2025中考数学一轮复习：分式（讲练）原卷版

第一章数与式

第03讲分式

（思维导图+9个考点+4种题型+难度分层练）

考情透视目标导航..............................................................................2

知识导图思维导航..............................................................................2

考点突破考法探究..............................................................................3

重点考点一分式的相关概念...............................................................3

重点考点二分式的基本性质...............................................................4

重点考点三分式的运算.....................................................................5

题型精研考向洞悉..............................................................................6

第一部分：常考考点讲练........................................................................6

考点1:分式的值为零的条件................................................................6

考点2：分式的值...........................................................................7

考点3：分式的基本性质.....................................................................7

考点4：最简公分母.........................................................................7

考点5：分式的乘除法.......................................................................7

考点6：分式的加减法.......................................................................8

考点7：分式的混合运算.....................................................................9

考点8：分式的化简求值.....................................................................9

考点9：负整数指数鬲......................................................................10

第二部分：高频题型洞悉.......................................................................10

题型1：求分数值为正（负）数时未知数的取值范围..........................................10

题型2：求使分数值为整数时未知数的取值范围...............................................11

题型3：利用分式的基本性质判断分式值的变化...............................................11

题型4：分式加减乘除混合运算.............................................................12

分层训练巩固提升.............................................................................13

基础夯实训练.............................................................................13

能力拔高训练.............................................................................13

考情透视•目标导航

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考点要求新课标要求命题预测

在中考，主要考查分

分式的相关概念>理解分式和最简分式的概念.

式的意义和分式值为零

情况，常以选择题、填空

分式的基本性质>能利用分式的基本性质进行约分与通分.

题为主；分式的基本性质

和分式的运算考查常以

分式的运算>能对简单的分式进行加、减、乘、除运算.选择题、填空题、解答

题的形式命题.

知识导图•思维引航

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考点突破•考法探究

重点考点一分式的相关概念

21，?兖实目础知浪精出

分式的概念：如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子金叫做分式，A为分子，B为分母.

D

对于分式金来说：①当BWO时，分式有意义；当B=0时，分式无意义.

D

②当A=0且BWO这两个条件同时满足时，分式值为0.

③当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为-1.

④若》0,则A、B同号;若京0,则A、B异号.

约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分.

最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.

通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分.

通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母.

约分与通分的联系与区别：

联系都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值.

区别1）约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单.

2）通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式.

最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次累的积作为公分母，这样的

分母叫做最简公分母.

确定最简公分母的方法：

类型方法步骤

1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；

分母为单项式

2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数.

1）对每个分母因式分解；

分母为多项式2）找出每个出现的因式的最高次幕，它们的积为最简公分母；

3）若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.

©ft高颛易错把握细节

1.判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简

后再判断，例如：蔡就是分式.

2.分式的值为0,必须保证分母W0,否则分式无意义.

3.约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式,约分要彻底，使分子、

分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等.

4.约分与通分都是根据是分式的基本性质.约分的关键是找出分子和分母的公因式，通分的关键是确定几

个分式的最简公分母.

。技15点捷方法旧纳

1）分式值为0的条件：分式的分子等于0且分母不等于0,这两个条件必须同时考虑，进而求解问题.

2）分式值为正的条件：分式的分子、分母同号.

3）分式值为负的条件：分式的分子、分母异号.

4）分式的约分子和分母必须都是乘积的形式才能进行约分，约分要彻底，使分子、分母没有公因式.确定分

子、分母的公因式的方法：

分子、分母类型具体方法

单项式1）系数取各系数的最大公约数;2）相同字母取字母的最低次幕.

多项式先把分子、分母进行因式分解,再确定公因式

重点考点二分式的基本性质

Ss''1,兖实目础知源精/

AA•r

分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于。的整式，分式的值不变.即:广-（C.0）

或g=昔（c#o）,其中A,B,C是整式.

分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个,分式的值不变，即：《=3=-9=

D—DD

A

©ft高麻易错把握细节

运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式；

②隐含条件：分式的分母不等于0.

■技巧点拨方法归纳

分式的基本性质是分式恒等变形和分式运算的理论依据，正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的

关键，利用分式的基本性质可将分式恒等变形，从而达到化简的分式，简化计算的目的.

