北师大版高考数学一轮专项复习练习卷-必刷大题-空间向量与立体几何（含解析）

必刷大题-空间向量与立体几何

1.如图，四棱锥尸一/BCD的底面为正方形，以_L平面NBC。，M是PC的中点，PA=4B.

(1)求证：平面?3。；

⑵设直线与平面P3D交于点。，求证：AO=2OM.

证明(1)由题意知，AB,AD,/尸两两垂直，以/为坐标原点，AB,AD,/尸所在直线分别

为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，

设以=AB=2,则尸(0,0,2),5(2,0,0),£>(0,2,0),M(l,1,1),PB=(2,0,-2),PD=(0,2,一

2),京=(1,1,1),

设平面的法向量为〃=(x,y,z),

n-PB=2x—2z=0,

则’_取x=l,得”=(1,1,1),

nPD=2y—1z—0,

'：AM=n,平面P2D

(2)如图，连接NC交AD于点E,

则E是/C的中点，连接PE,

平面网。=。，

...Oe/w且。e平面PBD,

平面PAC,

平面PAC,

又平面PADC平面PAC=PE,

；.OGPE,

：.AM,PE的交点就是。，连接EM,

•.•/是PC的中点，

：.PA//EM,PA=2EM,

：./\PAOsAEMO,

.PA=AO=2

"'EMMO1'

C.AO=2OM.

2.（2023•长沙模拟）斜三棱柱/2C—4121G的各棱长都为2,点/i在下底面48c上的投影为

AB的中点O.

（1）在棱A81（含端点）上是否存在一点。，使NiDL/Ci?若存在，求出2。的长；若不存在，

请说明理由；

⑵求点出到平面BCCiBi的距离.

解⑴连接OC,

因为NC=3C,。为的中点，

所以OCL4B,

由题意知出。，平面4SC,

又/4=2,OA=-AB=],

2

所以40=3,ZAiAO=60°,

以点。为原点，OA,OC,。41所在直线分别为无轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角

坐标系，

B、

Xcy

则4(0,0,3),4(1,0,0),5(-1,0,0),C(0,3,0),

由病=/京得5(—2,0,3),

同理得Ci(—1,3,3),

设诟=砺,?e[0,l],

得。(一1一“)，卡1),

又高=(—2,3,3)，

AiD—(—1—1,0,3f—3),

由涓•&B=o,

得一2(—1一7)+3(3/一市)=0,

得'=%

2

又281=2,：.BD=^,

所以存在点。且满足条件.

(2)设平面8CC181的法向量为"=(x,y,z),

正=(1,总0),CG=(-l,0,回

nBC=x+^3y=0,

则有._

〃・CCi——x+3z=0,

可取”=(3,—1,1),

又就=(1,0,3),

所以点4到平面BCC向的距离为&^刻=亨=好，

1«1也5

所以所求距离为个.

3.(2024・丹东模拟)如图，平行六面体48co-/iSGA的所有棱长都相等，平面CDAG，

平面Z8C。，ADLDC,二面角。一/。一。的大小为120。，£为棱Cid的中点.

⑴证明：CDL4E；

(2)点尸在棱CG上，/E〃平面8。凡求直线NE与。尸夹角的余弦值.

⑴证明因为平面CDDiC」平面N2CZ),且平面CDACm平面/BCZ>=DC,/D_LOC,4。

U平面A8CD,所以/D_L平面CDD1G,

又。QU平面CDDxCx,

所以则/ADC是二面角A-4D-C的平面角，故NADC=120。.

连接。£(图略)，因为E为棱的中点，

则DELCxDu

久C\D\//CD,从而。E_LCD

又AD_LC£>,DECAD=D,DE,ADU平面

所以CD_L平面AED,

又/£u平面NED,因此CD_L/£.

(2)解方法一如图，连接£>£,连接NC交2D于点。，连接CE交。尸于点G,连接。G.

所以CE=AE=7AD2+DE2=布.

因为/£〃平面ADF,/EU平面/EC,平面/ECO平面尸=OG,

所以/£〃OG,因为。为/C的中点，

所以G为CE的中点，

且直线OG与。咒的夹角等于直线4B与。尸的夹角.

在R3DC中，DG=-CE=^-,

22

因为。。=啦，

因此直线AE与DF夹角的余弦值为2

7

方法二如图，连接DE,CE,取DC中点为G,连接EG交DF于点X,则£6=。。1=2.

连接/G交AD于点/,连接印，

设/2=2,则—

所以CE=AE=\)AD2+DE2=\l7.

因为/£〃平面ADF,/EU平面/GE,平面/GED平面3。尸=出,

所以AE〃田.

印与的夹角等于直线/E与。尸的夹角.

在正方形/BCD中，GI=-AG,DI=-DB=^,

333

所以G//=1£G,故印=1/£=啦.

333

17

在△O77G中，GH=~EG^~,GD=1,ZEGD^60°,

33

由余弦定理得/1+--2X1X-X-=^.

V9323

BB-B

在△。印中，cosZDHI=+cc=-.3

因此直线/£与。尸夹角的余弦值为三

7

方法三连接。E,由(1)知DEL平面N3CD,以。为坐标原点，豆，比，加为x轴、y轴、

z轴正方向，|豆|为2个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系.

由⑴知。E=他，得4(2,0,0),5(2,2,0),C(0,2,0),£(0,0,回Ci(0,l,响.

则运=(0,-1,3),诙=(0,2,0),

成=(-2,0,3)，m=(2,2,0).

设市=北/=(0,~t,收)(OW0),

则5>=比+m=(0,2—7,回.

