2025中考数学专项复习：一元一次方程（考点清单）解析版

【考点题型十一二】分数类形讨结论合思想

t考点题型十】整体思想

【考点题型九】方案决策问题

【考点题型八】分段计费问题

专题05次方程（考点清单，5个考点清单+12种题型解读）

【【考清点单题01型】六一】元销一售次问方题程的概念

［【清单02】等式的基本性质

ah考点清单’【清单03】一元一次方程的解法

《【清单04】一元一次方程的应用

\【清单05】用一元一次方程解决实际问题的常见类型

【考点题型五】工程问题

【考点题型一】一元一次方程及其解

1考点题型二】等式的性质

一元一次方程【考点题型三】解一元一次方程

【考点题型四】配套问题

点侪单

____________1.等式的两边加（或减）同T数（或击子），结果仍相等

等式的性质k2.等式的两边I乘乐—或除以同』不为0的数结果仍相

\等

只含有一个未知数（无），且含有君瞰的式子都是整式，未

碱的次数都是1的方程

（1.去分母:方程两边都乘各分母的最小公倍数

_元一次方程,（2.却舌号:碘雌

一\解法，3.移项:移鳗变导一

元

合并同类项:依据合并同类项法则

次；4.

方

\5.系数化为1:方程两边都除以未知数的系数

程

1.审题2.找相等关系

一」直接设未知数

3设.未知数

-----------\间接设未知数

一元一次方程的应用4列.方程5廨方程

.s人（1）是否符A元一次方程

6.检验/~

-----------<（2）是否符合实际

7写.答

【清单01】一元一次方程的概念

1.方程：含有未知数的等式叫作方程.

2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。

3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方

程。

细节剖析：

判断是否为一元一次方程，应看是否满足：

①只含有一个未知数,未知数的次数为丘_

②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数.

4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。

【清单02】等式的基本性质

等式的性质1等式的两边都加上(或都减去)同一个数或式，所得结果仍是等式。

字母表达式为：如果那么a±c=6±c.

等式的性质2等式的两边都乘或都除以同一个数或式(除数不能为零)，所得结果仍是等式。

字母表达式为：如果a=。，那么ac=bc,或g=2(cwO).

CC

细节剖析：

等式的传递性如果a=6、b-c,那么a=c。

【清单03】一元一次方程的解法

解一元一次方程的一般步骤：

(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数.

(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号,再去中括号,最后去大括号.

(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边.

(4)合并：逆用乘法分配律,分别合并含有未知数的项及常数项,把方程化为ax=b(a=0)的形式.

(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解x=±b(aWO).

a

(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等,则是方程的解;若方程左右两边的值不相等，

则不是方程的解.

【清单04】一元一次方程的应用

首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为X,然后用含

尤的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、歹！J、解、答.

一元一次方程应用题解题一般步骤：

①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系

②设：设未知数（一般求什么，就设什么为X）

③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系

④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程

⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值

⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）

【清单05】用一元一次方程解决实际问题的常见类型

（1）探索规律型问题；

（2）数字问题；

（3）销售问题（利润=售价-进价，利润率=今照X100%）；

进价

（4）工程问题（①工作量=人均效率X人数X时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作

量的和=工作总量）；

（5）行程问题（路程=速度X时间）；速度义时间=路程；相遇问题：S甲+SjS总；追及问题：S快-S慢

二s相晅；

（6）等值变换问题；

（7）和，差，倍，分问题；

（8）分配问题；

（9）比赛积分问题；

（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）.

题型需单

【考点题型一】一元一次方程及其解

【例1】（2023秋•咸安区期末）【阅读材料】规定：若关于x的一元一次方程依=6的解为x=b+a,则称

该方程为“和谐方程”.

例如：方程2x=T的解为彳=-2,

而一2=T+2,

所以方程2x=T为“和谐方程”.

请根据上述规定解答下列问题：

（1）下列关于x的一元一次方程是“和谐方程”的有—；（填写序号）

①4x=-2；

②-3x」；

4

®-%=--

22

（2）已知关于x的一元一次方程6x=:%是“和谐方程”，求加的值;

（3）已知关于x的一元一次方程4x=m+〃是"和谐方程”，并且它的解是x=〃，求机，”的值.