重点考点三分式的运算

建7兖实目础知i只描沮

分式运翼说明

1）同分母：分W不变.分子相加即：s±5--.

CC€

分式的加履法

2）洋分母e光通分.化为网分母的分式.和加减.即，：土：=巴竽.

t*d2

1）乘法；用分干的枳作为枳的分子,分切的粗作为枳的分口.即；：=B

ba

分式的乘除法

2）除正把赊式的分子、分理・倒位■,再与破除式加餐£+：=：・色=誓

分式的乘力把分f.分母分别乘乩即：（:）"=£

运WHS序：先H乘方,再算乘除，最后算和行括8的.先W括号里的.灵活运用运H

分的混合匕算

律.父算结果必须艮最用分式或整K.

©ft商颛易错把握细节

1.异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母.

2.整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式.

3.分式与分式相乘，

①若分子、分母是单项式，则先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式或整式;

②若分子、分母是多项式，则先把分子、分母分解因式，看能否约分，再相乘.

4.当分式与整式相乘时,要把整式与分子相乘作为积的分子,分母不变.

5.乘方时,一定要把分式加上括号,并且一定要把分子、分母分别乘方.

6.分式乘方时,确定乘方结果的符号与有理数乘方相同，即：

①正分式的任何次幕都为正；②负分式的偶次幕为正,奇次幕为负.

7.分式乘方时,分式的分子或分母是多项式时,应把分子、分母分别看作一个整体.

la-iJ（a-b）2a2-b2

8.分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运

算.

•技15点提方法归纳

先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.在化简的过程中要注意运算顺序和

分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式.

【规律方法】分式化简求值时需注意的问题

1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤,

代入求值的模式一般为“当…时，原式=•••”.

2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法.解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法.当

未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0.

题型精研•考向洞悉।

A\

第一部分：常考考点讲练

考点1：分式的值为零的条件

【例1】（2024•武进区校级模拟）若代数式E的值为0,则实数x的值是（）

X

A.0B.2C.3D.4

【变式1］（2024•泗阳县三模）若使分式二过口的值为0,贝!U的值为（）

（7—1

A.一1或1B.一1或3C.3D.±1或3

【变式2］（2024•东台市校级模拟）若分式―的值为0,则彳=—.

X+1

考点2：分式的值

【例2】（2024•姜堰区一模）对于分式上^的值，下列说法一定正确的是（）

1-m

A.不可能为0B.比1大C.可能为2D.比加大

【变式1］（2024•天宁区校级一模）分式的值，可以等于（）

X+1

A.-1B.0C.1D.2

【变式2］（2024•涕阳市一模）若。>0,b>0,且标-62=4",则"芟的值为

a—2b

考点3：分式的基本性质

【例3】（2024•宜兴市二模）不改变分式的值，将分式二中的分子与分母的各项系数化为整数，且

—0.3%+0.5

第一项系数都是最小的正整数，正确的是（)

A2x+l口2x-10「2%+102%+10

A.-----D.-------D.

3x-53x+5.3x+53x-5

【变式1］（2024•鼓楼区一模）若加w几，则下列化简一定正确的是（)

.m+3mm—3mm3m3mm

A,-------=—B.C.D.

n+3nn—3nn3n3nn

【变式2］（2023•海门市二模）如果把分式叶&中的x和y都扩大到原来的20倍，那么分式的值（）

X

B.缩小到原来的-L

A.扩大到原来的20倍

20

C.扩大到原来的2倍D.不变

考点4：最简公分母

【例4】（2。2。・江阴市模拟）分式圭,5的最简公分母是

【变式1］（2021•宜兴市校级二模）分式和旦的最简公分母为_2（机-〃）

2m-Inm-n

考点5：分式的乘除法

【例5】（2024•秦淮区二模）（〃二）+1-2"+1

【变式1］（2024•扬州）（1）计算:|乃-3|+2sin3O。-（百-2）°；

（2）化简：二+（彳一2）.

x+1

【变式2］（2023•新吴区二模）（1）计算：%。一囱+（g）-2；

（3）化简：三二3+生F

x+44x

考点6：分式的加减法

【例6】（2024•梁溪区校级一模）已知实数根、n、p满足根-〃+p=—+—-—=0,则下列结论:①若m>0,

mnp

则〃>夕；②若p=l,贝!J/—帆=1；③若病—p2=2,则初=2；④若〃p=l,则m=1.其中正确的为（

)

A.②③④B.①②③④C.①②③D.①③④

【变式1］（2024•锡山区一模）化简—L+a—1的结果是（）

a+1

A.1B.

a+1Q+1

【变式2］（2024•建邺区二模）计算——+的结果是.