因为4E■〃平面瓦)9，所以存在唯一的九〃GR,

使得/E=2D3+〃DF=/(220)+Ma2—t,A/3/)=(22,2%+2〃一［it,—2,0,A/3),

故2Z=—2,2%+2〃-fit=0,他，

42A/?|

解得?=-,从而筋=0,3,3J.

3

AEDF

3

所以直线/E与。/夹角的余弦值为|cos〈AE,DF)|=\AE^DF]

3

4.(2023•成都模拟)如图所示，直角梯形和三角形N2C所在平面互相垂直，DBLAB,

ED//AB,AB=2DE=2BD=2,AC=BC,异面直线DE与NC夹角为45。，点尸，G分别为

CE,3C的中点，点〃是线段EG上靠近点G的三等分点.

⑴求证：A,B,F,X四点共面;

(2)求二面角B-CD-H的平面角的正弦值.

⑴证明如图，取N8的中点。，连接OC,OE,

因为NC=3C,故/氏4c为锐角,

又ED〃AB,

故NBAC即为异面直线OE与/C的夹角，则NA4c=45。,

则N/C5=90°,AC±CB,

因为直角梯形4B0E和三角形/2C所在平面互相垂直，DBL4B,

平面ABDED平面ABC=AB,DBu平面ABDE,

故£>8_L平面/8C,

又DE=OB,DE//OB,

即四边形OBDE为平行四边形,

WEO〃DB,所以£O_L平面/8C,

故以O为坐标原点，文，而，龙的方向为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示,

则/(0,-1,0),5(0,1,0),C(1,0,0),£(0,0,1),上。，3*?°],

由于曲旭=；昌一”1

可得加？力，

_仙1fl4f|

贝"尸=H'2j,AB=(0,2,0),AH=[3'3'3J,

贝(尸+上48,故/,B,F,"四点共面.

33

(2)解因为。8J_平面N3C,/CU平面/8C,

所以D3_L4C,S.AC±BC,

DBCBC=B,DB,BCU平面BCD,

故NC,平面BCD,所以太=(1,1,0)可作为平面BCD的一个法向量,

设平面77c。的法向量为MI=(X,y,z),

fl_i_n_ri2n

8。=13'3,3),HD=[3,3,31，

>

HCm一0,(2x—y—z=0,

则，即・7

前nt=0,l-x+2y+2z=0,

令z=l,则,"=(0,—1,1),

设二面角3一。一〃的平面角为0,

IACmI

由|cos(AC,Ml〉|=1|/。|阿1=_1_=1

也义啦2’

得sin0=­,

2

3

故二面角5—CQ—H的平面角的正弦值为火.

2

5.(2023•长沙模拟)如图，在三棱台4BC-4131cl中，AB±BC,ACLBBx,平面482//平

面4BC,48=6,BC=4,BBi=2,/Q与小。相交于点。，AE=2EB,且。E〃平面BCC/i.

(1)求三棱锥C—481cl的体积;

(2)平面481c与平面A8C的夹角为a,CG与平面418c的夹角为人求证：a+£=:.

(1)解平面，平面ABC,且平面ABBiAiQ平面ABC=AB,AB±BC,BC^平面ABC,

.•.3C_L平面ABB\Ai,

ABB\Ax,：.BCLBB\,

又ACLBB、,BCHAC^C,BC,/Cu平面ABC,

.•.32」平面ABC,

连接CiB,如图，

E〃平面BCCbBi,OEU平面ASG,平面48cm平面BCC/i=C/,：.DE//C\B,

"：AE=2EB,.•.2b=2Z5G,

：.AICI^-AC.

2

，三棱锥C-431G的底面△ZiSCi的面积Si=1x2X3=3,高h=BBi=2,

2

.•.其体积为%=1$历=1义3X2=2.

33

(2)证明以3为坐标原点，以防，正，遍的方向分别为x,乃z轴的正方向建立空间直角

坐标系，如图，

则4(6,0,0),C(0,4,0),51(0,0,2),4(3,0,2),Ci(0,2,2),

则而=(3,0,0),麻=(0,4,-2),黄=(0,-2,2).

设平面出囱。的法向量为〃=(x,y,z),

“•2i4=3x=0,

由.__取尸1,

nBiC=4y—2z=0,

则”=(0,1,2),

,/平面ABC的一个法向量为丽=(0,0,2),

・_\n-BBx\_4_2A/5

••cosot—__a一『一

\n\\B^\2、55

|〃・CC1|2J10

sin0=__

'l«l|CC；l也义2仍―10'

又,：a,际\,a

..sina——

510

_2/乂3而砧乂亚—也

cos(a+yff)=cosacos尸一sinasm&—AAX—

5105102

：a+pe(0,兀)，：.a+B^-.

4

6.如图，在八面体/M3CDQ中，四边形488是边长为2的正方形，平面BID〃平面03C,

二面角尸一45一C与二面角。一CD—/的大小都是30。，AP=CQ=3,PDLAB.

(1)证明：平面尸CD〃平面Q42；

(2)设G为△QBC的重心，在棱/尸上是否存在点S,使得SG与平面夹角的正弦值为

出?若存在，求S到平面的距离，若不存在，说明理由.

20

⑴证明因为四边形/BCD为正方形，

所以

又PDUB,ADQPD=D,AD,「。|=平面以。,

所以48人平面PAD,

因为E4U平面Ri。，所以

又ADLAB,所以为二面角尸一/B—C的平面角，即/以。=30。,

又平面P4D〃平面QBC,AB//CD,

所以CD，平面QBC,

因为。CU平面05C,所以。CLCO,

又CBLCD,