2025中考数学专项复习：与圆有关的位置关系【十六大题型】含答案

2025中考数学专项复习与圆有关的位置关系【十六

大题型】含答案

与凰有关的债置关系【十六大题型】

►题型梳理

【题型1点和圆的位置关系】...............................................................2

【题型2直线与圆的位置关系】............................................................4

【题型3求平移到与相切时圆心坐标或运动距离】............................................8

【题型4根据直线与圆的位置关系求交点个数】.............................................13

【题型5判断或补全使直线成为切线的条件】...............................................17

【题型6利用切线的性质求值】...........................................................19

【题型7证明某条直线是圆的切线】.......................................................22

【题型8利用切线的性质定理证明】.......................................................27

【题型9切线的性质与判定的综合运用】...................................................32

【题型10作圆的切线】...................................................................37

【题型U应用切线长定理求解或证明】....................................................41

【题型12由外心的位置判断三角形形状】..................................................47

【题型13求三角形外接圆的半径、外心坐标】...............................................48

【题型14由三角形的内切圆求值】........................................................52

【题型15与三角形内心有关的应用】......................................................57

【题型16三角形外接圆与内切圆综合】....................................................61

>举一反三

【知识点与圆有关的位置关系】

1.点和圆的位置关系

设。。的半径为T,点P到圆心的距离为OP=d,则有：

点P在圆外；

点P在圆上od=r；

点P在圆内od<r。

性质：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

定义:经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条

边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

2.直线和圆的位置关系

直线和圆有两个公共点时,我们说这条直线和圆相交。这条直线叫做圆的割线。

直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线和圆相切。这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。

直线和圆没有公共点时,我们说这条直线和圆相离。

设。。的半径为T,圆心。到直线I的距离d,则有：

直线Z和。。相交odVr；

直线，和。。相切od=r；

直线I和。。相离=d>T。

切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径。

经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。

切货长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹

角。

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的

内心。

【题型1点和圆的位置关系】

1.（2023•上海闵行•校联考模拟预测）矩形4BCD中，48=8,=3"，点P在边AB上，且=

3AP,如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）

A.点8,。均在圆P外B.点口在圆P外，点。在圆P内

C.点B在圆P内，点。在圆P外D.点8,。均在圆尸内

2.（2023・四川凉山・统考模拟预测）在Rt4ABe中，/C=90°,8。=3,AC=4,。为48的中点.以A

为圆心，「为半径作©4,若B、C、。三点中只有一点在。A内，则。4的半径r的取值范围是

（）

A.2.5O44B.2.5<r<4C.2.54rW4D.2.54rV4

3.（2023•四川成都・统考二模）已知P是。O内一点（点尸不与圆心。重合），点尸到圆上各点的距离中，

最小距离与最大距离是关于re的一元二次方程ax2-12ax-20=0的两个实数根，则。O的直径为

4.（2023•江苏扬州・统考一模）如图，矩形ABCD中，4B=3,4,点P是平面内一点，以P、B、C为

顶点的三角形是等腰三角形，则PD的最小值为（）

47

A.■—B.1C.■—D.2.5

55

【题型2直线与圆的位置关系】

5.（2023•河北秦皇岛•模拟预测）如图，已知ZACB=30°,CM=2,4W=5,以河为圆心，度为半径作。

M,。河与线段47有交点时，则T的取值范围是.

6.（2023・上海青浦•统考二模）如图，在直角梯形ABCD中，4D〃BC,AA=90°,E是AD上一定点，AB

=3,BC=6,4D=8,/E=2.点P是上一个动点，以P为圆心，PC为半径作。P.若。P与以

E为圆心，1为半径的。后有公共点，且。P与线段4D只有一个交点，则PC长度的取值范围是

7.（2023•河北秦皇岛•统考模拟预测）如图，线段BC=16cm,过点B在线段BC的上方作射线BA,且

tanZABC=今，动点。从点8出发,沿射线BA以1cm人的速度运动，同时动点Q从点。出发，沿线

段CB以2cm⑥的速度向点8运动，当点Q到达点口时，点O,Q都停止运动.以点。为圆心，08长

为半径的半圆与线段交于点。，与射线BA交于点P.连接PQ,设运动时间为力秒（t>0）

备用图

（1）求m的长（用含t的式子表示）

（2）当t为何值时，线段PQ与半圆O相切？

（3）若半圆O与线段PQ只有一个公共点，直接写出t的取值范围.

