北师大版七年级数学上册专项复习：基本平面图形（压轴题专练）（解析版）

第四章基本平面图形（压轴题专练）

1.已知。为圆锥的顶点，〃为圆锥底面上一点，点尸在0M上.一只蜗牛从P点出发，绕圆

锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示.若沿将圆锥侧面剪开并

展开，所得侧面展开图是（

0

00

【答案】D

【解答】解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和3错误，又

因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、。的

圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线上的点P应该能够与母线上的点（P）

重合，而选项C还原后两个点不能够重合.

故选：D.

2.如图，已知扇形A03的半径为2,圆心角为90°,连接A3,则图中阴影部分的面积是（）

A.TI-2B.Ti-4C.4TI-2D.4n-4

【答案】A

【解答】解：S阴影部分=5扇形048"S^OAB

90X冗X

-yX2X2

360

TI-2

故选：A.

3.点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、3表示的数分别为-3、1,若3c=2,则AC等

于（）

A.3B.2C.3或5D.2或6

【答案】D

【解答】解：此题画图时会出现两种情况，即点C在线段A5内，点C在线段A3外，所以

要分两种情况计算.

点A、5表示的数分别为-3、1,

AB=4.

第一种情况：在线段A3外，

ABC

-5-4-3-2-10；2345’

AC=4+2=6；

第二种情况：在线段内，

ACB

-5-4-2-1012i45

AC=4-2=2.

故选：D.

4.将一张纸按如图的方式折叠，BC、3。为折痕，则NC3D的度数为（）

A.80°B.90°C.100°D.110°

【答案】B

【解答】解：.••折叠前后两图形是全等形，

.\ZCBD=180°X2=90°.

2

故选：B.

5.由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】D

【解答】解：解法1：2点15分，分针指在数字3上，分针水平，

当2点30分时，分针指在数字6上，分针垂直于水平时的分针，故分针转的角度是90°；

解法2：因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°,

从2点15分到2点30分分针转过了三份，转过的角度为3X30°=90°.故选。.

6.如图，在△ABC中，CA=CB,ZACB=90°,以A3的中点。为圆心，作圆心角为90°

的扇形DER点C恰在M上，设(0°<a<90°),当a由小到大变化时，图中

阴影部分的面积()

B.由大到小

C.不变

D.先由小到大，后由大到小

【答案】C

【解答】解：作于M,DN人BC于N,连接DC,

,:CA=CB,ZACB=90°,

-48=45°,

DM=,DN=®BD=®AB,

2424

：.DM=DN,

...四边形DMCN是正方形，

:./MDN=94°,

/.ZMDG=90°-ZGDN,

VZ£DF=90°,

/.ZNDH=90°-ZGDN,

：.ZMDG=ZNDH,

在△DWG和△DNH中，

'NMDG=/NDH

<ZDMG=ZDNH-

DM=DN

ADMG%ADNH,

四边形DGCH的面积=正方形DMCN的面积，

正方形DMCN的面积=。舷2=1452,

8

•••四边形DGCH的面积=工1皿2,

O

•.•扇形FDE的面积=也吆口典1,

36016

••・阴影部分的面积=扇形面积-四边形DGCH的面积=（冗-2）杷2（定值）,

16

故选：C.

7.如图，在AABC中，AB=AC,AB=8,BC=12,分别以A3、AC为直径作半圆，则图中

阴影部分的面积是（）

A.64兀-12/B.16n-32C.16兀-24巾D.16H-1277

【答案】D

【解答】解：设半圆与底边的交点是D,连接AD

,..AB是直径，

：.AD±BC.

X'：AB=AC,

：.BD=CD=6.

根据勾股定理，得

AD=VAB2-BD2=2V7.

V阴影部分的面积的一半=以AB为直径的半圆的面积-三角形A3。的面积

=以AC为直径的半圆的面积-三角形ACD的面积，

••・阴影部分的面积=以AB为直径的圆的面积-三角形ABC的面积=16n-1X12X2/7=

16TT-124.

故选：D.

8.如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一幅图案，它是一扇形图形，其中NA03为120°,

OC长为8c/n,C4长为12c机，则阴影部分的面积为（）

A.64Tle加2B.112Tle加2C.144Tle加2D.\52ncm1

【答案】B

【解答】解：•：OA=OC+CA=20cm,S阴影部分二女。兀*2（）2_]20兀*8&=口21^^2.

360360

故选：B.

