2024-2025学年甘肃省金昌市永昌县高三上册第一次月考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年甘肃省金昌市永昌县高三上学期第一次月考数学检测试卷考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知复数z满足，则（）A. B. C. D.3.已知向量，，若，则（）A B. C.3 D.4.已知圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为（）A. B. C. D.5.已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，则的标准方程为（）A. B. C. D.6.“四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（）A. B. C. D.7.已知，则（）A. B. C. D.8.已知定义在上的偶函数满足且，则（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，，且，，若则下列不等式可能成立的是（）A. B.C. D.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数最小正周期为B.函数的图象的一条对称轴方程为C.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到D.函数区间上单调递增11.已知曲线的方程为是以点为圆心､1为半径的圆位于轴右侧的部分，则下列说法正确的是（）A.曲线的焦点坐标为B.曲线过点C.若直线被所截得的线段的中点在上，则的值为D.若曲线在的上方，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.一组数据24，78，47，39，60，18，28，15，53，23，42，36的第75百分位数是____________．13.若命题“，使得”是假命题，则的取值范围是__________．14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知点，圆：，若圆上存在点，使得，则的取值范围是______.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的内角的对边分别为.（1）求角；（2）若的面积为，求的长.16.人工智能（英语：Artificialintelligence，缩写为）亦称智械、机器智能，指由人制造出来的可以表现出智能的机器．通常人工智能是指通过普通计算机程序来呈现人类智能的技术．人工智能的核心问题包括建构能够跟人类似甚至超卓的推理、知识、规划、学习、交流、感知、移物、使用工具和操控机械的能力等．当前有大量的工具应用了人工智能，其中包括搜索和数学优化、逻辑推演．而基于仿生学、认知心理学，以及基于概率论和经济学的算法等等也在逐步探索当中．思维来源于大脑，而思维控制行为，行为需要意志去实现，而思维又是对所有数据采集的整理，相当于数据库．某中学计划在高一年级开设人工智能课程．为了解学生对人工智能是否感兴趣，随机从该校高一年级学生中抽取了400人进行调查，整理得到如下列联表：感兴趣不感兴趣合计男生18040220女生12060180合计300100400（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为对人工智能是否感兴趣与性别有关联？（2）从对人工智能感兴趣的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行采访，记随机变量表示抽到的3人中女生的人数，求的分布列和数学期望．附：，其中．0.10.050010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817.如图，已知平行六面体的所有棱长均相等，平面，为的中点，且.（1）求证：；（2）求平面与平面的夹角的正弦值.18.已知椭圆左、右焦点分别为，，右顶点为，且，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，是上两点（点，不同于点），直线，分别交直线于，两点，若，证明：直线过定点．19.已知函数（）．（1）若，求的图象在处的切线方程；（2）若对于任意的恒成立，求a的取值范围；（3）若数列an满足且（），记数列an的前n项和为，求证：．2024-2025学年甘肃省金昌市永昌县高三上学期第一次月考数学检测试卷考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：高考范围．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据并集和补集的含义即可得到答案.【详解】由题意，得，所以.故选：C.2.已知复数z满足，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据复数的除法运算求，再根据复数的模长公式运算求解.【详解】因为，则，所以.故选：A.3.已知向量，，若，则（）A. B. C.3 D.【正确答案】D【分析】根据向量平行，建立坐标关系，求出x.再利用模长公式求出模长.【详解】因为，所以，即.因为，所以.故选：D.4.已知圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，由圆锥的侧面展开图为半圆可得出，再利用圆锥的表面积公式可求出的值，即可得解.【详解】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，所以，所以，所以，解得，所以该圆锥的底面直径为.故选：B.5.已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，则的标准方程为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程，将点的坐标代入，求得参数，即可得答案.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，故可设双曲线方程为，又经过点，故，故双曲线方程为，故选：A6.“四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】采用插空法排列，先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次讲座，再将《大学》《论语》《周易》这3次讲座插空，根据分步乘法计数原理，可得答案.【详解】先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次经典名著的讲座，共有种排法；再从7个空位中选3个，排《大学》《论语》《周易》这3次讲座，有种排法，故总共有种排法；故选：D.7.已知，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】利用角之间的关系由二倍角公式带入计算即可求得结果.【详解】根据题意可知，，利用二倍角公式可得，因此.故选：A8.已知定义在上的偶函数满足且，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据函数的周期性与对称性可得解.【详解】由，令，得，又令得，再令，，又，所以，又，，所以，为的一个周期，，即，故选：A．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，，且，，若则下列不等式可能成立的是（）A B.C. D.【正确答案】ABD【分析】分和两种情况，结合对数函数单调性以及不等式的性质分析判断.【详解】若，因为，所以，则，则，，故D正确；当时，则，可得，故A正确；当时，则，可得，故B正确；若，因为，所以；则，则，，故D正确；综上所述：不能得到，故C错误；故选：ABD．