2025中考数学一轮复习：二次根式（讲练）原卷版

第一章数与式

第04讲二次根式

（思维导图+10个考点+4种题型+难度分层练）

考情透视目标导航..............................................................................2

知识导图思维导航..............................................................................2

考点突破考法探究..............................................................................3

重点考点一二次根式的相关概念............................................................3

重点考点二二次根式的性质与化简..........................................................4

重点考点三二次根式的运算................................................................5

题型精研考向洞悉..............................................................................6

第一部分：常考考点讲练........................................................................6

考点1:二次根式有意义的条件..............................................................6

考点2：二次根式的性质与化简..............................................................7

考点3：最简二次根式.......................................................................7

考点4：二次根式的乘除法...................................................................8

考点5：分母有理化.........................................................................8

考点6：同类二次根式.......................................................................9

考点7：二次根式的加减法..................................................................9

考点8：二次根式的混合运算................................................................9

考点9：二次根式的化简求值...............................................................10

考点10：二次根式的应用...................................................................11

第二部分：高频题型洞悉........................................................................13

题型1：求二次根式中的参数...............................................................13

题型2：已知最简二次根式求参数...........................................................14

题型3：分母有理化........................................................................14

题型4：比较二次根式的大小...............................................................14

分层训练巩固提升.............................................................................16

基础夯实训练.............................................................................16

能力拔高训练.............................................................................16

考情透视•目标导航

考点要求新课标要求命题预测

中考中，对二次根式的考察主要

二次根式的相关概念了解二次根式、最简二次根式的概念

集中在对其取值范围、化简计算等方

面，其中取值范围类考点多出选择题、

掌握二次根式的性质，再根据二次根式的性

填空题形式出现，而化简计算则多以

二次根式的性质与化简

质化简

解答题形式考察.此外，二次根式还常

和锐角三角函数、实数、其他几何图

了解二次根式(根号下仅限于数)力口、减、

形等结合出题，难度不大，但是也多

二次根式的运算乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则

属于中考必考题.

运算

知识导图•思维引航

二二欠根式的概念：一Wt,我们把形如Va(“)的式子叫做二次根

\式，7”称为二次根号，二欠根号下的数叫做被开方数.)

、最简二角艮式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的

二次根式的相关概念

因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式.

同类二雄式的概念：二次根式化成最简;欠根式后，若被开方数相

同，贝肱几个二次根式就是同类:欠根式.

被开方数是非负数，即让0

双重非负性-------

二次根式的值是非负数，即VaNO

I~①(何2=ag♦0)

—(3二次根式的性质与化简

a(a>0)

(二次根式)0(a=0)

(-a(«<0)

即任意•个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值

③VS=忖V5(aNO.bNO)

④[=第(a^O.b>0)

yjbvt>

乘法法则:两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：Vab

=Va«Vb(a>0,b>0)

除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变即Va/

Vb=V(a/b)(a>0,b>0).

二次根式的运算力野法;型一1一化、二找、三合并)

「分母有理化方法

混合运算顺度会方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去

掉括号).

考点突破•考法探究

重点考点一二次根式的相关概念

国充实县础知识精沮

二次根式的概念：一般地，我们把形如6（a20）的式子叫做二次根式，“厂”称为二次根号，二次根号

下的数叫做被开方数.

最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最

简二次根式.

同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次

根式.

廉）高颛曷错把握维〒

1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：V4

-V9都是二次根式.

2.二次根式有意义的条件：当a叁0时，即被开方数大于或等于0,二次根式历有意义.

3.在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式（被开方数大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有

意义的综合运用.

4.最简二次根式必须同时满足以下两个条件：

①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；

②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为L

［补充］含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、（x+y）\x'Zxy+y,等.

5.几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：鱼、限电是同类二次根式.

技巧点拨方法归纳

解决二次根式有无意义的关键：

1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非

负数.

2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零.

判断同类二次根式的方法：先把所有的二次根式化成最简二次根式，再根据被开方数是否相同来加以判断，

要注意同类二次根式与根号外的因式无关.

重点考点二二次根式的性质与化简

m夯实目础却浪隔议

双重非负性①被开方数是非负数，即a》0；

②二次根式的值是非负数，即

性质

①(网2=a(a>0)

(a(a>0)

②=|a|=<0(a=0)

其它性质1—a(a<0)

即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值

③=y/a9\(b(a>0,b>0)

④斤第(a?。,b>0)

二次根式的化简方法：

1）利用二次根式的基本性质进行化简；

2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简•府=仿・方Ca>0,b>0）,

芈（a>0,b>0）

y/b

化简二次根式的步骤：

1）把被开方数分解因式；

2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方

根的积；

3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2.