8.（2023•福建厦门•统考模拟预测）已知矩形RBCD,AD>AB

图1图2

（1）如图1,若点在以O为圆心，OA为半径的圆上，48=。8,求证：40=248；

（2）如图2,点E,尸分别在A。，边上，若点。，点。关于直线即对称的点分别为点B和点P,判断

直线DP与过A,E,F三点的圆的位置关系，并说明理由

【题型3求平移到与相切时圆心坐标或运动距离】

9.（2023•河南南阳•统考一模）如图，直线g=—,力一3交c轴于点4交9轴于点点P是多轴上一动

点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作。P,当。P与直线相切时，点P的坐标是（）

A.B.（一日,0）或（一?,0）

C.P°D.（一］,0）或（一居,0）

10.（2023•吉林松原•校联考二模）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的。P的圆心P的坐标为（一3,0）,

将。P沿工轴正方向平移，使。P与夕轴相交，则平移的距离d的取值范围是.

11.（2023•四川凉山・统考模拟预测）如图，在半径为5cm的。。中，直线/交。。于A、B两点，且弦48

=8cm,要使直线，与。。相切，则需要将直线Z向下平移（）

A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm

12.（2023•北京・统考二模）在平面直角坐标系力Og中，。O的半径为2.对于直线Z和线段BC,给出如下

定义：若将线段关于直线I对称，可以得到。。的弦B'C（B1,C分别是B,。的对应点），则称线

段是以直线2为轴的。O的“关联线段”.例如，图1中线段是以直线，为轴的。。的“关联线

⑴如图2,点B,G,玛，G,玛，&的横、纵坐标都是整数.

①在线段81G,B2c2，B3c3中，以直线。：y=2+4为轴的。O的“关联线段”是；

②在线段BG,B2C2,玛&中，存在以直线为：V=-T+b为轴的OO的“关联线段”，求b的值；

（2）已知直线/3：y=—V3x+m（m>0）交宓轴于点4在△ABC中，AB=6,_BC=2,若线段8c是

以直线23为轴的©o的“关联线段”，直接写出小的最大值与最小值，以及相应的AC的长.

【题型4根据直线与圆的位置关系求交点个数】

13.（2023•河北沧州•校考三模）题目：“如图，在电△ABC中，乙8=90°,48=3,47=5,以点B为圆心

的。8的半径为r,若对于T的一个值，。B与AC只有一个交点,求r的取值范围.”对于其答案，甲

答：r=4.乙答：3<r<4.丙答：「=孕.则正确的是（）

5

A.只有乙答的对B.甲、乙的答案合在一起才完整

C.乙、丙的答案合在一起才完整D.三人的答案合在一起才完整

14.（2023・湖南・中考真题）已知。O的直径等于12cm，圆心O到直线I的距离为5cm,则直线Z与。。的

交点个数为（）

A.0B.1C.2D.无法确定

15.（2023・江苏盐城・统考模拟预测）在矩形中，4口=8,6.点。为对角线AC上一点（不与

/重合），。。是以点。为圆心，AO为半径的圆.当。O与矩形各边的交点个数为5个时，半径O/

的范围是，

16.（2023・四川乐山・统考中考真题）如图，已知。4=6,OB=8,BC=2,0P与OB、AB均相切，点P是

【题型5判断或补全使直线成为切线的条件】

17.（2023•广东揭阳•统考一模）如图，AB是。O的直径，BC交©。于点D,DE±AC于点E,下列说法

不正确的是（）

A.若。E=L>O，则。E是。O的切线B.若则OE是。O的切线

C.若CD=DB,则RE；是。O的切线D.若OE是。O的切线，则=

18.（2023•天津西青•模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的。P的圆心P的坐标为（

—3,0）,将。P沿刀轴正方向平移，使。P与4轴相切，则平移的距离为.

19.（2023•吉林•一模）已知△4BC内接于OO,过点A作直线石F.

（1）如图1所示，若为。。的直径,要使石尸成为。O的切线，还需要添加的一个条件是.

（2）如图2所示，如果AB是不过圆心。的弦，且NCAE=,那么班是。。的切线吗？试证明你

的判断.

