等差数列及其前n项和-2025年高中数学一轮复习

第02讲等差数列及其前n项和

（10类核心考点精讲精练）

IfV考情探究・

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2024年新I卷，第19题,17分等差数列通项公式的基本量计算数列新定义

等差数列通项公式的基本量计算

2024年新H卷，第12题,5分无

求等差数列前n项和

等差数列通项公式的基本量计算

2024年全国甲卷，第4题,5分利用等差数列的性质计算无

等差数列前n项和的基本量计算

由递推关系证明数列是等差数列

2023年新I卷，第7题,5分充分条件与必要条件的判定

等差数列前n项和的性质

等差数列通项公式的基本量计算利用

2023年新I卷，第20题,12分等差数列的性质计算无

等差数列前n项和的基本量计算

利用定义求等差数列通项公式

2023年新H卷，第18题,12分等差数列通项公式的基本量计算求等分组（并项）-奇偶项求和

差数列前n项和

利用%与£，关系求通项或项

2022年新I卷，第17题,10分利用等差数列通项公式求数列中的项累乘法求数列通项

裂项相消法求和

数学新文化

2022年新II卷，第3题,5分等差数列通项公式的基本量计算

已知斜率求参数

等比数列通项公式的基本量计算

2022年新H卷，第17题,10分等差数列通项公式的基本量计算

数列不等式能成立（有解）问题

利用定义求等差数列通项公式由递推数列研究数列的有关性质

2021年新I卷，第17题,10分

求等差数列前n项和分组（并项）-奇偶项求和

等差数列通项公式的基本量计算

2021年新H卷，第17题,10分解不含参数的一元二次不等式

求等差数列前n项和

1

2020年新I卷，第14题,5分求等差数列前n项和无

2020年新H卷，第15题,5分求等差数列前"项和无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等，小题分值为5-6分，大题13-17分

【备考策略】1.理解等差数列的概念

2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系并能用等差数列的有关知识解决相应的问题

4.理解等差数列与一次函数的关系及等差数列通项公式与前n项和的关系

5.熟练掌握等差数列通项公式与前n项和的性质

【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等差数列，或通过构造为等差数列，求通

项公式及前〃项和。需综合复习

d2・考点梳理・

知识点1等差数列的定义

知识点2数学表达式

知识点3通项公式

知识点4等差数列通顼公式与函数关系

知识点5等差中项

知识点6等差数列通项公式的性质

知识点7等差数列前诋和

知识点8等差数列前n项和与函数关系

知识点9等差数列前n项和的性质

知识点10证明数列为等差数列的方法

考点1等差数列的项、公差及通项公式的求解

考点2等差中项的应用

考点3等差数列的性质

考点4等差数列前胸和的求解

考点5等差数列前倾和的性质

核心考点考点6等差数列通项公式与前n项和的关系

考点7等差数列通项公式与前n项和的最值

考点8等差数列中的数学文化

考点9等差数列奇偶项的和

考点10等差数列的证明

知识讲解

1.等差数列的定义

从第二项开始，后一项与前一项的差为同一个常数，这个数列是等差数列，这个常数是等差数列的公差,

2

用d表示

2.数学表达式

an^-an=d

3.通项公式

an=al+(n-\)d,(ne7V+),an=am+｛n-m)d,｛neN+)

4.等差数列通项公式与函数关系

an=q+-\）d=>an=dn+d_d）

令K=d,B=ax-d,=>+5=>等差数列｛a,J为一次函数

5.等差中项

若A,B,C三个数成等差数列，则23=2+C,其中8叫做Z,C的等差中项

6.等差数列通项公式的性质

(1)若加+〃=)+[=am+an=ap+aq,或加+场=2。=am+an=2ap

⑵若｛%｝,包｝为等差数列，贝ij｛%土”｝,｛加％土机｝仍为等差数列

7.等差数列前n项和

„n(a,+«„)„„n(n-1W

S=-——或S=na,+——)—

"n2n2

8.等差数列前n项和与函数关系

cmn-l)ddn2-dn「d?(d\

S„=na,+------—=>d„=na,---------=4>S„=­+a,-----\n

"1222I2j

令A=一，B=a,——,=4>S=An2+Bn

22"

