2024-2025学年陕西省宝鸡市高二上册10月月考数学阶段检测试题合集2套（含解析）

2024-2025学年陕西省宝鸡市高二上学期10月月考数学阶段检测试题（一）一、单选题（本大题共8小题）1．设复数满足，则=（

）A． B．C． D．22．直线的倾斜角为，经过点，，则直线与直线的位置关系是（

）A．平行 B．垂直 C．重合 D．平行或重合3．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为，，，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为（

）A． B． C． D．4．如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为（

）A．5 B．3 C． D．5．堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图，在堑堵中，，若，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．6．在四棱锥中，，，，则该四棱锥的高为（

）A． B． C． D．7．已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（

）A． B． C． D．8．如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列命题中，正确的命题有（

）A．是，共线的充要条件B．若，则存在唯一的实数，使得C．对空间中任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底10．某学校为普及安全知识，对本校1500名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动(满分为100分).现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，则根据该直方图，下列结论正确的是（

）A．图中的值为0.016B．估计该校高一大约有77%的学生竞赛得分介于60至90之间C．该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为195人D．该校高一学生竞赛得分的第75百分位数估计大于8011．苏州博物馆（图一）是地方历史艺术性博物馆，建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体，其中上层是正四棱柱，下层底面是边长为4的正方形，在底面的投影分别为的中点，若，则下列结论正确的有（

）A．该几何体的表面积为B．将该几何体放置在一个球体内，则该球体体积的最小值为C．直线与平面所成角的正弦值为D．点到平面的距离为三、填空题（本大题共3小题）12．设，向量，且，则．13．已知=，则的值是.14．设函数是从1，2，3三个数中任意取一个数，是从2，3，4，5四个数中任意取一个数，则的概率是．四、解答题（本大题共5小题）15．已知直线过点，且与以和为端点的线段相交.(1)求直线的斜率k的取值范围；(2)求直线的倾斜角的取值范围.16．某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分(百分制)按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图.已知调查评分在中的市民有200人心理测评评价标准调查评分[0，40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]心理等级EDCBA（1）求的值及频率分布直方图中的值；（2）在抽取的心理等级为的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导.据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为的概率；（3）该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂.根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分÷100)17．在中，角所对的边分别为.已知.（1）若，求的周长；（2）若为锐角三角形，求的取值范围.18．如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值；（3）设为棱上的点（不与，重合），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.19．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系．如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴，轴，轴）正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作．(1)若，求的斜坐标；(2)在平行六面体中，，建立“空间斜坐标系”如下图所示．