9.如图，一根5加长的绳子，一端拴在互相垂直的围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A

（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（）

17477

Xm2Cm2-^

Tl245ITD.

A.X12B.612

【答案】D

【解答】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5,

所以面积=90兀>25=.25兀祇2；

3604

小扇形的圆心角是180°-120°=60°,半径是1m,

则面积=N2L=2L(m2),

3606

则小羊A在草地上的最大活动区域面积=至±+2£=立兀(m2).

4612

故选：D.

10.如图，多边形的相邻两边均互相垂直，则这个多边形的周长为()

<--------------16---------------------►

A.21B.26C.37D.42

【答案】D

【解答】解：多边形的周长=16X2+5X2=42.

故选：D.

11.已知一条射线。4,若从点。再引两条射线和。C,使NAO3=80°,ZBOC=40°,

则NAOC等于()

A.40°B.60°或120°C.120°D.120°或40

【答案】D

【解答】解：如果射线。C在NA03内部，ZAOC=ZAOB-ZBOC=40

如果射线0c在NAOB外部，NAOC=NAO5+NBOC=120度.

故选：D.

12.如图，点M在线段AN的延长线上，且线段MN=20,第一次操作：分别取线段AM和

AN的中点Mi,M；第二次操作：分别取线段AMi和AM的中点“2,M；第三次操作：分

别取线段AMi和A7V2的中点M3,N3；连续这样操作10次，则每次的两个中点所形成

的所有线段之和M1N1+M2N2+-+M\0N10=()

AM%%MN1必

A-20vB.D.

C，2。/

【答案】A

【解答】解：：线段MN=20,线段AM和AN的中点Ni,

：.MiNi=AMi-ANi

^XAM-XAN

22

XCAM-AN)

2

XMN

2

1X20

2

10.

线段AMi和AM的中点Mi,N2；

：.M2N2=AM2-AN2

XAMI-Xwi

22

=_L(AMi-AM)

2

—Ni

2

=lxlx20

22

=_l_X20

22

=5.

发现规律：

MnNn=工义20

2n

M\Ni+M2N2+,**+MiQNI0

X20+X20+工X20+…+X20

iF23210

=20(•••+-1-)

22223210

=20（1-，）

210

=20-12.

29

故选：A.

13.如图所示，某公司有三个住宅区，A、3、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且

这三点在一条大道上（A,B,C三点共线），已知AB=100米，BC=200米.为了方便职

工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路

程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）

|-»400米w|»20除■|

4区5IXC区

A.点AB.点、BC.A,3之间D.B,C之间

【答案】A

【解答】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和=15X100+10X300=4500（米），

②以点B为停靠点，则所有人的路程的和=30X100+10X200=5000（米），

③以点C为停靠点，则所有人的路程的和=30X300+15X200=12000（米），

④当在A3之间停靠时，设停靠点到A的距离是如贝IJ（0<m<100）,则所有人的路程的

和是：30m+15（100-m）+10（300-m）=4500+5加>4500,

⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n,则（0<〃<200）,则总路程为30（100+〃）

+15n+10（200-〃）=5000+35n>4500.

该停靠点的位置应设在点人

故选：A.

二.填空题（共6小题）

14.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第

n个图形需要黑色棋子的个数是上垃

【答案】见试题解答内容

【解答】解：第一个是1X3,

第二个是2X4,

第三个是3X5,

第〃个是“•（”+2）=n2+2n

故答案为：n2+2n.

15.往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有10种不同的票价（来回票价一样）,

需准备20种车票.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：此题相当于一条线段上有3个点，

有多少种不同的票价即有多少条线段：4+3+2+1=10；

有多少种车票是要考虑顺序的，则有10X2=20.

16.如图，A是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点。（A与。点重合）.假设硬币的直

径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点4重合，则

点A'对应的实数是TT.

,:一

64）01234

【答案】见试题解答内容

【解答】解：将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A重合，则转过的距离

是圆的周长是n,因而点4对应的实数是n.

故答案为：TT.

17.如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条A3和AC的夹角为120°,A3长为30cm,

贴纸部分的宽为20cm,则贴纸部分的面积为_800冗_c源.

