北师大版高考数学一轮专项复习练习卷-椭圆（含解析）

第八章§8.5椭圆

知识过关

一、单项选择题

1.“1<后<5”是方程“上+」'2-=1表示椭圆”的（）

5-k

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2024・济南模拟）若椭圆C?+¥=1的离心率为W，则椭圆C的长轴长为（）

m23

A.2也B呼或2^6

C.2/D.2也或2#

3.（2022•全国甲卷）已知椭圆C：，+，=l（a>b>0）的离心率为:，Ax,4分别为C的左、右

顶点，8为C的上顶点.若五不•互石=—1,则C的方程为（）

2彦

A.《十武=1Bx.L+-=1

181698

C.X=1口.：+户1

32

4.（2024•昆明模拟）已知椭圆C：[+[=1的左、右焦点分别为Fi,F2,直线与椭圆

。交于4,8两点，若以8尸尸1%|,则的面积等于（）

A.18B.10C.9D.6

5.（2023•沈阳模拟）魏晋时期数学家刘徽（图（1））为研究球体的体积公式，创造了一个独特的立

体图形“牟合方盖”，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面

上.将两个底面半径为1的圆柱分别从纵横两个方向嵌入棱长为2的正方体时（如图（2））,两

圆柱公共部分形成的几何体（如图（3））即得一个“牟合方盖”，图（4）是该“牟合方盖”的直观

图（图中标出的各点N,B,C,D,P,。均在原正方体的表面上）.

p

Q

⑶(4)

由“牟合方盖”产生的过程可知，图⑷中的曲线为一个椭圆，则此椭圆的离心率为

6.（2023•陕西省安康中学模拟）已知尸为椭圆C：1（心6>0）上一点,若C的右焦点F

的坐标为（3,0）,点M满足|两=1,PM-FM=0,若|西的最小值为2也，则椭圆C的方程为

)

B工+匕=i

3627

c工N+匕V2=i

167

二、多项选择题

7.（2023•长沙模拟）人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点

的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒定律，即卫星

的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为

2a,2c,下列结论正确的是（）

A.卫星向径的取值范围是[a—c,a+c]

B.卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大

C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越圆

D.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间

22

8.已知椭圆工+匕=1的左、右焦点分别为尸1,尸2,点尸在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶

42

点重合，则下列关于△尸。尸2的说法正确的有（）

A.△PBEz的周长为4+2也

B.当/尸为尸2=90°时，|产西|=2

C.当/尸田尸2=60°时，△尸西凡的面积为*©

3

D.椭圆上有且仅有6个点尸，使得△尸。尸2为直角三角形

三、填空题

9.已知~(—2,0),22(2,0)是椭圆C的焦点，过尸2且垂直于x轴的直线交椭圆C于42两

点，且［48|=6,则椭圆C的方程为.

10.椭圆T^+《=l(加>0)的两个焦点分别为尸1,F2,与夕轴的一个交点为4若NF1AF2

=四，则m=.

3--------

11.已知一个离心率为1,长轴长为4的椭圆，其两个焦点分别为尸1,反，在椭圆上存在一

2

点尸，使得/尸上尸2=60。，设△尸为凡的内切圆半径为r,则r的值为________.

12.(2023・潍坊模拟)如图，菱形架/BCD是一种作图工具，由四根长度均为4的直杆用钱链

首尾连接而成.已知力,。可在带滑槽的直杆/上滑动；另一根带滑槽的直杆D8长度为4,

且一端记为“，另一端用钱链连接在D处，上述两根带滑槽直杆的交点尸处有一栓子(可在

带滑槽的直杆上滑动).若将〃，8固定在桌面上，且两点之间距离为2,转动杆/TO,则点P

到点B距离的最大值为.

D

四、解答题

13.(2024・西安模拟)已知椭圆C：定+，=l(a>b>0)的左、右焦点分别为9(—c,0),F2(c,0),

过尸2作垂直于X轴的直线/交椭圆于a8两点,且满足|/尸2|=近，

6

(1)求椭圆C的离心率；

(2)M,N是椭圆C短轴的两个端点，设点P是椭圆C上一点(异于椭圆C的顶点)，直线VP,

NF分别与x轴相交于R,。两点，O为坐标原点，若。穴卜。0|=4,求椭圆C的方程.

14.在平面直角坐标系中，点8与点/I1'2」关于原点对称，P是动点，且直线AP与8尸

的斜率之积等于1

（1）求动点P的轨迹方程，并注明X的取值范围；

（2）设直线AP与BP分别与直线x=3交于M,N,问是否存在点P使得与面积

相等？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，说明理由.

