2024-2025高二上期中数学（2019人教A版）模拟检测试题（含解析）

2024-2025高二上期中数学（2019人教A版）模拟检测试题【人教A版2019】范围：第一章～第三章一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．圆x2+yA．0,2，2 B．−2,0，4 C．2,0，2 D．2,0，4【正确答案】C【分析】将圆的一般方程化为标准方程，由此得到结果.【详解】圆的方程可化为：x−22+y2=4，∴故选：C.2．顶点在原点，准线方程为x=34的抛物线的标准方程为（A．y2=3C．y2=3x 【正确答案】D【分析】求出p的值，可得出抛物线的标准方程.【详解】由题意可知，抛物线的开口向左，设抛物线的标准方程为y2则p2=34，所以故选：D．3．双曲线x2a2−y24A．1 B．2 C．3 D．6【正确答案】B【分析】根据双曲线的基本量关系求解即可.【详解】由题意，a2+4a=3故选：B4．如图，空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，点N为A．12a−C．12a+【正确答案】B【分析】根据空间向量线性运算，结合图形分析可得．【详解】因为OM=2MA，点N为BC中点，所以MA=13故MN=13a故选：B．5．若两异面直线l1与l2的方向向量分别是n1=1,0,−1，n2=A．30° B．60° C．120° D．150°【正确答案】B设异面直线l1与l2所成的角为θ，根据【详解】由题意，两异面直线l1与l2的方向向量分别是n1可得n1=2，n设异面直线l1与l2所成的角为θ，则又因为θ∈(0∘,即直线l1与l2的夹角为故选：B.6．已知直线l1:ax+2y+4=0，直线l2:x+a+1y+4=0，若l1A．2 B．22 C．32 【正确答案】C【分析】先由直线平行求得a的值，再利用平行直线间的距离公式即可得解.【详解】因为l1:ax+2y+4=0，l2所以a≠0，且1a=a+1则l1:−2x+2y+4=0，即x−y−2=0，所以l1与l2的距离为故选：C.7．若直线kx−y−2=0与曲线1−y−12=x−1有两个不同的交点，则实数kA．43,2 C．−2,−43∪【正确答案】A【分析】根据题意，化简曲线为x−12+(y−1)【详解】由曲线1−(y−1)2=x−1又由直线kx−y−2=0，可化为y=kx−2，直线恒过定点P(0,−2)，作出半圆与直线的图象，如图所示，结合图象，可得A(1,0)，所以kPA当直线与半圆相切时，可得k−3k2+1所以实数k的取值范围为(4故选：A.8．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知△ABC的顶点A−1,0,B1,0,C1,1，若直线l:ax+a−3y+1=0与△ABCA．15,35 B．−15【正确答案】B【分析】由题求出欧拉线方程，即可得直线l方程，后可得交点坐标.【详解】由△ABC的顶点坐标，可知其重心为−1+1+13注意到kAB=0，直线BC斜率不存在，则则其垂心为其直角顶点B1,0，则△ABC欧拉线方程为：y−因其与l:ax+a−3y+1=0⇒y=−a则l:y=2x+1，则直线l与△ABC的欧拉线的交点坐标满足y=−12x+故选：B选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下面四个结论正确的是（）A．若三个非零空间向量a,b,cB．若空间四个点P,A,B,C，PC=14C．已知a,b,c是空间的一组基底，若D．已知向量a=1,1,x，b=−3,x,9，若【正确答案】BC【分析】根据向量的概念，空间向量的基本定理，以及空间向量基底的定义和空间向量的数量积的运算公式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，若非零空间向量a,b,c满足a对于B中，因为PC=14PA+又因为AC与CB有公共点，所以A,B,C三点共线，所以B正确；对于C中，由a,b,令m=xa+yb，可得所以a,对于D中，若a,b为钝角，则a⋅b<0由a⋅b=−3+x+9x<0，解得x<310，当时a与b当a与b不共线得x≠−3，所以当x<310且x≠−3时，故选：BC10．线l1:x+3y+9=0,lA．当a>0时，l2的倾斜角的范围是B．若l1//C．若l1⊥D．当a=3时，l1到l2【正确答案】BCD【分析】求出直线l2的斜率范围判断A；由两直线平行求出a判断B；由两直线垂直求出a【详解】对于A，当a>0时，直线l2的斜率k=2−aa=2a−1>−1当k≥0时，l2的倾斜角α∈[0,对于B，由l1//l2，得对于C，由l1⊥l2，得对于D，当a=3时，l1//l2，直线l2:x+3y+4=0，故选：BCD11．双曲线C:x2−y2b2=1的左、右焦点分别为A．双曲线的渐近线方程为y=±B．双曲线的离心率为2C．双曲线的焦点到渐近线的距离为1D．△ABF2【正确答案】ABD【分析】求出双曲线的渐近线方程，借助圆的切线求出b2【详解】圆M:(x+2)2+y2=1的圆心M(−2,0)，半径依题意，2|b|1+b2=1，解得双曲线C的实半轴长为1，则半焦距c=1+b2双曲线C的右焦点F2(233,0)，点由x±3y=0(x+2)2+y2|BF2|=|AF2故选：ABD三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知直线l的方向向量为2,m,1，平面α的法向量为1,12,2，且l//α【正确答案】−【分析】根据题意，得到直线的方向向量与平面法向量互相垂直，结合向量的数量积列出方程，即可求解.