江苏省镇江市2024-2025学年高三上册10月月考数学检测试卷合集3套（含解析）

江苏省镇江市2024-2025学年高三上学期10月月考数学检测试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U=R，集合A=0,1,2,3，B=x1<ln(x+1)<2A.3 B.1,2 C.2,3 D.1,2,32.将函数f(x)=sinx的图象先向左平移π4个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，得到函数y=g(x)的图象，则A.−22 B.1 C.3.已知函数f(x)=1−22x+1，则对任意实数xA.f(−x)+f(x)=0 B.f(−x)−f(x)=0

C.f(−x)+f(x)=2 D.f(−x)−f(x)=24.−1<a<1是函数f(x)=lg(x2−2ax+1)的值域为RA.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要5.已知α，β都是锐角，cosα=17，cos(α+β)=−11A.12 B.3998 C.59986.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的23(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，则该沙漏的一个沙时大约是( )A.1895秒 B.1896秒 C.1985秒 D.2528秒7.在A,B,C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为5:7:8，现从这三个地区中任意选取一人，则这个人患流感的概率为(

)A.0.515 B.0.05 C.0.0495 D.0.04858.已知fx=−x2−cosx，若a=fe−34，b=flnA.c<b<a B.c<a<b C.b<c<a D.a<c<b二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.一组数据x1，x2，…，x10是公差为−2的等差数列，去掉首末两项x1，A.两组数据的极差相同 B.两组数据的中位数相同

C.两组数据的平均数相同 D.两组数据的标准差相同10.已知函数f(x)=sin3x+π3A.fx的最小正周期为2π3

B.点π6,0为fx图象的一个对称中心

C.若f(x)=a(a∈R)在x∈−π18,π9上有两个实数根，则11.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，点PA.当B1P//平面A1BD时，B1P不可能垂直CD1

B.若B1P与平面CC1D1D所成角为π4，则点P的轨迹长度为π2

C.当三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设A,B是一个随机试验中的两个事件，若PB=35,PA∣B13.高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数.例如：−2.1=−3,3.1=3，若函数f(x)=214.已知函数fx=x3+2x，若m>0，n>0，且f四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)设三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c且sin(1)求角A的大小；(2)若b=3，BC边上的高为3217，求三角形16.(本小题12分)如图，一个质点在随机外力作用下，从原点O处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位.(Ⅰ)求质点移动5次后移动到1的位置的概率;(Ⅱ)设移动5次中向右移动的次数为X，求X的分布列和期望.17.(本小题12分)设函数f(x)=(1)求函数y=f(x+(2)求函数y=f(x)f(x−π4)在0,18.(本小题12分)如图，直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥BC，∠DAB=60∘，AB=AD=4，等腰直角三角形ADE中，AE=DE，且平面ADE⊥平面ABC，平面ABE与平面CDE(Ⅰ)求证：CD//EF;(Ⅱ)若CD=EF，求二面角A−BC−F的余弦值.19.(本小题12分)已知函数f(1)若不等式fx≥0在1,+∞上恒成立，求实数(2)证明：i=2n答案和解析1.【正确答案】C

【分析】

本题考查对数不等式的解法，交集的运算，是基础题．

可解出集合B，然后进行交集的运算即可．

解：B=x1<ln(x+1)<2={x|e−1<x<e2−1}2.【正确答案】A

【分析】本题考查了正弦型函数的图象变换，属于容易题.

根据图象变换可得g(x)=sin(2x+

解：由题意可得，g(x)=sin(2x+π4)，

所以3.【正确答案】A

【分析】本题考查了指数的运算，属于基础题.

求出f(−x)，通过运算，判断选项即可.

解：由f(x)=1−22x+1=2x−124.【正确答案】D

【分析】本题主要考查对数函数的值域，以及二次函数的性质，充分、必要条件的判断，属于基础题．

根据已知条件，结合二次函数的性质，以及充分条件、必要条件的定义，即可求解．

解：若f(x)=lg(x2−2ax+1)的值域为R，

则对y=x2−2ax+1有Δ=4a2−4≥0，

解得a≥1或a≤−1，

5.【正确答案】A

【分析】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．

由同角三角函数的基本关系可得sinα和sin(α+β)，代入解：∵α，β都是锐角，cosα=17，cos(α+β)=−1114，

==−1114×16.【正确答案】C

【分析】本题考查圆锥的体积，属于基础题.

由圆锥的体积公式计算细沙的体积，进而即可求解．

解：沙漏中的细沙对应的圆锥底面半径为23×4=83，高为163，

所以细沙体积为13×π×7.【正确答案】D

【分析】本题考查互斥事件的概率加法公式，属于中档题.

考虑患流感的这个人可能来自于哪个地区，结合互斥事件的概率计算可得答案.

解：由题意得，从这三个地区中任意选取一人，

则这个人可能来自于三个地区中患流感的人当中，

故这个人患流感的概率为P=6%×55+7+8+5%×78.【正确答案】D

【分析】本题考查利用导数求函数的单调性，函数奇偶性的判断，利用函数单调性比较大小，属于中档题.