20.（2023•贵州•中考真题）如图，AB是。。的直径，交。。于点。，DE，人。于点E,要使。是。

O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是（）

A.DE=DOB.AB=ACC.CD=DBD.AC//OD

【题型6利用切线的性质求值】

21.（2023・安徽•校联考模拟预测）如图，已知4B是OO的直径，与。。相切于点8.若△ABC〜

△C8O,贝Usin/y1C®=

22.（2023•海南三亚・统考二模）如图，R4与。O相切于点A,PO与。。相交于点3,点。是。。上一

点，若AACB=32°,则NP的度数为.

23.（2023•安徽•模拟预测）如图，E是。。的直径AB延长线上一点，过点E作。O的切线EC,C为切

点，。是。O上一点（在直径AB的下方）.若NAEC=50°,则AADC的度数为.

24.（2023・广东汕头•汕头市第六中学校考一模）如图，△ABC内接于。O.是直径，过点人作直线

AW,且是。。的切线.

（1）求证：/.MAC=AABC.

⑵设。是弧AC的中点，连接AD交AC于点G,过点。作DELAB于点E,交AC于点F.

①求证：FD=FG.

②若BC=3,4B=5,试求AE的长.

【题型7证明某条直线是圆的切货】

25.（2023•江苏连云港•模拟预测）如图，直线Q4交。。于4、口两点，AE是。。的直径，点。为。。上

一点，且AC平分NE4E,过C作CDLB4,垂足为D

（1）求证：CD为。。的切线；

（2）若AC=5,NE=30°,求CD的长.

26.（2023•江苏淮安•校考模拟预测）如图，已知直线,与。O相离，O/，/于点4,交。。于点P,点B

是。O上一点，连接BP并延长，交直线Z于点C,使得AB=AC.

（1）判断直线与©O的位置关系并说明理由；

（2）PC=2A/6,。4=4,求线段P8的长.

27.（2023•广东肇庆•统考三模）如图，48是。O的直径，C,。是。O上的两点，且BC=DC,8。交/。

于点E,点斤在47的延长线上，BE=砂\

r

（1）求证：8F是0O的切线；

（2）若E9=6,cosAABC=孑,

①求B尸的长；

②求。。的半径.

28.（2023•广东茂名•统考三模）如图，是。O的直径，点E是劣弧8。上一点，APAD=AAED,^.

DE=V2,AE平分NBA。，AE与BD交于点F.

（1）求证：B4是。。的切线；

（2）若tan/DAEn亨，求EF的长；

（3）延长£©,48交于点。，若OB=BC,求。O的半径.

【题型8利用切线的性质定理证明】

29.（2023•广东江门•统考一模）如图1,已知4B是。。的直径，=2,。为圆上任意一点，过点。作圆

的切线，分别与过48两点的切线交于P,Q两点.

⑴求CPCQ的值；

（2）如图2,连接PB,AQ交于点双,证明直线MC±AB.

30.（2023•内蒙古包头•统考一模）如图，PA,PB是。。的两条切线，是切点,连接AO并延长,与PB

的延长线相交于点C,连接P。,交。。于点。，连接。

（1）求证：乙4尸O=NBPO；（用两种证法解答）

（2）若DP=。口,试探究PB与PD之间的数量关系,写出并证明你的结论.

31.（2023•四川•校联考模拟预测）如图，圆O中内接△ABC,过点A作圆O的切线Z,作直线CD使得

乙4CD=,并交4B于E.

（1）证明：CD〃Z；

（2）若侬=。4=2及4=2,求班的值；

（3）证明：8c2-ED=CE-BE-BA.

32.（2023•河南许昌・统考二模）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，书中以23个

定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题.其中，命题4.2的内

容是:给定一个三角形，可作圆内接相似三角形.

小冉想尝试对这个命题进行证明，于是根据书中命题的内容及图形的画法写出了已知和求证：

已知:如图1,ZVIBC为已知三角形，如图2,是。O的切线，D为切点，NEDH=ZB,AFDG=

ZC.

求证：尸〜△AC®.

小冉在图2的基础上,添加了辅助线;如图3,连接并延长OO,交。。于点P,连接PE,PF.

（1）请在小冉所添辅助线的基础上,求证：△DEF〜ZVICB；

（2）若AB=AC=5,BC=8,即=16,求OO的半径.

【题型9切线的性质与判定的综合运用】

33.（2023•广东肇庆•统考二模）如图,矩形ABCD中，AB=13,4D=6.点E是CD上的动点，以AE为

直径的©O与交于点尸，过点斤作FG±BE于点、G.

