北师大版2024-2025学年八年级数学上册第一次月考试题（解析版）

八年级上册第一次月考

一、选择（10题，每题3分，共30分）

1,昭的平方根是（）

A.5B.±5C.75D.+75

【答案】D

【解析】

【分析】先根据算术平方根的定义求出血的值，然后利用平方根定义计算即可得到结果.

【详解】解：后=5，5的平方根为土逐，

故D正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了算术平方根、平方根的定义，熟练掌握平方根和算术平方根的定义，是解本题

的关键.

2.下列数据中，可作为边长构成直角三角形的是（）

111

A.9、16、25B.一、一、—

6810

C.0.3、0.4、0.5D.6、6、6

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是

直角三角形，在一个三角形中，即如果用a,b,c表示三角形的三条边，如果6+匕2=。2,那么这个三

角形是直角三角形.

根据勾股定理的逆定理逐项分析即可.

【详解】A.92+162^252，不能构成直角三角形；

B.，不能构成直角三角形:

C.0.32+0.42=0.52,能构成直角三角形；

D.6+62#62,不能构成直角三角形

故选C.

3.估算痴的值为（）

A.8B.7C.6D.10

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查无理数的估算，根据夹逼法进行求解即可.

【详解】解：屈〈屈〈庖,

：.7<屈<8，

7.52=56.25<60，

/•7.5<V60<8，

y/60~8；

故选A.

4.勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的

纽带之一.如图，踏板离地的垂直高度5E=1m,将它往前推4m至C处时（即水平距离CD=4m）,踏

板离地的垂直高度CR=3m,它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（）

A.4mB.5mC.6mD.8m

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设AC的长为加1,则==故

AD=AB-BD=（x-2）m.在直角八4。。中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理

是解决问题的关键.

【详解】由题意可知，CF=3m,

•**BD=2m.

设AC的长为加，则A5=AC=Mm）,

所以AD=AB—BD=（X—2）m.

在直角△ADC中,AD2+CD2=AC2«即+4?=』,

解得：x=5.

故选：B.

5.在平面直角坐标系中，点4(-2,3)所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】根据点A横纵坐标符号判定即可.

【详解】解：：A(-2,3),-2<0,3>0,

.•.点4-2,3)在第二象限，

故选：B.

【点睛】本题考查点所在象限，熟练掌握平面直角坐标系各象限内事业的坐标符号：第一象限(+,+),第

二象限(-,+),第三象限第四象限(+,-)是解题的关键.

6.实数。在数轴上的位置如图所示，则化简8〃+16+J(a-11)结果为()

05a10.

A.7B.-7C.2a—15D.无法确定

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查实数与数轴，二次根式的性质.由数轴上a的位置确定。的取值范围，再进一步求出

11和a—4的取值范围，然后化简求值.

【详解】解：由数轴可得5<a<10,

**•—4>0,ci—11<0>

•••Va2-8o+16+

=’("4)2+J(a—Up

=a—4—a+ll=7,

故选：A.

7.如图，在中，NACB=90。，CD是A3边上的高，若AC=3,Afi=5,则CD=

c

B

A.2B.2.4C.3D.岳

【答案】B

【解析】

【分析】根据勾股定理求得BC=4,根据三角形的面积公式计算，列出等式便可得到答案.

【详解】解：：NACB=90°,AC=3,AB=5,

；•BC7AB2-AC2=4,

,/CO是AB边上的高，

=-ACBC=-ABCD,

ABBCC22

/,-x3x4=-x5CD,

22

解得：CD=2.4,

故选：B.

【点睛】本题考查的是勾股定理，三角形的面积计算，根据三角形面积公式列出等量关系是解题的关键.

8.若某个正整数的算术平方根是左则下一个正整数（比前一个正整数大1）的算术平方根是（）

A.yfx+1B.J%?+1C.yjx+1D.x~+1

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个数的算术平方根是解题的关键.由题意可得原正整数

可表示为则下一个正整数为f+1，然后问题可求解.

【详解】解：由题意得：原正整数可表示为则下一个正整数为£+1，

它的算术平方根为JX2+i.

故选B.

9.已知ABC的两条直角边分别为6,8,现将火力ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点3重

合，则3E的长为（）

cc

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查了图形的翻折变换，勾股定理，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根

据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变.

根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE,设=则6E=X,CE=8—x,再Rt3CE中利用勾股

定理即可求出BE的长度.

【详解】解：翻折后与VBDE完全重合,

AE=BE，

设AE=x,则=CE=8-x,

,/在RtBCE中，CE?+BC2=BE2，

即（8-x『+62=/,

25

解得，x=—,

4

.nF_25

4

故选：C.

