不等式的证明问题（学生版）-2025高考数学一轮复习讲义

第24讲不等式的证明问题

知识梳理

利用导数证明不等式问题，方法如下：

(1)直接构造函数法：证明不等式/(x)>g(x)(或/(x)<g(x))转化为证明

/(x)-g(x)>0(或进而构造辅助函数z?(x)=/(x)-g(x)；

(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅

助函数.

(4)对数单身狗，指数找基友

(5)凹凸反转，转化为最值问题

(6)同构变形

必考题型全归纳

题型一：直接法

例1.(2024•北京房山・北京市房山区良乡中学校考模拟预测)已知函数/(x)=21n(x+l).

⑴若函数在点尸&,/(/))处的切线平行于直线y=2x-2,求切点P的坐标及此切线

方程；

(2)求证：当xe[0,e-l]时，〃x)2x2-2x.(其中e=2.71828…)

例2.(2024•北京・高二北京二十中校考期中)已知函数〃》)=里InV-二1

XX

⑴求曲线了=/(x)在点(1,7(1))处的切线方程；

⑵求证：f(x)<2x-3.

1

例3.已知函数/(X)=(Q—1)>x+x+3,Q<0.

X

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)当〃<一1时，证明：VxG(l,+oo),/(x)>-a-a2,

题型二：构造函数(差构造、变形构造、换元构造、递推构造)

例4.(2024•吉林通化・梅河口市第五中学校考模拟预测)已知函数/(力=11+工］(x>0).

⑴证明：/(x)<e；

(2)讨论/(x)的单调性,并证明：当时,(2〃+l)ln(〃+l)<〃ln〃+(〃+l)ln(〃+2).

丫2_1

例5.已知曲线/(x)=-^―与曲线g(%)=alnx在公共点(1,0)处的切线相同，

(I)求实数。的值；

,f_1

(II)求证：当x〉0时，----#—

2

例6.已知函数/(x)=e',g(x)=xlnx.

(1)求函数/⑴的单调区间;

2

(2)若直线y=x-l是函数y=/(x)图象的切线，求证：当x>0时，/(x)^(x).

变式1.已知函数/(x)=sinx+彳-/”(1+x).

(1)证明：/(x)^0;

(2)数列｛%｝满足：0<%<〈，%+]=/(a,,)("eN*).

(i)证明：0<a“<；("eN*)；

(ii)证明：PneN*,an+i<an.

变式2.讨论函数〃x)=—/的单调性，并证明当x>0时，(x-2)/+x+2>0.

x+2

题型三：分析法

例7.已知函数f(x)=ln(a-X),已知x=0是函数y=货(x)的极值点.

(1)求Q；

(2)设函数g(x)==^.证明：g(x)<l.

30)

3

例8.(2024•山东泰安•统考模拟预测)已知函数/(x)=d

⑴求y=/(x)在x=a处的切线；

(2)若0<a<2,证明当尤>0时，/(x)<-+2.

例9.已知1<32,函数/'⑴=/-尤-a,其中e=2.71828…为自然对数的底数.

(D证明:函数y=/(x)在(0,+oo)上有唯一零点；

(II)记/为函数y=/(x)在(0,+8)上的零点,证明：

(i)a——1)；

x

(ii)xof(e°)0e-l)(a-l)a.

变式3.已知函数/(尤)=，-办-1在(0,+s)上有零点%,其中e=2.71828…是自然对

数的底数.

(I)求实数。的取值范围；

(II)记g(x)是函数y=/(x)的导函数,证明：g(x0)<a(a-l).

题型四：凹凸反转、拆分函数

4

例10.(2024•北京•高三专题练习)已知函数/(工)=X3+办2+云+〃2,当Q=o,6=一3时,

Y1

证明：任意的xeA,都有/'(x)+22=--恒成立.

ee

例11.(2024•河南开封•校考模拟预测)设函数/(x)=(/-2x)e)g(x)=e2lwc-aex.

⑴若函数g(x)在(e,+8)上存在最大值，求实数。的取值范围；

(2)当a=2时，求证：/(x)>g(x).

例12.已知函数［(x)=a(加x+3)+二.

XX

(I)若x=是〃x)的极小值点，求。的取值范围;

3

(II)若。=-1,/(x)为“X)的导函数，证明：当月时,/(X)-r(x)>-.

变式4.已知函数/(x)=x'-办.(aeR)

(I)求函数〃x)的单调区间;

(II)求证：--------ex+xlnx>---ex~2

f(x)+ax2ex

5

题型五：对数单身狗，指数找朋友

例13.已知函数/(》)=二+法.

ax

(I)当a=l时，求/(x)在［；,2］上最大值及最小值;

(II)当l<x<2时，求证(x+1)历x>2(x—1).