n等差数列｛4｝前〃项和公式是无常数项的二次函数

9.等差数列前n项和的性质

(1)耳，邑*—耳，s3k-s2k……仍成等差数列

(2)图为等差数列

推导过程：=An+B（一次函数）n出为等差数列

nnInI

（3）Sm+n=Sm+Sn+rnnd

⑷$20_1=（2〃—1）%

10.证明数列为等差数列的方法

（1）an+l-a„=c（C为常数）=>｛4｝为等差数列

2

（2）通项公式：an=Kn+B（一次函数），前〃项和：Sn=An+Bn（无常数项的二次函数）

3

(3)若28=Z+C,则Z,B,。三个数成等差数列

考点一、等差数列的项、公差及通项公式的求解

电典例引领

1.(2024・安徽池州•模拟预测)在等差数列｛g｝中，&+%=24,%=15,则4=()

A.4B.5C.6D.8

【答案】C

【分析】利用等差数列的性质计算即可.

【详解】设等差数列的公差为比因为%+6=2&=24,所以必=12,又％=15,

所以公差d=3,%=。6-24=6.

故选：C

2.(2022•河南南阳•三模)已知数列｛%｝为等差数列，％=2,2%+&=%+13,则该数列的公差

为.

【答案】3

【分析】由已知，利用等差数列通项公式列方程求公差即可.

【详解】设公差为d,则2az+d=13,又出=%+1,

则2%+3d=4+3d=13,可得(7=3.

故答案为：3

3.(2024•江苏徐州•模拟预测)若等差数列｛aj满足4+4+1=4〃+1,则%=()

31

A.3B.-C.1D.-

22

【答案】B

【分析】设等差数列｛与｝的公差为d,由通项公式写出。，=%+("-1W和。用=4+”[,都代入

4+4+1=4〃+1中，化简即可求出生•

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,则。“=4+("-l)d,an+1^al+nd,

因为a”+a“+i=4»+1,可得+a“+i=2%+(2〃-1”=2a；-d+2nd,

/2%-d=lL=-

所以有,解得12,

4卜=2

故选：B.

4.(2024・山东・二模)已知数歹！]｛。"｝吗=13q+]=%-4.求:

(1)数列｛%｝的通项公式；

⑵数列｛。,｝的前〃项和S„的最大值.

4

【答案】⑴4=-4"+17；

（2）28

【分析】（1）根据题目条件得到｛%｝是以13为首项，-4为公差的等差数列，求出通项公式；

（2）求出通项公式，解不等式，得到数列从第5项开始小于0,从而得到数列｛4｝的前4项和最大，利用

求和公式求出答案.

【详解】（1）由。什1=。“-4,可知。=-4,

所以数列｛%｝是以13为首项，以-4为公差的等差数列，

所以=13-4（〃-1）=-4〃+17；

（2）由（1）可知%=-4〃+17,

17

令一4〃+17>0,解得〃<一，

令一4〃+17<0,解得〃〉一,

即数列从第5项开始小于0,所以数列｛4｝的前4项和最大,

4x3

最大值为=4x13H---x(—4)=28.

即时检测

1.（2024•陕西商洛•模拟预测）已知等差数列｛%｝满足的+%=14,且%-。2=8,则首项％=（）

【答案】A

【分析】根据等差数列通项公式直接求解即可.

【详解】设等差数列｛七｝的公差为d,因为出+%=14,且。4-%=8,

\a2+a3=2%+3d=14=1

所以彳c，o>所以L,•

一%=24=8[a=4

故选：A

2.（2024・四川雅安•三模）在等差数列｛%｝中，若出+&=10，%=9,则为=（）

A.21B.24C.27D.29

【答案】A

【分析】由等差中项的性质、以及等差数列基本量的计算得公差d,进一步即可得解.

【详解】在等差数列｛6｝中，若%+&=羽=10，%=9,即&=5

则公差d=。5=4,所以6=%+34=21.

故选：A.

5

3.(2024・陕西安康•模拟预测)在公差为d的等差数列｛。“｝中，&=6,%%=48,贝()

A.1或2B.1C.-1D.-2

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用等差数列通项列式求解即得.

【详解】在等差数列｛%｝中，％=6,%。7=48

则a3al=(a6—3d)(R+d)=3(2—d)(6+d)=48,整理得(d+2>=0,

所以〃=—2.