©fl窿^易错把握细〒

1.根据二次根式的性质化简时，历前无“-”，6化简出来就不可能是一个负数.

2.利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化

简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的

取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简.

3.化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.

•技15点提方法归纳

1.二次根式化简的结果一定是被开方数不含分母，被开方数中的每一个因式或因数都开不尽.

2.如果被开方数是分式或分数（包括小数），先利用商的算术平方根的性质把它写成分式或分数的形式，然后

利用分母有理化化简.

3.如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开方开得尽的因式或因数开方，从而将

式子化简.

重点考点三二次根式的运算

M夯实旦础却深嶂血

乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：4ab=4a*4b（a>0,b>0）.

除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：亲=Jj（a20,b>0）.

加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.

【口诀】一化、二找、三合并.

分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.

【分母有理化方法】

1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：白*=叵

ya7a・7aa

2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.

1y/a+4bVa+VK

即:

y/a-Vb(Va-VK)(V^+VF)a-b

混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去掉括号）.

廉I离颛易错杷握细节

1.在使用=y/a*Vb（a>0,b>0）时一定要注意aNO,b>0的条件限制.

2.在使用r=JI（a20,b>0）时一定要注意aNO,b>0的条件限制.

7b7b

3.合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开

方数和根指数不变.

4.二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并.

5二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式.

6.在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的形

式.

❺技巧点拨方法归纳

二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式

乘除法中仍然适用.在运算时要明确运算符号和运算顺序.若被开方数是带分数,则要先将其化为假分数.

二次根式的加减与整式的加减相比，可将被开方数相同的二次根式看作整式加减中的同类项进行合并.另外

有理数的加法交换律、结合律，都适用于二次根式的运算.

题型精研•考向洞悉

第一部分：常考考点讲练

考点1:二次根式有意义的条件

【例1】（2024•梁溪区校级模拟）若二次根式57有意义，则无的取值范围是（）

A.x.OB.x>0C.5D.x<5

【变式1］（2023•清江浦区校级模拟）使^/^与有意义的无的取值范围在数轴上表示为（）

A.-10

B.

C.-10

D.-10

【变式2］（2024•沐阳县校级三模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是

，％+2

【变式3］（2024•扬中市二模）使式子凶二1有意义的x的取值范围是.

考点2：二次根式的性质与化简

【例2】（2024•宿迁三模）下列运算正确的是（）

A.（x-y）2=x2-y2B.^（-3）2=-3C.3a+4a=7/D.2a3+a3=3a3

【变式1］（2022•吴中区模拟）实数a,。在数轴上的对应点如图所示，化简病+|。+6|结果为（）

-------!!---!----------------►

b---a0

A.2a—bB.—2a—bC.—bD.3b

【变式2］（2024•海门区一模）用一个无的值说明“正=无”是错误的，则x的值可以是-

【变式3］.（2021•苏州自主招生）若化简|1-尤|-JY-8X+16的结果为2x-5,则x的取值范围是—.

考点3：最简二次根式

【例3】（2023•梁溪区校级二模）下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.720B.挺C.£D.753

【变式1］（2021•海州区校级一模）下列式子中，为最简二次根式的是（）

A.£B.A/2C.A/4D.712

【变式2］（2022•射阳县校级一模）下列二次根式中是最简二次根式的是（）

A.730B.gC.712D.而

【变式3］（2017•邳州市校级模拟）若二次根式百是最简二次根式，则最小的正整数。=

考点4：二次根式的乘除法

【例4】（2024•南通）计算用的结果是（）

A.9B.3C.3A/3D.&

【变式1］（2024•姑苏区校级二模）下列计算正确的是（）

A.（°3）2=/B.（孙2）3=孙6C.（-2b2）2=-4/Q.（6）?=q

【变式2］（2024•淮安）计算：温义g=—.

【变式3］（2023•海州区校级二模）使得有意义的尤的取值范围是_.

5/尤—2

考点5：分母有理化

【例5】（2024•玄武区二模）下列各数中，与2+退的积为有理数的是（）

A.2如B.2+^/3C.-2+73D.-2-73

【变式1］（2024•秦淮区校级模拟）计算,一而的结果是.