首先证明此函数为偶函数，再利用其导函数得到其单调性，利用其是偶函数得到b=fln54，c=f14，通过指数函数单调性得e−34>e

解：因为f(x)=−x2−cosx,x∈R，定义域关于原点对称，

f(−x)=−(−x)2−cos(−x)=−x2−cosx=fx，

所以f(x)为R上的偶函数，

当x≥0时，f′(x)=−2x+sinx,，设gx=−2x+sinx，

则g′(x)=−2+cosx，∵−1≤cosx≤1，∴g′x<0，

所以g(x)即f′(x)在[0,+∞)上单调递减，

所以f′(x)≤f′(0)=0，

所以f(x)在[0,+∞)上单调递减，

又因为f(x)为偶函数，

所以f(x)在(−∞,0]上单调递增，

又因为ln45<0,−14<0，

则b=f9.【正确答案】BC

【分析】本题考查命题真假的判断，考查等差数列的性质、平均数、中位数、标准差、极差的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

根据极差及等差数列的通项公式可判断A;由中位数的概念可判断B，根据平均数的概念结合等差数列的性质判断C，由方差及等差数列的通项公式计算即可判断D，

解：对于A，原数据的极差为x1−x10=−9d=18，去掉x1，x10后的极差为x2−x9=−7d=14，即极差变小，则A错误;

对于B，原数据的中位数为12(x5+x6)，去掉x1，x10后的中位数仍为12(x5+x6)，即中位数没变，则B正确;

对于C，原数据的平均数为x=110(x1+x2+⋯+x10)=10.【正确答案】ACD

【分析】本题考查了正弦型函数的周期性，对称中心，求函数的零点(方程的根)，简单复合函数的导数，逆用两角和与差的正弦公式，属于中档题.

根据题意结合以上知识点逐项进行判断即可.解：由题意可得T=2π3，故A正确；

f(π6)=sin5π令t=3x+π3，由−π18≤x≤π9得π6≤t≤得32≤af(x)+f′(x)=sin(3x+π3)+3cos(3x+π3)=1011.【正确答案】BD

【分析】本题考查线面平行的向量表示，直线与平面所成角，空间几何体的截面问题，利用余弦定理解三角形，属于较难题.

对A，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，由向量法结合向量垂直判断即可；

对B，由几何关系得出B1P与平面CC1D1D所成线面角为∠B1PC1，可得C1P=1，则点P的轨迹是以C1为圆心，以1为半径的14个圆；

对C，由λ=1得点P在D1D上，正方体经过点A1､P､C的截面为平行四边形A1PCH，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，设P(0,1,t)，利用向量法求出点P到直线A解：对A，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，

则A0,0,0，B1,0,0，D0,1,0，C1,1,0，A10,0,1，

B1(1,0,1)，C11,1,1，D10,1,1，

所以CD1=(−1,0,1)，B1P=B1C+CP=B1C+λCD+μCC1=(−λ,1,μ−1)，

BA1=(−1,0,1)，BD=(−1,1,0)，

设平面A1BD的一个法向量为n=(x,y,z)，

所以BA1⋅n=−x+z=0BD⋅n=−x+y=0，令x=1，则y=z=1，则n=(1,1,1)，

若B1P//平面A1BD，则n⋅B1P=0，可得λ=μ，

由B1P⋅CD1=λ+μ−1=0，解得λ=μ=12，

即P为CD1中点时，有B1P//平面A1BD，且B1P⊥CD1，A错误；

对B，因为B1C1⊥平面CC1D1D，连接C1P，则∠B1PC1即为B1P与平面CC1D1D所成角，

若B1P与平面CC1D1D所成角为π4，则tan∠B1PC1=B1C1C12.【正确答案】415【分析】本题考查条件概率的乘法公式，属于基础题.

运用条件概率和互斥事件的概率加法公式即可解决.

解：P(A|B)=P(AB)P(B)=13PA∪B=PA+PB−P故答案为413.【正确答案】{1,2,3,4}

本题考查函数的新定义，函数的值域，属于中档题.

由直接法求函数的值域得答案.

解：f(x)=2x+52x+1=(1+2x)+41+2x=1+41+2x，

又2x>0，∴41+2x∈(0,4)，∴1+41+214.【正确答案】8

【分析】本题考查函数单调性、奇偶性的综合应用，由基本不等式求最值，属于中档题.

由函数奇偶性的定义可知fx为奇函数，根据单调性可知2m+n=1，然后结合基本不等式即可求解

解：函数fx的定义域为R，

且f−x=又y=x3与y=2x均为R上的增函数

，所以函数f(x)在又f0=0，所以所以2m+n−1=0，即2m+n=1，所以1m+2当且仅当nm=4mn，即所以1m+故8.15.【正确答案】解：(1)因为A，B，C为△ABC的内角，

所以sin(B+C)=sinA，

因为sin2A2=1−cosA2，

所以sin(B+C)=23sin2A2可化为：sinA=3(1−cosA)，

即sinA+3cosA=3，

即2sin(A+本题考查利用余弦定理解三角形，三角形周长面积的计算，考查基本的数学运算，属于中档题.