【分析】（1）分别求出三个方程的解，再由“和谐方程”的定义判断即可；

（2）由“和谐方程”的定义解答即可；

（3）由“和谐方程”的定义及方程的解的定义解答即可.

【解答】解：（1）①方程4x=—2的解是》=一2，—2+4=2,即一工力一2+4,所以方程4x=—2不是'‘和谐

22

方程”；

②方程-3x=?的解是尤=-』，-+（-3）=--,即-之=2+（-3）,所以方程-3x=2是“和谐方程”；

4444444

③方程!彳=一工的解是x=-l,--+-=0,即一12一工+工，所以方程工尤■不是“和谐方程”；

22222222

故答案为：②；

（2）若关于x的一元一次方程6x=机是“和谐方程”，

贝U生二机+6,

6

解得m=——；

5

（3）若关于x的一元一次方程以=相+〃是"和谐方程”,

贝U-------=m+n+4，

4

它的解是x=〃,

m+n

-------=n，

4

.\m=3n,

3n+n

=3〃+〃+4,

4

解得n=——

3?

【点评】本题考查了新定义，一元一次方程的解，理解“和谐方程”的定义是解题的关键.

【变式1-1］（2023秋•涪城区期末）下列各式中，属于方程的是（）

2

A.6+（-2）=4B.—x-2C.7x>5D.2x—1=5

【分析】根据方程的定义对各选项进行逐一分析即可.

【解答】解：A、6+（-2）=4不含未知数，不是方程，不符合题意；

B,2尤一2不是等式，故不是方程，不符合题意；

5

C、7x>5不是等式，故不是方程，不符合题意；

D、2x-1=5是含有未知数的等式，是方程，符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查的是方程的定义，熟知含有未知数的等式叫方程是解题的关键.

【变式1-2］（2023秋•固始县期末）若方程2x-fct+l=5x-2的解为-1,则%的值为（）

A.10B.-4C.-6D.-8

【分析】把x=-l代入已知方程，列出关于女的新方程，通过解新方程来求左的值.

【解答】解：依题意，得

2x（-l）-（-l）-fc+l=5x（-l）-2,即一1+左=-7,

解得，k=-6.

故选：C.

【点评】本题考查了方程的解的定义.无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的

解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法.

【变式1-3］（2023秋•昭通期末）下列方程中，是一元一次方程的是（）

,1

A.x~—4x=3B.lx=0C.x+2y=1D.x—l=—

x

【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程.它的一般形式是

ax+b—O（a,6是常数且aw0）.

【解答】解：A、是一元二次方程，故A错误；

B、是一元一次方程，故3正确；

C、是二元一次方程，故C错误；

D、是分式方程，故D错误；

故选：B.

【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1,一次项系数

不是0,这是这类题目考查的重点.

【变式1-4］（2023秋•成安县期末）已知（利-3）铲卜2=18是关于x的一元一次方程，贝4（）

A.m—2B.m=-3C.m—±3D.m—1

【分析】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1,系数不为0,则

这个方程是一元一次方程.所以m-3-0,|加|-2=1,解方程和不等式即可.

【解答】解：已知("?-3)/卜2=猪是关于x的一元一次方程，

则|加|-2=1,

解得：加=±3,

又.系数不为0,

7〃片3,则7找=一3.

故选：B.

【点评】解题的关键是根据一元一次方程的未知数x的次数是1这个条件，此类题目可严格按照定义解答.

【变式1-5](2023秋•西安期末)小芳同学在解关于尤的一元一次方程土£-1=5时，误将抄成

23

x+a,求得方程的解为x=2,请帮小芳求出原方程正确的解.

【分析】依题意得方程*-1=四的解为x=2,根据一元一次方程根的定义可求出。=2,进而得原方

23

程为三2_1=山，然后再解原方程求出x即可.

23

【解答】解：依题意得：方程*-1=3的解为x=2,

23

2+。2+1

---------1=------，

23

2+a.

/.------=2,

2

/.2+々=4，

a=2,

原方程为二-1=山，

23

去分母，方程两边同时乘以6,得：3(x-2)-6=2(x+l),

去括号，得：3x-6-6=2x+2,

移项，得：3x-2x=2+6+6,

合并同类项，得：x=14.

