山东省德州市崇德中学、东城学校2025届九年级上学期第一次联考数学试卷(含解析)

2024—2025学年第一学期九年级数学一、选择题（每题4分，共计48分）1．在下列方程中，是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．2．若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为（

）A． B．0 C．1 D．或13．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程（x﹣2）（x﹣4）=0的根，则这个三角形的周长是（

）A．11 B．11或13 C．13 D．以上选项都不正确4．参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（

）A． B．C． D．5．用配方法解方程，变形后结果正确的是（

）A． B．C． D．6．对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（

）A．开口向上 B．经过原点C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上7．将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是（

）．A． B．C． D．8．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（

）．A． B． C． D．9．已知抛物线经过（﹣2，），（0，），（）三点，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．10．抛物线与直线在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．

B．

C．

D．

11．为助力实现“双碳”目标，某企业大力发展光伏发电装置零件制造．已知该企业生产某种零件的成本为10元/个，且规定该零件的售价不能超过35元/个．经市场调研发现，该零件每周的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间满足一次函数，若要使该企业每周销售这种零件可获利6000元，则每个零件的售价应定为（

）元．A．25 B．20或40 C．40 D．2012．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②④⑤二、填空题（每题4分，共计24分）13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是．14．若抛物线有最小值，则常数m的值为．15．如图，大正方形的边长为，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则图中阴影部分的面积是．16．若抛物线的最低点在x轴上，则．17．已知二次函数（为常数），当时，函数的最大值为，则的值为．18．如图抛物线的图像与轴，轴分别交于A、B、C三点，点在抛物线上，若请你写出点Q的坐标．三、解答题（共计78分）19．解方程：(1)(2)(3)20．如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃，其中两边靠墙，墙长为9米，墙的长为6米，中间用平行于的篱笆隔开，已知篱笆的总长度为18米．(1)设矩形苗圃的一边的长为，矩形苗圃面积为，求y关于x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；(2)当x为何值时，所围矩形苗圃的面积为？21．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，9月进馆120人次，进馆人次逐月增加，到11月末累计进馆570人次，若进馆人次的月平均增长率相同．（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过450人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳12月的进馆人次，并说明理由．22．如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与y轴交于点，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），点P是抛物线对称轴上的一个动点．(1)求此抛物线的解析式；(2)当的周长最小时，求点P的坐标．23．若一元二次方程有两个实数根，且这两个实数根为相邻的偶数，则称此方程为“对偶方程”．例如：方程的两个根为，，则方程是“对偶方程”．如果关于的一元二次方程是“对偶方程”，求的值．24．已知二次函数．(1)求该二次函数图象的对称轴；(2)当时，函数图象的最高点为M，最低点为N，且最高点的纵坐标为，求点M和点N的坐标；(3)对于该二次函数图象上的两点，当，均有，请结合图象，直接写出t的取值范围．25．在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点，他们把这个点定义为点的“简朴”点．他们发现：二次函数所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“简朴曲线”．例如，二次函数的“简朴曲线”就是，请按照定义完成：(1)点的“简朴”点是________；(2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“简朴曲线”；(3)已知抛物线图象上的点的“简朴点”是，若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为，当时，求的取值范围．1．