【变式2】（2024•扬中市二模）（1）计算：|--|+3-1-2°+sin30o；

3

（2）化简：士生一〃“I.

m—1

考点7：分式的混合运算

【例7】（2024•沐阳县模拟）化简-的结果是（)

C2-ba

A.a+bB.---C.a-bD.

a+ba-b

【变式1】(2024•徐州)计算：

1X—1

(1)|-3|-20240+(-)^+^8；(2)(1二)十口.

x~x

【变式2］（2024•滨湖区校级一模）（1）计算:(-1)-'+28^45°-|3-72|；

(2)化简：(乌....—

a+3a—3a—9

考点8：分式的化简求值

【例8】（2024•高新区校级模拟）先化简，再求值：土在十（尤+1一至二1）,其中*=一2.

尤2—1尤一1

【变式1］（2024•亭湖区三模）先化简：伍+3+工）三，再从的整数中选取一个你喜欢的。

a—32a—6

的值代入求值.

【变式2］（2022•南京模拟）已知实数x,y,z,。满足x+/=2010,y+a2=2011,z+a2=2012,且

孙z=6,则代数式上+上+三一工一工一工的值等于—

yzxzxyxyz

考点9：负整数指数募

【例9】（2024•武进区校级一模）计算：（_1）2+《尸=

【变式1］.（2020•盐城二模）计算：|_g|一2T-（万-4）°.

【变式2］（2023•东海县二模）比较大小：2"2023°.（用“>“〈”或“="填空）

第二部分：高频题型洞悉

题型1：求分数值为正（负）数时未知数的取值范围

［例1］（23-24八年级上•山东威海•期末）若分式与二1的值为负数，则x的取值范围是（）

/+4

,5555

A.x1—B.x<——C.x>—D.x<—

2222

【变式1］（16-17八年级上•北京房山•期中）若分式4的值为正数，贝□满足______

7-x

【变式2］（23-24八年级上•江苏苏州•期末）阅读材料：

解分式不等式竺F<。

x-l

3x+6<0

解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为

x-l>0

3x+6>0…

①或x-l<0②

解①得：无解，解②得：—2<x<l

所以原不等式的解集是-2<x<l

⑴请运用上述方法，直接写出下列分式不等式的解集

x-4,八3%+2八x+2，八

<0：；>2：；——<0：

2x+5-----------------x-1-----------------x2-4

⑵解分式不等式：了".

题型2：求使分数值为整数时未知数的取值范围

［例2］（2024•江苏扬州•三模）能使分式竺。值为整数的整数x有_____个.

2x-3

【变式1］（17-18八年级•山东济南•期末）若x取整数，则使分式里|的值为整数的尤值有（）

2x-l

A.4个B.5个C.6个D.8个

【变式2］（16-17八年级下•江苏扬州•阶段练习）当x取何整数时，分式与的值是整数？

X-1

题型3：利用分式的基本性质判断分式值的变化

［例3］（2024•江苏泰州•一模）对于分式上空的值，下列说法一定正确的是（）

1-m

A.不可能为0B.比1大C.可能为2D.比加大

【变式1】（21-22八年级上•，江苏南通•期末）如果把分式二^中的x和y都扩大到原来的20倍，那么

X

分式的值（）

B.缩小到原来的*

A.扩大到原来的20倍

C.扩大到原来的2倍D.不变

•三模）如果把分式工旦的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）

【变式2］（2024•江苏徐州

x+y

A.扩大为原来的9倍B.扩大为原来的3倍

C.不变D.缩小为原来的;倍

题型4：分式加减乘除混合运算

【例4】（2024九年级下•江苏徐州•学业考试）计算：

（1）（一1广4_&『+4_（万_3.14）°；⑵2-0+1

【变式11（18-19八年级上•北京房山•期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的

2

分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”.如：二=^^4=王二+二7=1+二7,贝q二是“和

x—1x-1x-1x—1x-1X-]

谐分式”.

