2024-2025学年辽宁省沈阳市高三上册10月联考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年辽宁省沈阳市高三上学期10月联考数学检测试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.2.已知是关于x的方程的一个根，，则（）A.0 B.2 C.1 D.43.已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（）A.5 B.4 C.3 D.24.“”是“”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.设函数，则的最小值为（）A.780 B.390 C.400 D.2006.已知，则（）A. B. C. D.7.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（）A. B. C. D.8.，用表示中的较小者，记为，设函数，若，则a的取值范围为（）A. B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）AB.C.在上增函数D.函数在上有且只有2个零点10.下列关于平面向量的说法中正确的是（）A.已知点是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且，则B.已知向量，且与的夹角为锐角，则的取值范围是C.已知点G为三条边中线的交点，则D.已知，则在上的投影的坐标为11.设函数且，则（）A.函数和图像关于直线对称B.函数和的图像的交点均在直线上C.若，方程的根为，方程的根为，则D.已知，若恒成立，则的取值范围为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则正数m的取值范围是_______.13.设函数，若在上是减函数，则a的取值范围为_______．14.，若定义，则中的元素有_______个．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知公差d不为0的等差数列an的前n项和为.（1）求an（2）令，记为数列bn的前n项和，若，求n的最小值.16.已知函数．（1）当时，若，求的极值点和极值、最值点和最值；（2）讨论在上的单调性．17.已知函数.（1）求方程在上的解集；（2）设函数；（i）证明：在有且只有一个零点；（ii）在（i）的条件下，记函数的零点为，证明.18.已知函数．（1）若在上为增函数，求的值范围；（2）已知的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．且是的一个零点，若在上恰好有6个零点，求n的最大值；（3）已知函数，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求a的取值范围．19.已知函数．（1）若，证明：；（2）记数列的前n项和为．（i）若，证明：．（ii）已知函数，若，证明：．2024-2025学年辽宁省沈阳市高三上学期10月联考数学检测试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】根据集合的交集、并集运算求解.【详解】因为，所以，故选：C2.已知是关于x的方程的一个根，，则（）A.0 B.2 C.1 D.4【正确答案】D【分析】根据实系数一元二次方程根的性质，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【详解】因为是关于x的方程的一个根，，所以是关于x的方程的一个根，于是有，故选：D3.已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（）A.5 B.4 C.3 D.2【正确答案】B【分析】根据向量共线定理和基本不等式即可求解.【详解】因为三点共线，所以存在实数k，使，即，又向量不共线，所以，由，所以，当且仅当时，取“=”号，故选：B4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】先利用二倍角公式对题中已知条件进行变形，对进行平方化简变形，然后再判断两个条件的逻辑关系即可得解.【详解】必要性：由，可得，则，即.所以“”是“的必要条件；充分性；由，可得，即，则，得或.所以“”不是“的充分条件；故选：B5.设函数，则的最小值为（）A.780 B.390 C.400 D.200【正确答案】C【分析】根据绝对值不等式的性质，累加并注意等号成立的条件即可得解.【详解】因，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号；以此类推，直到，当且仅当取等号，所以，当且仅当时取等号.故选：C.6.已知，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由两角差的正弦公式、两角和的余弦公式，结合同角的三角函数关系式中的商关系、两角差的正切公式进行求解即可.【详解】由由，于是有，故选：D7.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.若为的垂心，，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据和得，从而可以得出，设，，得，，再结合垂心和直角三角形余弦值即可求解.【详解】如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点.由为的垂心，，且，得，所以，又，则，同理可得，所以，设，，则，，所以，即，，所以，所以.故选：B.关键点点睛：本题解决的关键是利用“奔驰定理”得到，从而利用对顶角相等得到，由此得解.8.，用表示中的较小者，记为，设函数，若，则a的取值范围为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】根据函数的单调性的性质判断函数的单调性，结合题中函数的定义，利用基本不等式进行求解即可.【详解】因为函数都是实数集上的增函数，所以在R上为增函数，所以当时，，所以当1时，成立.同时因为当时，，所以当时，恒成立，即当时，，即.设，则，当且仅当时取等号，即当时取等号，所以.故选：A关键点点睛：本题的关键是理解函数的性质，运用基本不等式进行求解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A.B.C.在上为增函数D.函数在上有且只有2个零点【正确答案】ABD【分析】根据函数的周期判断A，根据函数的对称轴判断B，根据正弦型函数的单调性判断C，根据数形结合判断D.