【详解】由直线l的方向向量为2,m,1，平面α的法向量为1,1因为l//α，可得直线的方向向量与平面法向量互相垂直，所以2+1解得m=−8.故−13．已知圆C：x2+y2−4x−2y+1=0，圆C的弦AB被点P【正确答案】y=0【分析】先将圆的方程化为标准方程，得到圆心C2,1，由于圆C的弦AB被点P2,0平分，故AB⊥PC，得到【详解】因为圆C：x2所以化为标准方程为：x−22+y−1又圆C的弦AB被点P2,0平分，故AB⊥PC而直线PC斜率不存在，所以kAB由于AB过点P2,0，故直线AB的方程为：y=0故y=0.14．已知点P−3,0在动直线mx+ny−m+3n=0上的投影为点M，若点N2,3【正确答案】112/【分析】化简直线为m(x−1)+n(y−3)=0，得到恒过定点M'(1,3)，根据题意，得到点M落在以PM'为直径的圆上，其中半径为【详解】由直线mx+ny−m+3n=0，可化为由方程组x−1=0y−3=0，解得x=1,y=3，可得直线恒过定点M则PM因为P在动直线mx+ny−m+3n=0上的投影为点M，即所以点M落在以PM'为直径的圆上，其中圆的半径为设PM'的中点为A，可得又因为N2,32，可得AN=3，所以故112四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知直线l经过两条直线x+2y−5=0和3x−y−1=0的交点.(1)若直线l与直线x−2y−3=0垂直，求直线l的方程；(2)若直线l与直线x−2y−3=0平行，求直线l的方程及此时直线l与直线x−2y−3=0的距离.【正确答案】(1)2x+y−4=0；(2)x−2y+3=0，65【分析】（1）求出两条直线的交点得(1,2)，再利用直线垂直设l的方程为2x+y+C1=0（2）由直线平行设直线l的方程为x−2y+C2=0【详解】（1）由x+2y−5=03x−y−1=0，解得x=1y=2，即直线x+2y−5=0和3x−y−1=0的交点为由直线l与直线x−2y−3=0垂直，设直线l的方程为2x+y+C把点(1,2)代入方程得2+2+C1=0所以直线l的方程为2x+y−4=0.（2）由直线l平行于直线x−2y−3=0，设直线l的方程为x−2y+C把点(1,2)代入方程得1−2×2+C2=0所以直线l的方程为x−2y+3=0，直线l与直线x−2y−3=0的距离d=|3−(−3)|16．（15分）已知双曲线x2(1)若m=5，求双曲线E的焦点坐标，顶点坐标和渐近线方程；(2)若双曲线E的离心率e∈6,3，求实数【正确答案】(1)焦点坐标为−3,0，3,0；顶点坐标为−2,0，2,0；渐近线方程为y=±(2)20,32【分析】（1）代入m=5，求出a,b,c的值以及双曲线焦点的位置，即可得出答案；（2）根据已知求出a,b,c的值，得出e=m+42，根据【详解】（1）由已知可得，双曲线的方程为x2所以，双曲线的焦点在x轴上，且a2=4，b2所以，a=2，b=5，c=3所以，双曲线E的焦点坐标为−3,0，3,0；顶点坐标为−2,0，2,0；渐近线方程为y=±（2）由已知可得，a2=4，b2所以，a=2，b=m，c=e=c因为e∈6所以有6<m+42整理可得，24<m+4<36，解得20<m<32.17．（15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD//BC，AP=AB=AD=1，且直线PB与CD所成角的大小为(1)求BC的长；(2)求点C到平面PBD的距离.【正确答案】(1)2(2)2【分析】（1）建立空间直角坐标系，然后求出PB，利用直线PB与CD所成角的大小为π3求出BC（2）先求出平面的法向量，再根据点到面的距离公式求出距离即可.【详解】（1）因为PA⊥平面ABCD，且AB⊥AD，所以建立如图分别以AB,AD,AP为x,y,z轴的空间直角坐标系，则P0,0,1,B1,0,0,D0,1,0所以PB=所以cos<因为直线PB与CD所成角的大小为π3，所以cos即12×1+1−t2所以BC的长为2；（2）由（1）知P0,0,1令平面PBD的法向量为m=x,y,z，因为所以m⋅PB=0m⋅PD=0又CB=0,−2,0，所以所以点C到平面PBD的距离为2318．（17分）若圆M的方程为(x−1)2+(y−4)2=4，ΔABC中，已知A(7,2),B(4,6)（1）求AC中点D的轨迹方程；（2）求ΔABC面积的最小值．【正确答案】（1）(x−4)2（1）设D(x,y),C(x0,y0（2）利用两点间的距离公式以及点到直线的距离公式即可求解.【详解】（1）设D(x,y),C(x0,由(x0−1)即D点的轨迹方程为(x−4)2（2）计算得AB=5,直线AB为4x+3y−34=0点(1,4)到直线AB的距离d=4+12−34∴点C到直线AB的最小距离为185∴(本题考查了相关点法求点的轨迹方程、点斜式方程、两点间的距离公式以及点到直线的距离公式，需熟记公式，属于基础题.19．（17分）如图，已知F1−10,0，F210,0分别是双曲线E(1)求E的方程．(2)过直线l：x=1上任意一点T作直线l1，l1与E的左、右两支相交于A，B两点，直线l1关于直线l对称的直线为l2（与l1不重合），l2与E的左、右两支相交于【正确答案】(1)x(2)证明见解析【分析】（1）根据焦点以及点P−（2）联立直线与双曲线方程可得韦达定理，进而根据弦长公式求解AT=1+k2x1−1【详解】（1）由题可知a2+b2=10则E的方程为x2（2）证明：设T1,m，显然直线l设l1的方程为y−m=kx−1，则直线l2设Ax1,y1，B联立方程组y−m=kx−1