安徽省亳州市2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题（解析版）

2023-2024学年度九年级第二次质量检测数学试题

一、选择题（共40分）

1.下列各式中，y是关于尤的二次函数的是（）

2。

A.y=2x-b3B.y=—C.y=（x-1）?-x2D.y=3x2-1

x

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数的定义逐一判断即可求解.

【详解】解：A、y=2x+3是一次函数，故不符合题意；

B、y=2是反比例函数，故不符合题意；

X

c、y=（x—1）2—尤2=—2%+1是一次函数，故不符合题意；

D、丁=3炉—1二次函数，故符合题意；

故选D.

【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键.

2.若（加+〃）：〃=7:4,则m:〃的值是（）

A.4:3B.7:4C.3:4D.4:7

【答案】C

【解析】

【分析】利用比例的性质求得7〃=4（加+〃），整理求得3"=4加，据此即可求解.

【详解】解：（加+九）：:=7:4,

7〃=4（加+〃），即7〃=4m+4〃，

/.3n=4m,

m:n=3:4,

故选：C.

【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质”两外项的乘积等于两内项的乘积”是解题的关键.

3.全国爱眼日是每年的6月6日，眼睛是人类感官中最重要的器官之一，不当的用眼习惯会导致眼部疾

病，其中长期观看电子产品对眼睛的损害会造成不可逆的损伤.下图是视力表的一部分，其中开口向下

的两个“E”之间的变换过程是（）

标准对数视力表

Hl

UJM

mE#

A.折叠B.位似C.对称D.平移

【答案】B

【解析】

【分析】根据折叠、位似、对称、平移的相关概念进行判断即可.

【详解】解：开口向下两个“E”方向相同、形状相似，但位置和大小不同，

而且每组对应点所在直线都经过同一个点，所以属于位似，

故选：B.

【点睛】本题考查位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，解题的关键是注意：平移、旋转、对称、

折叠的图形都是全等形，而位似的图形不是全等形.

4.如图，在.-ABC中，点。在边A8上，BD=3AD,DE〃BC交AC于点、E,若线段AE=2.5,则

线段AC的长为（）

A.10B,7.5C.15D.20

【答案】A

【解析】

【分析】由。可证得然后由相似三角形的对应边成比例求得答案.

【详解】解：石〃5C,

:.AADE^AABC,

,ADAE

,,一,

ABAC

BD=3AD,

,AD_AE_1

-AC~4'

AE=2.5f

,2.5_1

"AC-4

「.AC=10

故选：A.

【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质.此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用.

5.已知二次函数y=af+6x+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中错误的是（）

X-2012

y7-1-2-1

A.抛物线开口向上

B.抛物线的对称轴是直线％=1

C.方程or?+Z?x+c=0一个解的范围—2＜九＜0

D.抛物线与y轴交于正半轴

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数的相关知识对各选项分析判断后利用排除法求解.

【详解】解：由题意得，当x＜l时，y随x的增大而减少，则抛物线开口向上，故A不符合题意;

.当x=0和x=2时，y的值都是-1,

0+2

抛物线的对称轴是x=——=1,故B不符合题意；

2

时，y=7＞0；*=0时，y--l,

；•方程依2+Zw+c=0一个解的范围一2＜尤＜0,故C不符合题意；

,.,%=0时，y=-l,

抛物线与y轴交于负半轴，故D符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.

ABBCBCAC

6.在△ABC与、ABC中，有下列条件：①②----=---③--ZA=ZA'；④

B'C'AC

ZC=ZC,下列组合不能判断AABC^AAB'C的是（

A.①②B.①④C.②④D.③④

【答案】B

【解析】

【分析】利用相似三角形的判定依次判断即可求解.

BC…BCAC

【详解】解：V®---------，②--------=--------

A!B'B'C'B'C'A!C

ARRrAr

••・7T=F7=F7，•••△MCSAA'5'C'；选项A不符合题意；

ABBCAC

①器；=*!；,®ZC=ZC,,不能判定△ABCs^AB'C'；选项B符合题意;

②需=隽，®ZC=ZC,AABC^AAB'C；选项C不符合题意；

③NA=NA'；®ZC=ZC,：■AABC^AB'C；选项D不符合题意;

故选：B.