(1)由降幂公式结合辅助角公式，化简，整理，可得角A的大小；

(2)由三角形面积公式可得12b⋅csinA=12×3217a，得出16.【正确答案】解：(Ⅰ)设质点移动到1为事件A，则向左移动2次，向右移动3次，P(A)=C52(12)5=516.

(Ⅱ)X的可能取值为0，1，2，3，4，5

P(X=0)=C50(12)5=1本题考查相互独立事件的概率公式以及离散型随机变量的分布列和数学期望

(Ⅰ)根据相互独立事件的概率乘法公式进行计算即可；

(Ⅱ)X的可能取值为0，1，2，3，4，5求出对应的概率，可得分布列和数学期望.17.【正确答案】解：(1)因为f(x)=sinx+cosx，x∈R，

所以f(x+π2)=sin(x+π2)+cos(x+π2)

=cosx−sinx，x∈R，

则y=[f(x+π2)]2

=(cosx−sinx)2

=sin2x+cos2x−2sinxcosx

=1−sin2x，

故函数y=[f(x+π2)]2的最小正周期为T=2π本题考查诱导公式、两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，辅助角公式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于中档题.

(1)先利用诱导公式求得f(x+π2)=cosx−sinx，进而可得y=[f(x+π218.【正确答案】(Ⅰ)证明：因为AB//CD，AB⊂平面ABE，CD⊄平面ABE，所以CD//平面ABE，

因为平面ABE∩平面CDE=EF，CD⊂平面CDE，所以CD//EF；

(Ⅱ)解：过C作CM//AD，交AB于M，因为AB//CD，所以四边形AMCD为平行四边形，

所以MC=AD=4，所以∠CMB=∠DAB=60∘，于是MB=12⋅MC=2，

取AD中点O，BC中点N，连接ON交MC于H，连接FH、FN，

所以CD//ON//AB，CD=OH，OE⊥AD，

又因为平面ABCD⊥平面ADE，平面ABCD∩平面ADE=AD，OE⊂平面AED,

所以OE⊥平面ABCD，

因为CD//EF，EF=CD，所以EF//OH，EF=OH，所以四边形EFHO为平行四边形，

所以FH//OE，FH=OE=12⋅AD=2，于是FH⊥平面ABCD，

因为AB⊥BC，ON//AB,所以HN⊥BC，又BC⊂平面ABCD，所以FH⊥BC，

因为FH，HN为平面FHN中的两条相交直线，所以BC⊥平面FHN，FN⊂平面FHN，所以BC⊥FN，

所以∠FNH为二面角A−BC−F的平面角，

因为本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．(Ⅰ)先证明CD平行于平面ABE，再证明CD//EF；

(Ⅱ)寻找二面角的平面角，再解直角三角形求解．19.【正确答案】(1)解：fx=x−1x−alnx，x∈1,+∞，a∈R，f1=0，

f′x=1+1x2−ax=x2−ax+1x，

当a≤2时，x2−ax+1≥x2−2x+1=x−12≥0，

∴f′x≥0，函数fx在x∈1,+∞上单调递增，

∴fx>f1=0恒成立，满足条件；

当a>2时，对于方程x2−ax+1=0，其Δ=a2−4>0，

方程有两个不相等的实数根x1,x2，

∵x1+x2=a>2，x1x2本题考查利用导数研究恒成立问题，利用导数证明不等式，属于较难题.

(1)求导，结合导函数特征，分a≤2与a>2两种情况，结合f1=0，得到实数a的取值范围；

(2)在第一问的基础上，取a=2，得到x−1x−2lnx>0在(1,+∞)上恒成立，令江苏省镇江市2024-2025学年高三上学期10月月考数学检测试卷（二）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=2−1+i(i为虚数单位)A.1 B.i C.−i D.−12.已知集合A={x|x2−x−2≤0}，B={x|1≤2xA.[−1,3] B.{0,1} C.[0,2] D.{0,1,2}3.设公差d≠0的等差数列an中，a3，a5，a8成等比数列，则A.54 B.34 C.454.已知平面向量m，n满足：|m|=|n|=2，且m在n上的投影向量为−12nA.30∘ B.60∘ C.120∘5.已知α，β∈(0,π2)，tanαtanβ=1A.12 B.34 C.386.为迎接国庆假期，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，每位员工从中摸出2个小球.若摸到一红球一白球，可获得价值a百元代金券;摸到两红球，可获得价值b百元代金券;摸到两白球，可获得价值ab百元代金券(a,b均为整数).已知每位员工平均可得3.2百元代金券，则运气最好者获得至多( )百元代金券A.5.4 B.9 C.8 D.187.已知双曲线C:x2a2−y2=1(a>0)，点M在C上，过点M作C两条渐近线的垂线，垂足分别为A，A.54 B.233 8.已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)+f(y)=f(x+y)−2xy+2，f(1)=2，则下列结论正确的是(