【点评】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，理解一元一次方程的解，熟练掌握解一元一

次方程的方法是解决问题的关键.

【变式1-6](2023秋•东台市期末)定义：关于尤的方程<zt->=0与方程6x-a=0(a、6均为不等于0的

常数)称互为“伴生方程”，例如：方程2x-1=0与方程x-2=0互为“伴生方程”.

Cl)若关于X的方程2x-3=0与方程3x-c=0互为“伴生方程”，则。=—;

(2)若关于x的方程4x+3〃z+l=0与方程5x-"+2=0互为"伴生方程”，求加、”的值；

(3)若关于x的方程5x-b=0与其“伴生方程”的解都是整数，求整数6的值.

【分析】(1)根据“错位方程”的定义直接可得答案；

(2)将“错位方程”组成方程组求解可得答案；

(3)根据“错位方程"2x-6=0与乐-2=0的解均为整数，可得2与2都为整数，由此可得答案.

2b

【解答】解：(1)2x—3=0与方程3x—c=0互为“错位方程”，

.'.c=2.

故答案为：2；

(2)将4%+3帆+1=0写成4%—(一3加—1)=0的形式，

将5x—〃+2=0写成5%—(〃-2)=0的形式，

4%+3切+1=0与方程5%-几+2=0互为“错位方程”，

J-3m-l=5

"[n-2=4，

[m=-2

[n=6'

，加、〃的值分别是-2,6；

⑶5%-。=0的“错位方程”为"-5=03力0),

b

由5x—b=0得，%=—,

5

当法-5=0,得％

b

5x-〃=0与陵-5=0的解均为整数，

「.2与*都为整数，

5b

Z?也为整数，

h5

.•.当)=5时，-=1,-=1,都为整数，

5b

h5

当b=_5时，-=-1,-=-1,都为整数，

5b

「2的值为±5.

【点评】此题考查的是新定义，一元一次方程的应用，以及解二元一次方程组，能够正确理解概念是解决此

题关键.

【考点题型二】等式的性质

7?33

【例2】(2023秋•寻乌县期末)观察下列两个等式：1-4=2*1--1,2-士=2x2x3-l给出定义如下:

3355

我们称使等式。-》=2仍-1成立的一对有理数。,。为“同心有理数对”，记为(。,6),如：数对(1,1)，(2,|),

都是“同心有理数对”.

(1)数对(-2,1),(3,[)是“同心有理数对”的是.

(2)若33)是“同心有理数对”,求。的值；

(3)若(加力是“同心有理数对”，则(-〃，-加)—“同心有理数对"(填“是”或“不是”)，说明理由.

【分析】(1)根据：使等式a-6=2H-1成立的一对有理数*6为“同心有理数对”，判断出数对(-2,1),

(3,。是“同心有理数对”的是哪个即可.

(2)根据(a,3)是“同心有理数对"，可得：a-3=6a-l,据此求出。的值是多少即可.

(3)根据⑴,〃)是“同心有理数对”，可得：据此判断出(-〃,-加)是不是同心有理数对即可.

【解答】解：(1)--2-l=-3,2x(-2)xl-l=-5,-3W-5,

，数对(-2,1)不是“同心有理数对”；

c417cc4,17

3—=—，2x3x--1=—，

7777

44

.-.3——=2x3x——1,

77

.•.(3,3)是“同心有理数对”，

(2)-3,3)是“同心有理数对”.

ci—3—6Q—1,

2

I.Q=--.

5

(3)(八口是“同心有理数对”,

.\m—n=2nm—l・

—n—(―m)=—n+m=m—n=2mn—1,

㈤是“同心有理数对

故答案为：(3,*)；是.

【点评】此题主要考查了等式的性质，以及同心有理数对的含义和判断，要熟练掌握.

【变式2-1]（2023秋•怀仁市期末）下列各式进行的变形中，不正确的是（）

A.若3a=2b,贝U3a+2=»+2B.若3a=26,贝i]9a=46

C.若3a=2b,贝!13。-5=2。一5D.若3a=2b,贝40=2

23

【分析】根据等式的性质逐个判断即可.

