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文档简介
2024-2025学年陕西省宝鸡市高二上学期10月月考数学阶段检测试题(一)一、单选题(本大题共8小题)1.设复数满足,则=(
)A. B.C. D.22.直线的倾斜角为,经过点,,则直线与直线的位置关系是(
)A.平行 B.垂直 C.重合 D.平行或重合3.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯,汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为,,,则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为(
)A. B. C. D.4.如图,在平行六面体中,,,,,,则线段的长为(
)A.5 B.3 C. D.5.堑堵指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图,在堑堵中,,若,则异面直线与所成角的余弦值为(
)A. B. C. D.6.在四棱锥中,,,,则该四棱锥的高为(
)A. B. C. D.7.已知函数是奇函数,将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为.若的最小正周期为,且,则(
)A. B. C. D.8.如图,在棱长为1的正方体中,为线段上的点,且,点在线段上,则点到直线距离的最小值为(
)A. B. C. D.二、多选题(本大题共3小题)9.下列命题中,正确的命题有(
)A.是,共线的充要条件B.若,则存在唯一的实数,使得C.对空间中任意一点和不共线的三点,,,若,则,,,四点共面D.若为空间的一个基底,则构成空间的另一个基底10.某学校为普及安全知识,对本校1500名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动(满分为100分).现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析,整理得到如图所示的频率分布直方图,则根据该直方图,下列结论正确的是(
)A.图中的值为0.016B.估计该校高一大约有77%的学生竞赛得分介于60至90之间C.该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为195人D.该校高一学生竞赛得分的第75百分位数估计大于8011.苏州博物馆(图一)是地方历史艺术性博物馆,建筑物的顶端可抽象为如图二所示的上、下两层等高的几何体,其中上层是正四棱柱,下层底面是边长为4的正方形,在底面的投影分别为的中点,若,则下列结论正确的有(
)A.该几何体的表面积为B.将该几何体放置在一个球体内,则该球体体积的最小值为C.直线与平面所成角的正弦值为D.点到平面的距离为三、填空题(本大题共3小题)12.设,向量,且,则.13.已知=,则的值是.14.设函数是从1,2,3三个数中任意取一个数,是从2,3,4,5四个数中任意取一个数,则的概率是.四、解答题(本大题共5小题)15.已知直线过点,且与以和为端点的线段相交.(1)求直线的斜率k的取值范围;(2)求直线的倾斜角的取值范围.16.某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况,随机抽取了位市民进行心理健康问卷调查,将所得评分(百分制)按研究院制定的心理测评评价标准整理,得到频率分布直方图.已知调查评分在中的市民有200人心理测评评价标准调查评分[0,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]心理等级EDCBA(1)求的值及频率分布直方图中的值;(2)在抽取的心理等级为的市民中,按照调查评分的分组,分为2层,通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导.据以往数据统计,经心理疏导后,调查评分在的市民的心理等级转为的概率为,调查评分在的市民的心理等级转为的概率为,假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立,求在抽取的3人中,经心理疏导后至少有一人的心理等级转为的概率;(3)该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案:若市民心理健康指数的平均值不低于0.75,则只需发放心理指导资料,否则需要举办心理健康大讲堂.根据调查数据,判断该市是否需要举办心理健康大讲堂,并说明理由.(每组的每个数据用该组区间的中点值代替,心理健康指数=调查评分÷100)17.在中,角所对的边分别为.已知.(1)若,求的周长;(2)若为锐角三角形,求的取值范围.18.如图,在四棱锥中,平面,底面是直角梯形,其中,,,,为棱上的点,且.(1)求证:平面;(2)求平面与平面所成角的余弦值;(3)设为棱上的点(不与,重合),且直线与平面所成角的正弦值为,求的值.19.空间中,两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系.如果坐标系中有两条坐标轴不垂直,那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系,它任意两条数轴的夹角均为,我们将这种坐标系称为“斜坐标系”.我们类比空间直角坐标系,定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标:分别为“斜坐标系”下三条数轴(轴,轴,轴)正方向上的单位向量,若向量,则与有序实数组一一对应,称向量的斜坐标为,记作.(1)若,求的斜坐标;(2)在平行六面体中,,建立“空间斜坐标系”如下图所示.