)A.f(4)=12 B.方程f(x)=2x有解

C.f(x)是偶函数 D.f(x−1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.设正实数m，n满足m+n=1，则(

)A.mn的最小值为12 B.1m+2n的最小值为3+22

C.10.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象过点A(0,1)和B(A.φ=π6

B.ω=2π3

C.当x∈[−14,1]时，函数11.已知Sn是数列an的前n项和，且Sn+1A.an+an+1=2n−1(n≥2)

B.an+2−an=2(n≥2)

C.若三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若(x+a)10的展开式中，x7的系数为15，则常数a=__________.(13.若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为__________.14.函数f(x)的导函数为f′(x)，若在f(x)的定义域内存在一个区间D，f(x)在区间D上单调递增，f′(x)在区间D上单调递减，则称区间D为函数f(x)的一个“渐缓增区间”.若对于函数f(x)=aex−x2，区间(0,四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(1)证明：2(2)若a=3102，cos16.(本小题12分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB(1)证明：BC=B(2)已知平面ABC⊥平面ABB1A117.(本小题12分)已知椭圆C:x2a2+y2(1)求椭圆C的方程;(2)过P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交椭圆C于另一点A，B，求证：直线AB过定点.18.(本小题12分)设数列an的前n项和为Sn.若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn=(1)已知数列an是等差数列，且a1=0，求证：数列a(2)若数列an的前n项和Sn=2an(3)设an是等差数列，其首项a1=1，公差d<0.若{an}19.(本小题12分)已知定义：函数f(x)的导函数为f′(x)，我们称函数f′(x)的导函数f′′(x)为函数f(x)的二阶导函数，如果一个连续函数f(x)在区间I上的二阶导函数f′′(x)≥0，则称f(x)为I上的凹函数;二阶导函数f′′(x)≤0，则称f(x)为I上的凸函数.若f(x)是区间I上的凹函数，则对任意的x1，x2，⋯，xn∈I，有不等式f(x1+x2+⋯+xnn)≤f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)n恒成立(当且仅当x1(1)试判断f(x)在(0,π(2)设x1，x2，⋯，xn>0，n≥2，且(3)已知a∈N∗，且当x∈(0,π2]，都有sin答案和解析1.【正确答案】D

【分析】此题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属基础题.

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.解：∵z=2−1+i=2(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−1−i，

2.【正确答案】D

【分析】本题主要考查了交集及其运算，指数函数及其性质的应用，解题的关键是熟练掌握交集及其运算，指数函数及其性质的计算，属于基础题.

根据已知及交集及其运算，指数函数及其性质的计算，求出A∩B的值.

解：∵集合A={x|x2−x−2≤0}={x|−1≤x≤2}，

B={x|1≤2x≤8,x∈Z}={0,1,2,3}3.【正确答案】C

【分析】本题主要考查了等比数列的性质，等差数列的性质，通项公式，属于较易题.

由题意可得2d=a1，根据解：因为公差d≠0的等差数列an中，a3，a5所以a52=a所以a故选：C.4.【正确答案】C

【分析】本题主要考查了向量的数量积，向量的模，投影数量，属于中档题.

利用m在n上的投影向量为12n可得m⋅n=2，结合夹角公式即可求解.

解：由m在n上的投影向量为−12n，得m⋅nn⋅nn=−12n，所以m5.【正确答案】B

【分析】本题主要考查了和差角公式，同角基本关系，属于中档题．

由已知结合同角基本关系及和差角公式先进行化简，然后结合和差角公式可求．因为

α,β∈0,π2

，

tan所以

α+β=π3

，

又因为

tan αtan β=①②联立解得

cos α所以

cos (α−β)=故选：B6.【正确答案】C

【分析】

本题考查古典概型及其计算、离散型随机变量的数学期望，属于一般题.

利用古典概型的概率公式求出摸到一红球一白球，摸到两红球，摸到两白球的概率，根据题意得出35a+310b+110ab=3.2，即3a+1.5b+0.5ab=16，对a分情况讨论，即可求出结果.

解：由题意得摸到一红球一白球的概率为C31C21C52=35，

摸到两红球的概率为C32C52=310，

摸到两白球的概率为C22C52=110，

所以35a+310b+110ab=3.2，

即3a+1.5b+0.5ab=16，

又a，b均为正整数，

所以当a=1时，有1.5b+0.5b=13，即b=6.5(舍去);

7.【正确答案】B

【分析】本题主要考查求双曲线的离心率，属于一般题．

设点Mx0,y0解：设点Mx0,y0又两条渐近线方程为y=±1ax故有MA⋅所以e=故选：B.8.【正确答案】B

【分析】

本题考查了求函数值、求抽象函数的解析式、判断或证明函数的奇偶性，属于中档题．

由已知利用赋值法可判断A，取y=1，得出f(x)−f(x−1)=2(x−1)，利用累加的方法求得解析式，可判断C，根据f(x)=2x，求出x的值，即可判定B，利用奇偶函数的概念即可判定D.

