北师大版九年级数学上册压轴题：根与系数求值的四种考法（解析版）

专题07根与系数求值的四种考法

类型一、整体代入求值

例.若一元二次方程――2工-1=0的两根分别为不，龙2，贝！|苫：-3再-尤2=.

【答案】-1

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得占+马=2,玉马=-1,/一2x=l,代入代数式即可求解.

【详解】解：：一元二次方程一一2x7=0的两根分别为"x2,

2

xl+x2=2,xlx2=-l,X-2%=1

龙;一3再—X]—尤;一2%—（玉+尤2）=1—2=—1.

故答案为：-1.

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若占,是一元二次方程62+云+。=0（〃工0）的两根，

xl+x2^--,X也=上，掌握根与系数的关系是解题关键.

aa

【变式训练1】已知。，夕是一元二次方程2022x+2023=0的两个根，则a?-2023a-"的值等

于.

【答案】-4045

【分析】根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义，求出a+4=2022,a?=2022a-2023,代入求值即

可.

【详解】解：4是一元二次方程2022尤+2023=0的两个根，

.•.&+/=2022,储-2022a+2023=0，贝U4=2022a-2023,

ct~—2023ct—/3

=2022a-2023-2023a-）3

=—2023—（a+£）

=-2023-2022

=-4045,

故答案为：-4045.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数关系，解题关键是熟练掌握相关知识，整体代入求值.

2

【变式训练2】已知〃，匕是一元二次方程N+x-1=0的两根，贝|3〃2-匕+二的值是.

a

【答案】8.

2

【分析】由根与系数的关系及根的定义可知a+b=-l,ab=-l,a2+a=l,据此对3a2-b+二进行变形计

a

算可得结果.

【详解】解：由题意可知：a+b=T,ab=-1,a2+a=L

2222

原式=3(1-a)-b+-----=3-3a-b+------=3-2a-(a+b)+------=3-2a+l+------

1—ci1—〃1—ci1-a

.22a2—2a+2.2(1—a)—2a+2

=4-o2a+-----=4+----------------=4+—-----------------=4+4=8,

1—Q1—Cll-Cl

故答案为：8.

【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的定义，利用性质对式子进行降次变形是解题关

键.

【变式训练2】若小%,边是一元二次方程炉+无一3=0的两个实数根，贝U4-占+202。的值为

【答案】2024

【分析】根据根与系数的关系以及等式的性质即可求出答案.

【详解】解：•.•西，马是一元二次方程尤2+无一3=0的两个实数根,

X]+X?——1,x；+%—3=0

x；—X]+2020=3—%—芭+2020—2023—(玉+x2)~2023_(—1)=2024

【点睛】题考查了一元二次方程的根与系数的关系，也考查了一元二次方程的解.

22

【变式训练3】已知实数加，〃(相满足等式病-2根-1=0,—1=0,则—I—的值是

mn

【答案】-4

【分析】根据已知判断出加，〃是方程炉―2x-1=。的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解.

2

【详解】解：•・•实数加，n(mri)满足等式机2—2相—1=0,n-2n-l=0,

*.m,孔是方程“2—2%—1=0的两实数根，m+n=2,mn——1,

：,A+Z=2fl+lL^H=2x2=_4)

mn\mn)mn-1

故答案为：—4

【点睛】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到孙〃是方

程¥—2%-1=0的两实数根是解题的关键.

类型二、降塞思想求值

例.设。，6是一元二次方程炉-尤-1=0的两根，贝U3^+46+=的值为.

a-

【答案】11

22

【详解】'：a,b是一元二次方程了2-犬_1=0的两根，a+b^l,a=a+1fZ>=+1.

2

3a3+4b+—=3a3+4l>+2b2=3a(a+l)+4b+2(l>+l)=3a2+3a+6b+2

=3(a+1)+3a+6Z?+2=6(a+Z?)+5=11.

【变式训练1】若0多是方程d+x-3=0的两个实数根，求x：-4%+22的值.