【点睛】本题考查了相似三角形判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

7.若点(—2,%),(—1,%)，(2,%)在抛物线,=(%+1)2-4上，则%，为，内的大小关系是()

A.%<为<%B.为<%<MC.%<%<%D.%<%<%

【答案】C

【解析】

【分析】先求出函数的对称轴，再结合函数的开口方向和增减性，即可进行解答.

【详解】解：：抛物线y=(x+l)2—4,

对称轴为直线x=—1,

.•.点A到对称轴的距离为：-1-(-2)=1,

点8到对称轴的距离为：—1—(—1)=0,

点C到对称轴的距离为：2-(-1)=3，

a=1>0,

.•.函数开口向上，离对称轴越远，函数值越大

VO<1<3,

%<%<%•

故选：C.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握当函数开口向上时，离对称轴

越远，函数值越大；当函数开口向下时，离对称轴越远，函数值越小.

8.两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点P是线段A3上一点(AP>5尸)若满

足——=——（AP是旅和A3的比例中项），则称点尸是A5的黄金分割点.一般认为一个人如果肚脐

APAB

以上的高度与肚脐以下的高度比符合黄金分割（黄金比接近0.618）,会给人一种特别的美感.如图，某

女士身高165cm,下半身长100cm,为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为多少厘米.若

设高跟鞋的高度大约为多少xcm,则x满足的方程是（）

100+%100+%100+%_6565

A.=0.618B.=0.618D.=0.618

165+x165165-100+x100+%

【答案】A

【解析】

【分析】表示出下半身、全身的高度，再根据下半身+全身=0.618,求出鞋子的高度..

【详解】解：设高跟鞋的高度大约为xcm,

由题意可得：100+X=0.618,

165+%

故选：A.

【点睛】本题考查了分式方程在黄金分割比的应用，掌握分式方程的列出和黄金分割比的式子是本题关

键.

9.不论"z为何值，抛物线y=2（x—m）一+m的顶点总在直线（）

A.直线y=X上B.直线y=-X上C.x轴上D.y轴上

【答案】A

【解析】

【分析】直接求得顶点坐标为（/%m）,即可判断顶点所在直线.

【详解】解：,.,y=2（x-7〃）~+7〃,

，顶点坐标是m）,

顶点在直线y=x上.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是求得抛物线的顶点坐标.

10.如图，已知四边形ABCD是矩形，点尸在的延长线上，DC=CF."与5。相交于点G,

与CD相交于点E,BD±AF.则下列结论正确的是（）

①ABCD^AECF；②如果AZ)=1,CF=^^-；③GF-DG=eCG；®ZCGE=45°.

A.①②B.①③④C.③④D.①②③④

【答案】B

【解析】

ADDE

【分析】利用ASA证明神⑺四△ECF,再证明.AD石s,/CE,推出一二——，得至U

CFCE

。口=避上1,在FG上截取EH=OG,连接C”,证明△CHG为等腰直角三角形，据此求解即可.

2

【详解】解：：四边形ABCD是矩形，BD±AF,

：.ZDCB=ZFCE=ZFGB=90°,ZF=90°-ZDBC=ZBDC,又DC=CF,

：.ABCD^AECF(ASA),①正确；

.四边形A6CD是矩形，

：.AD//BC,

：.ADEsjCE,

.ADDE

,•CF-CE'

VAD^BC=CE=1,DE=CD-CE=CF-1,

•1_CF—1

"CF~-1-'

解得仃=叵口，②错误;

2

在FG上截取EH=OG,连接C/T.

B

由（1）可知：ZF=ZCDG,

又；CF=CD,

：..CFH-CDG（SAS）,

:.ZFCH=ZDCG,CH=CG.

又•:/FCH+ZHCD=90°,

AZDCG+ZHCD^90°,即：ZHCG=90°

△CHG为等腰直角三角形.

:.HG=®CG，ZCGE=45°,④正确；

*'•GF-DG=FG-FH=HG=y/2CG>③正确；

综上，①③④正确.

