18.1.2+平行四边形的判定（第3课时+三角形的中位线）（教学设计）八年级数学下册(人教版)

.1.2平行四边形的判定（第3课时三角形的中位线）教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》八年级下册（以下统称“教材”）第十八章“平行四边形”18.1.2平行四边形的判定（第三课时）.这节课主要学习的内容有：1.三角形中位线的概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；3.运用三角形中位线定理进行相关的计算和证明.2.内容解析三角形中位线是三角形中重要的线段，它与三角形的中线不同，教学时需着重引导学生区分两者概念.三角形中位线定理揭示了三角形中位线与第三边的位置关系和数量关系，是后续解决几何问题，如证明线段平行、计算线段长度的重要依据.该定理的证明方法多样，可通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质来证明，这不仅能加深学生对定理的理解，还能让学生体会数学中的转化思想.在实际应用中，三角形中位线定理常与其他几何知识（如相似三角形、平行四边形等）综合运用，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并掌握三角形的中位线定理.二、目标和目标解析1.目标（1）理解三角形中位线的概念，掌握三角形中位线定理.（2）应用三角形的中位线定理解决问题．2.目标解析理解三角形中位线的概念，即让学生明确三角形中位线的定义和构成方式，能够准确识别三角形的中位线.掌握三角形中位线定理，不仅要记住定理的内容，还要理解其证明过程和应用条件.在定理的探索过程中，学生通过观察三角形中位线与第三边的关系，提出猜想，然后通过测量、拼图等操作进行验证，最后进行逻辑证明，这一系列活动能提高学生的推理能力和自主探究能力.在小组合作中，学生相互交流、讨论，共同解决问题，培养合作意识和团队精神.通过解决实际问题，让学生感受数学与生活的紧密联系，增强学习数学的动力.三、教学问题诊断分析学生可能出现的问题：1.概念混淆：容易将三角形中位线与三角形中线混淆，对两者的定义和性质区分不清.2.定理理解困难：对于三角形中位线定理中“平行于第三边且等于第三边的一半”这一关系，学生可能难以理解其内在逻辑，在证明过程中也可能存在思维障碍.3.应用能力不足：在实际解题中，学生可能无法准确识别题目中可以运用三角形中位线定理的条件，或者不能灵活添加辅助线再运用定理进行推理和计算.基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：应用三角形的中位线定理解决问题．四、教学过程设计（一）情境引入有一位老农夫，他有一块三角形土地，准备分给四个孩子.如何公平分地才能让四个人都满意呢？随机将四块地分给四兄弟你有更好的办法吗？前面我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形.利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题.下面我们利用平行四边形研究三角形的有关问题.【设计意图】通过实际生活中的情境导入新课并设置疑问，激发学生的求知，感受到数学知识在生活中处处有数学.（二）新知探究如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE.像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.思考1：一个三角形有几条中位线？请在△ABC中画出它所有的中位线.有三条.如图所示，△ABC的中位线是DE、DF、EF.思考2：三角形的中位线与中线一样吗？思考3：如图，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的关系？思考4：度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述你的猜想．提出猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．思考5：如何证明你的猜想？证明猜想：如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点.求证：DE∥BC，DE=12BC证法1：延长DE到F，使EF=DE．连接FC．∵∠AED=∠CEF，AE=CE，∴△ADE≌△CFE．∴∠ADE=∠F，AD=CF,∴CFAD,∴BDCF．∴四边形BCFD是平行四边形．∴DFBC．又∵DE=12DF∴DE∥BC，DE=12BC证法2：延长DE到F，使EF=DE，连接AF、CF、DC.∵AE=EC，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形．∴CFAD.∴CFBD.∴四边形BCFD是平行四边形，∴DFBC．又∵DE=12DF∴DE∥BC，DE=12BC【小结】三角形问题可以通过构造平行四边形解决.【归纳小结】三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半.思考6：根据三角形的三条中位线能得到什么结论？【回顾引入】作出三角形地的三条中位线，由上述推导，即可分出四块全等的三角形地.【设计意图】用问题串的方式，层层递进，引导学生探索并证明中位线定理，锻炼学生的推理能力，学习规范、正确的证明过程，培养有条理的思维模式.（三）典例精析一、利用中位线定理求线段长度例1.如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点．连接DE，过点B作BF平分∠ABC，交DE于点F．若EF=4，AD=7，求BC的长.解：∵D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=12BC，BD=AD=7∴∠DFB=∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠DFB=∠DBF，∴∠DBF=∠FBC，∴DF=BD=7，∴DE=DF+EF=11，∴BC=2DE=22.