【答案】见试题解答内容

［解答］解：S=120兀X900_100兀X120=8002£cm2

3603603

18.如图，RtZXABC中，ZBCA=9Q°,NA4c=30°,AB=6.ZXABC以点3为中心逆时针

旋转，使点C旋转至A3边延长线上的。处，那么AC边转过的图形（图中阴影部分）的

【答案】见试题解答内容

【解答】解：根据旋转变换的性质，△ABC之AA'BC,

•；NBCA=90°,ZBAC=30°,AB=6,

：.BC=1AB=3,

2

19.已知线段MN,在MN上逐一画点（所画点与M、N不重合），当线段上有1个点时，共有3条线段，

当线段上有2个点时，共有6条线段；当线段上有3个点时，共有10条线段；直接写出当线段上有20

个点时，共有线段231条.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：由题意可得：当在MN上有20个点时，共有线段：1+2+3+…+20+21=2（1+21）义21=

2

231,

故答案为：231.

三.解答题（共U小题）

20.如图1,。为直线A3上一点，过点。作射线。C,ZAOC=30°,将一直角三角板（其

中NP=30°）的直角顶点放在点。处，一边。。在射线。4上，另一边OP与OC都在直

线A3的上方.将图1中的三角板绕点。以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周.

（1）如图2,经过/秒后，OP恰好平分N30C.

①求t的值；

②此时。。是否平分NAOC?请说明理由；

(2)若在三角板转动的同时，射线OC也绕。点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周,

如图3,那么经过多长时间0C平分NPOQ?请说明理由；

(3)在(2)问的基础上，经过多少秒0C平分NP03?(直接写出结果).

【答案】见试题解答内容

【解答］解(1)①•.•NAOC=30°,

AZBOC=180°-30°=150°.

/.ZCOP=1ZBOC=15°.

2

AZCOQ=90°-75°=15°.

：.ZAOQ^ZAOC-ZCOQ=30°-15°=15°.

所以/=15°4-3°=5秒；

②是，理由如下：

'：ZCOQ=15°,ZAOQ^15°,

：.OQ平分N49C；

(2)'：OC^ZPOQ,

：.ZCOQ=1ZPOQ=45°.

根据旋转的速度，设NAOQ=33ZAOC=30°+6t,

由NAOC-NAOQ=45°,可得30°+6/-3f=45°,

解得t=5秒；

所以5秒时OC平分NPOQ；

(3)设经过/秒后OC平分NPOB.

,.•。。平分/尸。3,

/.ZBOC=1ZBOP.

2

VZAOQ+ZBOP=90°,

/.ZBOP=90°-3t.

又N5OC=180°-NAOC=180°-30°-6t,

.•.180°-30°-6t=l(90°-3f),

2

解得—®秒.

3

21.如图，NA03为直角，NAOC为锐角，且0M平分N30C,ON平分NAOC.

(1)如果NAOC=50。，求NMON的度数.

(2)如果NAOC为任意一个锐角，你能求出NMON的度数吗？若能，请求出来，若不能,

说明为什么？

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)因为。M平分NBOC,ON平分NAOC

所以NM0C=JLN30C,ZNOC=1ZAOC

22

所以NMON=NMOC-ZNOC=1.(ZBOC-NAOC)

2

=1(90°+50°-50°)

2

=45°.

(2)同理，ZMON=ZMOC-ZNOC=1(ZBOC-ZAOC)

2

=1(ZBOA+ZAOC-NAOC)

2

=1ZBOA

2

=45°.

22.(1)如图，已知点C在线段AB上，且AC=6c/n,3C=4cm，点M、N分别是AC、3c的

中点，求线段MN的长度;

（2）若点C是线段A3上任意一点，且AC=a,BC=b，点、M、N分别是AC、3C的中点，

请直接写出线段MN的长度；（用/6的代数式表示）

（3）在（2）中，把点C是线段A3上任意一点改为：点C是直线A3上任意一点，其他条

件不变，则线段的长度会变化吗？若有变化，求出结果.

AVCVR

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）：AC=6c根，点”是AC的中点

.\CM=lAC=3cm

2

•.•5C=4c根，点N是的中点

:.CN=LBC=2cm

2

：.MN=CM+CN=5cm

**•线段MN的长度为5cm.

（3）线段MN的长度会变化.

当点C在线段上时，由（2）知

当点C在线段A3的延长线时，如图：

.4MRNC

则AC=a>BC=b

'：AC=a点M是AC的中点

:.CM=1AC=1^

22

•.•BC=b点N是3C的中点

：.CN=lBC=lb

22

：.MN=CM-CN=^^.

2

当点C在线段A4的延长线时，如图：

B

则AC=a<BC=b

同理可求：CA/=.lAC=-lz?