故选：D

4.(2024高三•全国•专题练习)已知｛与｝是递增的等差数列，出，Q是方程--5x+6=0的根.

(1)求｛a“｝的通项公式；

(2)求数列样;的前〃项和.

【答案】(1)%=看

【分析】(1)由等差数列基本量的计算可得公差，进而即可得解;

(2)直接由等比数列求和公式以及错位相减法即可运算求解.

【详解】(1)因为。2，。4是方程--5%+6二=0的两个根，且｛%｝为递增等差数列,

所以2=2,%=3,公差d=^3-=2],1

所以%=2+?(〃2)=2­

(2)由⑴知2：=2用，

所以S.=2?+23+.一+2"+2用'①

34〃+1〃+2小

223222"力

3123[UJJ〃+2

①-②得入-等

1n+2

2423242"*2"2~4]_j_2

~2

_3+12几+2_]〃+4

~442"+22"+2.2"+2，

所以，斗=2-5;

6

考点二、等差中项的应用

中典例引领

1.（23-24高二下•北京怀柔,期中）若T,尤，3成等差数列，贝！|x的值为（）

A.1.5B.1C.2D.±72

【答案】B

【分析】根据条件，利用等差中项，即可求出结果.

【详解】因为-1,x,3成等差数列，所以2x=-l+3,解得x=l,

故选：B.

2.（重庆•高考真题）在等差数列｛《,｝中，若出=4,%=2,则&=

A.-1B.0C.1D.6

【答案】B

【详解】在等差数列｛6｝中，若%=4,&=2,则%=：（%+6）=1（4+6）=2,解得&=。，故选B.

.即_时__检__测___

1.（23-24高二上•上海宝山・期末）3-2后与3+2忘的等差中项为.

【答案】3

【分析】根据等差中项的定义求解.

【详解】3-2也与3+2夜的等差中项为3-28+3+2后=3.

2

故答案为：3.

2.（24-25高二上•上海•课前预习）等差数列｛%｝的前三项依次为x,2x+l,4尤+2,则x的值为.

【答案】0

【分析】根据等差中项知识即可求解.

【详解】等差数列｛。“｝的前三项依次为x,2x+l,4x+2,

x+4x+2=2x（2x+1）,贝x=0.

故答案为：0.

3.（江西・高考真题）设数列｛为｝,｛6｝都是等差数列，若如+比=7,a3+b3=21,则。5+加=.

【答案】35

【详解】因为｛。/｛6｝都是等差数歹力所以｛%+4｝也成等差数列，根据等差数列的性质，。1+岳=7,。3+

仇=21,。5+仇成等差数列，因而。5+d=2x21-7=35.

7

考点三、等差数列的性质

中典例引领

1.（江西,高考真题）已知等差数列｛%｝,若。1+。2+〃3~'----HQ]?=21,贝%+。8+。11=___-

【答案】7

【详解】根据等差数列的性质和题设条件，求得%+%2=鼻，结合生+。5+/+%=2（4+%2），即可求解.

【解答】因为等差数列｛%｝中，满足%+%+/+…+%2=21,

7

根据等差数列的性质可得/+4+。3--------1~。12=6Q+%2）=21,解得q+々2=5，

又由。2+。5+。8+1=2口+的）=7.

故答案为：7.

2.（北京,高考真题）在等差数列｛4｝中，已知1+电+。3+。4+。5=20,那么%等于（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】设首项为生,公差为d，由已知有5%+10d=20,所以可得%的值.

【详解】解：・・•｛4｝为等差数列，设首项为q,公差为d,

由已知有54+10（7=20,/.ax+2d=4,

即。3=q+2d=4.

故选：A.

3.（2024•河南关B州•一模）已知数列｛〃〃｝为等差数列，%+出+〃3=7,%+为+为=13,则13+14+%5=（

A.19B.22C.25D.27

【答案】A

【分析】依题意由等差数列性质计算可得出=：7，殁=羡13，利用等差中项计算可得知=1]9，可求出

。13+64+。15=3。14=19.

