留3秒钟，∴该运动员从起跳到落地不能完成动作．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．27．（2023·北京西城·校考一模）奥运会主火炬手小王练习射箭点火．他需要用火种点燃箭头，然后准确地射向70米远、20米高的火炬塔．火炬塔上面是一个弓形的圣火台，该弓形的弦记为AB，且火炬塔EF垂直平分AB，这支箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这支箭飞行的水平距离为d（单位：m），距地面的竖直高度为ℎ（单位：m），获得数据如表：d（单位：m）010203040506070ℎ（单位：m）1.510.517.522.525.526.525.5k小芳根据学习函数的经验，对函数h随自变量d的变化而变化的规律进行了研究．下面是小芳的探究过程，请补充完整：(1)k的值为_________；(2)在平面直角坐标系中，描全以表中各对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；(3)只要小王射出箭的轨迹与线段AB有公共点AB=4，那么这支箭就可以射入圣火台．请问小王是否可以将这支箭射入圣火台？答：_______________（填“是”或者“否”）(4)开幕式当晚，只要小王射出的箭能够进入圣火台上方边长为4米的正方形ABCD范围内（包含边界），都可以顺利点燃主火炬．小芳发现，在射箭的初始角度和力量不变的情况下，小王还可以通过调整与火炬塔的水平距离来改变这支箭的飞行轨迹（即向右平移原抛物线）．若保证圣火被点燃，小王可以沿横轴正方向移动的最大距离是______________米．（结果请保留根号）【答案】(1)22.5(2)见解析(3)是(4)22−5【分析】（1）根据抛物线的对称性结合表格数据可知当d=70与d=30时的函数值相等，据此即可求解；（2）先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接即可；（3）先求得抛物线的解析式，再求出当d=72时所对应的ℎ的值，再和20作比较即可；（4）利用已求得抛物线的解析式，根据题意，先求得正方形左下角的点A的坐标和右上角的点B的坐标，再根据抛物线的平移列出方程，求得平移的距离，即可求解．【详解】（1）解：∵这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，根据表格数据和二次函数图像的对称的性质可得：对称轴为直线d=50，∴d=70与d=30时的函数值相等，∵当d=30时，ℎ=22.5，∴当d=70时，k=22.5．故答案为：22.5．（2）解：先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接如下图：（3）解：设二次函数的解析式为：ℎ=ad−50当d=40时，ℎ=25.5，∴a40−50解得：a=−0.01，∴二次函数的解析式为ℎ=−0.01d−50当d=72时，ℎ=−0.01×72−50∴小王可以将这支箭射入圣火台．故答案为：是．（4）解：由（3）可知：二次函数的解析式为ℎ=−0.01d−50∵圣火台上方高4米的范围内，都可以顺利点燃主火炬，且射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手可以通过调整与火炬塔的距离来改变这只箭的飞行轨迹，即相当于将图像左右平移可以保证圣火被点燃，依题意，正方形左下角的点A的坐标为68，20，右上角的点B的坐标为设前进nn>0米，即抛物线向右平移n米，当抛物线经过正方形的右上角的点B∴24=−0.0172−50−n解得：n1=22−510故答案为：22−510【点睛】本题考查二次函数的实际应用，考查抛物线的对称性，描点法画函数图像，二次函数图像的平移．根据函数图像获取信息解题的关键．28．（2023·河南郑州·统考一模）原地正面掷实心球是中招体育考试项目之一．受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩．实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度ym与水平距离xm近似满足函数关系(1)第一次训练时，智能实心球回传的水平距离xm与竖直高度y水平距离x/m01234567竖直高度y/m1.82.32.62.72.62.31.81.1则：①抛物线顶点的坐标是______，顶点坐标的实际意义是________；②求y与x近似满足的函数关系式，并直接写出本次训练的成绩．(2)第二次训练时，y与x近似满足函数关系y=−0.09x(3)实心球的抛物线轨迹是影响成绩的重要因素，可以通过多种方法调整实心球的轨迹．小明掷实心球的出手高度不变，即抛物线y=ax2+bx+c(a<0)中c的值不变，要提高成绩应使a【答案】(1)①3,2.7，顶点坐标的实际意义是实心球抛出后达到的最大垂直高度；②y=−0.1x−32(2)有提高，理由见解析(3)a变大，b变大【分析】（1）①根据表格数据和题意可解答；②利用待定系数法求解即可；（2）求出第二次着陆的距离，与第一次比较即可得出结论；（3）可根据抛物线的最大垂直高度、对称轴的位置和着陆距离，结合前两次的函数解析式和结论可作出结论．