解：因为函数f(x)的定义域为R，

且满足f(x)+f(y)=f(x+y)−2xy+2，f(1)=2，

取x=y=1，得f(2)=4，

取x=y=2，得f(4)=14，故A错误．

取y=1，得f(x+1)−f(x)=2x，

所以f(x)−f(x−1)=2(x−1)，

f(x−1)−f(x−2)=2(x−2)，

⋯，

f(2)−f(1)=2，以上各式相加得f(x)−f(1)=[2(x−1)+2]⋅(x−1)所以f(x)=x2−x+2令f(x)=x2−x+2=2x，

得x2−3x+2=0，解得x=1或2，故B正确；

对于D，因为f(x)=x2−x+2，

9.【正确答案】BD

【分析】

本题考查了基本不等式的应用，属于中档题．

由基本不等式及重要不等式化简，依次对四个选项判断即可．

解：对于A，

1=m+n≥2当且仅当

m=n=12

时取等号，此时

mn

取最大值

1对于B，因为正实数

m，

n满足

m+n=1，所以

1m当且仅当

nm=2mn

且

m+n=1

，即

对于C，

m当且仅当

m=n=12

时取等号，所以

m+n

对于D，由

mn因此

m2+nm2+n即

m2+n2

的最小值为

故选：BD10.【正确答案】ABD

【分析】本题考查了正弦型函数的图象与性质及相关的零点问题，属于中档题.

根据题干条件求出函数解析式，再根据正弦函数的性质及特殊点判断即可。D选项则先把函数零点问题转为两个函数的交点问题，利用五点作图法作出函数f(x)及y=x的图象进行判断。解：点A(0,1)代入得，2sin(π3×0+φ)=−1，即sinφ=12，又∵|φ|<π2∴φ=π6

故A项正确.

由|AB|min=13=32+x02，解得x0=±2，

又∵x0>0，∴x0=2，

由A项可知f(x)=2sin(ωx+π6)，则有f(2)=2sin(2ω+π6)=−2，

因此sin(2ω+π6)=−1，

又因为A(0,1)和B(2,−2)和|AB|min11.【正确答案】ABC

【分析】本题主要主要考查数列概念以及递推关系.

根据已知条件，逐个选项代入分析即可判断.解：∵Sn+1=−Sn+n2①，∴Sn=−Sn−1+n−12(n≥2)②.

由①-②式可得；an+an+1=2n−1(n≥2)，∴A选项正确.

对于B，因为an+an+1=2n−1(n≥2)，

所以an+1+an+2=2(n+1)−1=2n+1，

两式相减得：an+2−an=2(n≥2)，所以B正确.

由B选项可知，∵a1=0

∴a3=a1+2=2,a5=a3+2=4,⋯a99=98,

由A，B选项正确可得；a2=1,a4=3,⋯a100=99,

∴S100=a1+a2+a3+⋯⋯+a99+a100=4950，

所以C选项正确.

对于D，S12.【正确答案】12【分析】本题主要考查利用二项展开式的通项公式求特定项，属于基础题.

根据二项展开式的通项为Tk+1=C 10k解：二项展开式的通项为Tk+1=C 10kx10−kak，

当10−k=7时，13.【正确答案】

解：如图所示，设P在底面的投影为G，易知正四棱锥P−ABCD的外接球球心在PG上，

由题意球O的半径为PO=AO=5，OG=8−5=3，

所以AG=52−32=4，PA=82+42=45，

则AB=8×【分析】

本题主要考查四棱锥的外接球问题，属于中档题．

根据正四棱锥及球的特征求出锥体的底边边长和侧棱长，然后结合勾股定理利用侧面积公式计算即可.14.【正确答案】[【分析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及恒成立问题，属于中档题.

先分离出参数，然后结合题意利用导数研究恒成立问题即可.

解：对于函数f(x)=aex−x2，x∈(0,12)，f′(x)=aex−2x，

令g(x)=aex−2x，x∈(0,12)，则g′(x)=aex−2，

因为f′(x)在区间(0,12)上单调递减，所以aex−2≤0恒成立，

即a≤2ex在区间(0,12)上恒成立，易得函数y=2ex单调递减，

15.【正确答案】解：(1)证明：已知sinCsin(A−B)=sinBsin(C−A)

可化简为sinCsinAcosB−sinCcosAsinB=sinBsinCcosA−sinBcosCsinA，

由正弦定理可得accosB−bccos本题考查正余弦定理，属中档题目.