【详解1根据等差数列性质，由％+%+。3=7,%+“8+。9=13可得3a2=7,3右=13,

713

所以可得出=§用=不，

19

又生+%4=2〃8可得%=牙，

所以。13+%4+a15=3%4=19.

故选：A

8

即时校L

1.（2024•广西柳州•模拟预测）在等差数列｛0“｝中，若%+%+%7+。20=48,贝1%=（）.

A.7B.12C.16D.24

【答案】B

【分析】观察数列下标根据等差数列的性质进行求解.

【详解】在等差数列｛%｝中，

^m+n=p+q,则%,+a“=<+与，

所以出+%+%7+?0=48=为“，所以％[=12.

故选：B

2.（2023・广西南宁•模拟预测）在等差数列｛%｝中，若％+/+%+%+%=120,贝1]2&-%=.

【答案】24

【分析】

由等差中项的性质即可求解.

【详解】因为在等差数列｛%｝中，有为+%=。2+。4=犯，所以由4+出+。3+%+。5=120,

5〃3=120,Q3=24,3^,“3+。9=2a6—cig—%—24.

故答案为：24

3.（2024・陕西商洛•模拟预测）已知等差数列｛4｝的前〃项和为S”，且S28=56,则

%2+13+。14+%5+。16+%7=.

【答案】12

【分析】由等差数列前〃项和公式可得%+%8=4,再根据等差数列的性质求解即可.

【详解】由%=（%+?）X28=56,得%+%8=4,

贝I」%2+413+〃14+45+〃16+。17=3（Q]+28）=12.

故答案为：12.

考点四、等差数列前〃项和的求解

典例引领

1.（2024•全国•高考真题）记S"为等差数列｛%｝的前"项和,若%+%=7,3a,+a5—5,则品=.

【答案】95

【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出为再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.

9

(q+2d+q+3d=7[(J——4

【详解】因为数列4〃为等差数列，则由题意得”，、,…:，解得[Q，

[3(q+d)+。]+4d=5[d=3

inxo

则S]o=lOq+^—d=10x(—4)+45x3=95.

故答案为：95.

2.(2024・全国•高考真题)记S〃为等差数列｛凡｝的前〃项和，已知S5=S/a5=l,则4=()

7717

A.-B.-C.一一D.——

23311

【答案】B

【分析】由S5=S]。结合等差中项的性质可得1=0,即可计算出公差，即可得q的值.

【详解】由S]0—S5=&+%+。8+“9+"10=以=0,则。8=°，

则等差数列｛凡｝的公差故为=%-纪=1-4'.：|=:.

故选:B.

3.(2023•全国,高考真题)记S”为等差数列｛〃“｝的前〃项和.若g+4=10，%。8=45,则/=()

A.25B.22C.20D.15

【答案】C

【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列｛%｝的公差和首项，再根据前〃项和公式即可解出;

方法二：根据等差数列的性质求出等差数列｛4｝的公差，再根据前"项和公式的性质即可解出.

【详解】方法一：设等差数列｛%｝的公差为d,首项为外,依题意可得，

a2+a6=al+d+al+5d=10,即为+3a=5,

又为。8=(4+%)(4+7d)=45,解得：d=l,a1=2,

5x4

所以S5=5%+；-xd=5x2+10=20.

故选：C.

方法二：4+。6=24=1°，。4。8=45,所以%=5,6=9,

从而"="二幺=1,于是%=%-4=5-1=4,

8—4

所以£=5%=20.

故选：C.

4.(2023・全国•高考真题)记S,为等差数列｛aj的前〃项和，已知出=11,兀=40.

(1)求｛%｝的通项公式；

⑵求数列｛|。”|｝的前〃项和

【答案】⑴。“=15-2〃

10

i^n-n2,n<7

⑵骞

n2-14〃+98,〃>8

【分析】(1)根据题意列式求解力,",进而可得结果；

(2)先求S“，讨论知的符号去绝对值，结合S”运算求解.