（1）当E是①的中点时：tan/EAB的值为；

（2）在（1）的条件下，证明：尸G是。。的切线；

（3）试探究：BE能否与。。相切？若能，求出此时BE的长;若不能,请说明理由.

34.（2023•山西太原・太原五中校考一模）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三

等分一个任意角”曾是数学史上一大难题,之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要,

发明了一种简易操作工具一三分角器.图1是它的示意图，其中4b与半圆O的直径在同一直线

上，且48的长度与半圆的半径相等，Z汨与AC垂直与点足够长.

使用方法如图2所示，若要把4MEN三等分,只需适当放置三分角器,使0B经过NVEN的顶点E,

点A落在边5M上，半圆。与另一边EN恰好相切，则EB，EO就把NMEN三等分了.

为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完

整,并写出“证明”过程.

已知:如图2,点O,。在同一直线上，EBLA。,垂足为点_

求证:______.

35.（2023•山东・统考中考真题）如图，已知48是。。的直径，CD=CB,理;切。。于点过点。作

CF_LOE交BE于点、F,若EF=2BF.

图1图2

⑴如图1,连接BD,求证：AADB笃△QBE；

（2）如图2,N是AD上一点,在AB上取一点河,使AMCN=60°,连接A请问：三条线段MN,

12

BM,ON有怎样的数量关系？并证明你的结论.

36.（2023•浙江杭州•校考二模）知：如图1,AB是。。的弦，点。是。O的半径OB的延长线上一点，将

△ABC翻折得到4ABe',AC交半径08于点D.

⑴求证：及7〃04

（2）若AC与。。相切.

①如图2,点。落在。。上，求sin。的值.

②如图3,若。4=10,AB=12,求的面积.

【题型10作圆的切线】

37.（2023・江苏南京•一模）过。。上一点A,可以用尺规按以下方法作出。O的切线；

①另取。。上一点口，以B为圆心，A3为半径作圆，将。B与。。的另一个交点记为点C；

②以A为圆心，AC为半径作弧，将。人与OB的另一个交点记为点。，作直线AD.

直线4D即为。。的切线.

如图，小明已经完成了作图步骤①.

（1）用尺规完成作图步骤②；

⑵连接AC,AB,BC,求证：4B平分/CAD；

（3）求证：直线AD为。O的切线.

38.（2023•福建福州・统考三模）如图，已知。。及圆外一点P,请你利用尺规作。的切线R4.（不写作

法，保留作图痕迹）

39.（2023・湖北•校联考三模）如图，在电△ABC中，乙4=90°,平分乙48C交CA于。点，。是上

一点，经过8、。两点的。。分别交8。、BA于点E、F.

D

（1）用尺规补全图形（保留作图痕迹,不写作法）；

（2）求证：CA与。O相切：

（3）当BD=，AABD=30°时,求劣弧BD的长.

40.（2023•山东・统考中考真题）如图，乙8尸。=120°,点4、。分别在射线PR、PD上，乙B4C=30°,AC

（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在人、。两点分别与射线PB和尸。相切.要求:写出作法，并保

留作图痕迹；

（2）根据（1）的作法,结合已有条件,请写出已知和求证，并证明；

（3）求所得的劣弧与线段上4、PC围成的封闭图形的面积.

【题型11应用切线长定理求解或证明】

41.（2023•河北邯郸•校考三模）如图，在四边形ABCD中，//=48=90°,4D=4,BC=W,sinC=§,

5

以AB为直径作。O,把。。沿水平方向平移x个单位,得到。O',A'B'为直径AB平移后的对应线

段.

•M

（1）当t=0,且M为。。上一点时，求。河的最大值；

（2）当日与。重合时，设。。与CD相交于点N,求点N到AB的距离；

⑶当。。与CD相切时，直接写出宓的值.

42.（2023•山东威海・统考一模）如图，©O的直径AB=12,AM,BN是0O的两条切线，切。。于

E,交BN于C,设AD=:E,BC=y.

⑴求证：AB2=4D£>CE；

（2）求夕与t的函数关系式；

⑶若立，夕是方程2/—3Cte+a=0的两个根，求△OCD的面积.

43.（2023•北京石景山•统考二模）如图，AO是。。的直径，P是。。外一点，连接PO交。。于点C,

08,2。分别切。。于点氏。,连接48,47.