【答案】3

【分析】根据均是方程炉+x-3=0的实数根,表示出x；,代入原式，整理化简，再把％+々%=-3,

代入即可求出.

【详解】解：是方程炉+苫-3=0的实数根,

x；+X]—3—0,

%；=-石+3,玉二-片+3,

片二-玉+3两边同时乘以七,

X：=-xf+3再,

把光：=-%；+3再代入%：-4君+22可得

原式=-%；+3%-4琮+22

把药=-%；+3代入-%；+3玉-4%；+22可得

原式二-4x：+9-4%；+22=-4(玉+%2>+8%]?%231,

・・・々、马是方程f+工-3=0的两个实数根，

...玉+工2=—1,再=-3,

・・・原式=Tx(-l)2+8x(-3)+31=3.

【点睛】本题考查了方程的解、根与系数的关系：若再，％是一元二次方方2+云+。=0(〃。0)的两根时,

rt/bC

贝!]芯+%2=--，再入2=一•

aa

【变式训练2］若无2+%-1=0,那么代数式尤3+2尤2-7的值是.

【答案】-6

【详解】试题分析：由已知条件得到N+产1；再将所求的代数式变形为：x(/+龙)+N-7,然后将其整体代

入求值即可.

解：,•*x2+x—1=0，

,\x2+x=l,

x5+2x2—7=x3+x2+x2~7=x(x2+x)+x2—7=x+x2~7=1-7=—6.

故答案为-6.

【变式训练3】已知方是方程f—x—1=0的两个根，那么6?+3夕=.

【答案】5

【解析】：a，尸是方程V—%—1=0的两个根，.•.a+〃=l,J3=l-a,

••oc—a—1=0，••oc~=Gt+1>

6Z4=(ex2J=(c+l)="+2c+1=c+1+2c+1=3c+2,

a"+3/3=3a+2+3(l-a)=3a+2+3-3a=2+3=5.

故答案为：5.

类型三、构造方程思想求值

Y2X

例.如果尤、y是两个实数(孙21)且3/-2023x+2=0,2V?-2023y+3=0,贝|—+二的值等于()

yy

2023「2023

A.------B.------C.D.2023

329

【答案】c

可得3X[L]—2023x—+2=0,可得不,一是方程

【分析】由2;/-2023y+3=0,可得"。，

12023x2_____.

3"/-2023/"+2=0的两个根，x+=。，,—=w，从而可得答案.

y3y3

【详解】解：V2/-2023y+3=0,：.y^0,

/.3x--2023x1+2=0,而3元?-2023x+2=0,x-y^l,

，X,L是方程3m2-2023m+2=0的两个根，

y

12023x_2X2XX220234046

x+—=?=3一+~=­x----故选C

y3yyy旧339

【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟练的构建一元二次方程的解本题的关键.

【变式训练1］若a邦，且。2一4。+1=0,/-48+1=0则:匕+「^的值为()

1+Q1+b

A.-B.1C..4D.3

4

【答案】B

【详解】解：由/-4a+l=0,/-4b+l=0得：a2+l=4a,b2+\=4b

1111a+b

-----1---------1--------

1+/1+Z?24。4b4ab

又由片一44+1=0/2一4匕+1=0可以将a,b看做是方程/一4%+1=0的两个根

a+b=4,ab=l

.a+b_4_]

4ab4x1

故答案为B.

【点睛】本题看似考查代数式求值，但解题的关键是构造一元二次方程并运用根于系数的关系求解.

【变式训练2】已知〃、b、c均为实数，且〃+b=4,2<?一次?=4百c-10,贝1」。历=

【答案】4石

【分析】先变形得到〃+。=4,〃氏2/-46。+10,再根据根与系数的关系，以。可看作是方程N-4X+2C2-46

c+10=0的两实数解，配方后可得(x-2)2+2(c-V3)2=0,得到42,c=B然后计算"c的值即可；

［详解］,〃。=2/-46。+1。

，口、。可看作方程N_4x+2/-4括c+10=0的两实数解，.二(x-2)2+2(c-V3)2=0

x-2=0或c-百=0,解得x=2,c=6

"=2x3-46x百+10=4,abc=4x#)=4#)

故答案为：4石.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系.学会观察算式形式，正确写出一元二次

方程是解决本题的关键.