(1)利用正弦定理角化边，再利用余弦定理角化边，化简得证；

(2)由余弦定理求出a+b即可得出三角形的周长.16.【正确答案】解：(1)设O为AB的中点，连接CO，B1O，AB因为CA=CB，所以AB⊥OC，因为四边形ABB1A1为菱形，∠ABB又OC⊂平面OB1C，OB1⊂平面OB因为B1C⊂平面OB因为AC1⊥B1C，AB⊂平面AC1∩AB=A，所以B因为BC1⊂平面ABC1，所以(2)因为平面ABC⊥平面ABB1A1，且平面ABC∩平面ABB1A1所以B1O⊥平面以O为坐标原点，OC，OA，OB1所在直线分别为x，y，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2.则O0,0,0，C3,0,0，B0,−1,0可得AC=3,−1,0设平面BCC1B1令x=1，则y=−3，z=1设平面ACC1A1令a=1，则b=3，c=−1|cos <m,

本题考查线面垂直的判断和性质以及平面与平面所成角的向量求法，属于一般题.

(1)通过线面、面面的位置关系证平行四边形BCC(2)先证B1O⊥平面17.【正确答案】解：(1)由题意，得4a2+1b2=1,b=3(2)当直线AB斜率不存在时：A(x0,y0)，B(x0,−y0)，

由PA⊥PB知：AP⋅BP=(2−x0,1−y0)⋅(2−x0,1+y0)=0有：(2−整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2−6=0，

由△>0，得6k2−m2+3>0.

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

则x1+x2=−4km1+2k2，x1x2=2m2−61+2k2.

因为PA⊥PB【分析】本题考查椭圆的标准方程与性质、直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中的最值问题，属于一般题．

(1)短轴长2b=23，再将点P(2,1)代入出x2a2+y2b2=1，即可求解椭圆方程；

(2)当直线AB的斜率不存在时，可求解点A的横坐标为x0=23，当直线18.【正确答案】解：(1)因为a1=0，，设公差为d，所以Sn=n(n−1)d2

令m=n(n−1)2+1，则m∈N∗，这时Sn=am，

即对任意正自然数n，存在正自然数m，使得Sn=am，.

所以，数列an是“H数列”

(2)因为数列an的前n项和Sn=2an−1

当n=1时，a1=2a1−1，所以a1=1

当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2an−1−2an−1+1，所以an=2an−1

所以an是以1为首项，2为公比的等比数列.

所以an=2n−1，Sn=2n−1

假设数列an是“H数列”，则对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，

当m=1时，有2n−1=1，则n本题考查数列{an}是“H数列”的证明，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，

(1)因为a1=0，，设公差为d，所以Sn=n(n−1)d2由此能证明数列{an}是“H数列”

(2)由已知得an=2n−1，Sn=2n−1，由此能证明数列19.【正确答案】解：(1)f(x)=x1+x，x∈(0,π2],所以f′(x)=1(1+x)2，f”(x)=−2(1+x)3，

因为x∈(0,π2]，所以f′′(x)<0，所以f(x)在(0,π2]为凸函数.

(2)由(1)因为f(x)在(0,π2]内凸函数，所以W=f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)≤n⋅f(x1+x2+⋯+xnn)=n⋅f(1n).

所以Wmax=n⋅f(1n).

(3)令ℎ(x)=sinx+sinax−3xcosx，x∈(0,π2]，则ℎ(x)>0在(0,π2]上恒成立，

则ℎ′(x)=acosax−2cosx+3xsinx，且ℎ′(0)=a−2，

当a=1，ℎ(π4)=sinπ4+sinπ4−3π本题考查函数新定义问题以及导数的应用，属于难题.

(1)根据凸函数的定义以及导数的运算即可求解；

(2)根据题意结合凸函数的性质即可得出结论；

(3)令ℎ(x)=sinx+sinax−3xcosx，x∈(0,π江苏省镇江市2024-2025学年高三上学期10月月考数学检测试卷（三）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知命题p:∀x>1，x3>x2，则¬pA.∃x>1，x3≤x2 B.∃x≤1，x3≤x2

C.2.已知集合A={−1,0,2}，B={x|1−mx>0}，若A⊆B，则m的取值范围是(

)A.(−1,+∞) B.(−∞,12)

C.(−1,3.在(x3−2A.−4 B.4 C.−32 D.324.“x>y>1”是“x−1y>y−1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.如图，水面高度均为2的圆锥、圆柱容器的底面积相等，高均为4(不考虑容器厚度及圆锥容器开口).现将圆锥容器内的水全部倒入圆柱容器内，记倒入前后圆柱容器内水的体积分别为V1，V2，则V1V2A.49 B.59 C.11196.若曲线y=(x+a)ln(1−2x)关于直线x=bA.−2 B.0 C.1 D.27.已知α，β为锐角，cos(α+β)=sinαsinβ，则A.1 B.2 C.248.已知a=e−1，b=sin12A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知两组数据x1，x2，⋯，xn和y1，y2，⋯，yn，满足xA.平均数 B.极差 C.方差 D.中位数10.已知函数f(x)=sin(ωx−π3)(ω>0)在(πA.23 B.1 C.5311.已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点.将△CBE沿BE翻折折到△C1BE构成四棱锥C1A.一定存在某个位置，使得BE⊥AC1