【解答】解：A.3a=26,

:.3a+2=2b+2,故本选项不符合题意；

B.3a=2b，

9a=6b^4b故本选项符合题意；

C.•3a=2b

:.3a-5=2b-5,故本选项不符合题意；

C.3a=2b,

1=1（等式两边都除以6）,故本选项不符合题意；

D.当a=O时，由储=6〃不能推出。=6,故本选项不符合题意；

故选：B.

【点评】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：①等式的性质1、等式的两边

都加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立；②等式的性质2、等式的两边都乘同一个数，等式仍成立，

等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立.

【变式2-2]（2023秋•乳山市期末）等式依-3x=3中，若x是正整数，则整数a的取值是—.

【分析】先解方程，得到一个含有字母”的解，然后用完全归纳法解出。的值.

【解答】解：由关于尤的方程3x=3,得

3

x=----.

CL—3

X是正整数，。是整数，

，正整数解相应为：x=l、x=3,

的值是：6或4.

故答案为：6或4.

【点评】本题考查了一元一次方程的解.解答此题难点是对。值进行完全归纳，注意不要漏解.

【变式2-3]（2023秋•曲阳县期末）已知8m+3〃+2=4久+7〃,利用等式的性质比较加与〃的大小关系：

mn（填）.

【分析】把等式变形为机减〃等于多少的形式，从而可得结论.注意：两个数的差大于0,被减数大于减数;

两个数的差等于0,被减数和减数相等；两个数的差小于0,被减数小于减数.

【解答】角星：8HZ+3〃+2=4"Z+7〃，

移项得：8m—4m—7n+3n=—2,

合并同类项得：4冽-4〃=-2,

提取公因数得：4（m-n）=-2,

化简：m—n=——J

2

——<0,

2

:.m—n<G,

:.m<nf

故答案为：＜.

【点评】本题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质.

【变式2-4］（2023秋•皇姑区期末）如图，标有相同字母的物体的质量相同，若A的质量为15克，则当5

的质量为—克时，天平处于平衡状态.

、司回国/、同同同陶/

【分析】设3的质量为X克，则根据图形得出2xl5+x=15+3x,再根据等式的性质求出方程的解即可.

【解答】解：设3的质量为x克，

则根据图形可知：2xl5+x=15+3x,

解得:x=7.5,

即当3的质量是7.5克时，天平处于平衡状态.

故答案为：7.5.

【点评】本题考查了等式的性质，能根据题意得出方程2xl5+x=15+3x是解此题的关键.

【变式2-5］（2023秋•渝中区期末）如果那么—」=—也成立时c应满足的条件是.

c-1c-1

【分析】根据等式的性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式.得到C-1x0,即

可求出C的满足条件.

【解答】解：c—IwO,

二.CW1.

故答案为：cwl.

【点评】本题考查了等式的性质，解题的关键是根据等式的性质得到C-1W0,再求出答案.

【考点题型三】解一元一次方程

[例3](2023秋•雨湖区期末)七3班数学老师在批改小红的作业时发现，小红在解方程四一1=〃+三

24

时，把“2-x”抄成了“x-2”，解得x=8,而且处的数字也模糊不清了.

(1)请你帮小红求出处的数字.

(2)请你正确地解出原方程.

【分析】(1)将x=8代入四-1=。+3中，进而求出“a"处的数字；

24

(2)将(1)中a的值代入原方程，求解即可.

【解答】解：(1)根据题意将x=8代入山-1=”+二中，

24

日口93

即—l=a+一，

22

解得a=2,

厂.“a”处的数字为2；

(2)将a=2代入原方程得，--1=2+—,

24

去分母得，2(x+l)-4=8+(2-x),

去括号得，2x+2-4=8+2-x,

移项合并得，3x=12,

系数化为1得，x=4.

【点评】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解本题

的关键.

【变式3-1](2023秋•关岭县期末)解方程：

Y-I-1Y

(1)3x+7=-l-2x；(2)2+——=-.

35

【分析】(1)移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可；

(2)去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,据此求出方程的解即可.

【解答】解：(1)移项，可得：3x+2x=-l-7,

合并同类项，可得：5%=-8,

系数化为1,可得：x=-1.6.