10.对于整数〃，定义｛«｝为不大于册的最大整数，例如：｛、回｝=1,｛石｝=2,｛、后｝=2.对72

第一次’,—、第二次r第三次，、

进行如下操作：72f｛J方｝=8f｛J§｝=2.｛2｝=1，即对72进行3次操作后变为1,对整数

机进行3次操作后变为2,则加的最大值为（）

A.80B.6400C.6561D.6560

【答案】D

【解析】

【分析】本题本题考查了估算无理数的大小，的定义，熟知估算无理数大小的方法是解决此题的关

键.由|册:的定义为不大于后的最大整数，6560进行3次操作后变为2,6561进行3次操作后变为3,

据此可得出机的最大值.

【详解】解：•♦•{7^^=80,{屈}=8,卜耳=2,

对6560只需进行3次操作后变为2,

V{76561）=81,{病}=9,{4}=3,

只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是6560,

''m的最大值为6560.

故选：D.

二、填空题（5题，每题3分，共15分）

11.比较大小：且二1-（填“>”“<”"=”）.

22

【答案】>

【解析】

【分析】根据题意，只需比较逐-1>1即可，利用估算思想解答即可.

本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算思想是解题的关键.

【详解】：2（遂<3,

故答案为：>.

12.点（3,-9）在平面直角坐标系中的第象限.

【答案】四

【解析】

【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个

象限的符号特点分别是：第一象限（+,+）；第二象限（-,+）；第三象限（一,-）；第四象限（+,-）.根据各

象限内点的坐标特征解答即可.

【详解】解：点（3,-9）的横坐标大于0,纵坐标小于0,

••・点（3,-9）在第二象限.

故答案为：四.

13.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形

A、B、C、。的面积分别为2,5,1,2,则最大的正方形E的面积是一.

【解析】

【详解】解：如图，根据勾股定理的几何意义，可得:

A、8的面积和为Si,C、。的面积和为Si+&=&,

「正方形A、B、C、D面积分别为2,5,1,2,

.最大的正方形E的面积S3=SI+S2=2+5+1+2=10.

故答案为：10.

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解决此题的关键熟练运用勾股定理的发现的来源.

14.已知y=J(x—2)2-尤+3,当x分别取1,2,3,……，2021时，所对应的y值的总和是.

【答案】2023.

【解析】

【分析】依据二次根式的性质化简，即可得至Uy=|x-2|-x+3,再根据绝对值的性质化简，即可得到对应

的y值的总和.

【详解】解：:y=Jx2-4x+4-x+3=J(x-2)2-x+3=|x-2|-x+3,

・••当xV2时，y=2-x-x+3=5-2x,

即当x=l时，y=5-2=3；

当x22时，y=x-2-x+3=1,

即当x分别取2,3,…，2021时，y的值均为1,

综上所述，当)分别取1,2,3,2021时，所对应的y值的总和是3+2020X1=2023,

故答案为：2023.

【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握绝对值的性质以及二次根式的

性质.

15.如图，在中，ZACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,动点P从点8出发沿射线5C以

lcm/s的速度移动，设运动的时间为f秒，当，A3。为等腰三角形时，，的取值为.

【答案】5或8或一

8

【解析】

【分析】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识.当.A3。为等腰三角形时，分三种情况：①当

43=6。时；②当A3=AP时；③当5P=AP时，分别求出3P的长度，继而可求得♦值.

【详解】解：在RtZkABC中，BC2=AB2-AC2=52-32=16«

/.BC=4(cm)；

①当=时，如图1,t=5；

②当AB=AP时，如图2,BP=2BC=8cm,/=8；

③当5P=AP时，如图3,AP^BP=tcm,CP=(4T)cm,AC=3cm,

在RtACP中，AP2=AC2+CP2，

所以r=32+(47)2,

25

解得：t=—,

8

25

综上所述：当4AB尸为等腰三角形时，/=5或/=8或£=彳.

8

故答案为：5或8或上25.

8

三、解答题(16题8分，17题6分，18题9分，共23分)

16.计算

(1)748-V3-2^|x730+(272+73)2

⑵亚衿加-局

【答案】(1)15+2指

(2)6

【解析】

【分析】本题主要考查二次根式混合运算，实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键.

(D根据二次根式混合运算法则进行计算即可；

(2)根据二次根式性质进行化简，根据零指数幕运算法则进行计算,再根据二次根式混合运算法则进行计

算即可.