例14.已知函数例x)=a历尤+，曲线y=〃x)在点(1,7(1))处的切线方程为y=2.

X

(1)求a、b的值;

(2)当x>0且XR1时.求证：/(x)>(X+1)/-.

x-\

例15.已知二次函数g(x)对任意实数X都满足g(x-l)+g(l-x)=f—2、-1,且g(1)

=-1,令/(x)=g(x+；)+加历x+：(加G&X>0).

(1)求g(x)的表达式;

(2)设1<小。,H(x)=/(x)~(m+l)x.证明：对任意修，/£[1，加]，怛有

17/(x0-H(X2)|<1.

变式5.已知函数/(%)=历x+〃x-/(a£氏).

6

(1)讨论函数〃x)的单调性;

(2)若函数/(x)图象过点(1,0),求证：-+lnx+x-l^O.

变式6.已知函数“X)=/〃x+ox-l(aeR).

(I)讨论函数〃x)的单调性；

(II)若函数/(X)图象过点(1,0),求证:ex+xf(x^.

题型六：放缩法

a+XnX

例16.(2024・全国•高三专题练习)已知/(x)=e，+J：,g(x)=^,«eR.

⑴当xe(l,+⑹时，求函数g(x)的极值；

⑵当°=0时，求证：/(x)>g(x).

例17.(2024•湖南常德・常德市一中校考二模)已知函数/(x)=axe，-(x+l『(aeR)e为

自然对数的底数).

⑴讨论函数的单调性；

(2)当a2—^■时，求证：y(x)>lnx—%"—x—2.

7

例18.已知函数〃x)=a，+2x-l.(其中常数e=271828…,是自然对数的底数.

(1)讨论函数“X)的单调性；

(2)证明：对任意的ad，当x>0时，f+ae)x.

变式7.已知函数〃x)=原+厘，g(x)="(smx+D-2

XX

(1)讨论函数〃x)的单调性；

(2)求证：当0/J时,/(%)>g(x).

变式8.已知函数一.

1+lnx

(1)求函数的单调区间；

(2)解关于x的不等式/(x)>』(x+3

2x

题型七：虚设零点

2

例19.(2024•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=x-{a-T)x-a\nx{aGR).

8

⑴求函数了=/(x)的单调区间；

(2)当。=1时，证明：对任意的x>0,/(x)+eX>£+尤+2.

例20.(2024•重庆万州・重庆市万州第三中学校考模拟预测)已知函数/(x)=x(lnx+机).

(1)若/(x)在区间(l,e)上有极小值，求实数机的取值范围；

⑵求证：/(x)<x3ex+(m-l)x.

例21.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=(?Mx+")e*+加/+(加+〃卜在尸-1处取得

极小值.

e

⑴求实数加，”的值；

⑵当xe(0,+oo)时，证明：/(X)>lnx+x+^-.

变式9.(2024・全国•高三专题练习)已知函数〃x)=lru+aTaeR.当ae(0,l］时，证明:

9

变式10.(2024•山东淄博・统考三模)已知函数/(》)=三二1

⑴求函数“X)的单调区间；

(2)证明:当x>0时，/(x)>xln(x+l).

题型八：同构法

例22.已知函数/(x)=ax/〃x-x+l,a&R.

(1)讨论〃x)的单调区间；

(2)当p>q>l时，证明qlnp+Inq<plnq+Inp.

例23.已知函数/(x)=/〃x+-----2(aeA).

x+1

(1)讨论函数〃x)的单调性；

(2)当a=2时，求证：/(x)>0在(l,+oo)上恒成立;

(3)求证：当x>0时，ln(x+1)>——.

例24.已知函数/(x)=ax-1-历e7?).

(1)当】=2时,求函数"X)的单调区间;

10

(2)若函数"x)在x=l处取得极值，对Vxe(0,+oo),〃x)田-2恒成立，求实数6

的取值范围；

(3)当x>y>e-l时，求证：ex-y>l，Kx+1).

ln{y+1)

变式11.已知函数/(%)="-1-历x(q£R).

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数/(x)在x=l处取得极值，不等式/(x)各x-2对Vxe(0,+oo)恒成立，求实

数6的取值范围；

(3)当x>y>e时，证明不等式d'7〃y>//“x.

题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理

例25.(2024•全国•高三专题练习)证明不等式：1+2-三<"三(x>0).

28

23

例26.(2024・全国•高三专题练习)证明：ln(l+x)«x-]+'(-1<X<1)

11

例27.（2024・广东广州•高三华南师大附中校考阶段练习）已知正数数列满足

^+^aA1-^=0（W>2）,且%=1.（函数“X）求导〃次可用;'（"）（尤）表示）

nn

（1）求｛%｝的通项公式.