(2)去分母，可得：30+5(x+1)=3x,

去括号，可得：30+5x+5=3x,

移项，可得：5x-3x=-30-5,

合并同类项，可得：2%=-35,

系数化为1,可得：x=-17.5.

【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要明确解一元一次方程的一般步骤，去括号要注意括号前

面的符号，移项时要改变符号是关键.

【变式3-2](2023秋•成安县期末)解下列方程：

(1)4(2x-1)-3(5x+2)=3(2-x)；(2)1-^-^=^^.

32

【分析】(1)先去括号，再移项，合并同类项，把未知数的系数化“1”，从而可得答案；

(2)先去括号，再去括号，移项，合并同类项，把未知数的系数化“1”，从而可得答案.

【解答】解：(1)4(2x-1)-3(5%+2)=3(2-x),

去括号得：8x-4-15x-6=6-3x,

整理得：-4x=16,

解得：x=T；

,c、3-5x3x—•5

\2,)1----------=--------，

32

去分母得：6-2(3-5期=3(3%-5),

去括号得：6-6+10x=9x-15,

解得：x=-15.

【点评】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的步骤”是解本题的关键.

【变式3-3](2023秋•泗洪县期末)--—=3.

0.20.5

【分析】本题方程两边都含有分数系数，如果直接通分，有一定的难度，但对每一个式子先进行化简、整理

为整数形式，难度就会降低.

【解答】解：去分母，得

5(x-2)-2(x+l)=3,

去括号，得

5x—10—2%—2=3,

合并同类项，得

3x=15,

方程的两边同时除以3,得

x=5.

【点评】本题主要考查了一元一次方程的解法.本题易在去分母、去括号和移项中出现错误，还可能会在解

题前产生害怕心理.因为看到小数、分数比较多，学生往往不知如何寻找公分母，怎样合并同类项，怎

样化简.

【变式3-4］（2023秋•通州区期末）已知代数式8x-7的值与代数式6-2x的值互为相反数，求x的值.

【分析】根据题意，先列出方程，再求方程的解.

【解答】解：8%-7的值与代数式6-2%的值互为相反数，

8x—7+6—2x=0.

/.6x—1=0.

1

x——•

6

【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解决本题的关键.

【变式3-5］（2023秋•沂南县期末）若式子主匚的值比空里的值小2,求x的值.

23

【分析】先根据题意得出方程，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可.

【解答】解：由题意，得主三=①1一2,

23

去分母，得3（3x-2）=2（5x+l）-12,

去括号，得9x-6=10x+2-12,

移项，得9x—10x=2—12+6,

合并同类项，得-x=Y,

系数化成1,得x=4.

【点评】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键.

【变式3-6］（2023秋•明水县期末）关于x的方程》-2m=-3x+4与2-m=x的解互为相反数.

（1）求加的值；

（2）求这两个方程的解.

【分析】（1）先求出第一个方程的解，然后根据互为相反数的和等于0列式得到关于〃，的方程，再根据一

元一次方程的解法求解即可；

（2）把机的值代入两个方程的解计算即可.

【解答】解：（1）由％-27"=-3》+4得：x=—m+\,

2

思、:—/w+1+2—m=0,

2

解得：m-6；

（2）由m=6,

解得方程％—2m=—31+4的解为％=」x6+l=3+l=4,

2

解得方程2-7“=x的解为x=2—6=-4.

【点评】本题考查了同解方程的问题，先求出两个方程的解的表达式，然后根据互为相反数的和等于0列式

求出机的值是解题的关键.

【变式3-7］（2023秋•潮南区期末）阅读理解题：

你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因和方法.

阅读下列材料：

问题：利用一元一次方程将0.7化成分数.

设0.7=尤，

由0.7=0.777...,可知10x0.7=7.777...=7+0.7,

即7+x=lOx.（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用）

77

可解得「，gp0.7=-.

99

（1）填空：将0.4直接写成分数形式为-.

一9一

（2）请仿照上述方法把小数0.25化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程.

【分析】（1）按照例题的解题思路进行计算，即可解答；

（2）按照例题的解题思路进行计算，即可解答.