【详解】由题意得函数的最小正周期为，所以成立，A项正确；因为，所以是的最小值，所以直线是图象的一条对称轴，所以成立，B项正确；当时，，当时，为减函数，C项错误；由题意知在有两个不等实根，设，由函数的图象，如图，易知与直线有两个不同的交点，D项正确.故选：ABD10.下列关于平面向量说法中正确的是（）A.已知点是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且，则B.已知向量，且与的夹角为锐角，则的取值范围是C.已知点G为三条边的中线的交点，则D.已知，则在上的投影的坐标为【正确答案】ACD【分析】根据平面向量共线的性质，结合平面向量夹角坐标公式、三角形重心的性质、投影的定义逐一判断即可.【详解】A：因为点是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且，所以有，正确；B：，当与共线且同向时，，此时与的夹角为零，而，不正确；C：设边上的中线为，于是，因为点G为三条边的中线的交点，所以点G是三角形的重心，因此有，于是有，正确；D：因为，所以在上的投影的坐标为：，所以本选项正确，故选：ACD11.设函数且，则（）A.函数和的图像关于直线对称B.函数和的图像的交点均在直线上C.若，方程的根为，方程的根为，则D.已知，若恒成立，则的取值范围为【正确答案】AC【分析】对于A：根据反函数性质分析判断；对于B：举反例说明即可；对于C：整理可得，，同构函数，结合函数单调性分析证明；对于D：根据题意分析可得，构建函数，利用导数分析其最值，结合恒成立问题即可得结果.【详解】对于选项A：因为和互为反函数，可知其图象关于直线对称，故A正确；对于选项B：例如，则，可知和的图像有交点和，均不在直线上，故B错误；对于选项C：由题意可得：，因为，可得，即，设函数，因为在上单调递增，可知在上单调递增，又因为，则，即，故C正确；对于选项D：当时，为增函数，若，则，与矛盾，舍去，所以，若恒成立，则，即，两边取对数可得，即，同理可得：等价于，即，令，则，当时，；当时，；则，可得，解得，所以的取值范围为，例如，可得，即，且为增函数，可得，符合题意，故D错误.故选：AC.关键点点睛：对于C：根据题意整理可得，，进而可同构函数；对于D：根据题意分析可知：，解得的取值范围为，进而取反例说明.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则正数m的取值范围是_______.【正确答案】【分析】根据正弦型函数对称轴与周期的关系，结合正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，解得，即，因为在上是增函数，则，所以函数的增区间包含，令，得，所以，所以故的取值范围为.故13.设函数，若在上是减函数，则a的取值范围为_______．【正确答案】【分析】利用导数的正负性与原函数的单调性的关系，结合构造函数法进行求解即可.【详解】由，因为在上是减函数，所以在上恒成立，即，设，当时，，当时，，因为，所以，因此当时，，当时，，因为，所以，因此当时，，因此有，于是有，故14.，若定义，则中的元素有_______个．【正确答案】【分析】根据复数模的运算公式，结合题中定义进行求解即可.【详解】因为，，所以，，共14个元素.故关键点点睛：本题的关键是理解题中定义.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知公差d不为0的等差数列an的前n项和为.（1）求an（2）令，记为数列bn的前n项和，若，求n的最小值.【正确答案】（1）（2）6【分析】（1）利用等差数列前n项和及通项公式求基本量，即可写出通项公式；（2）由（1）及题设，应用等比数列前n项和公式、分组求和得，结合不等式能成立及单调性求正整数n的最小值．【小问1详解】由题设，所以，而，所以【小问2详解】由题设，则，所以，又在上单调递增，当时，，当时，，所以，求n的最小值6．16.已知函数．（1）当时，若，求的极值点和极值、最值点和最值；（2）讨论在上的单调性．【正确答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【分析】（1）利用导数的性质，结合极值点、极值、最值点、最值的定义进行求解即可；（2）利用导数，并分类讨论参数a研究函数单调性.【小问1详解】当时，，令f′x>0，解得，或，而，所以，或，令f′x<0所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，因此是函数的极大值点，极大值为；是函数的极小值点，极小值为；因为，当时，，所以函数在时，是函数的最大值点，最大值为，没有最小值点，无最小值；【小问2详解】由，当时，在[0,1]上，f′x>0，因此函数当时，令，解得，或，若时，即时，在上，，因此函数单调递增，在上，，因此函数单调递减；若时，即时，在[0,1]上，，因此函数单调递增，综上所述：当时，在[0,1]上函数单调递增，当时，在上函数单调递增，在上函数单调递减；17.已知函数.（1）求方程在上的解集；（2）设函数；（i）证明：在有且只有一个零点；（ii）在（i）的条件下，记函数的零点为，证明.【正确答案】（1）（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析【分析】（1）利用余弦二倍角公式化简方程，再结合辅助角公式即可；（2）（i）根据三角函数的性质分区间研究函数的性质，利用零点存在定理可证明；（ii）然后利用换元法求值域即可证明.【小问1详解】所以.所以或当时，，则，又，所以或，当，则，又.所以或，所以或，所以方程在上解集为.【小问2详解】（i）设.当，则，此时在区间上单调递增，又在区间上也单调递增，所以在区间上单调递增，又所以在时有唯一零点，当，所以，所以在上没有零点，综上，在有唯一零点.（ii）记函数的零点为，所以，且，所以，所以，令，因为，所以，又，则，所以.18.已知函数．（1）若在上为增函数，求的值范围；（2）已知的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像．且是的一个零点，若在上恰好有6个零点，求n的最大值；（3）已知函数，在第（2）问的条件下，若对任意，存在，使得成立，求a的取值范围．【正确答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由正弦函数的单调性结合条件可列，从而解得的值范围.（2）由，，可得，从而知的解析式，再由正弦函数的零点，分析即可；（3）原问题可转化为的值域是值域的子集，再根据正余弦函数的图象与性质，分别求得与在对应定义域内的值域，列出关于a的不等式组，解之即可.【小问1详解】因在