A解：A、是一元二次方程，符合题意；B、当时，不是一元二次方程，不符合题意；C、方程整理得，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；故选：A．2．A解：∵关于x的一元二次方程有一个根是∴解得∵一元二次方程∴∴∴故选：A．3．C解：解方程（x﹣2）（x﹣4）=0，得：x=2或x=4，当x=2时，2，3，6不能构成三角形，舍去；当x=4时，3，4，6构成三角形，周长为3+4+6=13．故选C．4．A解：设有x人参加活动，每个人与其他人握手的次数均为次，并且每个人与其他人握手均重复一次，由此可得：，故选：A．5．C解：∵，∴∴，即，故选：C．6．D解：在二次函数中，∵，∴图像开口向下，故A错误；令，则，∴图像不经过原点，故B错误；二次函数的对称轴为直线，故C错误；二次函数的顶点坐标为，∴顶点在x轴上，故D正确．故选：D．7．C解：抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：．故选：C．8．D解：A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误；B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，故选D．考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象．9．B解：∵，2>0，∴抛物线开口向上，对称轴是直线，∴当时，y随x的增大而减小；（）关于直线的对称点是(，)，∵，∴，故选：B．10．A解：A、由抛物线可得：，由一次函数图象得：，且抛物线与直线与y轴的交点相同，故本选项正确，B、由抛物线可得：，由一次函数图象得：，则a的取值矛盾，故本选项错误；C、由抛物线可得：，由一次函数图象得：，则a的取值矛盾，故本选项错误；D、由抛物线可得：，，由一次函数图象得：，，则的取值矛盾，故本选项错误；故选A．11．D解：根据题意，得，解得，，又售价不能超过35元/个，∴，即每个零件的售价应定为20元，故选：D．12．C解析：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴抛物线的对称轴为直线x=-=1，∴2a+b=0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴b=-2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴x=1时，二次函数有最大值，∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），所以④错误；∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．故选C．13．且解：由题意得：，解得：，∵，∴的取值范围是且，故答案为：且．14．2解：∵抛物线有最小值，∴（开口向上），解得，即，故答案为：15．3解：∵函数与的图象关于x轴对称，∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，∵边长为的正方形面积为6，∴图中的阴影部分的面积为3，故答案为：3．16．2解：抛物线的最低点在轴上，方程，只有一根，，解得：或，抛物线由最低点，，即，；故答案为2．17．或7解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为，∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，∴若，即时，则当时，函数y取最大值，即，解得：或（舍去），若，即，则当时，函数y取最大值0，不符合题意；若，即时，则当时，函数y取最大值，即，解得：（舍去）或，综上，h的值为0或，故答案为：或7．18．解：，令，解得，，∴，当时，，即C0,-3，如图，作于，过作轴于，过作于，设，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，又∵，∴，∴，设直线的解析式为，将C0,-3，代入得，，解得，，∴直线的解析式为，联立，解得，，，∴，故答案为：．19．(1)(2)(3)（1）解：∵，∴，∴或，解得；（2）解：∵，∴，∴，∴或，解得；（3）解：∵，∴，∴，∴或，解得．20．(1)(2)当为5时，所围矩形花圃的面积为．（1）解：∵在矩形中，，，∴，∴四边形是矩形，∴，，，∵墙长为9米，墙的长为6米，∴，∴；（2）解：由题意得，，解得：（舍去），．答：当为5时，所围矩形花圃的面积为．21．（1）50%；（2）能，理由见解析．解：（1）设进馆人次的月平均增长率为，由题意得，化简得：即或（舍去）答：进馆人次的月平均增长率为．（2）进馆人次的月平均增长率为，12月的进馆人次为：，校图书馆能接纳12月的进馆人次．22．(1)(2)（1）解：抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，在抛物线上，，解得．抛物线的解析式为；（2）解：中，令，则解得，，，．∵是定值，∴求的周长最小就转化为求的最小值，由抛物线的对称性，知点与点关于抛物线的对称轴对称，∴，当点三点共线时，取得最小值，连接交直线于点，此时的值最小．设直线的解析式为，，解得：故直线的解析式为．当时，．．23．0解：根据题意设两根为，则，消去得：，化简得：，∴解得：，∴．24．(1)直线(2)M，N(3)或解：（1）该二次函数图象的对称轴是直线；（2）∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，且，最高点的纵坐标为，∴当时，y的值最大，∴M，把M代入，解得．∴该二次函数的表达式为．当时，y最小，且，∴N．（3）∵，∴抛物线的开口向上，∵抛物线的对称轴是直线，且时，均有，∴当或时，满足题意，解得：或．25．(1)(2)(3)（1）解：根据题意可知，点A(x，y