2025年岳麓版高二数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年岳麓版高二数学上册月考试卷155考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、【题文】对于样本频率分布直方图与总体密度曲线的关系，下列说法正确的是（）A.频率分布直方图与总体密度曲线无关B.频率分布直方图就是总体密度曲线C.样本总量很大的频率分布直方图就是总体密度曲线D.如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布直方图就会无限接近于总体密度曲线2、【题文】

A.大于零B.小于零C.等于零D.不能确定正负或零3、【题文】函数的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数在上的最小值为（）A.B.C.D.4、【题文】在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且都是方程logx=logb(4x-4)的根；则△ABC（）

A.是等腰三角形，但不是直角三角形B.是直角三角形；但不是等腰三角形。

C.是等腰直角三角形D.不是等腰三角形，也不是直角三角形5、复数(1鈭�2i)?i

的虚部是(

)

A.1

B.鈭�1

C.i

D.鈭�i

6、一射手对同一目标独立地进行4

次射击，已知至少命中一次的概率为8081

则此射手的命中率是(

)

A.13

B.23

C.14

D.25

评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)7、对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是.8、曲线f（x）=x2+1在点P（1，2）处的切线方程____．9、已知点A、B、C在球心为O的球面上，△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且a2=b2+c2+bc，a=球心O到截面ABC的距离为则该球的表面积为____．10、已知一个关于正整数的命题满足“若时命题成立，则时命题也成立”．有下列判断：（1）当时命题不成立，则时命题不成立；（2）当时命题不成立，则时命题不成立；（3）当时命题成立，则时命题成立；（4）当时命题成立，则时命题成立．其中正确判断的序号是____．（写出所有正确判断的序号）11、在中，则角A=12、【题文】若实数m，n∈{－1,1,2,3}，且m≠n，则方程＝1表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线的概率为________．13、如图，梯形A1B1C1D1，是一平面图形ABCD的直观图（斜二侧），若A1D1∥O1y1，A1B1∥C1D1，A1B1=C1D1=2，A1D1=1，则梯形ABCD的面积是______．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)14、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

15、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）16、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共1题，共9分)21、已知函数满足（其中为在点处的导数，为常数）．（1）求函数的单调区间（2）设函数若函数在上单调，求实数的取值范围．评卷人得分五、计算题(共4题，共12分)22、1.（本小题满分12分）已知函数在处取得极值.(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程在[，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；(3)证明：(参考数据：ln2≈0.6931).23、1.（本小题满分10分）某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求：（1）抽到他能答对题目数的分布列；（2）他能通过初试的概率。24、已知f（x）=∫1x（4t3﹣）dt，求f（1﹣i）•f（i）．25、已知复数z1满足（z1﹣2）（1+i）=1﹣i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1•z2是实数，求z2．评卷人得分六、综合题(共4题，共28分)26、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．27、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为28、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S6=51，a5=13．29、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、D【分析】【解析】

试题分析：由总体密度曲线的定义；及频率分布直方图的特点可知选D．

考点：本题主要考查样本频率分布直方图；总体密度曲线及其关系。

点评：简单题，样本频率分布直方图与总体密度曲线等内容，要求不高，关键是要明确相关基础知识。【解析】【答案】D2、B【分析】【解析】

考点：三角函数值的符号．

专题：计算题．

分析：利用θ是第三象限的角；判断cosθ，sinθ的符号，然后利用诱导公式判断sin（cosθ）与cos（sinθ）的符号即可．

解答：解：因为θ是第三象限的角；所以cosθ＜0，sinθ＜0；

则sin（cosθ）＜0与cos（sinθ）＞0；

所以＜0；

故选B．

点评：本题是基础题，考查三角函数值的符号，值域三角函数的角的范围的应用，考查计算能力．【解析】【答案】B3、A【分析】【解析】

试题分析：图象向左平移单位得

由于函数为奇函数，所以得由于

当即

考点：正弦型函数的图象平移.【解析】【答案】A4、B【分析】【解析】由logx=logb(4x-4)得：x2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA，∵sinA(1-4sin2A)=0，又sinA≠0，所以sin2A=而sinA>0，∴sinA=因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B。【解析】【答案】B5、A【分析】解：由(1鈭�2i)?i=2+i

则复数(1鈭�2i)?i

的虚部是：1

．

故选：A

．

直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．【解析】A

6、B【分析】解：设此射手的命中率是x

则不能命中的概率为1鈭�x

根据题意，该射手对同一目标独立地进行4

次射击，已知至少命中一次的概率为8081

即4

次射击全部没有命中目标的概率为1鈭�8081=181

有(1鈭�x)4=181

解可得，x=23

故选B．

根据题意，设此射手的命中率是x

则不能命中的概率为1鈭�x

又由题意，可得4

次射击全部没有命中目标的概率为181

即(1鈭�x)4=181

解可得答案．

本题考查相互独立事件的概率计算，注意利用对立事件概率的性质进行分析解题．【解析】B

二、填空题(共7题，共14分)7、略

【分析】试题分析：时原不等式可以化为不能对于任意实数恒成立；时，由二次函数的性质，且所以因此考点：1、分类讨论思想；2、二次函数的性质.【解析】【答案】8、略

【分析】

y′=2x

当x=1得f′（1）=2

所以切线方程为y-2=2（x-1）

即y=2x．

故答案为：y=2x．

【解析】【答案】求出导函数；令x=1求出切线的斜率；利用点斜式写出直线的方程．

9、略

【分析】

由已知中a2=b2+c2+bc；

易得cos∠A==

则∠A=

则sin∠A=

则△ABC的外接圆半径有：2r==2

即△ABC的外接圆半径r=1

又∵球心O到截面ABC的距离为

故球的半径为R=

则该球的表面积S=4•π•R2=12π

故答案为：12π

【解析】【答案】根据书籍左中点A、B、C在球心为O的球面上，△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且a2=b2+c2+bc，a=我们可以根据余弦定理和正弦定理，求出△ABC的外接圆（截面圆）的半径，进而结合球心O到截面ABC的距离为我们可以求出球半径，代入球的表面积公式，即可求出答案．