①若，求向量的斜坐标；②若，且，求．

答案1．【正确答案】C【分析】求出即得解.【详解】由题意可得，所以，所以.故选C.2．【正确答案】D【分析】求出直线的斜率，根据，的斜率关系，即可求解.【详解】由点，，可求得直线的斜率，因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，则有，则直线与直线平行或重合.故选D.3．【正确答案】D【分析】汽车在甲、乙、丙三处因遇绿灯通行是相互独立的，遇红灯停车的事件也是相互独立的；遇红灯停车和遇绿灯通行是互斥事件，先分别汽车在这三处遇红灯停车一次的情况的概率，最后计算出汽车在这三处遇红灯停车一次的概率【详解】因为汽车在甲、乙、丙三处因遇绿灯通行是相互独立的，遇红灯停车的事件也是相互独立的；遇红灯停车和遇绿灯通行是互斥事件，因此汽车在这三处遇红灯停车的概率分别为：所以.所以汽车在这三处遇红灯停车一次有三种情况，概率分别为：（1）甲红灯，乙丙绿灯：；（2）乙红灯，甲丙绿灯：；（3）丙红灯，甲乙绿灯：；所以汽车在这三处遇红灯停车一次的概率为.故选D.4．【正确答案】C【分析】，然后平方可算出答案.【详解】在平行六面体中，，，，，，，.故选C.5．【正确答案】A【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.【详解】由分析题意得，平面如图所示，以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系，则，所以.设异面直线与所成的角为，则.故选A.6．【正确答案】D【分析】先计算出平面的法向量，再计算出与平面所成角的正弦值，然后根据四棱锥的高为即可计算结果.【详解】因为设平面的法向量为，则，即，所以令，可得，，则，所以.设与平面所成的角为：则.因为，所以到平面的距离为，即四棱锥的高为.故选D.7．【正确答案】C只需根据函数性质逐步得出值即可．【详解】为奇函数，；，，，，故选C．8．【正确答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点到直线距离的函数关系，再求其最小值即可.【详解】以题意，以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，因为正方体棱长为1，，所以,,设,则,而,所以点到直线的投影数量的绝对值为,所以点到直线的距离为，当时，等号成立，即点到直线的距离最小值为，故选：C.9．【正确答案】CD【分析】对于A选项，向量，同向时不成立；对于B选项，为零向量时不成立；对于C选项，根据空间向量共面的条件判定；对于D选项，根据能成为基底的条件判定.【详解】对于A选项，向量，同向时，，只满足充分性，不满足必要性，故A错误；对于B选项，应该为非零向量，故B错误；对于C选项，，，若共线，则三向量共线，故，，三点共线，与已知矛盾，故不共线，由向量共面的充要条件知共面，而过同一点，，，，四点共面，故C正确；对于D选项，若为空间的一个基底，则，，不共面，假设，，共面，设，，无解，，，不共面，构成空间的另一个基底，故D正确．故选CD．10．【正确答案】BCD【分析】根据频率分布直方图性质可得，判断A错误；计算出得分介于60至90之间的频率，判断B正确；利用1500乘以得分不小于90频率，判断C正确；计算得分介于50至80之间的频率判断D正确.【详解】由频率分布直方图性质可得：，解得，故A错误；得分介于60至90之间的频率为，故B正确；得分不小于90的人数估计为，故C正确；得分介于50至80之间的频率为，故D正确.故选BCD.11．【正确答案】ACD【分析】根据垂直关系可求解三角形的边长，结合面积公式即可求解A，根据外接球的性质，结合体积公式即可求解B，建立空间直角坐标系，根据向量法即可求解夹角和距离，进而可判断CD.【详解】设在平面的投影分别为的中点，因为，，所以到平面的距离为,因为上、下两层等高，所以到平面的距离为2，因为，,所以,所以,同理可得，，则点B到FG的距离为，则的面积为，的面积为．对于A选项，故该几何体的表面积，故A正确．对于B选项，将该几何体放置在一个球体内，要使该球体体积最小，则球心在该几何体上下底面中心所连直线上，且均在球面上，设球心到下底面的距离为x，由于四边形为边长为的正方形，四边形为边长为4的正方形，则其对角线长度分别为4，，则，解得，则该球体的半径为，体积为．故B错误．对于C选项，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，平面的一个法向量为，则，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为，故C正确．对于D选项，设平面的法向量为，则，令，得，则点到平面的距离为，故D正确．故选ACD.12．【正确答案】【分析】根据空间向量的垂直及平行的坐标表示求出，再由向量的坐标运算及模的坐标表示求解．【详解】因为，所以，解得，则．因为，所以，解得，则．所以．故答案为.13．【正确答案】【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【详解】，.故答案为.14．【正确答案】【分析】由题意得出基本事件总数，在由古典概型计算出的概率.【详解】,当且仅当时，等号成立，，恒成立就转化为成立.设事件“恒成立”，则基本事件总数为个，即，，事件包含事件：共个，由古典概型得.故答案为.15．【正确答案】(1)(2).【分析】（1）在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析，，三点之间的关系，不难给出直线的斜率的取值范围；（2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线的倾斜角的取值范围．【详解】（1）根据题意，在平面直角坐标系中画出图象如图：因为直线过点，且与以和为端点的线段相交.所以，所以直线的斜率的取值范围.（2）因为由（1）可知，，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，所以可得此时直线的倾斜角的取值范围，由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线的倾斜角，综上所述，直线的倾斜角的取值范围.16．【正确答案】（1），；（2）；（3）只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动，理由见解析.【分析】（1）利用公式求的值，利用矩形的面积和为1求的值；（2）设事件“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为”，利用对立事件的概率公式求解；（3）利用频率分布直方图的平均数求出平均数即得解.【详解】(1)由分析题中已知条件，可得，因为每组的小矩形的面积之和为1.所以，解得，(2)因为由(1)知：，所以调查评分在[40，50)中的人数是调查评分在[50，60)中人数的，若按分层抽样抽取3人，则调查评分在中有1人，在中有2人，设事件“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为”.因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，所以所以故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为的概率为，(3)因为由频率分布直方图可得，,估计市民心理健康调查评分的平均值为80.7，所以市民心理健康指数平均值为，所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.17．【正确答案】（1）；（2）【分析】（1）利用正弦定理将已知条件边化角，化简后求得，再利用余弦定理求得，可得周长，（2）利用正弦定理将化为角的三角函数，化简后利用的范围及正弦函数的性质求解范围.【详解】（1）因为，所以，所以，因为，所以，所以，因为，且，所以，即，则的周长为，（2）因为，所以，所以，因为为锐角三角形，所以，所以，则，所以.故的取值范围是.18．【正确答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【分析】（1）由已知证得，，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示和线面垂直的判定定理可得证；（2）根据二面角的空间向量求解方法可得答案；（3）设，表示点，再利用线面角的空间向量求解方法，建立方程解得，可得答案.【详解】（1）因为平面，平面，平面，所以，，因为，所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.因为由题中已知可得，，，，，所以，，.因为,.所以,,因为，平面，平面.所以平面.（2）设平面的法向量，由（1）可知,设平面的法向量,因为，.所以，即，不妨设，得.，因为由图示知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.（3）设，即.所以，即.因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，即，解得，故.19．【正确答案】(1)(2)①；②3【分析】（1）通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标.（2）设，，分别为与同方向的单位向量，则，，，①通过平行六面体得到，从而得到求向量的斜坐标；②通过平行六面体得到，由，得到，并结合题目中的，从而计算出值，并得到的值.【详解】（1），的斜坐标为．（2）设分别为与同方向的单位向量，则，①②由题意可得，，,，,，，解得，．2024-2025学年陕西省宝鸡市高二上学期10月月考数学阶段检测试题（一）一、单选题（本大题共8小题）1．设是不同的直线，是不同的平面，下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则2．已知三角形ABC的三个顶点分别为，，，则AB边上的中线所在直线的方程为（