22

CN=LBC=U

22

：.MN=CN-CM=^Z1.

2

，综上所述，线段MN的长度变化，限若，掾，-

23.如图1,已知点C在线段A3上，线段AC=10厘米，3C=6厘米，点”，N分别是AC,

3c的中点.

I1111I」I

AMCNBACB

图1图2

（1）求线段MN的长度；

（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+3C=a,其他条件不变，求MN的长度；

（3）如图2,动点P、Q分别从A、3同时出发，点P以2c〃加的速度沿A3向右运动，终

点为5,点Q以lcm/s的速度沿A4向左运动，终点为A,当一个点到达终点，另一个点也

随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中

点？

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）•••线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M,N分别是AC,的中点，

.•.CM=2AC=5厘米，CN=_1BC=3厘米，

22

：.MN=CM+CN=8厘米；

（2）•.,点N分别是AC,的中点，

:.CM=XAC,CN=1BC,

22

：.MN=CM+CN=l.AC+l.BC=L；

222

（3）设运动/秒时，C、P、。三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点.

①当0<W5时，C是线段PQ的中点，得10—67,解得/=4；

②当5<W学寸，P为线段C。的中点，2/70=16-33解得片等

③当凶<±6时，。为线段PC的中点，6-t=3t-16,解得片旦；

32

④当6<tW8时，C为线段PQ的中点，2/-10--6,解得/=4（舍），

综上所述：f=4或空或旦.

52

24.已知A、3在数轴上分别表示a、b

(1)对照数轴填写下表：

a6-6-62-1.5

b40-4-10-1.5

A、3两点的距离20

(2)若A、3两点间的距离记为d,试问d和a、b(a<b)有何数量关系；

(3)写出数轴上到7和-7的距离之和为14的所有整数，并求这些整数的和;

IIIIII[IIIIJI[IIIIIIIII)

0

(4)若点C表示的数为x,当点C在什么位置时，|x+l|+|x-2|取得的值最小.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)对照数轴填写下表：

a6-6-62-1.5

b40-4-10-1.5

A、B两点的距离262120

(2)由(1)可得：d=|a-"或-a；

(3)只要在-7和7之间的整数均满足到7和-7的距离之和为14,有：-7、-6、-5、

-4、-3、-2、-1>0、1>2、3^4^5、6、7,

所有满足条件的整数之和为：-7+(-6)+(-5)+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)

+0+1+2+3+4+5+6+7=0；

(4)根据数轴的几何意义可得-1和2之间的任何一点均能使|x+l|+|x-2|取得的值最小.

故可得：点C的范围在：-1WXW2时，能满足题意.

25.如图，在射线0M上有三点A、B、C,满足。4=20cm,AB=60cm,BC=10cm(如图所

示)，点P从点。出发，沿方向以lc/n/s的速度匀速运动，点。从点C出发在线段C。

上向点。匀速运动(点Q运动到点。时停止运动)，两点同时出发.

(1)当PA=2PB时，点。运动到的位置恰好是线段A3的三等分点，求点Q的运动速度.

(2)若点Q运动速度为3c"加，经过多长时间P、。两点相距70cm.

(3)当点尸运动到线段A3上时，分别取OP和A3的中点E、F,求配空的值.

EF

OI1A___________________IR____CI_____M1/

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）①当P在线段A3上时，由及AB=60,可求得B4=40,0P=

60,故点尸运动时间为60秒.

若4。=地时，BQ=40,CQ=50，点。的运动速度为50+60=5（cm/s）；

36

若BQ=地时，BQ=20,CQ=30,点。的运动速度为30+60=1（cvn/s）.

32

②点P在线段A3延长线上时，由必=2P3及A3=60,可求得以=120,0P=140,故点

P运动时间为140秒.

若AQ=?时，52=40,。。=50,点。的运动速度为50・140=得（5加）；

若BQ=号"时，B2=20,CQ=30,点。的运动速度为30・140=得（cvn/s）.

（2）设运动时间为「秒,则什31=90±70,7=5或40,

:点Q运动到0点时停止运动，

•••点Q最多运动30秒，当点。运动30秒到点0时PQ=OP=3Qcm,之后点P继续运动

40秒，则

PQ=OP=70cm,止匕时，=70秒，

故经过5秒或70秒两点相距70cro；

(3)如图1,设OP=xc根，点尸在线段A3上，20W尤W80,OB-AP=80-(%-20)=100

-X,

EF=OF-OE=(OA+1AB)-0E=(20+30)-三=50-三，

222

.OB-AP-100-x

EF504

26.探究题：如图①，已知线段AB=14cm,点C为A3上的一个动点，点。、E分别是AC

和3c的中点.