（1）求证：AB//OP；

⑵连接若弘=22，tanNBAD=2,求PC长.

44.（2023•广东中山・统考三模）如图，已知是。O的直径，/B=2,。为圆上任意一点，过点。作圆的

切线，分别与过A,B两点的切线交于尸，Q两点.

⑴求CP・CQ的值；

（2）如图，连接PB,AQ交于点证明直线MG,

【题型12由外心的位置判断三角形形状】

45.（2023•江苏无锡•模拟预测）下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）同

弧或等弧所对的圆周角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边

上的三角形是直角三角形;其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

46.（2023•浙江温州•模拟预测）如果三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形

47.（2023•河北沧州•模拟预测）当一个三角形的内心与外心重合时，这个三角形一定是（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形

48.（2023•广西玉林•统考中考真题）如图，在5x7网格中，各小正方形边长均为1,点O,A,B,C,D,E

均在格点上，点。是4ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是

O的三角形都写出来.

【题型13求三角形外接圆的半径、外心坐标】

49.（2023・湖北武汉•校考模拟预测）如图，/\ABC中，AB=AC,。O是△ABC的外接圆，BO的延长线

交边47于点。.

（1）求证：ZBAC=2NABD；

（2）若AD：。。=2:3,BC=2小时，求。。的半径.

50.（2023•江苏南京・统考一模）如图，△ABC内接于。O,ABAC=45°,ADLBC,垂足为。，BD=6,

。。=4.

（1）求。。的半径；

（2）求AD的长.

51.（2023•浙江温州•校考一模）如图，△ABC在平面直角坐标系中，点4（—1,1）

(1)利用网格确定△ABC的外接圆的圆心坐标为;

(2)作出△ABC的外接圆；

(3)利用直尺作出乙4cB的角平分线.

52.(2023•山东济宁•校考二模)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为/(-2,1),

仇一1,4),C(—3,2)

(1)以原点O为位似中心，位似比为2:1,在沙轴的左侧画出△ABC放大后的；

(2)在⑴中，若点M(m,n)为线段上任一点，写出变化后点河的对应点M'的坐标.

(3)直接写出△45G外接圆的圆心。坐标.

【题型14由三角形的内切圆求值】

53.(2023•黑龙江鸡西•校考三模)如图，在直角坐标系中，一直线I经过点M(V3,1)，与步轴、4轴分别交

于两点，且31=儿位,若。Oi是△4BO的内切圆，。。2与。5、八“轴分别相切，与。

C)2、l、y轴分别相切，……按此规律，则。。2023的半径「2023=.

54.(2023•福建泉州•模拟预测)作图题:如图,在矩形ABCD中，已知AD=10,AB=6,

D

（1）用直尺和圆规在AD上找一点E,使EC平分NBED,（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求△CDE内切圆半径r的值.

55.（2023•山东淄博・统考一模）如图，在放A4BC中，乙4=90°,点。，E分别在AC,上，且CD-SC

=AC-CE,以E为圆心，DE长为半径作圆，。后经过点B,与AB,分别交于点尸，G.

（1）求证：AC是OE的切线；

（2）若4F=4,CG=5,求OE的半径；

（3）在（2）的条件下，若放的内切圆圆心为/，直接写出血的长.

56.（2014•江苏南京・统考中考真题）如图，在电△ABC中，乙4cB=90°,AC=4cm,BC=3cm,。。为

△ABC的内切圆，

（1）求。。的半径；

（2）点P从点口沿边A4向点A以点lcm/s的速度匀速运动，以点尸为圆心，尸口长为半径作圆，设点

P运动的时间为ts,若。P与。。相切，求t的值.

【题型15与三角形内心有关的应用】

57.（2023•陕西西安・西安市铁一中学校考模拟预测）综合与实践：（1）如图（1）,有一块三角形材料△ABC,

准备裁剪成一个面积最大的圆形，已知90°,3,AC=4,求裁剪出的最大圆形面积•.M

（2）如图（2）,市政部门准备把一块四边形区域改造成公园,计划在主干道AB上确定大门M的位置，

且在双与另外两个小门E、尸连接而成的三角形区域内设计一个面积尽可能大的圆形花园，部分数据

如下：/8=/。=60°,郎=00=2E。=400米,点斤为。0的中点,请按市政要求确定州的位置，

画出图形并求出®W■长和最大的圆形花园的面积.