【变式训练3】已知实数。、6满足片-0=1,〃-回=1,求工+工的值.

ab

【答案】-0

【分析】由〃-应。=1,/-匹,=1的特征可以联想至|」“方是方程/一应》=1的两个实数根，再利用根与

系数的关系求解.

【详解】已知实数a、6满足/一回=1/2-伍=1,

则。、b是方程——缶=1的两个实数根.

整理方程为一般式得：f一缶一i=o.

根据根与系数的关系得：a+b=6,ab=-l.

a+b_止__拒

.J_+£

abab-1

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是善于利用“转化”的思想.

类型四、根的大小问题

例.“Z为何值时，关于x的方程3(m-1)x2-4mx+(m-3)=0

(1)两个正根；(2)一正一负两根；(3)两根都大于1.

【答案】(l)m>3或m<0；(2)l<m<3；(3)-6+3V5<m<l

-4m

>0

3(m-l)

【解析】(1)解：(1)由题意可得，，解得，m>3或mVO,

m-3

>0

3(771-1)

即当m>3或m<0时，方程3(m-1)x2-4mx+(m-3)=0有两个正根.

-^-<0

3(m-l)

(2)由题意可得，，3(m-l)^0,解得：lVmV3；

(-4m)2-4x3(m-1)x(m-3)>0

即当1Vm<3时，方程3(m-1)x2-4mx+(m-3)=0有一正一负两根.

m-34m,八

1-----T——;-------?+1>0

(石-1)(<―1)>0

4m入门

(3)根据题意，得：,(石一1)+(x—1)>0,即v—-------2>0

23(m-l)7

b1-4ac>0

16m2-4x3(m-l)(m-3)>0

解得：-6+3>/5<m<l,

即当-6+35/5<m<l时，方程3(m-1)x2-4mx+(m-3)=0有两根都大于1.

【变式训练】已知关于x的一元二次方程：x2-2x-a=0,有下列结论：

①当。>-1时，方程有两个不相等的实根；

②当4>0时，方程不可能有两个异号的实根；

③当。>-1时，方程的两个实根不可能都小于1；

④当。>3时，方程的两个实根一个大于3,另一个小于3.

以上4个结论中，正确的为()

A.①②③④B.①②③C.①③④D.②③④

【答案】C

【详解】解：：x2-2x—。=0，A=(-2)2-4xlx(-a)=4+4a，

.•.当a>-l时，方程有两个不相等的实根，故①正确；

当a>0时，两根之积=一々<0,故方程的两根异号，故②说法错误；

由一元二次方程的求根公式得无=2士〃+4a=1土,

2

.•.方程的两个实根不可能都小于1,故③正确；

由③知，当a>3时，方程的两个实根一个大于3,另一个小于3,故④正确，

.•.正确的结论有：①③④

故选：C

课后作业

1.已知4，6是方程%2-%-1=0的两根，贝!|代数式2a3+5“+3^+36+1的值是()

A.19B.20C.14D.15

【答案】D

【分析】由根与系数的关系可得：a+b=l,再由。与6是方程的两根可得。2=°+1,b2=b+l,把人与〃采用

降次的方法即可求得结果的值.

【详解】与6是方程尤2-左-1=0的两根

a+b=l,a2-a-l=0,b2-b-l=0

a2=a+l,b2=b+l

*/a3=a2*a=(a+V)a=a2+a=a+l+a=2a+l,同理：b3=2b+1

2a3+5a+3b3+3b+l

=2(2a+l)+5a+3(2Z?+l)+3〃+l

=9a+9b+6

=9(。+8)+6

=9x1+6

=15

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行

整式的运算是解题的关键.