②

(1)若点C恰好是A3中点，则DE=7cm；

(2)若AC=4cm,求DE的长；

(3)试利用“字母代替数”的方法，设AC=ac机请说明不论。取何值(a不超过14cm),

DE的长不变；

(4)知识迁移：如图②，已知NAO3=120°,过角的内部任一点。画射线。C,若。。、

0E分别平分NAOC和N30C,试说明NDOE=60°与射线0c的位置无关.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)•.23=14cm,点。、E分别是AC和3c的中点，

DE=DC+EC=1AC+1BC=IAB=7cm

222

故答案为：7；

(2)'：AC=4cm,AB=Ucm,

.\BC=AB-AC=10cm,

又•.,。为AC中点，E为BC中点，

CD=2cm,CE=5cm,

:.DE=CD+CE=7cm；

(3)AC=acm,

.,.BC=AB-AC=(14-a)cm,

又为AC中点，E为BC中点，

CD=^acm,CE=—(14-a)cm,

22

DE=CD+CE=Ao+A(14-a)=7cm,

22

，无论。取何值(不超过14)DE的长不变；

(4)设NA0C=a,ZBOC=120°-a,

".'OD^ZAOC,0E平分NBOC,

：.ZC0D=L(1,ZC0E=l.(120°-a),

22

：.ZDOE=ZCOD+ZCOE=La+l(120°-a)=60°,

22

：.ZDOE=6Q°,与OC位置无关.

27.如图1,点。为直线A3上一点，过。点作射线。C,使NAOC：ZBOC=1：2,将一直

角三角板的直角顶点放在点。处，一边在射线上，另一边ON在直线A3的下方.

（1）将图1中的三角板绕点。按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线上，

此时三角板旋转的角度为3_度；

（2）继续将图2中的三角板绕点。按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在NAOC的

内部.试探究NAOM与NNOC之间满足什么等量关系，并说明理由；

（3）在上述直角三角板从图1开始绕点。按30°每秒的速度逆时针旋转270。的过程中，

是否存在所在直线平分N30C和NAOC中的一个角，ON所在直线平分另一个角？若

存在，直接写出旋转时间3若不存在，说明理由.

图1图2图3备用图

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）根据旋转的性质可知：

旋转角为NMON=90。.

故答案为90.

（2）如图3：ZAOM-ZNOC=30°,理由如下：

VZAOC+ZBOC=180°,

ZAOC：ZBOC=1：2,

ZAOC+2ZAOC=1SO°,

/.ZAOC=60°,

/.ZAON+CON=60°,①

•：NMON=90°,

AZAOM+ZAON=90°,②

②-①，得/AOM-NCON=30。.

显c

ZB0M=6Q°,

•••三角板绕点。逆时针旋转60°,

此时f=60+30=2（秒）；

如图5,当ON平分NAOC时，所在直线平分N30C,

ZCON=30°,

，三角板绕点。逆时针旋转240°,

此时7=240+30=8（秒）.

当OM旋转150度时也符合要求，此时旋转了5秒.

答：旋转时间为2秒或5秒或8秒.

28.如图，两个形状.大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA,PB与直线

重合，且三角板以C,三角板尸3。均可以绕点尸逆时针旋转.

（1）试说明：ZDPC=90°；

（2）如图，若三角板必C的边心从PN处开始绕点P逆时针旋转一定角度,PR平分NAPD,

PE平分NCPD,求/EPF；

（3）如图，若三角板必C的边外从PN处开始绕点尸逆时针旋转，转速为3°/秒，同时

三角板P3D的边尸3从处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，在两个三角板旋转

过程中（PC转到与重合时，两三角板都停止转动）.设两个三角板旋转时间为。秒，则

ZBPN=180-2/,/CPD=90-t(用含有t的代数式表示,并化简)；以下两个结

论：①上更为定值；②/3尸附/。尸。为定值，正确的是

ZBPN

①(填写你认为正确结论的对应序号).

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)VZDPC=180°-ZCPA-ZDPB,ZCPA=6Q°,NDPB=30°,

：.ZDPC=180°-30°-60°=90°；

(2)设NCPE=NDPE=x,ZCPF=y,

则ZAPF=ZDPF=2x+y,