【解答】解：（1）设0.4=x,

由0.4=0.444…，可知10x0.4=4.444.=4+0.4,

即4+%=10尤，

44

解得：x=—9即0.4=—,

99

故答案为：—；

9

（2）设0.25=%,

由0.25=0.252525可知100x0.25=25.2525...=25+0.252525

即25+尤=100尤，

解得：尤="，

99

25

即0.25=—.

99

【点评】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，理解例题的解题思路是解题的关键.

【变式3-8］（2023秋•桂平市期末）本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小蒙同学的解题过程：

解方程：£±1_^±Z=3

24

解：方程两边同时乘以4,得：±±1x4-至二x4=3x4…①

24

去分母，得：2（x+l）-3x+2=12...@

去括号，得：2x+2-3x+2=12…③

移项，得：2x-3x=12-2-2...@

合并同类项，得：-x=10…⑤

系数化1,得：x=10...@

（1）以上求解步骤中，第一步的依据是.

（2）上述小蒙的解题过程从第一步开始出现错误，错误的原因是.

（3）请帮小蒙改正错误，写出完整的解题过程.

【分析】检查小蒙同学的解题过程，找出出错的步骤，以及错误的原因，写出正确的解题过程即可.

【解答】解：（1）第一步的依据是：等式的基本性质；

（2）第②步开始出现错误，错误的原因是去分母没有加括号；

故答案为：等式的基本性质；②；去分母没有加括号.

（3）解：方程两边同时乘以4,得：土里x4-亘望x4=3x4,

24

去分母，得：2（x+l）-（3x+2）=12,

去括号，得：2x+2-3x-2=12,

移项，得：2x-3x=12-2+2,

合并同类项，得：r=12,

系数化1,得：x=-12.

【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键.

【考点题型四】配套问题

【例4】（2023秋•东港区期末）2023年8月8日，是全国第15个全民健身日，近年来，日照始终秉持“以

人民为中心”的展思想，不断扩大城市体育服务供给量，打造“体育生活圈”，某工厂现需生产一批太空漫

步器（如图），每套设备各由一个架子和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产支

架60个或脚踏板96套，应如何分配工人才能使每天的生产的架子和脚踏板配套？每天生产多少套太空漫

步器？

【分析】设分配无名工人生产架子，（45-幻名工人生产脚踏板，根据题意得脚踏板的数量是架子的数量的

2倍，列出方程，即可求解问题.

【解答】解：设分配无名工人生产架子，（45-幻名工人生产脚踏板，

由题意得，2・60%=96（45-尤），

解得x=20,

则生产脚踏板的人数为45-20=25（人），

每天生产太空漫步机的数量为60x20=1200（套），

答：分配20名工人生产架子，25名工人生产脚踏板，才能使每天的生产的架子和脚踏板配套，每天生产太

空漫步器1200套.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，配套问题，本题的关键是理解题意得到脚踏板的数量是架子的数

量的2倍进而列出方程解题.

【变式4-11（2023秋•黔南州期末）如图是学校手工艺社团编织的手工花朵，一朵花由1个花心和8个花瓣

构成，已知手工艺社团有30人，据统计，每个学生一节课可以编织5个花心或20个花瓣.安排多少人编织

花心，多少人编织花瓣，才能使一节课编织出来的花心和花瓣刚好配套？

学生手工艺花朵

【分析】设安排x人编织花心，贝U（30-x）人编织花瓣，根据一朵花由1个花心和8个花瓣构成列出方程求

解即可.

【解答】解:设安排无人编织花心，则（30-尤）人编织花瓣，

根据题意得，5xx8=20（30-尤），

解得x=10,

止匕时3O—x=3O—10=20（人）,

答：安排10人编织花心，则20人编织花瓣，才能使一节课编织出来的花心和花瓣刚好配套.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，正确列出方程是解题的关键.

【变式4-2］（2023秋•九龙坡区期末）某车间有80名工人，负责加工某轿车甲、乙两种零件的生产任务.每

个工人每天能加工20个甲种零件或加工15个乙种零件，每辆轿车需要4个甲种零件和3个乙种零件.该

车间每天生产的零件正好满足轿车的配套需求.