①若,求向量的斜坐标;②若,且,求.
答案1.【正确答案】C【分析】求出即得解.【详解】由题意可得,所以,所以.故选C.2.【正确答案】D【分析】求出直线的斜率,根据,的斜率关系,即可求解.【详解】由点,,可求得直线的斜率,因为直线的倾斜角为,所以直线的斜率,则有,则直线与直线平行或重合.故选D.3.【正确答案】D【分析】汽车在甲、乙、丙三处因遇绿灯通行是相互独立的,遇红灯停车的事件也是相互独立的;遇红灯停车和遇绿灯通行是互斥事件,先分别汽车在这三处遇红灯停车一次的情况的概率,最后计算出汽车在这三处遇红灯停车一次的概率【详解】因为汽车在甲、乙、丙三处因遇绿灯通行是相互独立的,遇红灯停车的事件也是相互独立的;遇红灯停车和遇绿灯通行是互斥事件,因此汽车在这三处遇红灯停车的概率分别为:所以.所以汽车在这三处遇红灯停车一次有三种情况,概率分别为:(1)甲红灯,乙丙绿灯:;(2)乙红灯,甲丙绿灯:;(3)丙红灯,甲乙绿灯:;所以汽车在这三处遇红灯停车一次的概率为.故选D.4.【正确答案】C【分析】,然后平方可算出答案.【详解】在平行六面体中,,,,,,,.故选C.5.【正确答案】A【分析】根据题意,建立空间直角坐标系,结合空间向量的坐标运算,即可得到结果.【详解】由分析题意得,平面如图所示,以为坐标原点,以分别为轴,建立空间直角坐标系,则,所以.设异面直线与所成的角为,则.故选A.6.【正确答案】D【分析】先计算出平面的法向量,再计算出与平面所成角的正弦值,然后根据四棱锥的高为即可计算结果.【详解】因为设平面的法向量为,则,即,所以令,可得,,则,所以.设与平面所成的角为:则.因为,所以到平面的距离为,即四棱锥的高为.故选D.7.【正确答案】C只需根据函数性质逐步得出值即可.【详解】为奇函数,;,,,,故选C.8.【正确答案】C【分析】建立空间直角坐标系,利用空间向量求出点到直线距离的函数关系,再求其最小值即可.【详解】以题意,以点为原点,所在直线为轴,建立如图所示空间直角坐标系,因为正方体棱长为1,,所以,,设,则,而,所以点到直线的投影数量的绝对值为,所以点到直线的距离为,当时,等号成立,即点到直线的距离最小值为,故选:C.9.【正确答案】CD【分析】对于A选项,向量,同向时不成立;对于B选项,为零向量时不成立;对于C选项,根据空间向量共面的条件判定;对于D选项,根据能成为基底的条件判定.【详解】对于A选项,向量,同向时,,只满足充分性,不满足必要性,故A错误;对于B选项,应该为非零向量,故B错误;对于C选项,,,若共线,则三向量共线,故,,三点共线,与已知矛盾,故不共线,由向量共面的充要条件知共面,而过同一点,,,,四点共面,故C正确;对于D选项,若为空间的一个基底,则,,不共面,假设,,共面,设,,无解,,,不共面,构成空间的另一个基底,故D正确.故选CD.10.【正确答案】BCD【分析】根据频率分布直方图性质可得,判断A错误;计算出得分介于60至90之间的频率,判断B正确;利用1500乘以得分不小于90频率,判断C正确;计算得分介于50至80之间的频率判断D正确.【详解】由频率分布直方图性质可得:,解得,故A错误;得分介于60至90之间的频率为,故B正确;得分不小于90的人数估计为,故C正确;得分介于50至80之间的频率为,故D正确.故选BCD.11.【正确答案】ACD【分析】根据垂直关系可求解三角形的边长,结合面积公式即可求解A,根据外接球的性质,结合体积公式即可求解B,建立空间直角坐标系,根据向量法即可求解夹角和距离,进而可判断CD.【详解】设在平面的投影分别为的中点,因为,,所以到平面的距离为,因为上、下两层等高,所以到平面的距离为2,因为,,所以,所以,同理可得,,则点B到FG的距离为,则的面积为,的面积为.对于A选项,故该几何体的表面积,故A正确.对于B选项,将该几何体放置在一个球体内,要使该球体体积最小,则球心在该几何体上下底面中心所连直线上,且均在球面上,设球心到下底面的距离为x,由于四边形为边长为的正方形,四边形为边长为4的正方形,则其对角线长度分别为4,,则,解得,则该球体的半径为,体积为.