2024-2025学年北京市丰台区高三上册10月月考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年北京市丰台区高三上学期10月月考数学检测试卷第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题中选出符合题目要求的一项。1．已知集合，集合，则（

）A．B．C． D．2．在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与以原点为圆心的圆相交于点则，则（）A． B． C． D．4．在等差数列中，，则（

）A．9 B．11 C．13 D．155．下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是A． B．y= C． D．6．在△ABC中，角的对边分别为，若，则（

）A．B．C． D．7．已知的展开式中，常数项为60，则的值为（

）A．2 B．2，-2 C．3 D．3，8．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．9．已知等差数列的公差为，且集合中有且只有个元素，则中的所有元素之积为（

）A． B． C． D．10．已知是函数的图象上的两个不同的点，则（

）A． B． C． D．第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．复数的虚部是．12．已知扇形AOB的面积为，圆心角为60°，则该扇形的半径为，弧长为.13．在中，，则最大角的正弦值为.14．已知函数①当时，的值域为；②若关于的方程恰有个正实数解，则的取值范围是．15．已知函数，则下列说法正确的有①．函数的图象关于直线对称②．是函数的周期③．函数在区间上单调递减④．当时，三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．在中，．(1)求；(2)当的面积为，，求a的值．17．已知是等差数列，是等比数列，且，，.（1）数列和的通项公式；（2）设，求数列前n项和.18．在中，是边上一点，，，，.(1)求的长；(2)求的面积.19．设函数．(1)若，求的值．(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．条件①：；条件②：；条件③：在区间上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．20．函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；(3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围．21．已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．2024-2025学年北京市丰台区高三上学期10月月考数学检测试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题中选出符合题目要求的一项。1．已知集合，集合，则（

）A． B．C． D．【正确答案】A【分析】求,判断选项.【详解】根据题意可得，，故选：A2．在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【正确答案】C【分析】利用复数乘法运算可得，得出对应的点为（-1，-1），可得结论.【详解】因为，所以该复数在复平面内对应的点为（-1，-1），位于第三象限.故选：C.3．已知角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与以原点为圆心的圆相交于点则，则（）A． B． C． D．【正确答案】C由三角函数的定义即可求解.【详解】由题意可得：角的终边与单位圆的交点为，所以，，所以，故选：C.4．在等差数列中，，则（

）A．9 B．11 C．13 D．15【正确答案】C【分析】根据等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】由题意知，解得，所以，所以.故选：C.5．下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是A． B．y= C． D．【正确答案】D【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.【详解】函数，在区间(0,+∞)上单调递减，函数在区间(0,+∞)上单调递增，故选D.6．在△ABC中，角的对边分别为，若，则（

）A． B．C． D．【正确答案】A【分析】利用余弦定理求解即可.【详解】根据余弦定理得，，则.故选：A.7．已知的展开式中，常数项为60，则的值为（

）A．2 B．2，-2 C．3 D．3，【正确答案】B【分析】求出展开式的通项为，合并同类项后令的指数为0可得，可求出展开式中的常数项从而得到.【详解】展开式的通项为，令，可得，因此，展开式中的常数项为.则，.故选：B.8．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．【正确答案】A由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.9．已知等差数列的公差为，且集合中有且只有个元素，则中的所有元素之积为（