【详解】（1）解：①根据表格数据，当x=2和x=4时，y值相等，则直线x=3是对称轴，∴顶点坐标为3，由于顶点是抛物线的最高点，故实际意义为实心球抛出后达到的最大垂直高度，故答案为：3,2.7，顶点坐标的实际意义是实心球抛出后达到的最大垂直高度；②设y与x近似满足的函数关系式为y=ax−3将x=0，y=1.8代入，得1.8=a0−32+2.7∴y与x近似满足的函数关系式为y=−0.1x−3令y=0，由0=−0.1x−32+2.7得x∴本次训练的成绩为3+33（2）解：有提高，理由为：对于函数y=−0.09x2令y=0，由−0.09x−42+3.24=0得x∵0.09<0.1，10>3+33∴第二次抛出的最大垂直高度大于第一次，着陆更远，成绩更集中，即第二次训练成绩与第一次相比有提高；（3）解：对于函数y=ax2+bx+c(a<0)的顶点坐标为−由题意，Δ=b2−4ac>0，b>0，着陆距离为要提高成绩，只需提高最大垂直高度，对称轴尽可能的远离抛出位置，着陆距离尽可能的远，结合第一次和第二次的抛物线方程，可将a变大，b变大．【点睛】本题是二次函数的综合应用题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数图象与x轴的交点问题等知识，解答的关键是理解题意，熟练运用二次函数的图象与性质分析解答．29．（2023·北京海淀·北京交通大学附属中学校考模拟预测）一小球M从斜坡OA上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y=12x(1)求抛物线的函数解析式（不写自变量x的取值范围）；(2)若要在斜坡OA上的点B处竖直立一个高4米的广告牌，点B与抛出点O的水平距离为2，请判断小球M能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由；(3)直接写出小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度．【答案】(1)y=−1(2)小球M能飞过这棵树；理由见解析(3)49【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为y=a(x−4)2+8（2）将x=2分别代入两个函数求解，比较即可．（3）设小球M在飞行的过程中离斜坡OA的高度为h米，先根据抛物线和一次函数的解析式可得出h关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得．【详解】（1）解：∵小球到达的最高的点坐标为4，∴设抛物线的表达式为y=ax−4把0，0代入得，解得：a=−1∴抛物线的表达式为y=−1（2）当x=2时，y1=1∵6−1>4，∴小球M能飞过这棵树；（3）小球M在飞行的过程中离斜坡OA的高度ℎ=−1∴小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度为498【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．30．（2023·河北沧州·校考一模）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间（1）直接写出y1与x（2）求出y2与x（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？【答案】（1）y1=5x+30；（2）【分析】（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；（2）用待定系数法求函数解析式即可；（3）当1＜x≤6时小钢球在无人机上方，因此求y2-y1，当6＜x≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y1-y2，然后进行比较判断即可．【详解】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b'，∵函数图象过点（0，30）和（1，35），则k+b'=35b'=30解得k=5b'=30∴y1与x之间的函数关系式为y1（2）∵x=6时，y1∵y2∴设y2∴点1,35，6,60在抛物线y2∴a+b=3536a+6b=60，即a+b=35解得a=−5b=40∴y2答：y2与x的函数关系式为y（3）设小钢球和无人机的高度差为y米，由−5x2+40x=0得x①1<x≤6时，y==−5=−5=−5x−∵a=−5<0，∴抛物线开口向下，又∵1<x≤6，∴当x=72时，y的最大值为②6<x≤8时，y==5x+30+5=5=5x−∵a=5>0，∴拋物线开口向上，又∵对称轴是直线x=7∴当x>72时，y随∵6<x≤8，∴当x=8时，y的最大值为70．∵1254∴高度差的最大值为70米．答：高度差的最大值为70米．