故B错误.对于C选项,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,,,,,平面的一个法向量为,则,设直线与平面所成角为,则,故直线与平面所成角的正弦值为,故C正确.对于D选项,设平面的法向量为,则,令,得,则点到平面的距离为,故D正确.故选ACD.12.【正确答案】【分析】根据空间向量的垂直及平行的坐标表示求出,再由向量的坐标运算及模的坐标表示求解.【详解】因为,所以,解得,则.因为,所以,解得,则.所以.故答案为.13.【正确答案】【分析】直接按照两角和正弦公式展开,再平方即得结果.【详解】,.故答案为.14.【正确答案】【分析】由题意得出基本事件总数,在由古典概型计算出的概率.【详解】,当且仅当时,等号成立,,恒成立就转化为成立.设事件“恒成立”,则基本事件总数为个,即,,事件包含事件:共个,由古典概型得.故答案为.15.【正确答案】(1)(2).【分析】(1)在平面直角坐标系中画出图象,根据图象分析,,三点之间的关系,不难给出直线的斜率的取值范围;(2)根据直线斜率与倾斜角的关系,结合图象即可求解直线的倾斜角的取值范围.【详解】(1)根据题意,在平面直角坐标系中画出图象如图:因为直线过点,且与以和为端点的线段相交.所以,所以直线的斜率的取值范围.(2)因为由(1)可知,,直线的倾斜角为,直线的倾斜角为,所以可得此时直线的倾斜角的取值范围,由图可知,当直线斜率不存在时,所得直线符合题意,故此时直线的倾斜角,综上所述,直线的倾斜角的取值范围.16.【正确答案】(1),;(2);(3)只需发放心理指导材料,不需要举办心理健康大讲堂活动,理由见解析.【分析】(1)利用公式求的值,利用矩形的面积和为1求的值;(2)设事件“在抽取的3人中,经心理疏导后至少有一人的心理等级转为”,利用对立事件的概率公式求解;(3)利用频率分布直方图的平均数求出平均数即得解.【详解】(1)由分析题中已知条件,可得,因为每组的小矩形的面积之和为1.所以,解得,(2)因为由(1)知:,所以调查评分在[40,50)中的人数是调查评分在[50,60)中人数的,若按分层抽样抽取3人,则调查评分在中有1人,在中有2人,设事件“在抽取的3人中,经心理疏导后至少有一人的心理等级转为”.因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立,所以所以故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为的概率为,(3)因为由频率分布直方图可得,,估计市民心理健康调查评分的平均值为80.7,所以市民心理健康指数平均值为,所以只需发放心理指导材料,不需要举办心理健康大讲堂活动.17.【正确答案】(1);(2)【分析】(1)利用正弦定理将已知条件边化角,化简后求得,再利用余弦定理求得,可得周长,(2)利用正弦定理将化为角的三角函数,化简后利用的范围及正弦函数的性质求解范围.【详解】(1)因为,所以,所以,因为,所以,所以,因为,且,所以,即,则的周长为,(2)因为,所以,所以,因为为锐角三角形,所以,所以,则,所以.故的取值范围是.18.【正确答案】(1)证明见解析;(2);(3).【分析】(1)由已知证得,,,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,根据向量垂直的坐标表示和线面垂直的判定定理可得证;(2)根据二面角的空间向量求解方法可得答案;(3)设,表示点,再利用线面角的空间向量求解方法,建立方程解得,可得答案.【详解】(1)因为平面,平面,平面,所以,,因为,所以以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.因为由题中已知可得,,,,,所以,,.因为,.所以,,因为,平面,平面.所以平面.(2)设平面的法向量,由(1)可知,设平面的法向量,因为,.