lb能力拓展

15.（2023•衡阳联考）已知椭圆C：4+片=15>6>0）的左、右焦点分别为为，尸2,过尸1作直

crb1

线/与椭圆。相交于跖N两点，NMFW=90。，且4门刘=3/阳，则椭圆的离心率为（）

22

⑹（2。24•呼和浩特模拟）已知点P是椭%+.1上异于顶点的动点，用为椭圆的左、

右焦点，。为坐标原点，若/是/尸1尸产2平分线上的一点，且记应♦痴=0,则|励的取值范

围是・

§8.5椭圆

1.A2.D3.B4.C

5.A［如图，连接/C,3。交于点O,连接尸O,

立

Q

由“牟合方盖”产生的过程可知，图中的曲线网0D所对应的椭圆的长轴长2a=2口=2/,

短轴长2b=|尸。|=2,

于是可得此椭圆的半焦距二凉=1,

因此离心率e=-=-.］

a2

6.B［如图，

OX

•・•|两=1,

又：屈f俞=0,

：.PM±FM,

即PMLFM,

：.\PM\=\PM\=yJ\PF\2~\FA4\2=yj\PF\2-l,

当点尸为椭圆的右顶点时，|尸尸|取最小值,\PF\mm=a-c=a-3,

此时|两min=>(a—3)2—1=2仍,

解得。=0(舍)或a=6,

222

b=a—c=36—9=279

二椭圆。的方程为？+正=1.］

7.ACD［根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是［Q—C,a+c］,A正确；

根据面积守恒定律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度

最小，B不正确；

a-c_1_e_2

1,比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C正确;

a-\-c1+e1+e

当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的速度慢，根据面积守恒定律，则运行时间长，D正确.]

8.AD[由椭圆的方程可得，a=2,b=、/2,c=~\j2,

△PF1F2的周长为1PBl+|尸尸2|+尸匹|=20+2c=4+2也，故A正确；

当NPE尸2=90。时，PE_Lx轴，令x~也,可得y=±l,

所以故B不正确；

当NEPF2=60。时，的面积为b2-tan30o=2X/=",故C不正确；

33

当点P位于椭圆的上、下顶点时，『为|=|尸/司=。=2,而内正2|=2c=2也，此时/尸山尸2=90。,

有2个直角三角形，

当PFi±FIF2时，NPFiFz=90°,

此时点尸位于第二或第三象限，有2个直角三角形，

同理可得尸入J_FIF2时，/PF/i=90。，

此时有2个直角三角形，所以共有6个直角三角形，故D正确.]

9.—+^=110.3

1612

113

3

解析因为椭圆的离心率为:，长轴长为4,所以。=2,c=l,

2

在△PEB中，由余弦定理得

222ICOSI2I

IF1F2I=\PFII+\PF2\-2|PF||PF2|600=（|^F|+|PF2|）一3|PF||PF2|,

解得尸尸小尸7司=4,

所以S△咫后=3代4PF2|sin60。=%P人|+叱2|+「典），

即1X4X/=LX（4+2）,

222

解得

3

12.3

解析连接5。，PB,（图略），

因为四边形为菱形，则4C为线段班）的垂直平分线，故|必|=甲。，

所以|耽十|必|=|尸2/|+1尸0=|。//|=4>2=|班7|,

故点夕的轨迹是以5,〃为焦点且长轴长为4的椭圆，

可得2a=4,2c=2,即Q=2,c=l,

所以|尸的最大值为a+c=3.

13.解(1)由题意，

令》=°,可得产=〃[1—力，

解得了=卢，可得尤=金以

aa6

又由c2=a2~b2,

整理得6a2—6c2=\[3ac,

即6—6e2=yj3e,

即6/+#?—6=0,解得e=宣，

2

即椭圆C的离心率为

2

(2)由椭圆。的方程，可得MO,b),N(0，—b),

设P(xo,yd),所以b2xi+a2yi=a2b2,

则直线〃尸的方程为y=也二"+6,

Xo

令y=0,可得XR=3,

b—yo

同理直线NF的方程为了=如乜-6,令y=0,可得攻=凡

XQb+次

因为。刈。。|=俨;=层=4,

解得。=2,

又因为e=也，所以c=3,

2

则b=\ja2—c2=1,

所以椭圆C的方程为：+产=1.

14.解(1)因为点2与点/1―1'J

关于原点对称，

所以点B的坐标为[1，-2),

设点P的坐标为(x,回，

3.3

y—y~\2

由题意得，•，=—9,

X-\-1X—1

化简得止+M=l(xW±l),

43

22

故动点P的轨迹方程为工+工=l(xN±l).

43

(2)若存在点P使得△243与△PAW的面积相等，设点尸的坐标为(xo,yo),

则3口卜『3卜$也//尸5

■\PN\-sinZMPN,

因为sin/APB=sin/MPN,

所以也=叫

\PM\\PB\

所以的+1|=|3一浏

|3—xo||xo-1|

即(3—xo)2=|x§—1|,

解得xo=9,

3

22

因为工+匕=l(xW±l),

43

所以外=色，

6

故存在点尸使得AP4B与丛PMN的面积相等,

［5,而］

此时点尸的坐标为〔3，6J.

15.D［如图所示，设「典|=2c,

因为4尸训=3门阳，

设/切=3/,

则尸幽=47,

在RtAF2AW中，\MN\=币而不M=5/,

由椭圆定义可知/囹=2a—3f,

\F\M\=2a~4t,

|RN|+\FxM\=\MN\=4a—7t=5t,