【小结】中点→中位线→中位线定理【针对练习】1.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点．已知BC＝10，则OE＝____5____.2.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，E，F分别为AB，AC上的中点，AC＝4，则EF的长为_____1_____.二、利用中位线定理求角度例2.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．解：∵M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线.∴PM=12AB，PN=12DC，PM∥AB，PN∥∵AB=CD，∴PM=PN.∴△PMN是等腰三角形.∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°.∴∠MPN=∠MPD+(180°−∠NPB)=130°.∴∠PMN=(180°−130°)÷2=25°．【针对练习】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F在BC上，ED平分∠AEF.若∠C＝70°，则∠EFB的度数是____110°___.三、利用中位线定理判断平行四边形例3.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．证明：连接AC.∵E，F，G，H分别为各边的中点，∴EF∥AC，EF=12AC，HG∥AC，HG=12∴EF∥HG，EF=HG.∴四边形EFGH是平行四边形.【小结】顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.你还有其他方法吗？【针对练习】如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，AB＝5，CD＝7，请判断四边形EFGH的形状，并求出四边形EFGH的周长．解：∵E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，AB＝5，CD＝7，∴EF∥AB，EF＝12AB＝2.5，GH∥AB，GH＝12AB∴EF∥GH，EF＝GH.∴四边形EFGH为平行四边形．同理可得EH∥FG，EH＝FG＝12CD＝∴四边形EFGH的周长为2(EF＋EH)＝2×（2.5+3.5）＝12.四、构造中位线解决问题问题：如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，怎样测出A，B两点的实际距离？根据是什么？分别取AC和BC的中点M，N，测出MN的长，则AB=2MN.根据：中位线定理如果，MN两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？例4.如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.证明：取AC的中点F，连接BF.∵BD＝AB，∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF.∵E为AB的中点，AB＝AC，∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB,∴CE＝BF，∴CD＝2CE.【小结】恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键．【能力提升】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点O，F，E分别是AC，BD的中点，连接EF，求证：EF＝12(BC－AD证明：连接AE并延长交BC于点M.∵AD∥BM，∴∠ADE＝∠MBE.∵E是BD的中点，∴DE＝BE.∵∠AED＝∠MEB，∴△ADE≌△MBE(ASA).∴AD＝BM，AE＝EM.∵F是AC的中点，∴EF是△ACM的中位线．∴EF＝12CM＝12(BC－BM)＝12(BC【小结】灵活添加辅助线构造中位线模型.【设计意图】巩固三角形中位线定理的理解和运用，锻炼学生的应用意识和证明能力.（四）当堂巩固1.如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝4cm，AC＝5cm，E，F分别是AB，AC的中点，则EF＝(A)A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm2.如图，在△ABC中，点D在BC上，且DC＝AC，CE⊥AD，垂足为E，点F是AB的中点．若AC＝6，BC＝10，则EF的长为__2__.3.如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点．(1)图中平行四边形共有_____3_____个；(2)若AB＝10cm，AC＝6cm，则四边形ADEF的周长为____16______cm；(3)若△ABC周长为6cm，面积为12cm2，则△DEF的周长为_____3_____cm，面积为____3______cm2.4.如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点．求证：AD与EF互相平分．证明：连接DE，DF.∵D，E分别为BC，AB的中点，∴DE∥AC.同理可得DF∥AB.∴四边形DFAE为平行四边形．∴AD与EF互相平分．5.如图，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，线段AB，OB，OC，AC的中点分别为D，E，F，G，连接DE，EF，FG，DG.(1)判断四边形DEFG的形状，并说明理由；(2)若∠OBC与∠OCB互余，OE＝3，OF＝4，求线段BC的长．解：(1)四边形DEFG是平行四边形．理由：∵E，F分别为线段OB，OC的中点，∴EF