图(1)图⑵

58.（2023•江苏镇江•统考中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步.问勾中容圆，径几

何？”译文:现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步.问这个直角三角形

内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长,求得斜

边的长.用直角三角形三条边的长相加作为除数,用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数,计算所

得的商就是这个直角三角形内切圆的直径.根据以上方法，求得该直径等于步.（注:“步”为

长度单位）

X

股15人弦

勾8

59.（2023・四川宜宾・统考中考真题）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小

正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形的内切圆半径为3,小正方形的面积为49,则

大正方形的面积为.

60.（2023•河北•一模）如图，三条笔直的小路a,b,c相交围成一个三角形公园ABC,在△ABC的内心/处

修建了一个凉亭，过凉亭的小路d〃c,并分别与AABC的两边AB、AC相交于点。、E,=150m,

小路c与d之间相距60小，如果从凉亭分别向a,b,c修建一条石板路,那么这三条石板路的长度之和

最小为巾；若游人从8处出发，沿8-。-/一£-C的路线，到达。处,那么所走的这段路程

长为m.

【题型16三角形外接圆与内切圆综合】

61.（2023・浙江•校考三模）如图，©O是RtZVLBC的内切圆，/8=90°.

⑴若4B=4,BC=3,

①求人必人8。外接圆的半径；

②求RtAABC内切圆的半径；

⑵连接49并延长交于点。，若4B=6,tan/CAD=4，求此。。的半径.

62.（2023•福建厦门•统考二模）如图，在△ABC中，4。=8。=4,乙4cB=90°,。。是△4BC的外接圆,

连接。。并延长交。O于点。，连接8。,点E是△ABC的内心.

（1）请用直尺和圆规作出点E,证明=OE；

（2）求线段CE长.

63.（2023•湖北武汉•一模）在锐角AABC中，BC=2函，乙4=45°.

A

D

图2

（1）如图1,求△ABC外接圆的直径；

（2）如图2,点/为AABC的内心，AI的延长线交外接圆于。,

①求证3。=皿；

②若4B=6,求AABC内切圆的半径（不需化简）.

64.（2023・湖南•统考中考真题）如图，在△ABC中，4D是边上的中线，ABAD=ACAD,CE//AD,

CE交所1的延长线于点E,BC=8,AD=3.

⑴求CE的长；

（2）求证：为等腰三角形.

（3）求AABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离.

22

与凰有关的位置关系【十六大题型】

►题型梳理

【题型1点和国的位置关系】...............................................................2

【题型2直线与国的位量关系】............................................................4

【典型3求千普到与相切时心坐标我运动距高】............................................8

【题型4根据直假与用的征，关系求交点个数】.............................................13

【题型5判断或朴金便宜畿成为切铁的条件】...............................................17

【题型6利用切假的性质求值】...........................................................19

【题型7证明某条直假是BI的切线】.......................................................22

【题型8利用切侵的性质定理证明］.......................................................27

【题型9切线的性质与判定的嫁合运用】...................................................32

【题型10作BI的切鳗】...................................................................37

【慝型11应用切线长定理求解或证明】....................................................41

【慝型12由外心的位置判断三角形形状】..................................................47

【题型13求三角财外接国的军径、外心坐标】...............................................48

【题型14由三角型的内切事求值】........................................................52

【题型15与三角府内心有关的应用】......................................................57

【题型16三角爵外接国与内切U绿合】....................................................61

>举一反三

【知识点与圆有关的位置关系】

1.点和圆的位置关系

设。。的半径为T,点P到圆心的距离为OP=d,则有：

点P在圆外Qd>r；

点P在圆上od=r；

点P在圆内od<r。

性痛:不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

定义，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条

边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

2.直线和圆的位置关系

直线和圆有两个公共点时,我们说这条直线和圆相交。这条直线叫做圆的割线。

直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线和圆相切。这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。