）A． B． C． D．【正确答案】C【分析】根据等差数列的通项公式可得，进而可得的周期为，故只需研究前项的值，进而可得解.【详解】有等差数列可知，，周期，故只需考虑前项的值：，，，，，，由题意知，这个式子只能取到个不同的值.借助三角函数的定义，即在单位圆上有个点均分圆周，且这个点的纵坐标只能取到个不同的值（如图所示），于是集合，即所有元素乘积为，故选：C.10．已知是函数的图象上的两个不同的点，则（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】求出已知两点的中点坐标及的图象上纵坐标为的点，结合函数图象建立不等式，借助基本不等式即可得解.【详解】如图所示，设Ax1,y1，B点在的图象上，且轴，则，由图知点在的左侧，即，所以.故选：D二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．复数的虚部是．【正确答案】-2025【分析】根据复数虚部的定义即可得解【详解】复数的虚部是-2025.故-2025.12．已知扇形AOB的面积为，圆心角为60°，则该扇形的半径为，弧长为.【正确答案】2【分析】根据扇形的面积公式和弧长公式计算即可.【详解】设扇形的半径为，因为扇形AOB的面积为，圆心角为，由扇形的面积，可得：，解得：，可得扇形的弧长.故2；．13．在中，，则最大角的正弦值为.【正确答案】【分析】利用正弦定理边角的转化，将正弦值之比转化为边长之比，然后利用余弦定理即可求余弦值，再由平方关系即可求出正弦值.【详解】∵，∴由正弦定理化简得：分别设，则最大角为C，∴，所以故答案为.14．已知函数①当时，的值域为；②若关于的方程恰有个正实数解，则的取值范围是．【正确答案】【分析】①当时，分别判断两段的值域，取并集得的值域；②方程恰有个正实数解，则轴左边的函数图像翻折到右边，与右边的图像有两个交点，作出图像判断的取值范围.【详解】①当时，，时，，函数单调递减，；时，，函数单调递增，，所以的值域为；②函数关于的方程恰有个正实数解，则轴左边的函数图像翻折到右边，与轴右边的图像有两个交点，分别作出函数的图像，其中函数与的图像相交于点和

结合图像可知方程恰有个正实数解，为和，需要，所以的取值范围为.故；.15．已知函数，则下列说法正确的有①．函数的图象关于直线对称②．是函数的周期③．函数在区间上单调递减④．当时，【正确答案】②③④【分析】经验证，所以的图象不关于直线对称，即①错误，再利用周期函数定义可得②正确，；利用换元法构造函数可得函数在区间上单调递减，即③正确；由选项C中的单调性可得，即④正确.【详解】因为，，所以，故①错误；因为，所以是函数的周期，故②正确；设，所以，所以，当时，可得，则，又，所以函数在上单调递减，又在上单调递增，所以由复合函数的单调性，可得函数在区间上单调递减，故③正确；当时，可得，则，又由，在上单调递减，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减，由复合函数的单调性，可得函数在上单调递减，在上单调递增，所以，故④正确.故选：②③④三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．在中，．(1)求；(2)当的面积为，，求a的值．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理：边转角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出结果；（2）利用条件建立，边与的方程组，求出与，再利用余弦定理，即可求出结果；；【详解】（1）因为，由正弦定理得，，又，所以，得到，又，所以，又，所以，得到，所以.（2）因为，所以，又，得到，代入，得到，解得，所以，由余弦定理得，，所以.17．已知是等差数列，是等比数列，且，，.（1）数列和的通项公式；（2）设，求数列前n项和.【正确答案】（1）；（2）．【详解】试题分析：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．因为，所以．解得d=3．又因为，所以，即可以得出数列和的通项公式；（2）由（1）知，．因此，由等差数列，等比数列的前n项和即可得出数列前n项和.试题解析：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．因为，所以．解得d=3．又因为，所以．所以．（2）由（1）知，．因此数列前n项和为．数列的前n项和为．所以，数列前n项和为．18．在中，是边上一点，，，，.(1)求的长；(2)求的面积.【正确答案】(1)2(2)【分析】（1）中，根据余弦定理求的长；（2）中，根据余弦定理求，即可求，再根据三角形的面积公式求解.【详解】（1）因为，则，，，中，,即，解得：或（舍），所以；（2），因为所以，，所以.19．设函数．(1)若，求的值．(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．条件①：；条件②：；条件③：在区间上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】(1).(2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，.【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．【详解】（1）因为所以，因为，所以.（2）因为，所以，所以的最大值为，最小值为.若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；若选条件②：因为在上单调递增，且，所以,所以,,所以，又因为，所以，所以，所以，因为，所以.所以，；若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最小值，即.以下与条件②相同．20．函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；(3)若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围．【正确答案】(1)；(2)，；(3)．【分析】（1）利用函数图象的顶点求出，利用周期求出，由特殊点求出，即可求出解析式；（2）利用三角函数图象变换求得，结合正弦函数的性质，利用换元法求得最值；（3）结合函数的定义域和三角函数的性质即可确定其值域，由图象即求.【详解】（1）由函数的部分图象可知，，，，又，，解得，由可得，；（2）将向右平移个单位，得到，再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，令，由，可得，因为函数在上单调递减，在上单调递增，又，，，可得，；（3）因为关于的方程在上有两个不等实根，即与的图象在有两个交点.

由图象可知符合题意的的取值范围为