10、略

【分析】【解析】试题分析：关于正整数的命题满足“若时命题成立，则时命题也成立”，∴当时命题成立，则时命题成立，当时命题不成立，则时命题不一定成立，n=2012时命题不成立，n=2011时命题不成立，n=1时命题不成立，故正确的命题有（2），（3）考点：本题考查了推理的运用【解析】【答案】（2）（3）11、略

【分析】因为在中，则由正弦定理可知a:b:c=则根据余弦定理可知角A为【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】根据焦点在x轴上的双曲线的特征确定基本事件的个数，代入古典概型计算公式计算即可．因为m≠n，所以(m，n)共有4×3＝12种，其中焦点在x轴上的双曲线即m＞0，n＜0，有(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共3种，故所求概率为P＝＝【解析】【答案】13、略

【分析】解：如图；根据直观图画法的规则；

直观图中A1D1∥O′y′，A1D1=1；⇒原图中AD∥Oy；

从而得出AD⊥DC，且AD=2A1D1=2；

直观图中A1B1∥C1D1，A1B1=C1D1=2，⇒原图中AB∥CD，AB=CD=2；

即四边形ABCD上底和下底边长分别为2；3，高为2，如图．

故其面积S=（2+3）×2=5．

故答案为：5．

如图；根据直观图画法的规则，确定原平面图形四边形ABCD的形状，求出底边边长，上底边边长，以及高，然后求出面积．

本题考查平面图形的直观图，考查计算能力，作图能力，是基础题．【解析】5三、作图题(共9题，共18分)14、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

15、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．16、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共1题，共9分)21、略

【分析】试题分析：(1)将的值代入的解析式，列出的变化情况表，根据表求出函数的单调区间．（2）求出函数的导数，构造函数分函数递增和递减两类，令和在上恒成立，求出C的范围．试题解析：（1）由得．取得解之，得因为．从而列表如下：。1＋0－0＋↗有极大值↘有极小值↗∴的单调递增区间是和的单调递减区间是．（3）函数有=（–x2–3x+C–1）ex，当函数在区间上为单调递增时，等价于h（x）=–x2–3x+C–10在上恒成立,只要h（2）0，解得c11，当函数在区间上为单调递减时，等价于h（x）=–x2–3x+C–10在上恒成立,即=解得c–所以c的取值范围是c11或c–．考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.函数恒成立问题.【解析】【答案】(1)详见解析；(2)c11或c–五、计算题(共4题，共12分)22、略

【分析】【解析】

(1)f'(x)＝1＋，由题意，得f'(1)＝0Þa＝02分(2)由(1)知f(x)＝x－lnx∴f(x)＋2x＝x2＋bóx－lnx＋2x＝x2＋bóx2－3x＋lnx＋b＝0设g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x＞0)则g'(x)＝2x－3＋＝4分当x变化时，g'(x)，g(x)的变化情况如下表。x(0，)(，1)1(1，2)2g'(x)＋0－0＋G(x)↗极大值↘极小值↗b－2＋ln2当x＝1时，g(x)最小值＝g(1)＝b－2，g()＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有两个不相等的实数根高考+资-源-网由ÞÞ＋ln2≤b≤28分(3)∵k－f(k)＝lnk∴nk＝2ó(n∈N，n≥2)设Φ(x)＝lnx－(x2－1)则Φ'(x)＝－＝当x≥2时，Φ'(x)＜0Þ函数Φ(x)在[2，＋∞)上是减函数，∴Φ(x)≤Φ(2)＝ln2－＜0Þlnx＜(x2－1)∴当x≥2时，∴＞2[(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋()]＝2(1＋－)＝.∴原不等式成立.12分'【解析】【答案】(1)a＝0(2)＋ln2≤b≤2(3)原不等式成立.23、略

【分析】解(1)设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为X，且X=0、1、2、3，X服从超几何分布，高考+资-源-网分布列如下：。X0123P即。X0123P8分(2)10分【解析】【答案】(1)。X0123P(2)2/324、解：f（x）=（t4+）|1x=x4+﹣2f（1﹣i）=（1﹣i）4+﹣2=+

f（i）=i4+﹣2=﹣1﹣i

f（1﹣i）f（i）=6+5i【分析】【分析】先根据定积分求出函数f（x）的解析式，然后分别求出f（1﹣i）与f（i）即可求出所求．25、解：∴z1=2﹣i

设z2=a+2i（a∈R）

∴z1•z2=（2﹣i）（a+2i）=（2a+2）+（4﹣a）i

∵z1•z2是实数。

∴4﹣a=0解得a=4

所以z2=4+2i【分析】【分析】利用复数的除法运算法则求出z1，设出复数z2；利用复数的乘法运算法则求出z1•z2；利用当虚部为0时复数为实数，求出z2．六、综合题(共4题，共28分)26、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）27、（1）{#mathml#}255

{#/mathml#}；（2）{#mathml#}x245+y29=1

{#/mathml#}【分析】【解答】1、由题设条件知，点M的