）A． B．C． D．3．过点P（1，1）作直线l，与两坐标轴相交所得三角形面积为1，则直线l有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条4．已知圆过点A(1,0),则圆C的圆心的轨迹是（

）A．点 B．直线 C．线段 D．圆5．若a2＋b2＝2c2（c≠0），则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为（

）A． B．1 C． D．6．如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为（

）A． B． C． D．17．是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为（

）A． B． C． D．8．若圆C1与圆C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|等于()A．4 B．42C．8 D．82二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法中正确的是（

）A．是直线与直线平行的充分不必要条件B．是直线与直线垂直的充分不必要条件C．经过点，且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是D．若一条直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为10．已知圆，圆，，且，不同时为交于不同的两点，，下列结论正确的是（

）A．B．C．D．11．一块正方体形木料如图所示，棱长为，点在线段上，且，过点将木料锯开，使得截面过，则（

）A．B．截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台C．截面的面积为D．以为球心，为半径的球面与截面的交线长为三、填空题（本大题共3小题）12．已知O为坐标原点，，，若与的夹角为120°，则实数．13．如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是．

14．已知直线与曲线有两个交点，则m的取值范围为．四、解答题（本大题共5小题）15．设两点的坐标分别为，．直线相交于点，且它们的斜率之积是．(1)求点的轨迹方程．(2)若，在的轨迹上任取一点（异于点），求线段长的最大值．16．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．(1)求A；(2)若，则的面积为，求b，c．17．从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人.（1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.（2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率.18．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面平面．