【变式2］（2022•镇江二模）（1）计算：6+3COS30°+（-1）TX2；

(2)化简：

aa+a

【变式3］（2021•徐州模拟）计算：

（1）一马+|tan45。一拒1+（3.14—万）°+2-2；x2+2%+1x

(2)

X2-1x-1

考点6：同类二次根式

【例6】（2024•滨湖区校级一模）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（）

A.枢与上B.应与后C.有与屈D.后与后

【变式1］（2023•广陵区校级四模）下列二次根式中与点是同类二次根式的是（）

A.712B./C.£D.J18

【变式2］（2021•江都区校级模拟）下列二次根式中与g是同类二次根式的是（）

A.712B.左C.£D.J18

【变式3］（2024•无锡模拟）写一个二次根式，使它与质是同类二次根式，这个二次根式可以是

【变式4］（2023•盐都区三模）若最简二次根式正6与3应是同类二次根式，则。=—,

考点7：二次根式的加减法

【例7】（2024•工业园区模拟）下列计算正确的是（）

A.—3+l=YB.疵一代=3C.x'°^x2=x8D.x（x-l）=x2-1

【变式1］（2024•泗阳县模拟）计算：夜-曲=—.

【变式2］（2023•如东县一模）计算后-的结果是—.

【变式3］（2024•浦口区校级三模）计算通+《的结果是.

考点8：二次根式的混合运算

【例8】（2024•新北区一模）下列计算正确的是（）

A.（应）。=点B.2-X/3+3A/3=5A/6C.氓=4叵D.若（2月2）=6-2若

【变式11（2024•玄武区一模）计算瓦一夕的结果是

A/3一

【变式2］（2024•祁江区校级三模）（1）计算：（-1）2-|^-2|+^-tan30°；

3无一4<2%+1

（2）解不等式组：5.X+3

--->X

2

【变式3］（2024•惠山区三模）计算:

(1)(万-3)°-tan60°+(-2尸；(2)(x+3)(x-3)-(x-2)2.

【变式4］（2024•常熟市模拟）计算：（石一1）。+

考点9：二次根式的化简求值

【例9】（2023•灌云县校级模拟）阅读下面的文字后，回答问题:

2

小强和小芳解答题目：先化简下式，再求值：a+yll-2a+a,其中q=9时，得出了不同的答案.

小强的解答是：原式=4+J（l_q）2=4+（1-4）=1；

小芳的解答是：原式=4+J(l_q)2=«—(1—a)=2a—1=2x9—1=17.

请你判断，解答正确的是（)

A.小强B.小芳

C.小强和小芳D.小强与小芳均错误

【变式1］（2024•无锡模拟）已知工=退-1,则代数式三一4尤-«的值为—.

X

【变式2］（2023•邳州市一模）（1）先化简，再求值：（〃一3七伫L其中a=走-1;

aa2

（2）tf-MI-21+A/9-2021°-2sin30°.

【变式3］（2022•泗洪县一模）已知：a=&2,b=^-2,求（“+5）（4+匕2一心）的值.

考点10：二次根式的应用

【例10］（2023•苏州模拟）如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，

已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段。的长度为，Q-2,则这块地砖的面积为（）

A.50B.40C.30D.20

【变式1］（2023•常州）如图，小红家购置了一台圆形自动扫地机，放置在屋子角落（书柜、衣柜与地面均

无缝隙）.在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能自动从底座脱离后打扫全屋地面.若这台扫地机能从角落

自由进出，则图中的x至少为（精确到个位，参考数据：后1。4.58）.

【变式2](2022•海门市校级模拟)如图，四边形ABCD和CEFG是两个相邻的正方形，其中3,C,E在

同一条直线上，点。在CG上，它们的面积分别为27平方米和48平方米，则3E的长为一米.

【变式3](2024•扬中市二模)中国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即己知三

角形的三边长’求它的面积’用现代式子表示为S=(秦九韶公式).

古希腊数学家海伦利用三角形三条边的边长直接求出了三角形的面积.如果一个三角形的三边长分别为a,

b,c,记p=a+；+c,那么这个三角形的面积S=飞p(p-a)(p-b)(p-c)(海伦公式).

请完成下列问题：

(1)一个三角形的三边长依次为5,5,6,则该三角形的面积为一；

(2)请由秦九韶公式推导出海伦公式；

(3)若三角形的周长为24a“，一边长为6c〃z,求此三角形的面积的最大值，并判断此时三角形的形状.

【变式4](2023•建湖县校级模拟)阅读下面材料：

将边长分别为a,a+y/b,a+1\[b,a+3近的正方形面积分别记为工，S2,S3,S4.