【小问1详解】

解：回坨-28而+(20+国

=V16-2^|X30+(8+476+3)

=4-276+8+476+3

=15+2遍；

【小问2详解】

解：当产+(1-

邛+1

V3

=5+1

=6.

17.己知。=百+1，b=/-\，求下列代数式的值:

(1)a2-b2

⑵3

ab

【答案】(1)4A/3

(2)出

【解析】

【分析】本题主要考查了二次根式化简求值，分式加减运算，平方差公式，解题的关键是熟练掌握二次根

式混合运算法则.

(1)先根据a=g+l,b=6-\，求出a+6=2指，a-b=2,然后再根据平方差公式进行化简求值

即可；

LL11

(2)根据［=6+1，b=&\，得出而=2,〃+6=26，然后根据分式加减运算法则对一+7进行

ab

化简，再整体代入求值即可.

【小问1详解】

解：,•*a-A/3+1，b=A/3—1，

，。+匕=岛1+旨-1=2行，

a-b—+1-5/3+1=2，

•*.a2-b2

=(4+/?)(〃_/7)

=26义2

=4若；

小问2详解】

解：,•*a-+1，b=A/3—1，

ab=(6+^3—1)=3—1=2,〃+｝二^3+1+6—1=2A/3,

.11a+b2A/3/T

・・—।—=---=--=73・

abab2

18.如图所示，在平面直角坐标系中，已知4(0,1)、8(2,0)、C(4,3).

…-4

r-y2'

H-：-t

-I---------1-----1------1----------

~5-4-3-2~1O12345x

•i-------i__i--------r_i

।।।।।

:一一__；一；2.i---------1—।---1—J

，十十十*3

—一心一卡4

——一7

(1)在平面直角坐标系中画出VABC,则VABC的面积是

(2)若点。与点C关于〉轴对称，则点。的坐标为

(3)已知尸为x轴上一点，若的面积为1,求点尸的坐标.

【答案】(1)见解析，4

⑵（-4,3）

(3)(4,0)或(0,0)

【解析】

【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中根据点的坐标描点，关于了轴对称点的性质，三角形的面积公

式等知识.

(1)直接利用V/RC所长方形面积减去周围三角形面积即可得出答案;

(2)利用关于y轴对称点的性质得出答案;

(3)根据三角形面积公式得到2,进而得到点尸的横坐标为4或0,即可求出点P的坐标.

【小问1详解】

解：如图所示：丫m。的面积为3?4工仓。2--M3--M4=4.

222

解：点。与点C关于y轴对称，则点。的坐标为：(<3)；

故答案为：(T,3)；

【小问3详解】

解：：尸为x轴上一点，ABP的面积为1，

；•BP=2,

.•.点P的横坐标为：2+2=4或2—2=。，

故尸点坐标为：(4,0)或(0,0).

四、解答题(19题8分，20题10分，21题10分，共28分)

19.如图，在笔直的高速路旁边有4、8两个村庄，A村庄到公路的距离AC=8h",8村庄到公路的距离

BD=Ukm,测得C、。两点的距离为20加1,现要在CD之间建一个服务区E,使得A、8两村庄到E服

务区的距离相等，求CE的长.

cED

B

【答案】CE=133km.

【解析】

【分析】设CE=xh〃，则。E=(20-x)h〃，由AE=8£根据勾股定理可得关于尤的方程，解方程即得结

果.

【详解】解：设CE=xkm,则。E=(20-x)而w.

在RtzXACE中，由勾股定理得：A£?=AC2+CE2=82+x2,

在RtZXBOE中，由勾股定理得：BE2=BD2+Z)£2=142+(20-x)2,

由题意可知：AE—BE,

所以：82+x2=142+(20-x)2,解得：尤=13.3,

所以CE=133km.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关

键.

20.如图，把长方形纸片A8CD沿所折叠，使得点。与点3重合，点C落在点C的位置上.

E

AD

BR-------)-」C

X./F

C：

(1)试说明

(2)若AB=4,AD=8,求ZkBE厂的面积.

【答案】(1)见解析(2)10

【解析】

【分析】本题考查折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理：

(1)根据折叠的性质，长方形的性质，利用证明△ABEZzXCBP即可；

(2)设=则：BE=DE=AD-AE^8-x,在RtAABE中，利用勾股定理求出x的值，进而

求出3E的值，全等三角形的性质，得到5E=BF=5,利用三角形的面积公式进行求解即可.