B.若F为线段AC1的中点，则DF//平面C1EB

C.若F为线段AC1的中点，则点F三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知f(x)=4x−1,x≥0,log2(1−x),x<0,13.某大学5名师范生到甲、乙、丙三所高中实习，每名同学只能到1所学校，每所学校至多接收2名同学.若同学A确定到甲学校，则不同的安排方法共有__________种.14.设函数f(x)=|xe−x+1+1|，若关于x的方程[f(x)]2−52四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知函数f(x)=(1)求证：曲线y=f(x)的图象关于点(0,2)对称;(2)若f(a+2)+f(1−2a2)<4，求实数a16.(本小题12分)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a(1)求证：C=2B;(2)若cosB=34，c=6，求△ABC17.(本小题12分)比亚迪汽车集团监控汽车零件企业的生产过程，从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差(零件质量与标准质量之差的绝对值)的样本数据如下表：质量差(单位：mg)5457606366件数(单位：件)52146253(1)求样本质量差的平均数x;假设零件的质量差X∼N(μ,σ2)，其中σ2=4，用x(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中第1条生产线与第2条生产线生产的零件件数之比为3:1.若第1，2条生产线的废品率分别为0.012和0.008，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件.

①求抽取的零件为废品的概率;②若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率.参考数据：若随机变量X∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X≤μ+σ)≈0.6827，18.(本小题12分)

如图，三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，PA=BC=2，PC=AB=4，E为棱AB的中点，F为棱PC上的点.

(1)证明：PA⊥平面PBC;(2)若二面角P−AF−E的正弦值为427，求点P到平面AEF的距离19.(本小题12分)已知函数f(x)=xlnx+t在点(1,f(1）(1)求t的值;(2)若存在x1<x2(3)证明：f(x)+xcos答案和解析1.【正确答案】A

【分析】

本题考查命题的否定，属于基础题.

利用全称量词命题的否定是存在量词命题即可解答.

解：因为全称量词命题的否定是存在量词命题，

故¬p为∃x>1，x2.【正确答案】C

【分析】

本题考查含参数的集合关系的问题，属于基础题.

由集合的包含关系得不等式组，解不等式组即可.

解：由题意，因为A⊆B，

则1+m>01−2m>0⇒−1<m<12，

3.【正确答案】C

【分析】

本题考查二项式定理，属于基础题.

利用展开式的通项即可求解.

解：二项式(x3−2x)4的展开式的通项为Tr+1=C4.【正确答案】A

【分析】

本题考查充分必要条件的判断，属于基础题.

根据题意结合充分必要条件的定义即可求解.

解：当x>y>1时，则(x−1y)−(y−1x)=x−y+1x−1y=x−y+y−xxy=x−y1−1xy=x−yxy−15.【正确答案】D

【分析】

本题主要考查圆柱、圆锥的体积的求法，属于基础题.

设圆锥、圆柱的底面半径均为R，圆锥水面半径为r，则r=12R，根据圆锥、圆柱的体积公式求解即可.

解：设圆锥、圆柱的底面半径均为R，

圆锥水面的圆心为A，半径为r，水底的圆心为B，圆锥顶点P，

由AB=2，PB=4，PA=2，PAPB=rR，即24=rR，

则r=12R，

故圆锥中水的体积为136.【正确答案】A

【分析】

本题考查函数的对称性，属于中档题.

求出函数f(x)的定义域，利用对称性可得定义域关于直线x=b对称，再利用特值求出a，并验证即得.

解：令f(x)=y=(x+a)ln(1−2x)

由1−2x>0，得x>2或x<0

故函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(2,+∞)，

由曲线y=(x+a)ln(1−2x)关于直线x=b对称，得定义域关于直线x=b对称，

则b=0+22=1，

此时必有f(−1)=f(3)，即(−1+a)ln3=(3+a)ln

137.【正确答案】C

【分析】本题考查同角三角函数基本关系与两角和与差的三角函数公式及利用基本不等式求最值，属于较难题目.

利用同角三角函数基本关系及两角和与差的三角函数公式化简得出tanα=sin解：∵α,β均为锐角，sinαsinβ=cos(α+β)，

∴sinαsinβ=cosαcosβ−sinαsinβ，

∴cosα8.【正确答案】D

【分析】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性问题，解题的关键是构造函数，属于难题.

构造函数m(x)=ex−x−1，0≤x≤1，设f(x)=ln(1+x)−sinx，0<x<π6，求导，利用导数研究函数的单调性，再根据函数的单调性比较大小即可.

解：构造m(x)=ex−x−1，0≤x≤1，

则m'(x)=ex−1≥0对0≤x≤1恒成立，则m(x)在[0,1]单调递增，

此时m(x)=ex−x−1≥m(0)=0，当且仅当x=0时取等，

所以m(12)=e−12−1>0，则a=e−1>12;

构造n(x)=ln(1+x)−x，0≤x≤1，

则n'(x)=1x+1−1=−xx+1≤0对0≤x≤1恒成立，则n(x)在[0,1]单调递减，

此时n(x)=ln(1+x)−x≤n(0)=0，当且仅当x=0时取等，

所以n(12)=ln32−12<0，则b=ln32<12;

构造p(x)=sinx−x，0≤x≤1，

则p'(x)=cosx−1≤0对0≤x≤1恒成立，则p(x)在[0,1]单调递减，

此时p(x)≤p(0)=0，当且仅当x=0时取等，

所以p(12)=sin9.【正确答案】BC

【分析】本题考查样本与总体的数字特征，涉及平均数、中位数、极差、方差，属于中档题.