直线和圆没有公共点时,我们说这条直线和圆相离。

设。。的半径为T,圆心。到直线I的距离d,则有：

直线Z和。。相交odVr；•M

直线，和。。相切0d=r；

直线Z和。O相离Qd>r。

切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径。

经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。

切货长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹

角。

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的

内心。

【题型1点和圆的位置关系】

1.（2023•上海闵行•校联考模拟预测）矩形4BCD中，48=8,3"，点P在边AB上，且=

3/P,如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）

A.点8,。均在圆P外B.点口在圆P外，点。在圆P内

C.点B在圆P内，点。在圆P外D.点8,。均在圆尸内

【详解】解:如图，Dc

•.•四边形ABCD为矩形，\/

：.AD^BC^3V5,\

AB=8,BP=3AP,_______

：.AP=2,BP=6,PB

在RtLADP中，4P=2,AD=3VK,

/.PD=VAP2+AD2=7,

在Rt/\PBC中，,：PB=6,BC=3A/5,

：.PC^^PB2+BC2=9,

：.PC>PD>PB,

.♦.点B在圆P内，点。在圆P外.

故选：C.

【点睛】本题考查了点与圆的位置：设。O的半径为丁,点、P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外。d

>r;点P在圆上。d=r;点P在圆内Qd<r.

2.（2023・四川凉山•统考模拟预测）在R1△ABC中，/C=90°,80=3,47=4,。为AB的中点.以A

为圆心，「为半径作。4,若口、C、。三点中只有一点在。入内，则04的半径r的取值范围是

（）

A.2.5Vr44B.2.5<r<4C.2.5<r<4D.2.54r<4

【详解】•.•在RtZXAB。中，BC=3,AC=4,

AB=y/AC^+BC2=A/42+32=5,

•.•。为AB的中点,

：.AD=^-AB=^~.

22

由上图可知，当0A的半径r==时，点。在。A上,

当。入的半径r=47=4时，点。在。人上，点。在圆内，

当。力的半径r=AB=5时，点B在。A上，点。、。在圆内，

当。人的半径满足-<rW4时，点。在OA内，

当。人的半径满足4<rW5时，点。、。在OA内，

当0A的半径满足r>5时，点B、。在。?1内，

若B、C、。三点中只有一点在。A内，则©A的半径r的取值范围是卷Vr44.

故选：A

3.（2023•四川成者B•统考二模）已知P是©O内一点（点P不与圆心O重合），点P到圆上各点的距离中,

最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程ax2-12ax-20=0的两个实数根，则。O的直径为

【详解】解：是。。内一点，

.•.OO的直径为最小距离与最大距离的和，

最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程ax2—12QC-20=0的两个实数根，

O的直径为一二^=12,

a

故答案为：12.

【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的

关系.

4.（2023•江苏扬州・统考一模）如图，矩形ABCD中，4B=3,4,点P是平面内一点，以P、3、C为

顶点的三角形是等腰三角形，则的最小值为（）

D

C

B

A，AB.1C—D.2.5

A55

【详解】如图，分别以B,C为圆心BG的长为半径，作。B,OC,作8。的垂直平分线，则符合题意的点P,

在。B,。。以及BC的垂直平分线上，

当P位于CD的延长线与。。的交点时，取得最小值，

•.•四边形ABCD是矩形，AB=3,BC=4,

:.BC=4,DC=3

：.PD=PO—_DC=4—3=1,则最小值为1

故选B

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，等腰三角形的性质，根据题意作出两圆一线是解题的关键.

【题型2直线与圆的位置关系】

5.（2023•河北秦皇岛•模拟预测）如图，已知乙4cB=30°,CM=2,AM=5,以M为圆心，r为半径作。

M,。及与线段AC有交点时，则r的取值范围是.

【详解】解:过M作AC于H,如图所示:

,:CM=2,/ACB=30°,

•：AM^5,。河与线段人。有交点，

/.r的取值范围是1WrW5,

故答案为：lWr45.

【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系：设。。的半径为r,圆心O到直线，的距离为d,若直线，和（DO

相交Qd<r;直线/和。O相切od=r;直线Z和OO相离。d>r.

6.（2023•上海青浦・统考二模）如图,在直角梯形48。0中，40〃及7,乙4=90°,E是AD上一定点，AB

=3,BC=6,AD=8,AE=2.点P是上一个动点，以P为圆心，PC为半径作。P.若。P与以

E为圆心，1为半径的©E有公共点，且0P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是

E

AD

【详解】解：根据题意可知：P。的最小值为圆P与AD相切，切点为河，如图所示:

：.PM_LADf

在直角梯形ABCD中，

・・•AD//BC,

・•.ZABC=ZA=90°,

・・・四边形ABP7W是矩形，

：.PM=AB=PC=3f

最大值为圆P