所以,即,不妨设,得.,因为由图示知二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.(3)设,即.所以,即.因为直线与平面所成角的正弦值为,所以,即,解得,故.19.【正确答案】(1)(2)①;②3【分析】(1)通过“空间斜60°坐标系”的定义,化简为,,再计算的斜60°坐标.(2)设,,分别为与同方向的单位向量,则,,,①通过平行六面体得到,从而得到求向量的斜坐标;②通过平行六面体得到,由,得到,并结合题目中的,从而计算出值,并得到的值.【详解】(1),的斜坐标为.(2)设分别为与同方向的单位向量,则,①②由题意可得,,,,,,,解得,.2024-2025学年陕西省宝鸡市高二上学期10月月考数学阶段检测试题(一)一、单选题(本大题共8小题)1.设是不同的直线,是不同的平面,下列说法正确的是(
)A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则2.已知三角形ABC的三个顶点分别为,,,则AB边上的中线所在直线的方程为(
)A. B.C. D.3.过点P(1,1)作直线l,与两坐标轴相交所得三角形面积为1,则直线l有(
)A.1条 B.2条 C.3条 D.4条4.已知圆过点A(1,0),则圆C的圆心的轨迹是(
)A.点 B.直线 C.线段 D.圆5.若a2+b2=2c2(c≠0),则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为(
)A. B.1 C. D.6.如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=1,BC=2,AA1=3,则点B到直线A1C的距离为(
)A. B. C. D.17.是椭圆上一点,、分别是椭圆的左、右焦点,若,则的大小为(
)A. B. C. D.8.若圆C1与圆C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|等于()A.4 B.42C.8 D.82二、多选题(本大题共3小题)9.下列说法中正确的是(
)A.是直线与直线平行的充分不必要条件B.是直线与直线垂直的充分不必要条件C.经过点,且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是D.若一条直线沿轴向左平移3个单位长度,再沿轴向上平移2个单位长度后,回到原来的位置,则该直线的斜率为10.已知圆,圆,,且,不同时为交于不同的两点,,下列结论正确的是(
)A.B.C.D.11.一块正方体形木料如图所示,棱长为,点在线段上,且,过点将木料锯开,使得截面过,则(
)A.B.截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台C.截面的面积为D.以为球心,为半径的球面与截面的交线长为三、填空题(本大题共3小题)12.已知O为坐标原点,,,若与的夹角为120°,则实数.13.如图所示,椭圆的中心在原点,焦点在轴上,是椭圆的顶点,是椭圆上一点,且轴,,则此椭圆的离心率是.
14.已知直线与曲线有两个交点,则m的取值范围为.四、解答题(本大题共5小题)15.设两点的坐标分别为,.直线相交于点,且它们的斜率之积是.(1)求点的轨迹方程.(2)若,在的轨迹上任取一点(异于点),求线段长的最大值.16.已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,且.(1)求A;(2)若,则的面积为,求b,c.17.从两名男生(记为和)、两名女生(记为和)中任意抽取两人.(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.(2)在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率.18.如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,平面平面.