故选：B.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性

质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

二、填空题（共20分）

H.如图，己知二次函数必=。必+加；+。与一次函数%=丘+根的图象相交于41一1，"|］、-g

两点，则关于X的不等式+6%+c<区+"?的解集是

【答案】-I<x<3##3>x>-1

【解析】

【分析】抛物线与直线相交及抛物线在直线上方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集.

【详解】解：由图可知，当产一1或X=3时，抛物线％=aV+云+。与直线上="+也相交,

当一l<x<3时，抛物线y=ax2+。％+。在直线>=履+租下方,

OJC+bx+c<kx+m的解集是一l<x<3.

故答案为：—l<x<3.

【点睛】本题考查利用图象法求不等式的解集，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟

练运用数形结合思想.

12.已知二次函数y=必一4x+2,当2<x<5时，y的取值范围内是.

【答案】-2WyW7

【解析】

【分析】先把函数化成顶点式y=(x-2)2—2,求出二次函数的最小值，再求出当x=5对应的y值，

最后求出最大值和最小值即可.

【详解】解：二次函数>=必一4x+2化为顶点式为y=(x-2)2—2,

,**a=1>0,

二次函数有最小值为y最小值=-2,此时x=2,

当x=5时，y=(5—2)2—2=7,

...该函数在2<x<5的取值范围内，y的取值范围内是—2WyW7,

故答案为：—2WyW7.

【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的最值，能把函数化成顶点式和求出当x=5对应的y值

是解此题的关键.

13.《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释

了光的直线传播原理，如图所示的小孔成像实验中可简化为数学问题：AA与88'相交于点。，

AB//MN.若点。到A3的距离为12cm,点。到的距离为20cm,蜡烛火焰倒立的像的高度

43'是8cm,则蜡烛火焰的高度AB是cm.

【答案】4.8

【解析】

【分析】先证明△OA5”△043',再根据相似三角形对应高的比等于相似比得到铠=丝=3,即可

A'B'205

得到答案.

【详解】解：〃儿W

ZOAB=ZOAB',ZOBA=ZOB'A1

：.ZOAB^ZOAB'

又:点。到AB的距离为12cm，点0到MN的距离为20cm,

•钻_12_3

*'A7^7-20-5,

33

AAB=-A,B,=-x8=4.8（cm）.

故答案为：4.8.

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟知“相似三角形对应高的比等于相似比”是解题的关

键.

14.如图，矩形EFGH内接于，ABC,且边FG落在3C上，若ADIBC,BC=6,AD=4.

（1）若EF:EH=2:3,则EH=；

（2）若点E是A8边上的动点，设所=x,矩形EFGH面积为y,则y与彳的函数关系式为.

【答案】①.3②.y=-1x2+6x（O<%<4）

【解析】

2

【分析】（1）设交于点K,先证明然_1_硝，四边形EFDK是矩形，则。K=M=§

2

EH,再证明得必=4£,于是有EH4—3EH,即可求得即=3,得到

BCAD--=———

64

问题的答案；

（2）同理，用尤表示出的长利用矩形的面积公式即可求解.

【详解】解：（1）如图，设AD交EH于点K,

RDG

•..四边形EFGH是矩形，且边尸G落在上,

：.EH//BC,ZKEF=ZEFD=90°,

：AD_ZBC于点。，

：.ZAKE=ZKDF=9Q°,

：.AK±EH,四边形EEDK是矩形,

■:EF:EH=2:3,

：.DK=EF=-EH,

3

•••/\AEH^ZXABC,

.EHAK

••正一茄‘

,/BC=6,AD=4,

：.EH4-JEW

64

：.EH=3,

故答案为：3,

EHAK

(2)由(1)得,

~BC~AD

,；BC=6,AD=4,EF=KD=x,

:.AK=4—x，

.EH4-x

••一,

64

3

EH=-（4-x）,

33

...矩形跖0//面积为丁=5（4-兀）子=-5%2+6兀（0<%<4）.

3

故答案为：y=--x2+6%（0<%<4）.

【点睛】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质，证明6c并且根据“相似

三角形的对应边上的高的比等于相似比”列方程是解题的关键.

三、解答题(共90分)

15.已知抛物线y=必-笈+c经过点A(TO),5(3,0),求抛物线的解析式.