（1）每天应安排多少工人加工甲种零件？

（2）每天生产该轿车总加工费为15200元.已知加工一件甲种零件的费用比加工一件乙种零件的费用少2

元，求加工一件乙种零件的费用为多少元？

【分析】（1）设每天应安排x名工人加工甲种零件，则应安排（80-尤）名工人加工乙种零件，根据该车间每

天生产的零件正好满足轿车的配套需求，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出应安排加工甲种零件的

人数，再将其代入（80-尤）中，即可求出应安排加工乙种零件的人数；

（2）设加工一件乙种零件的费用为y元，则加工一件甲种零件的费用为（y-2）元，根据每天生产该轿车总

加工费为15200元，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论.

【解答】解：（1）设每天应安排x名工人加工甲种零件，则应安排（80-尤）名工人加工乙种零件，

根据题意得：&="（807）,

43

解得：x=40,

.".80-x=80-40=40（名）.

答：每天应安排40名工人加工甲种零件，40名工人加工乙种零件；

（2）设加工一件乙种零件的费用为y元，则加工一件甲种零件的费用为（y-2）元，

根据题意得：20x40（y—2）+15x40y=15200,

解得：y=12.

答：加工一件乙种零件的费用为12元.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.

【变式4-3］（2023秋•榆阳区期末）在社会与实践的课堂上，刘老师组织七（1）班的全体学生用硬纸板制

作圆柱体（图1）.七（1）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪20

个圆柱侧面（图2）或剪10个圆柱底面（图3）.

图1图2图3

(1)七(1)班有男生、女生各多少人？

(2)原计划男生负责剪圆柱侧面，女生负责剪圆柱底面，要求一个圆柱侧面配两个圆柱底面，那么每小时

剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么男生应向女生支援多少人时，才能使每小时内剪出的侧面与

底面配套.

【分析】(1)设该班有男生x人，则女生有(50-刈人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；

(2)先判断每小时剪出的筒身与桶底不配套，然后设男生向女生支援y人，剪出的筒身与桶底正好配套，

根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果.

【解答】解：(1)设该班有男生x人，则女生有(50-尤)人，

由题意，得50-x=x+2,

解得x=24,

答：该班有男生24人，女生26人；

(2)因为男生一小时剪筒身24x20=480,

需要960个筒底，而26x10=260,

所以每小时剪出的筒身与筒底不配套，

设男生向女生支援y人，剪出的筒身与筒底正好配套，

由题意，得2x20x(24-y)=10x(26+y),

即960-40y=260+10〉，

解得：y=14,

则男生向女生支援14人，剪出的筒身与筒底正好配套.

【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键.

【变式4-4](2023秋•信州区期末)某工厂现有15〃木料，准备制作各种尺寸的圆桌和方桌，如果用部分

木料制作桌面，其余木料制作桌腿.

(1)已知一张圆桌由一个桌面和一条桌腿组成，如果1加木料可制作40个桌面，或制作20条桌腿.要使

制作出的桌面、桌腿恰好配套，直接写出制作桌面的木料为多少

(2)已知一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成.根据所给条件，解答下列问题：

①如果1加3木料可制作50个桌面，或制作300条桌腿，应怎样计划用料才能使做好的桌面和桌腿恰好配套？

②如果3m3木料可制作20个桌面，或制作320条桌腿，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？

【分析】(1)设用x疝木料制作桌面，则用(15-x)立方米木料制作桌腿恰好配套，根据条件的数量关系建

立方程求出其解即可.

(2)①设用G7?木料制作桌面，则用(15-0立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意建立方程求出其解即

可.②设用y射木料制作桌面，则用(15-y)加木料制作桌腿恰好配套，由题意建立方程求出其解即可.

【解答】解：(1)设用x疝木料制作桌面，则用(15-尤)立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意得

40x=20(15-x),

解得：x=5,

答：制作桌面的木料为5疝.

(2)①设用。"木料制作桌面，则用(15-0立方米木料制作桌腿恰好配套，由题意得

4x50a=300(15-d),

解得：a=9,

制作桌腿的木料为：15-9=6(M).

答：用9川木料制作桌面，用6疝木料制作桌腿恰好配套.