【详解】(1)设等差数列的公差为"，

42-q+。-1][ax+d=\\\ax=13

由题意可得。1A10x9「心，即:皿Q，解得「、，

SI0=1OQ]H-----d=40[2〃]+9d=8[d=-2

、2

所以=13-2(〃-1)=15-2〃，

(2)因为S"="13+；5-2〃)=]加”,

令a“=15-2〃>0,解得“<£,且〃eN*,

当〃V7时，则>0,可得T.=同+同T--F㈤="+a2T---3%=S"=14n—n2；

当〃28时，则%<0,可得看=同+|“2卜---=---卜。7)-(。8"---

222

=S7-(Sn-S7)=2S7-S„=2(14x7-7)-^4n-n)=n-14n+98；

J14n-n2,n<7

综上所述:

[n2-14M+98,H>8

5.(2021•全国•高考真题)记S“是公差不为0的等差数列｛与｝的前力项和，若生=&，出氏=邑・

(1)求数列｛%｝的通项公式。“；

(2)求使J>4成立的„的最小值.

【答案】⑴/=2"-6；⑵7.

【分析】(1)由题意首先求得。3的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式;

(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.

【详解】⑴由等差数列的性质可得：$5=56，则：%=5。3，，%=0,

2

设等差数列的公差为d,从而有:a2a.=(a3-d)(a3+d)=-d,

S4=%+。2+。3+。4=(03—2d)+(%_1)+%+(°3+d)=-2d,

从而：-d2=-2d，由于公差不为零，故：[=2,

数列的通项公式为：-3)4=2"-6.

⑵由数列的通项公式可得：%=2-6=-4,贝hS'=〃X(-4)+"(1)X2=〃2—5〃,

则不等式即：”2一5〃>2〃-6,整理可得：("-1)(〃-6)>0,

解得："<1或〃>6,又〃为正整数，故〃的最小值为7.

11

【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数

列的有关公式并能灵活运用.

即时检测

I____________________

1.（2024•湖南衡阳•模拟预测）在等差数列｛。"｝中，公差d=3,S”为其前"项和，若$8=$9,贝尼7=（）

A.-2B.0C.2D.4

【答案】B

\S.,n=1

【分析】根据2=二0、。求出％=0,利用等差数列求和公式和性质得到答案.

【详解】％=$9-国=0,用「7（丁"）=]7%=0.

故选：B.

2.（2024•辽宁•模拟预测）等差数列｛%｝的前〃项和记为J,若％=2,/+%=8,则L=（）

A.51B.102C.119D.238

【答案】B

【分析】结合等差数列的性质先求出公差d,然后结合等差数列的求和公式即可求解.

【详解】等差数列｛4｝中，％=2,。3+〃7=2。5=8,即%=4,

所以八—L二,

5-12

贝Ui=17X2+”^©XL102.

22

故选：B.

3.（23-24高三上•陕西汉中•期末）设等差数列｛。“｝的前〃项和为S",%=3,§5=35.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）设数列｛|%|｝的前〃项和为求

【答案】⑴4=13-2〃

⑵52

【分析】（1）设出｛。“｝的公差为d,利用等差数列通项公式和前〃项和公式求解即可;

（2）由（1）判断出｛%｝前六项为正，后四项为负，进而利用前〃项和公式求解即可.

【详解】（1）设等差数列｛%｝的公差为d,

%=%+=3

,%=3,S$—35,*5x4,

S5=5〃iH—--d=35

12

解得多=11,d=-2,

故cin=〃]+(九—l)d-13—2n.

(2)由(1)知=-2几+13,d=—2,

/.a6=I,%=-1,Sn=-----------=12n—n,

=kJ+|^22|H--F|=Q]+4----F〃6—(%+〃8++40)

=S6-(5l0-56)=2S6-Sl0=52.

4.(2024•吉林•模拟预测)已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，且4+2%=",24+%=7.

(1)求数列｛6｝的通项公式；

(2)若S,22〃+15,求"的最小值.

【答案】⑴。“=21；

(2)5.

【分析】（1）利用等差数列基本量求得力和公差，即可写出通项公式；

（2）根据等差数列的前〃项和公式求得5“，再解不等式，即可求得结果.

z、［3。］+4"=11

【详解】（1）设｛%｝的公差为d,由题可得：J»r'

+2d=7

解得4=1,d=2,故％=2〃-1.

（2）根据（1）中所求可得S=叫+心二0"=〃2,

由S“N2〃+15,则可得“2-2〃-1520,即（〃-5）（〃+3”0

解得“V-3（舍去）或"之5,

故”的最小值为5.