【答案】y=x2-2x-3

【解析】

【分析】利用待定系数法即可求解.

【详解】解：将A(-LO),5(3,0)代入丁=必—。%+(?得：

O=l+b+cb=2

，解得：＜

0=9—3/7+cc=—3,

抛物线的解析式为：y=x2-2x-3.

【点睛】本题考查了待定系数法，熟练掌握其待定系数法求函数解析是解题的关键.

16.如图，在网格图中(小正方形的边长为1),的三个顶点都在格点上.

(1)以点。为位似中心，将一A5c扩大为原来的2倍，得到△AgG，点3的对应点在第一象限;

(2).A6C的内部一点M的坐标为(加,〃)，写出点/在△4片£中的对应点Mi的坐标；

(3)直接写出△A与G的面积是多少.

【答案】⑴见解析⑵Mx(-2m,-2n)

(3)8

【解析】

【分析】(1)根据位似图形的定义作图即可；

(2)根据位似图形的定义可得横纵坐标都变为原来的2倍且符号相反，即可求解

(3)直接根据三角形面积公式求解即可.

【小问1详解】

如图所示：

【小问2详解】

解：根据“以点。为位似中心，将一ABC扩大为原来的2倍，得到△44。一点2的对应点在第一象

限”可知，横纵坐标都变为原来的2倍且符号相反,

Mx(~2m,-2n)；

【小问3详解】

解：△4片。1的面积：gx4x4=8.

【点睛】本题考查作位似图形以及位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题的关键.

17.在封闭的电路中，当电压一定时，电流/（A）与电阻R（O）之间成反比例关系，满足关系式

I=*（R>0）,已知在一封闭电路中，当电压。=10V时，回答下列问题:

（1）直接写出电路中的电流/（A）与电阻R（。）之间的函数关系式;

（2）画出该函数的大致图象.

【答案】（1）/=^（7?>0）；

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据反比例函数的性质即可解决问题.

（2）列表，描点、连线，画出函数图象即可.

【小问1详解】

解:•・•/=g(R>o)，

U=10V,

/=3氏>0)；

【小问2详解】

解：列表,

XL2345L

105

yL52L

2

【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是理解反比例函数的定

义，灵活运用所学知识解决问题.

18.如图，在平行四边形ABCD中，点G是延长线上一点，AG与BD交于点E,与。C交于点

F,求：

（1）写出图中所有的相似三角形（全等除外）；

（2）选择其中的一对相似三角形进行证明.

【答案】（1）相似三角形有5对；①△ABEskDE；②LFDAS_FCG；③&ADES_GBE；④

ABG^FDA；⑤△ABgkCG；

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长

线）相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解；

（2）根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相

交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解.

【小问1详解】

解：在平行四边形ABCD中，AB//CD,

所以，①△ABEs"DE,

AD//BC,

所以，②&FDA^FCG,③aADEs,GBE,

所以④/ABW.EDA,⑤△ABGs4FCG,

故图中相似三角形有5对；®Z\ABE^Z\FDE；②&FDA^.FCG；③.ADEs.GBE；④

_AB3_FDA；⑤△ABWkCG；

【小问2详解】

证明：•••AB〃CD,

•*./\ABE^/\FDE；

AD//BC,

:*jFWFCG；.ADES_GBE；

•：AD//BC,ZABG^ZADF,

：.ZG=ZFAD,

：.^ABG^FDA,

'：AD//BC,

：.Z\ABG^/\FCG.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延

长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，要注意A5G与△EDA都与"CG相似，所以也相

似，这也是本题容易出错的地方.

19.观察如下四个图形，并根据图中规律回答相关问题.

A

G/••■

在图1中，。是二ABC中AB边的二等分点，图2中。、E是AB边的三等分点，图3中。、E、F是

A5边的四等分点……图4中。、E、F、G是A3边的”等分点，过各等分点的线段分别与底边平

行.设一ABC的面积为S,过各等分点与底边平行的线段分三角形各部分的面积分别为：邑、

53……Sn,由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方可得:

22-12

①当。是AB边的二等分点：S,=——S；

222

②当。、E是A3边的三等分点：§3二3二2s；

332

42-32

③当。、E、尸是AB边的四等分点：S,=—^-S

442

按照以上规律，解决下列问题：

(1)写出第④个等式：$5=.