②设用y加木料制作桌面，则用(15-,)加木料制作桌腿能制作尽可能多的桌子，由题意得

4x20x^-=320x^^,

33

解得y=12,

.•.15-12=3帚，

答：用12加木料制作桌面，用3方木料制作桌腿能制作尽可能多的桌子.

【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，寻找配套问题的等量关系建立方程是解决问题的关

键.

【考点题型五】工程问题

【例5】(2023秋•清原县期末)某市今年进行煤气工程改造，甲乙两个工程队共同承包这个工程.这个工程

若甲队单独做需要10天完成；若乙队单独做需要15天完成.若甲乙两队同时施工4天，余下的工程由乙

队完成，问乙队还需要几天能够完成任务？

【分析】设甲乙两队同时施工4天后，余下的工程乙队还需要x天能够完成任务，利用甲队完成的工程量+

乙队完成的工程量=总工程量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论.

【解答】解：设甲乙两队同时施工4天后，余下的工程乙队还需要尤天能够完成任务，

根据题意得：巴+士=1,

1015

解得：x=5.

答：乙队还需要5天能够完成任务.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.

【变式5-1](2023秋•高阳县期末)某物业计划修整小区绿化带，现有甲乙两个工程队均有意愿承接此项工

程.已知甲队计划每天修整32平方米，乙队计划每天修整48平方米，若单独完成这项工作，甲队比乙队要

多用10天，修整期间，甲乙两队的人工费用分别为800元1天和1200元1天.

(1)求这项工程共需修整绿化带多少平方米？

(2)此项工程先由甲，乙两队按原计划修整速度合作一段时间后，甲队因事停工，乙队立刻将自己每天的

修整速度提高25%.且工资随之上涨了200元1天，独立完成剩下工作，已知乙队的全部工作时间是甲队

工作时间的2倍还多2天，求乙队共修整多少天？

【分析】(1)设乙工程队单独完成这项工程需要x天，根据甲、乙单独完成这项工程需修整绿化带相等，列

出方程，进而作答即可；

(2)设甲工程队的工作时间为y天，则乙工程队总工作时间为(2y+2)天，甲队修，整量+乙队修整量=960,

列出方程，再解即可.

【解答】解：(1)乙工程队单独完成这项工程需要x天，

由题意得：32(%+10)=48%,

解得：x=20,

48x20=960(平方米)，

这项工程共需修整绿化带960平方米；

(2)设甲工程队的工作时间为y天，则乙工程队总工作时间为(2〉+2)天，

32y+48y+48(1+25%)x(2y+2-y)=960,

解得：y=6,

2y+2=2x6+2=14(天)，

，乙队共修整14天.

【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程.

【变式5-2](2023秋•桂林期末)某水利工程，甲工程队单独施工需要40天可以完成，乙工程队单独施工

需要60天可以完成.

(1)现在乙工程队施工10天后，为了加快进度，甲工程队加入，两队合作完成余下的工程，问完成此项水

利工程一共用了多少天？

（2）完成此项水利工程，甲、乙二队共得到施工费68万元，如果按每队完成的工作量计算施工费，那么甲

工程队可以得到多少万元？

【分析】（1）设完成此项水利工程一共用了x天，则甲工程队施工（x-10）天，乙工程队施工尤天，利用甲工

程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量=整个工程量（单位“1”），可列出关于x的一元一次方程，

解之即可得出结论；

（2）利用甲工程队得到的施工费=总施工费x甲工程队完成的工程量占整个工程量的比例，即可求出结论.

【解答】解：（1）设完成此项水利工程一共用了x天，则甲工程队施工（尤-10）天，乙工程队施工尤天，

根据题意得：士竺+土=1,

4060

解得：x=30.

答：完成此项水利工程一共用了30天；

（2）根据题意得：型二3x68=34（万元）.

40

答：甲工程队可以得到34万元.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.

【变式5-3］（2023秋•长清区期末）列方程解应用题：

某县在创建省级卫生文明城市中，对县城内的河道进行整治.现有一段长为260米的河道整治任务，由甲、

乙两个工程队先后接力完成.甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时25天.

（1）求甲、乙两工程队分别整治河道多少天？

（2）雇佣甲工程队需要800元/天，雇佣乙工程队需要1000元/天，则共需支付两个工程队多少钱？

【分析