19.2.1+正比例函数+教学设计+2024-2025学年人教版数学八年级下册

19.2.1正比例函数(第1课时)教学设计一、内容和内容解析1.内容:正比例函数的概念。2.内容解析:在初步认识和明确了函数概念之后，学习一个应用广泛的函数——正比例函数，它是较为简单的函数模型之一。在小学，学习过正比例关系：两个相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。而正比例函数是用函数观点研究成正比例关系的两个变量而得到的简单函数模型。正比例函数是根据函数解析式进行定义的，符合y=ax(k是常数，k≠0)的函数叫正比例函数。在具体背景中列出相应的正比例函数表达式，概括函数解析式的共同特征，得到正比例函数的概念；通过函数模型描述和研究现实中的运动变化过程，这种研究具体函数模型的方法，在今后其他类型函数的学习中还会经常用到。二、目标和目标解析1.目标：(1)理解正比例函数的概念。(2)经历从一类具体函数中抽象出正比例函数概念的过程，培养数学建模以及数学抽象的核心素养。2.目标解析：目标(1)要求知道正比例函数的解析式特征，会判断一个函数是否为正比例函数。目标(2)要求能独立地写出运动变化过程中的函数解析式，通过归纳一类函数解析式的共同特征，得到正比例函数的概念。三、教学问题诊断分析1.正比例函数是在学习了函数的概念与函数的图象之后的第一种具体函数模型，对于学生知识水平来说，他们能够判断两个变量是否存在函数关系。在得出正比例函数概念时，需要观察函数解析式，归纳其共同特点，得到正比例函数的概念。学生在进行这种归纳推理以及抽象数学概念时会遇到一定的困难。2.学生在小学学习过成正比例的两个量，通过列表探索过成正比例关系的两个量之间的关系，知道两个量成正比例的条件是它们的比始终是一个固定不变的量(常量)。初中阶段，在学习了函数概念后，用函数的观点研究正比例关系，把成正比例的两个量纳入到函数概念体系，写出其函数解析式，并应用于实际。这样系统、深入地研究成正比例的两个量，对学生来说有一定的难度。同时，正比例函数的研究步骤和方法，适用于一次函数、二次函数和反比例函数等后继学习的函数模型。从本内容学习中获得学习具体一类函数的经验，对学生来说有较大困难，需要教师的概括性指导，并在今后学习中一以贯之。基于以上分析，确定本节课的教学难点重难点：1.理解正比例函数概念，体会具体函数模型研究的一般方法。2.正比例函数的概念。四、教学活动设计1.创设情境问题1：京沪高速铁路全长1318km。设列车的平均速度为300km/h。考虑以下问题:(1)乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时(结果保留小数点后一位)?(2)如果用函数的观点看，京沪高铁列车的行程y(单位:km)是运行时间t(单位:h)的函数吗?能写出这个函数的解析式，并写出自变量t的取值范围吗?追问:这个问题中得到的函数解析式有什么特点?函数值与对应的自变量的值的比有什么特点?(3)乘京沪高铁列车从北京南站出发2.5h后，是否已经过了距始发站1100km的南京南站?师生活动:学生个别回答，教师在黑板上板演.学生可能在第(2)问中忽视自变量的取值范围，教师应加以引导。设计意图:从现实背景问题中发现正比例关系，引导学生用函数观点看一对成正比例关系的量，同时借助京沪高铁来说明科技使生活更美好。2.问题再现问题2：下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗?如果是，请写出函数解析式。(1)圆的周长l随半径r的变化而变化。(2)铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m(单位:g)随它的体积V(单位:cm3)的变化而变化。(3)每个练习本的厚度为0.5cm,练习本摞在一起的总厚度h(单位:cm)随练习本的本数n的变化而变化。(4)冷冻一个O℃的物体，使它每分钟下降2℃,物体的温度T(单位:℃)随冷冻时间t(单位:min)的变化而变化。师生活动:学生独立写出函数解析式，教师课堂巡视，并进行个别指导。设计意图:为抽象正比例函数概念提供典型样例，培养数学建模的核心素养。3.形成概念问题3：认真观察以上出现的四个函数解析式，说说这些函数有什么共同点。师生活动:学生先思考，与小组内同学交流意见;教师通过学生回答不断引导，直至得出“这些函数都是常数与自变量的积的形式”为止.教师给出正比例函数的概念.一般地，形如y=ax(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.强调：1、k是常数，且k≠0.2、自变量x的次数是1.3、一般情况下，自变量x的取值范围是全体实数.4、y=ax(k≠0)，则称y与x成正比例；反之，若y与x成正比例，则可设y=ax（k≠0）.设计意图:观察概括，形成概念，培养数学抽象的核心素养。4.辨析概念问题4：下列式子中，哪些表示y是x的正比例函数?（1）y=-0.5x(2)y=x2(3)y2=1.5x（4）y=πx(5)y=7(x+1)(6)y=2(x-x2)+2x追问:如果y是x的正比例函效，请你说出其中的比例系数。师生活动:判断两个变量是否是正比例函数关系，就要回归到定义,这种学习方法是学生学习数学所必需掌握的。设计意图:及时练习有利于学生巩固概念，反馈学习效果。5.理解概念问题5：列式表示下列问题中的y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数。(1)正方形的边长为xcm，周长为ycm;(2)某人一年内的月平均收入为x元，他这一年(12个月)的总收入为y元;追问:此人若每月收入6000元，则一年收入又是多少?若一年收入是84000元，则每月收入又是多少?(3)一个长方体的长为2cm,宽为1.5cm,高为xcm,体积为ycm3师生活动:学生独立完成后，小组内交流成果。设计意图:帮助学生进一步理解正比例函数，同时在熟悉的问题中培养数学建模的核心素养。6.应用概念问题6：已知y=3x2a+b+a+2b是正比例函数，求a、b的值.设计意图:再次理解正比例函数的概念，体会正比例函数解析式的特点。完成随堂练习。设计意图:初学函数的学生有一个自觉领悟的过程，不能急于求成。7.回顾总结教师引导学生本节课学习了哪些内容:(1)本节课我们学习了哪一种函数?(2)这种函数的解析式有什么特点?(3)正比例函数与小学学习的成正比例关系有何区别呢？设计意图:通过学生小结，梳理本节课所学内容，促进形成结构化、简约化的记忆。8.布置作业:(1)教科书第87页练习第1题。(2)预习正比例函数的图像和性质。五、教学反思通过大量的实际问题让学生分析，既能深化学生对正比例函数的理解，又能为学生运用正比例函数解决问题打下基础。在整个教学过程中，渗透了“问题情境—建立数学模型—抽象概念—解释、拓广与应用”的函数学习意识。因从本课时开始，学生将逐渐认识并理解各类具体的函数图象，一般的基本方法是由解析式画图象，再由图