(2)请你猜想出5”的结果(用含"的式子表示)，并验证你的猜想.

52-42

【答案】(1)土—-S

52

(2)S„=^S

n

【解析】

【分析】(1)仿照上式即可写出;

(2)先仿照上式写出5.，根据面积比为相似比的平方证明即可.

【小问1详解】

52-42

——s，

52

52-42

故答案为：一1S；

52

【小问2详解】

2n-l_

解：结论：S=

n2J

n

如图4中。、E、F、G是AB边的〃等分点，过各等分点的线段分别与底边5C平行,

则各三角形的相似比为：1:2:3:n:n,

面积比为：F：22：32：（n—1）2：

【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方.

20.已知二次函数y=-/+2wx+7〃+l.

（1）若抛物线与y轴交于（0,3）,求机的值及抛物线在x轴上截得的线段长；

（2）对于任意实数请判断该二次函数图像与无轴有没有交点，并说明理由.

【答案】20.m=2,在x轴上截得的线段长是2近

21.有交点，见解析

【解析】

【分析】（1）将点（0,3）代入解析式求出根的值并得到抛物线的解析式，再求出抛物线与无轴交点即可得

到抛物线在x轴上截得的线段长；

（2）求出判别式即可判断.

【小问1详解】

解：•••抛物线与y轴交于（0,3）,

m+1=3,

：.m=2

抛物线为y=—f+4x+3,

当y=。时，一%2+4%+3=0，

解得x=2+V7或x=2-S，

.♦•抛物线在x轴上截得的线段长为（2+J7）—（2—J7）=2«；

【小问2详解】

A=（2m）2—4x（—+=（2根+1）~+3,

V（2m+l）2^0,

A>3

/.该二次函数图像与x轴有交点.

【点睛】此题考查了二次函数与坐标轴交点，判断二次函数与X轴交点个数，正确掌握二次函数与一

元二次方程的关系是解题的关键.

21.如图，在6x12的边长为1的小正方形网格中，的三个顶点都在格点上.

（1）直接写出的形状:

（2）若CD，垂足为。，证明：CD?=ADBD；

（3）拓展应用：在4时测得某树（垂直于地面）的影长为4米，C时又测得该树的影长为16米，若两次

日照的光线互相垂直，则树的高度为米.（直接写出结果）

【答案】（1）直角三角形

（2）见解析（3）8

【解析】

【分析】（1）利用勾股定理求得AC,的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解；

（2）证明.C4Z3.BCD,即可证明CD?

（3）利用（2）的结论即可求解.

【小问1详解】

解：：AC=+42=2A/5，BC=+4?=4^/5，AB=10,AC~+BC2=AB~，

「ABC是直角三角形，

故答案为：直角三角形；

【小问2详解】

证明：由（1）知是直角三角形，且NACB=90。，

•••CD±AB,

：.ZCAD=90°-ZACD=ZBCD,

:.」CAD^_BCD,

.CDAD

"~BD^~CD'

/.CD?=ADBD；

【小问3详解】

解：由题意得NADC=90°,DBLAC,AB=4米，3C=16米,

由（2）得3£）2=M-BC，

...BD2=4X16，

=8米，

.••树的高度为8米.

故答案为：8.

【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识

解决问题.

22.如图，四边形Q4BC是矩形，顶点A,C分别在X轴和y轴上，04=4,。。=6,反比例函数

丁=与左＞0）的图象经过AB的中点，且与交于点E

X

（1）直接写出点。的坐标；

（2）求反比例函数的表达式及点E的坐标；

（3）点厂是0C边上一点，若△BCFsLDBE,试说明线段BP与线段OE的关系.

【答案】（1）点。的坐标为（4,3）；

19

（2）反比例函数的表达式为丁=一,点E的坐标（2,6）；

4

（3）BF=-DE,BF±DE.

3

【解析】

【分析】（1）先求得点2的坐标，再利用。点为的中点得到点D的坐