【小问1详解】

•••四边形A6CD是长方形，

:.AB=CD,AD=BC,ZC=ZABC^ZA=ZD=90°

:.ZABE+ZEBC=90°

.把长方形纸片ABCD沿EF折叠，

BC'=CD,ZC=NC'=90°,NEBC=ND=90°,

:.ZEBC+ZFBC'=90°

:.ZABE=ZFBC

在.ABE和△CB/中

Z="=90°

<AB=BC

ZABE=NC'BF

;.aABE=CBF(ASA)

【小问2详解】

设AE=x,

根据翻折不变性，得：BE=DE=AD—AE=8—x

在RtZXABE中，由勾股定理，得：x2+42=(8-x)2

解得x=3,

AE=3,则£)E=5

_ABE学-C'BF

:.BE=BF=5

：.S=--BF-AB=-x5x4=10.

BREFFF22

21.如图1是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64.

CB

DA

I।IIcIIII[1A

-5-4-3-2-1012345

A

图1图2

(1)求出这个魔方的棱长；

(2)图1中阴影部分是一个正方形求出阴影部分的面积和边长；

(3)把正方形ABCD放到数轴上，如图2,使点A与-1重合，请直接写出点。在数轴上所表示的数.

【答案】(1)4(2)阴影部分的面积和边长分别为8、2&

(3)-1-272

【解析】

【分析】(1)根据立方体的体积公式，直接求棱长即可；

(2)根据棱长，求出每个小正方体的边长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得

解；

(3)用点A表示的数减去边长即可得解.

【小问1详解】

解：设魔方的棱长为X,

贝Ud=64,

解得：x=^64=4；

【小问2详解】

解：棱长4,

每个小立方体的边长都是2，每个小正方形的面积都是4，

所以魔方的一面四个小正方形的面积为16,

S正方形ABC。=5X16=8;

•••正方形ABCD的边长为际=20；

【小问3详解】

解：正方形ABCD的边长为20，点A与-1重合，

•••点D在数轴上表示的数为-1-272.

【点睛】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长.

五、解答题（22题12分，23题12分，共24分）

22.如图1,在AABC和4ADE中，ZDAE=ZBAC,AD=AE,AB=AC.

（1）求证：△ABDgZkACE；

（2）如图2,在AABC和4ADE中，ZDAE=ZBAC,AD=AE,AB=AC,ZADB=90°,点E在AABC

内，延长DE交BC于点F,求证：点F是BC中点；

（3）AABC为等腰三角形，ZBAC=120°,AB=AC,点P为aABC所在平面内一点，ZAPB=120°,

AP=2,BP=4,请直接写出CP的长.

【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）2币或2岳.

【解析】

【分析】（1）因为/DAE=NBAC,可以得到/DAB=/EAC,因为AD=AE,AB=AC,即可得到

△ABD^AACE；

（2）连接CE,延长EF至点H,取CF=CH,连接CH,由（1）可得△ABDgZkACE,所以/AEC=90。

和CE=BD,可以推出NBDF=NCEF,再证明△DBFg^ECH,所以BF=CH,等量代换即可得到

BF=FC,即可解决；

（3）点P在AABC内部，将4ABP逆时针旋转120。，得到AACP',连接PP'和PC,可以得到4

PP'C是直角三角形，利用勾股定理即可求出PC的值；当点P在AABC外部，将4APB绕点A逆时针旋

转120。得到APZJC,连接PP和PC,过点P作PDLCP于点D,连接PD可以得到△PHD,ZAPP'D

是直角三角形和，利用勾股定理即可求出DP'及PC的值.

【详解】解：（1证明：VZDAE=ZBAC

・・・ZDAB=ZEAC

VAD=AE,AB=AC

.,.△ABD^AACE

(2)证明：连接CE,延长EF至点H,取CF=CH,连接CH,如图所示:

VAADB^AAEC

・・・BD=EC,ZADB=ZAEC=90°

VAD=AE

NADE=NAED

・.,ZADE+ZEDB=ZAED+ZCEH=90°

・・・NEDB=NCEH

VCF=CH

・・・NCFH二NCHF

・・・NDFB二NH

VCE=BD

.,.△DBF^AECH

.\BF=CH

ABF=CF

・••点F是BC的中点

(3)当点P在AABC内部，如图所示，将4ABP逆时针旋转120。，得到AACP,连接PP和PC

BC

VWAABP旋转120。得到AACP'

AZPAP'=120°,AP=AP=2,BP=CP'=4

；•PP=2也,

VZAP'C=120°,/ATP=30°,

AZPPfC=90°,

当点P在AABC外部，如图所示,

将4APB绕点A逆时针旋转120。到