5.（2024•贵州六盘水,三模）已知｛0»｝为等差数列，且%=3。1，ax+as+a14—a10+24.

（1）求｛%｝的通项公式；

（2）若2"•22%+出+…+4恒成立，求实数力的取值范围.

【答案】⑴％=2”+2

（2）［尹）

【分析】（1）根据题意建立方程求出等差数列的首项与公差，从而可求解；

（2）先求出等差数列的前〃项和，再将恒成立问题参变分离，接着利用数列的单调性求出最值，从而得解.

%+4d=3%

【详解】（1）设数列｛。“｝的公差为d,则根据题意可得

3al+17d=%+9d+24

13

I«.=4

解得]c，贝lJ%=2〃+2.

[a=2

(2)由(1)可知运用等差数列求和公式，得至US”=%+%+…+。“=/+3”,

乂2'〃之％+与+…+。”恒成立，则22sH恒成立，

设则加+1)-/(")=一〃2襄+4,

当”=1时，/(2)-/(1)=|>0,即〃2)>/(1)；

当心2时，-n2-n+4<-2,贝1|/(〃+1)-/(")<0,则〃"+1)<八")；

则“"KL"2)，故22/(2)=，

故实翻的取值范围为g,E).

考点五、等差数列前1项和的性质

典例引领

1.(辽宁•高考真题)设等差数列｛%｝的前〃项和为若$3=9,国=36,贝|%+/+%=()

A.63B.36C.45D.27

【答案】C

【分析】根据等差数列的前"项和的性质，列式求解.

【详解】由等差数列的〃项和的性质可知，成等差数列，

即9,27,y-久成等差数列，所以9+S-"=54,所以W-S6=45.

即a7+as+a9=45.

故选：C

2.(全国•高考真题)等差数列前"项的和为30,前2〃项的和为100,则它的前力项的和为()

A.130B.170C.210D.260

【答案】C

【分析】根据等差数列前"项和的性质，结合已知数据，求解即可.

【详解】利用等差数列的性质：S“，邑”-s“,邑”-$2“成等差数歹U,

所以S”+(S3"F)=2(S「S")，即30+(邑"-100)=2(100—30),解得%=210.

故选：C.

S13S

3.(2024・广东深圳•模拟预测)设S,,是等差数列｛%｝的前〃项和，若U=77,贝巾色=____-

»611dll

14

【分析】由等差数列前〃项和公式计算％,"的等量关系，代入所求即可求出结果.

【详解】设数列｛。〃｝的公差为d,

..五_74+21d_13

,/.ax=36d,

S66%+15d11

几_15%+105d645

川5^―11%+55d-451

645

故答案为：-

已知等差数列｛%｝，也｝的前〃项和分别为总工，且,=缶，则£=（）

4.（2024•全国•模拟预测）

57115

A.—B.C.—D.-

1616168

【答案】D

【分析】根据等差数列通项公式及求和公式可得结果.

【详解】因为S“为等差数列｛4｝的前〃项和，所以可设（等差数列前〃项和的二级结论）

2

同理因为（为等差数列抄/的前〃项和,所以可设Tn=Cn^Dn.

n-1n(An+B\An+Bn-\/­、/、/、

又寸=F，所以----------------一----,即++=(C/7+/>)(«-1),

Tn«+ln[Cn+D^Cn+D

整理得4几之+(/+B)〃+B=Cn2+(。一C)〃一。,解得A=—B=C=D.

不妨设s“=〃（〃一1）,则北=〃（〃+1）,则R=56盟=10力8=n-。=16,故答=■!，

故选：D.

5.（2024•河北衡水•三模）已知数列｛%｝，｛2｝均为等差数列，其前〃项和分别为S”，Tn,满足

%+/+。9

(2〃+3洱=(3〃-1)&则)

b6+bW

A.2B.3C.5D.6

【答案】A

【分析】根据题意，利用得出数列的性质和得出数列的求和公式，准确计算，即可求解.

【详解】因为数列｛。/，色｝均为等差数列，可得%+6+%=3。8=，156=!几,

且&+厢=々+砥，又由十」5伍；.）,可得

a9_38二4

因此%+为+X—=2.

4+狐2Tl523

故选：A.