10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数的图象的一条对称轴方程为C.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到D.函数在区间上单调递增【正确答案】ABC【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简得到，然后根据判断A选项；利用整体代入得方法得到的对称轴，即可判断B选项；根据图象的平移变换判断C选项；根据复合函数的单调性判断D选项.【详解】，函数的最小正周期为，故A正确；由，得，当时，，故B正确；由的图象向左平移个单位长度，得，故C正确．因为，函数在上不单调，故D错误．故选：ABC．11.已知曲线方程为是以点为圆心､1为半径的圆位于轴右侧的部分，则下列说法正确的是（）A.曲线的焦点坐标为B.曲线过点C.若直线被所截得的线段的中点在上，则的值为D.若曲线在的上方，则【正确答案】BCD【分析】根据抛物线的几何性质，可得判定A错误；把点代入圆的方程，可判定B正确；，所以圆过点，所以B正确；设被所截得的线段为，中点为，联立方程组，求得的坐标，代入，可判定C正确；根据圆与抛物线的位置关系，联立方程组，结合，可判定D正确.【详解】对于A中，由曲线，抛物线的焦点坐标为，所以A错误；对于B中，圆的标准方程为：，点代入圆的方程得，所以圆过点，所以B正确；对于C中，设被所截得的线段为，中点为，联立方程组，整理得，可得，则，故，所以，代入，可得，解得，所以C正确；对于D中如图所示，曲线在的上方时，抛物线和圆无交点，联立方程组，整理得，由，解得，所以D正确.故选：BCD.方法点睛：解决抛物线问题的方法与策略：1、涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．2、涉及直线与抛物线的综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.一组数据24，78，47，39，60，18，28，15，53，23，42，36的第75百分位数是____________．【正确答案】50【分析】由百分位数的概念求解即可.【详解】先按照从小到大排序：15，18，23，24，28，36，39，42，47，53，60，78．共12个数据，，第9，10个数据分别为47，53，则第75百分位数为．故5013.若命题“，使得”是假命题，则的取值范围是__________．【正确答案】【分析】由题意知原命题的否定为真，将问题转换成立二次不等式在定区间上的恒成立问题了，对对称轴的位置进行讨论即可求解.【详解】由题意原命题的否定“，使得”是真命题，不妨设，其开口向上，对称轴方程为，则只需在上的最大值即可，我们分以下三种情形来讨论：情形一：当即时，在上单调递增，此时有，解得，故此时满足题意的实数不存在；情形二：当即时，在上单调递减，在上单调递增，此时有，只需，解不等式组得，故此时满足题意的实数的范围为；情形三：当即时，在上单调递减，此时有，解得，故此时满足题意的实数不存在；综上所述：的取值范围是.故答案为.14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知点，圆：，若圆上存在点，使得，则的取值范围是______.【正确答案】【分析】先根据求出点的轨迹是一个圆，再根据该圆与已知圆有交点列不等式求出的取值范围.【详解】设，因为，所以，整理得，所以点在以为圆心，2为半径的圆上，所以圆与圆有公共点，所以，又，所以，解得，即的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知的内角的对边分别为.（1）求角；（2）若的面积为，求的长.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据三角形的内角和的性质，以及正弦定理，得到，结合余弦定理，即可求解；（2）根据题意，利用面积公式，求得，结合余弦定理，即可求解.【小问1详解】解：由，可得，因为所以，又由正弦定理得，根据余弦定理得，又因为，所以.【小问2详解】解：因为的面积为，可得，所以，由余弦定理可知，所以.16.人工智能（英语：Artificialintelligence，缩写为）亦称智械、机器智能，指由人制造出来的可以表现出智能的机器．通常人工智能是指通过普通计算机程序来呈现人类智能的技术．人工智能的核心问题包括建构能够跟人类似甚至超卓的推理、知识、规划、学习、交流、感知、移物、使用工具和操控机械的能力等．当前有大量的工具应用了人工智能，其中包括搜索和数学优化、逻辑推演．而基于仿生学、认知心理学，以及基于概率论和经济学的算法等等也在逐步探索当中．思维来源于大脑，而思维控制行为，行为需要意志去实现，而思维又是对所有数据采集的整理，相当于数据库．某中学计划在高一年级开设人工智能课程．为了解学生对人工智能是否感兴趣，随机从该校高一年级学生中抽取了400人进行调查，整理得到如下列联表：感兴趣不感兴趣合计男生18040220女生12060180合计300100400（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为对人工智能是否感兴趣与性别有关联？（2）从对人工智能感兴趣的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行采访，记随机变量表示抽到的3人中女生的人数，求的分布列和数学期望．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【正确答案】（1）答案见解析（2）分布列见解析；.【分析】（1）根据两个条件概率值求出列联表中的数据，利用卡方公式计算的值，再与对应的小概率值比较即得结论；（2）先利用分层抽样确定所抽取男生、女生人数，再利超几何概率公式计算即得分布列与期望；【小问1详解】零假设为：学生对人工筸能是否感兴趣与性别无关.根据列联表计算可得：，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生对人工筸能是否感兴趣与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于.【小问2详解】从对人工智能感兴趣的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取10人，其中抽取男生人，抽取女生人；根据已知条件的可能取值为：；，，，；.17.如图，已知平行六面体的所有棱长均相等，平面，为的中点，且.（1）求证：；（2）求平面与平面的夹角的正弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）设是的中点，先根据题目条件得出，，进而得出；根据线面垂直的性质和平行六面体的性质得出；再根据线面垂直的判定定理得出平面；最后根据线面垂直的性质可得出.（2）先建立空间直角坐标系，写出平面与平面的法向量；再根据空间面面所成角的向量计算方法求出平面与平面的夹角的余弦值，进而可得夹角的正弦值.【小问1详解】设是的中点，连接，因为是的中点，则.因为，所以，所以.因为平面，平面，所以，由平行六面体的性质可得：，所以.又因，平面，所以平面.又平面，所以.【小问2详解】因为平面，平面，所以，则四边形是正方形，结合（1）的结论可知，，两两垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系：不妨设，则，，，，所以，，，.设平面的一个法向量为m=x,y,z则令，可得.设平面的一个法向量为n=a,b,c则，令，可得设平面与平面的夹角为，则.所以，即平面与平面的夹角的正弦值为.18.已知椭圆的左、右焦点分别为，，右顶点为，且，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，是上两点（点，不同于点），直线，分别交直线于，两点，若，证明：直线过定点．【正确答案】（1）（2）证明过程见解析【分析】（1）