(1)求证:;(2)求平面APB与平面夹角的余弦值;(3)在棱上是否存在点,使得平面?若存在,求的值;若不存在,说明理由.19.已知点为圆上的动点,点,延长至点使得为的中点.(1)求点的轨迹方程.(2)过圆外点向圆引两条切线,且切点分别为两点,求最小值.(3)若直线l:与圆交于两点,且直线的斜率分别为,则是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
答案1.【正确答案】C【详解】对于A,由可能得到平行于的交线,不一定有,即A错误;对于B,不妨取正方体的一部分如下图所示:此时,可得,即B错误;对于C,由面面垂直的判定定理即可得出C正确;对于D,由可得,可在平面内找一条直线满足,可得,即D错误.故选:C2.【正确答案】C【详解】边的中点为,∴边上的中线所在直线的方程,即.故选:C3.【正确答案】B【详解】由题意可知,直线的斜率存在,则设直线的方程为,令,解得;令,解得.,化为,即①,②,由于方程①,方程②无解,可得两个方程共有2个不同的解.因此直线共有2条.故选:B.4.【正确答案】D【详解】圆的圆心为,半径为.由于在圆上,故,也即圆的圆心满足方程,所以圆的圆心的轨迹方程是,所以圆C的圆心的轨迹是圆.故选:D5.【正确答案】D【详解】试题分析:因为,所以设弦长为,则,即.考点:本小题主要考查直线与圆的位置关系——相交.6.【正确答案】B【详解】过点B作BE垂直A1C,垂足为E,设点E的坐标为(x,y,z),则A1(0,0,3),B(1,0,0),C(1,2,0),=(1,2,-3),=(x,y,z-3),=(x-1,y,z).因为,所以,解得,所以=(-,,),所以点B到直线A1C的距离||=,故答案为B7.【正确答案】B【详解】是椭圆上一点,、分别是椭圆的左、右焦点,,,,,在中,,,故选.8.【正确答案】C∵两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等.设两圆的圆心坐标分别为(a,a),(b,b),则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根,整理得x2-10x+17=0,∴a+b=10,ab=17.∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,∴|C1C2|=(a−b)9.【正确答案】BD【详解】对A,若直线与直线平行,即,故是直线与直线平行的即不充分又不必要条件,A错;对B,直线与直线垂直,即或,故是直线与直线垂直的充分不必要条件,B对;对C,截距相反的直线可能过原点,C错;对D,该直线显然有斜率,设直线为,则沿轴向左平移3个单位长度,再沿轴向上平移2个单位长度后的直线为,即有,由两直线重合则有,D对.故选:BD10.【正确答案】ABC【详解】根据题意:圆和圆交于不同的两点A,,两圆方程相减可得直线的方程为:,即,分别把点Ax1,y1,,上面两式相减得:,即,所以选项正确;由上得:,所以选项B正确;两圆的半径相等,由圆的性质可知,线段与线段互相平分,则有,变形可得,,故C正确,D错误.故选:ABC.11.【正确答案】ACD【详解】对于A,是正方体的对角面,则四边形为矩形,,由平面,平面,得,而,平面,则平面,又平面,因此,A正确;对于B,过点作直线平行于交分别于,连接,显然,则四边形为过点及直线的正方体的截面,截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱柱,B错误;对于C,由选项B得,则,,因此截面矩形面积,C正确;对于D,过作于,由平面,平面,得,而平面,则平面,因此为以为球心,为半径的球面被平面所截小圆圆心,球面与截面的交线为以为圆心,为半径的半圆弧,显然,,因此交线长为,D正确.故选:ACD12.【正确答案】【详解】,,,,,,,,,,,,,,,与的夹角为,,解得.故13.【正确答案】【详解】根据题意设椭圆的标准方程为,如图所示则有,直线方程为,代入方程可得,所以,又,所以,即,整理可得;所以,即,即可得椭圆的离心率为.故14.【正确答案】【详解】由题意得,直线的方程可化为,所以直线恒过定点,又曲线可化为,其表示以为圆心,半径为2的圆的下半部分,如图.当与该曲线相切时,点到直线的距离,解得,设,则,由图可得,若要使直线与曲线有两个交点,须得,即m的取值范围为.故答案为.15.【正确答案】(1)(2)【详解】(1)设点,因为,如下图所示:所以直线的斜率,同理直线的斜率;由已知可得,化简可得;即点的轨迹方程为,即点M的轨迹是除去,两点的椭圆.(2)设,则,所以
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