【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的应用，关键是根据根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差．类型四、二次函数的应用：喷水问题31．（2023·湖南永州·校考一模）一座桥如图，桥下水面宽度AB是10米，高CD是4米．如图，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？【答案】(1)y=−(2)宽度须不超过5米【分析】（1）先根据题意得到A−5（2）求出当y=3时x的值即可得到答案．【详解】（1）解：由题意得，A−5设抛物线解析式为y=ax+5∴4=a0+5∴a=−4∴抛物线解析式为y=−4（2）解：当y=3时，则−4解得x=±5∴要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过52【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的抛物线解析式是解题的关键．32．（2023·贵州铜仁·校考一模）如图，古代一石桥有17个大小相同的桥洞，桥面平直，其中三个桥洞抽象成抛物线，其最大高度为4.5m，宽为6m，将桥墩的宽度、厚度忽略不计，以水平方向为横轴，建立平面直角坐标系如图所示，(1)求OAM这条抛物线的函数关系式；(2)若一艘高于水平面3m的小船想要通过桥洞，根据安全需要，它顶部最宽处两侧距桥洞的水平距离均不得小于20cm，设它顶部最宽处为dm【答案】(1)y=−0.5(2)不得超过23【分析】（1）设y=ax−ℎ2+k（2）将y=3代入解出x的值可得答案．【详解】（1）设OAM这条抛物线的函数关系式为y=ax−ℎ由题意得顶点坐标为3,4.5，∴y=ax−3∵函数图象经过点M6,0∴0=a6−3∴a=−0.5，∴y=−0.5x−3∴OAM这条抛物线的函数关系式为y=−0.5x（2）当y=3时，3=−0.5x解得：x1=3+3∵顶部最宽处两侧距桥洞的水平距离均不得小于20cm∴d+2×0.2≤3+3解得d≤23∴d的值不得超过23【点睛】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用．解题的关键是建立数学模型，借助二次函数解决实际问题．33．（2023·安徽滁州·校考一模）如图1，一段高架桥的两墙A，B由抛物线一部分ACB连接，为确保安全，在抛物线一部分ACB内修建了一个菱形支架ODCE，抛物线的最高点C到AB的距离OC=4米，∠ODC=60°，点D，E在抛物线一部分ACB上，以AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，确定一个单位长度为1米．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)求高架桥两端的A,B的距离；(3)如图2，现在将菱形ODCE做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形MNPQ广告牌，已知矩形MNPQ广告牌的价格为80元/米2，其余部分广告牌的价格为160元/米2，试求菱形广告牌所需的最低费用．【答案】(1)y=−(2)46(3)9603【分析】（1）过点D作DM⊥x于点M，作DN⊥y轴于点N，在Rt△NDO中，ND⊥y轴，∠ODN=30°，勾股定理得出DN，进而得出D(23,2)，根据OC=4（2）根据−16x（3）待定系数法得出直线OD的解析式为y=33x，直线CD的解析式为y=−33x+4，设矩形MNPQ中，QM=PN=x米，则xM=xN=x2【详解】（1）解：如图所示，过点D作DM⊥x于点M，作DN⊥y轴于点N，∵四边形ODCE是菱形，∠ODC=60°，∴OD=OC=4，∠ODN=1在Rt△NDO中，ND⊥y轴，∠ODN=30°∴ON=12OD=2∴D(23∵OC=4，∴C(0,4)，设抛物线对应的函数表达式为y=ax将C(0,4)，D(234=a×0+c2=a×解得：a=−1∴y=−1（2）令y=−1解得：x1∴A(−26∴AB=26（3）设直线OD的解析式为y=kx，将点D(232=23解得：k=3∴直线OD的解析式为y=3设直线CD的解析式为y=mx+n，将点C(0,4)，D(234=n2=2解得：m=−3∴直线CD的解析式为y=−3设矩形MNPQ中，QM=PN=x米，则xM=xN=得M(x∴MN=−3∴S矩形由（1）可得SRt∴S设总费用为W，∴W=(−=80当x=−b2a=−最小值为W=80∴菱形广告牌所需的最低费用为9603【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，菱形的性质，矩形的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．34．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考一模）如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB=20m，当水位上升3m时，水面宽