（2）求证：对任意的“cN*,x>0,都有e-1+象R.

Z=1

变式12.（2024・四川成都•石室中学校考模拟预测）已知函数=

⑴若/（x）±0,求实数。的值;

（2）已知〃eN*且〃>2,求证：-+-+-<lnw.

23n

变式13.已知函数f（x）=x2+lnx-ax.

（1）求函数的单调区间；

（2）若/（X）■gf,对X£[0,+GO）恒成立，求实数〃的取值范围；

（3）当a=1时，设g（x）=xe"-，。）.若正实数4，4满足4+%2=1，%，x2G（0,

+00）（工户工2），证明：g（AXl+^2X2）<A^（X1）+^（X2）•

变式14.（2024・全国•高三专题练习）给出以下三个材料：①若函数/（%）可导，我们通常把

12

导函数f(X)的导数叫做〃x)的二阶导数，记作了"(X).类似地，二阶导数的导数叫做三阶

导数，记作三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，n-1阶导数的导数叫做〃阶

导数，记作/(")(x)=[/("T(x)]24.②若neN*,定义

n!=wx(«-l)x(n-2)x---x3x2xl.③若函数/(x)在包含%的某个开区间(a,6)上具有〃阶

的导数，那么对于任一xw有

g(x)=〃％)+牛(尸/)+牛卜-/)2+空1(》-/)"..+。^口f)"，我

们将g(x)称为函数“X)在点X=X0处的〃阶泰勒展开式.例如，/="在点x=0处的〃阶

泰勒展开式为l+x+；x?H--1-x".

2n\

根据以上三段材料，完成下面的题目：

(1)求出工(x)=sinx在点x=0处的3阶泰勒展开式g/x),并直接写出力(尤)=cosx在点

x=0处的3阶泰勒展开式gz(x)；

(2)比较(1)中工(x)与4口)的大小.

(3)已知y=e”不小于其在点x=0处的3阶泰勒展开式，证明：ex+sinx+cosx>2+2%.

题型十：分段分析法、主元法、估算法

例28.(2024・贵州安顺•统考模拟预测)已知函数

(1)讨论函数〃x)的导函数的单调性；

721

(2)若———,求证：对Vx20,/(%)2一丁+%恒成立.

42

13

例29.(2024•山东泰安•校考模拟预测)已知函数/(无)=(〃z+l)x-机Inx-m.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)证明:当以£1,且x>l时，/(无)<4.

例30.若定义在R上的函数/(x)满足/(x)=.e2x-2+x2-2/(0)x,

g(x)=f—%2+(1-a)x+a,aeR.

(I)求函数解析式；

(ID求函数g(x)单调区间；

(HI)若x、y>加满足|x-根|qfy-加|,则称x比y更接近加.当a闫且xd时,

试比较2和/一+a哪个更接近历x,并说明理由.

x

变式15.已知函数/(x)=e*(sinx-办2+2a-e),其中aeR,e=2.71828…为自然对数

的底数.

(1)当a=0时，讨论函数/(x)的单调性；

(2)当^飞马时，求证：对任意的X£[O,+00),/(x)<0.

14

题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值

例31.已知函数/(x)=(/一工)4

(1)求曲线y=〃x)在原点处的切线方程；

(2)若/。)-5+6、为恒成立，求实数。的取值范围；

(3)若方程/(%)=冽(冽£R)有两个正实数根项，x,求证：|石-％21<—+冽+1.

2e

例32.已知函数/(x)=(x-1)》(％+1),曲线>=/(%)在点(1,0)处的切线方程为

y=kx+b(k,bGR).

(1)求左，6的值；

(2)证明：/(x)qkx+b；

_nJ

(3)若函数g(x)=/(x)+M(me尺)有两个零点X1,%,证明-----

m2

例33.设函数〃x)=x/"x.

(1)求曲线y=〃x)在点(I,7(摩))处的切线方程；

-2

(2)若关于x的方程/(X)=a有两个实根，设为匹，x2(x,<x2),证明：x2-%[<1+2a+e.

题型十二：函数与数列不等式问题

例34.(2024・四川成都•石室中学校考模拟预测)已知函数=

⑴若求实数。的值；

(2)已知〃eN*且"22,求证：sin-+sin-+---+sin-<lnn.

23n

例35.(2024•四川成都•石室中学校考模拟预测)已知函数=-x.

(1)若/(x)在xeR上单调递增，求。的值;

15

(2)证明：(l+l)(l+1)---(l+-^)<e2(〃cN*且"22).

例36.(2024・安徽黄山・屯溪一中校考模拟预测)已知函数/(无)=；x2-xlnx+deR).

(l)g(x)是〃x)的导函数,求g(x)的最小值;