(1)求证：；(2)求平面APB与平面夹角的余弦值；(3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．19．已知点为圆上的动点，点，延长至点使得为的中点．(1)求点的轨迹方程．(2)过圆外点向圆引两条切线，且切点分别为两点，求最小值．(3)若直线l：与圆交于两点，且直线的斜率分别为，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

答案1．【正确答案】C【详解】对于A，由可能得到平行于的交线，不一定有，即A错误；对于B，不妨取正方体的一部分如下图所示：此时，可得，即B错误；对于C，由面面垂直的判定定理即可得出C正确；对于D，由可得，可在平面内找一条直线满足，可得，即D错误.故选：C2．【正确答案】C【详解】边的中点为，∴边上的中线所在直线的方程，即.故选：C3．【正确答案】B【详解】由题意可知，直线的斜率存在，则设直线的方程为，令，解得；令，解得.，化为，即①，②，由于方程①，方程②无解，可得两个方程共有2个不同的解.因此直线共有2条.故选：B.4．【正确答案】D【详解】圆的圆心为，半径为.由于在圆上，故，也即圆的圆心满足方程，所以圆的圆心的轨迹方程是，所以圆C的圆心的轨迹是圆.故选：D5．【正确答案】D【详解】试题分析：因为，所以设弦长为，则，即.考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系——相交.6．【正确答案】B【详解】过点B作BE垂直A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，则A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，＝(1,2，－3)，＝(x，y，z－3)，＝(x－1，y，z)．因为，所以，解得，所以＝(－，，)，所以点B到直线A1C的距离||＝，故答案为B7．【正确答案】B【详解】是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，，，，，在中，，，故选．8．【正确答案】C∵两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等.设两圆的圆心坐标分别为(a,a),(b,b),则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根,整理得x2-10x+17=0,∴a+b=10,ab=17.∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,∴|C1C2|=(a−b)9．【正确答案】BD【详解】对A，若直线与直线平行，即，故是直线与直线平行的即不充分又不必要条件，A错；对B，直线与直线垂直，即或，故是直线与直线垂直的充分不必要条件，B对；对C，截距相反的直线可能过原点，C错；对D，该直线显然有斜率，设直线为，则沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后的直线为，即有，由两直线重合则有，D对.故选：BD10．【正确答案】ABC【详解】根据题意：圆和圆交于不同的两点A，，两圆方程相减可得直线的方程为：，即，分别把点Ax1,y1，，上面两式相减得：，即，所以选项正确；由上得：，所以选项B正确；两圆的半径相等，由圆的性质可知，线段与线段互相平分，则有，变形可得，，故C正确，D错误.故选：ABC.11．【正确答案】ACD【详解】对于A，是正方体的对角面，则四边形为矩形，，由平面，平面，得，而，平面，则平面，又平面，因此，A正确；对于B，过点作直线平行于交分别于，连接，显然，则四边形为过点及直线的正方体的截面，截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱柱，B错误；对于C，由选项B得，则，，因此截面矩形面积，C正确；对于D，过作于，由平面，平面，得，而平面，则平面，因此为以为球心，为半径的球面被平面所截小圆圆心，球面与截面的交线为以为圆心，为半径的半圆弧，显然，，因此交线长为，D正确.故选：ACD12．【正确答案】【详解】，，，，，，，，，，，，，，，与的夹角为，，解得．故13．【正确答案】【详解】根据题意设椭圆的标准方程为，如图所示则有，直线方程为，代入方程可得，所以，又，所以，即，整理可得；所以，即，即可得椭圆的离心率为.故14．【正确答案】【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的下半部分，如图.当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得，设，则，由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即m的取值范围为.故答案为.15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）设点，因为，如下图所示：所以直线的斜率，同理直线的斜率；由已知可得，化简可得；即点的轨迹方程为，即点M的轨迹是除去，两点的椭圆．（2）设，则，所以