2.已知N+x-i=o,贝！J3N+3x-5=.

【答案】-2

【分析】用整体代入的方法解题.

【详解】由x2+x-l=0得，x2+x=l,所以3(x2+x)=3,BP3x2+3x=3.

所以3x2+3x-5=3-5=-2.

故答案为-2.

3.若a,5是方程％2+3x—4=0的两根，贝IJ4—104+36=.

【答案】-21

【分析】根据一元二次方程根的定义，以及一元二次方程根与系数关系可得/+3a-4=0,a+h=-3,则

4+3/—4〃=0,/+3a=4,代入代数式即可求解.

【详解】解：•・•〃，b是方程f+3x-4=0的两根，

a2+3a—4=0,a+b=—3,

**•cc)+3/—4Q=0,a?+3Q=4，

即d=4a-34,

.*•Q3—10〃+3b=4々—3/—I。］+3〃

=—3a2—9a+3a+3b——3(^a2+3a)+3(a+b)

=—3x4—3x3=—21,

故答案为：-21.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的

关键.

4.若p、4是方程V-3彳-1=0的两个不相等的实数根，则代数式-24+5的值为.

【答案】-2

【分析】根据一元二次方程的解的定义得到加-3。-1=0,再根据根与系数的关系得到p+q=3,然后利

用整体思想计算即可.

【详解】:•若p、q是方程尤2-3尤-1=0的两个不相等的实数根，

p2—3/2—1=0,p+q=3,p~=3p+1,

p3一4P2-2q+5=P^p2-3p-l^-p2+p-2.q+5

=-p2+p-?.q+5=-^p~i+p-2q+5--2p-2q+4

=-2（。+q）+4=—2x3+4=-2,

故答案为：-2.

【点睛】本题考查了一元二次方程办2+bx+c=0的根与系数的关系，一元二次方程的解，利用整体思想降

次消元是解题的关键.

5.设占是方程Y—x—2015=0的两实数根，贝!］X：+2016々-2015=.

【答案】2016

【分析】先将七代入方程得到X：=%+2015,推出婷=2016%+2015,将其代入所求代数式中得

x：+2016.&-2015=2016（%+々），根据根与系数关系式求得国+尤2=1，即可得到答案.

【详解】和马是方程^-^-2015=0的两实数根，

尤［2_X］_2015—0,.*.xj=玉+2015,

M=尤：+2015无］=尤］+2015+2015尤］=2016占+2015,

尤:+2016尤2-2015=2016%+2015+2016%-2015=2016（占+x2）,

;为，三是方程V-x-2015=0的两实数根，；.%+%2=1,

:.xf+2016x2-2015=2016,

故答案为：2016.

【点睛】此题考查等式的性质，方程的解，一元二次方程根与系数的关系式，根据原方程求出

X；+2016%-2015=2016（玉+々）是解此题的关键，将高次项降次也是此题解题入手之处.

6.阅读材料:

材料1：关于尤的一元二次方程加+笈+。=0（。片0）的两个实数根孙马和系数°,b,c有如下关系:

bc

%+%=--，XjX——.

一a2a

材料2：已知一元二次方程d-x_l=O的两个实数根分别为相，n,求/〃+加〃2的值.

解：•..〃?，〃是一元二次方程炉-尤-1=0的两个实数根，

m+n=l,mn=—l.

则rr^n-^-mn2=mn（m+z2）=—lxl=-1.

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题:

（1）应用：一元二次方程2d+3x-l=0的两个实数根为再，%,贝1］玉+苫2=,玉3=；

⑵类比：已知一元二次方程2/+3>1=0的两个实数根为"z,小求疗+〃2的值；

（3）提升：已知实数s,f满足2/+3s-l=0,2产+3-1=0且s",求的值.

st

31

【答案】（1）-5，--

若

（3）---的值为JF7或-JF7.

st

【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；

（2）利用一元二次方