根据平均数、中位数、极差、方差，的计算方法，逐个选项计算判断即可.

解：

选项A:平均数可以通过所有数据的和除以数据的个数来计算，

由于xi+yi=M，通过适当的组合，

可以使得两组数据的平均数通过不同的方式计算得到，

因此通过这种方式无法确定两组数据的平均数一定相同，故A错误；

选项B:极差通过最大值和最小值的差来计算，由于xi+yi=M，

不妨设数据x1，x2，⋯，xn中的最大值为xp，最小值为xq，其中1≤p≤n、1≤q≤n，

则数据y1，y2，⋯，yn中最大值为yq，最小值为yp，

因为xp+yp=xq+yq=M，所以xp−xq=yq−y10.【正确答案】ABC

【分析】

本题考查了正弦型函数的单调性，属于中档题.

先整体思想求函数的单调增区间，再利用包含关系列不等式求解.

解：由题意，T2=πω≥π2−π6得

2kπ−16所以

2kπ−16πω≤π62kπ+5π令

k=0

得

−1≤ω≤53

.

又

ω>0

，所以

故选：ABC.11.【正确答案】BC

【分析】本题主要考察直线与直线垂直、线面垂直、线面平行、点的轨迹、直线与平面所成角等，属于较难题.

取BE中点M，若BE⊥AC1，则可推出BE⊥AM，与AE⊥BE矛盾，即可判断A；证明DF//平面C1EB即可判断B；由DF=EG=12+(

解：

对于A:由已知可得BE=AE=2，又因为∵AB=2∴∠AEB=90∘，即AE⊥BE.

取BE中点M，∵C1B=C1E，∴C1M⊥BE，假设BE⊥AC1，AC1∩C1M=C1，且AC1，C1M⊂平面C1MA，所以此时BE⊥平面C1MA∴BE⊥AM，又AE⊥BE，这与在一个平面内过一点只有一条直线与已知直线垂直矛盾，故A不正确;

对于B，设G为BC1的中点，又

∵F为AC1的中点，∴FG//AB，FG=12AB，又E为CD的中点，CD//AB，∴FG//DE，FG=DE，∴四边形FGED为平行四边形，∴DF//EG，又DF⊄平面C1BE，EG⊂平面C1BE，∴DF//平面C1BE，故B正确;

对于C，由B知F为线段AC1的中点时，恒有DF=EG=12+(12)2=52，因此点F在以D为球心，DF为半径的球面上运动.故C正确;

对于D，作直线HD垂直底面ABCD，以D为原点，DA、DC、DH所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则n=(0,0,1)是平面ABED的一个法向量，设C1(x,y,z)，F(x0,y0,z0)，

12.【正确答案】254【分析】

本题考查求分段函数的函数值，属于基础题.

首先根据分段函数求出f(−4)，然后根据

f(−4)的值求出f(f(−4）的值即可.

解：由题意，可得f(−4)=log25，

又log25>1，

故13.【正确答案】30

【分析】本题考查排列、组合的综合应用，属于一般题.

将只有同学A到甲学校加上除同学A外还有一名同学去甲学校的情况即可.

解：若只有同学A到甲学校，则有C42A22⋅A22=6种可能，

14.【正确答案】1,3【分析

本题考查利用导数求函数的单调区间，画具体函数图象，利用导数研究函数的零点等，属于较难题.

利用导数数求函数的单调区间和零点，将f(x)的图像画出来，令t=f(x)，由关于x的方程[f(x)]2−52f(x)+m=0有5个不相等的实数根，则y=t与y=f(x)的图像有5个交点，且关于t的方程t2−52t+m=0有两个解，不妨设为t1，t2，t1<t2，分两种情况讨论：①若t2=2，那么1<t1<2;②若0<t1≤1，1<t2<2，即可求解实数m的取值范围.

解：令gx=xe−x+1+1，g'x=e−x+11−x，

令g'(x)>0，解得x<1，令g'(x)<0，解得x>1，

所以g(x)在−∞,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，

当x>1时，gx=xe−x+1+1>1，

而g(0)=1>0,g−1=1−e2<0，

由零点存在定理可得：存在x0∈(−1,0),使得g(x0)=0，

当x<x0时，g(x)<0.

又fx=g(x)，故可大致画出f(x)的图像，如下图所示：

令t=f(x)，由关于x的方程[f(x)]2−52f(x)+m=0有5个不相等的实数根，

则y=t与y=f(x)的图像有5个交点，

且关于t的方程t2−5215.【正确答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(−∞,+∞).

因为f(x)+f(−x)=(ex−e−x−x+2)+(e−x−ex+x+