（1）下列式子中，属于“和谐分式”的是（填序号）；

x+1z-x2+%x+2.y2+1

①——;②一③-7；

x2x+1y

（2）将“和谐分式”二£±1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：

a—1

‘一2"+3=_____（要写出变形过程）；

〃一1

（3）应用：先化简土班一T+fzL,并求X取什么整数时，该式的值为整数.

x+1xx+2x

【变式2]（2024•江苏•模拟预测）（1）计算：-/彳14

Vm-1m+1J2m

（2）解分式方程：岩-2=手工-

x-22-x

分层训练•巩固提升I

基础夯实训练

（2020•湖北恩施•中考真题）函数y=，叵的自变量的取值范围是（

1.)

X

A.x2—1B.且xwO

C.x>0D.%>—1且

Y

2.（2。24.江苏无锡・二模）函数y=k的自变量X的取值范围是（

A.%。2B.x<2C.x<2D.%<2且xwO

3.（2024•江苏宿迁•三模）下列计算正确的是（）

A.2\/3j=—6B.%6x3=x2C.(X-3)2=X2-9D.-9

（2024•江苏无锡•二模）函数y=1三中自变量x的取值范围是（

4.)

A.尤>—2B.x>2C.x<-2D.%v—2

（14-15九年级上•福建龙岩•期末）若式子耳、，在实数范围内有意义，则元的取值范围是.

5.

3x2+xy-3y2

6.（2024•山东聊城•一模）已知----=5,那么

xy2x2-xy-2y2

2x-3AR

7.（2023•江苏扬州•模拟预测）已知=~+-，其中46为常数，那么2A+B的值为

x2—xx—1X

（21-22七年级下•浙江杭州•期末）m+n,工+工，/等代数式，如果交换加和〃的位置，式子

8.

mn

的值不变，我们把这样的式子叫做完美对称式.若关于九,y的分式2V———IWC是完美对称式，则：加=

尤y

若完美对称式2v一t一nx满足：v2-t-nx=孙+2,且x>y>0,则>=（用含x的代数式表示）.

xy尤y

9.（2024•江苏扬州•模拟预测）⑴计算：椁-1卜出-2sin60°；

〃+3(〃-1)〉2

（3）解不等式组:

2a-l<3

10.（16-17七年级下•江苏无锡•期末）规定两数a,b之间的一种运算，记作（。⑼，如果/=%,那么（a,b）=c,

例如：因为23=8,所以（2,8）=3.

⑴根据上述规定，填空：（3,27）=,（5,1）=；

⑵小明在研究这种运算时发现一个现象，（3",4"）=（3,4）,小明给出了如下的证明：

设（3",4"）=x,则（3"）j,即（3，）"=¥,

3”=4,即（3,4）=x,

（3",4"）=（3,4）,

请你尝试用这种方法证明下面这个等式：（3,4）+（3,5）=（3,20）

11.（2022•江苏徐州•模拟预测）（1）计算：+（万-3）°-2cos30。+卜-J可

（2）先化简，再求值：［+"+；,其中x=卜2|-3tan60。.

lx-2x+lx-1x-11

能力拔高训练

3

12.（2024•江苏南京•三模）已知反比例函数y=—（x>0）的图像经过点（〃4%）、（〃2+1,%）、（〃7+2,%），则

X

下列关于％+%与%的大小关系正确的是（）

A.%+%>2%B.%+为<2%C.%+%=2%D.不能确定

13.（2024•江苏宿迁•二模）兴趣小组同学借助数学软件探究函数'=的图象，输入了一组。/的

hn

14.（2021•江苏苏州•中考真题）已知两个不等于0的实数。、6满足a+6=0,则一+不等于（）

ab

A.-2B.-1C.1D.2

15.（2024•江苏无锡•二模）请写出一个关于x的分式，无论x取何值该分式都有意义，且当x=l时，分

式的值为2：.

16.（2020•江苏连云港•二模）若分式二二：有意义，则x的取值