15

.即_时__检__测___

1.（陕西•高考真题）等差数列｛4｝的前〃项和为S,,,若$2=2,S,=10,则$6等于

A.12B.18C.24D.42

【答案】C

【分析】数列每2项构成的等差数列的公差为6,计算得到答案.

【详解】第一个2项和为2,第二个2项和为8,则每2项构成的等差数列的公差为6,

第三个2项和为14,贝U$6=2+8+14=24,

故选：C.

【点睛】本题考查了等差数列和的性质，意在考查学生的计算能力和应用能力.

2.（2024•全国•模拟预测）已知等差数列｛%｝的前〃项和为5“，邑=6,5„_3=16（«>4,«eN*）,S,=20,

则〃的值为（）

A.16B.12C.10D.8

【答案】B

【分析】利用等差数列的性质，以及前“项和公式，即可求解.

【详解】由'=6,得4+°2+%=6①，

因为S“-3=16（"W4,〃eN*）,S,=20,

所以S“-S0-3=4,即g+%+%_2=4②，

①②两式相加，得4+a“+出+。”_1+%+。4-2=1°，即3（q）=10,

所以％+%=乎，所以邑=〃（％+""）=.=20,解得”=12.

3”23

故选：B.

3.（2024・陕西咸阳•二模）已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，若邑=2,其=12,则S2。=（）

A.30B.58C.60D.90

【答案】D

【分析】借助等差数列片断和的性质计算即可得.

【详解】由数列｛g｝为等差数列，

故见、$8-$4、儿-$8、品，-&、S?。-&亦为等差数列，

由$4=2,5=12,则$8-$4=10，

故儿-$8=18,%-几=26,520-516=34,

即有S[2=18+Sg=30,岳6=26+S]2=56,S20=34+S16-90.

故选：D.

4.（2024・陕西西安•模拟预测）已知等差数列｛6｝和｛勾｝的前"项和分别为S,和（，且*=*,则

16

a3_

石=-------

【答案】I

【分析】根据率设出工工的二次形式，由此求得生，与，即可化简得到结果.

T“wT

【详解】因为等差数列｛凡｝和｛4｝的前n项和分别为*和7；,

故可设清=—人。，

Tnn-1kn[n-\）

所以S“=初（及+3）/=布（〃一1）,左。0,

、/S3~^218左—10左8k4

所以废一£F_\及-&一短一1.

4

故答案为：—.

5.（2024・广东佛山•模拟预测）设等差数列｛4｝,｛〃｝的前〃项和分别为S〃，Tn,若对任意正整数〃都有

S”2〃一3a.a

—=-----,则——+—Q—=（）

Tn4n-34+"&+&

351919巧7曰

A.—B.—C.—D.—E.均不7E

7214140

【答案】C

【分析】运用等差数列的等和性及等差数列前〃项和公式求解即可.

【详解】由等差数列的等和性可得，

11,+〃）

aaaa+a11

/2_39_3+〃9_\H_2I1_SH_2x11_3_19

可记+1记=紊+亚=叽=4+g=1囱+如]二4x11一3=4r.

故选：C.

考点六、等差数列通项公式与前〃项和的关系

典例引领

1.（全国•高考真题）设等差数列｛4｝的公差是心如果它的前〃项和S“=f2,那么（）

A.。”=2"—1,d=-2B.%=2〃—1,d—2

C.d„-—2n+1,d=—2D.ax=—2n+1,d—2

【答案】C

【分析】由与与S,的关系即可求得数列通项，由等差数列的定义可求得公差.

【详解】当〃=1时，4=岳=-1,

17

当时，aa=S,-S“_]=-，-[-("-Di=4〃+1，

符合％=T的情况，

故%=—2n+1,所以%+i=-2(〃+1)+1=—2«—1,

6+1—=—2,故公差d=-2.

故选：C

2.(2023•全国•统考高考真题)记5”为数列｛4｝的前〃项和，设甲：｛%｝为等差数列；乙:｛—｝为等差数列,

n

则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】C

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前〃项和与第项的关系推理判

断作答.，

【详解】方法1,甲：｛与｝为等差数列，设其首项为外,公差为d,

ecn(n-l),Sn-\,ddS,

贝US=H--------------d,—n=Q]+--------d=-n+Q]—-jn+1

n