贝！]S2—Sl=(a+\[b)~~a~

—[(a++a],[(a+yfb)—a]

=Qa+

=b+2asfb

例如：当a=l,6=3时，5一H=3+2省

根据以上材料解答下列问题：

(1)当a=l,。=3时，S3-S2=,S4-S3=；

(2)当a=l,6=3时，把边长为〃扬的正方形面积记作5用，其中〃是正整数，从(1)中的计算结果,

你能猜出5例-S“等于多少吗？并证明你的猜想；

(3)当a=1,/?=3时，令.=邑一S],%?=S3—S2,GS—S3,…，=Sn+i—Sn,且T=%+三+/3+,••+%，

求T的值.

第二部分：高频题型洞悉

题型1:求二次根式中的参数

【例1】(20-21九年级下•山西吕梁•阶段练习)已知a,b都是实数，6斗+屈二I-2,贝Ia6的

值为•

【变式1］（2016•广东揭阳•二模）函数中自变量x的取值范围是

1

【变式2］（2017•辽宁盘锦•中考真题）若式子有意义，则x的取值范围是.

J2尤+3

题型2：已知最简二次根式求参数

【例2】（2023江苏扬州模拟预测）若最简二次根式2〃力同、3而石万是同类二次根式，则，"-〃=

【变式1］（20-21八年级下•新疆乌鲁木齐•期中）若最简二次根式7§^二1与&是同类二次根式，贝壮的

值为.

【变式2］（2015•广西柳州•二模）若二次根式^/§不是最简二次根式，则最小的正整数2=

题型3：分母有理化

【例3】（2023•江苏淮安•模拟预测）先化简，再求值：1一三」十一，其中x=g-i.

XX

【变式1］（2020•福建•中考真题）先化简，再求值：fl11+二4,其中》=忘+1

Vx+2Jx+2

【变式2］（2023•江苏南京•二模）先化简，再求值：f—1―--其中0=6+1，b=l.

\a-ba-b）a+b

【变式3］（2023•江苏宿迁•模拟预测）先化简，再求代数式的值：（亭++其中a满

\a-2a4-a）a

足方程/+4a+l=0

题型4：比较二次根式的大小

【例4】（2017•江苏南京•一模）比较大小：2币5（填”或

【变式1]（2018•山东潍坊•模拟预测）卜-四)

A.1-应B.72-1C.1+72D.-1-V2

【变式2]（23-24八年级下•安徽淮南•阶段练习）我们知道形如专,忑占后的数可以化简，其化简的

目的主要是把分母中的无理数化为有理数’如'=熹=*’马=访婚后西=转走’

这样的化简过程叫做分母有理化，我们把血叫做血的有理化因式，石-若叫做石+班的有理化因式,

完成下列各题.

（1）币的有理化因式是，3-272的有理化因式是;

⑵化简：上尸；

3-2V3

（3）比较J2008-J2007,J2006-J2005的大小,说明理由.

【变式3]（23-24八年级下•浙江金华•阶段练习）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如

121V2V2

7r羽二方的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化"&=卜可=耳

22^+7226+2逝2«+2夜.外

斥&一（6-闾（百+夜]（南一个厂一•

类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化"0=正=（&）=2_；

1V2V2

6-1_（GT（石+1）_（括）_产_3-1_2

6-A/3（V3+1）-（73）2+A/3-3+6_3+73,

根据上述知识，请你解答下列问题：

⑴化简上弓;

⑵比较近与如的大小，并说明理由.

分层训练•巩固提升I

基础夯实训练

1.（2023•江苏扬州•三模）-扃的倒数是（）

A.-8B.—叵C.8D.--

48

2.（2024•江苏无锡•二模）函数>=5/771的自变量取值范围是（）

A.x>—3B.x<-3C.x>—3D.

3.（2024八年级下•全国•专题练习）若式子技工行在实数范围内有意义，则〃的取值范围是（

A.a>3B.a>3C.a<3D.a<3

4.（2023-江苏镇江•模拟预测）下列运算正确的是（）

A.X2-X3=x6B.（-*=i

C.2T=1D.2括+3夜=5斯

5.（13-14九年级上•广东汕头•阶段练习）式子耳工在实数范围内有意义，则x的取值范围是

6.（21-22八年级下•浙江宁波•期中）若«^在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是

7.（2024•江苏连云港•模拟预测）计算返-gx后的结果是.

8.（22-23八年级下•四川广安•期末）若|2023-同+〃-2024=加,贝%-20232=.

（23x+]

9.（2024•江苏宿迁•中考真题）先化简再求值：1+—7其中1=豆+3.

\x+1Jx-9

（2023.江苏宿迁.中考真题）先化简,再求值：[1-士）其中片及+1

10.

I-几十m

n.（2024•江苏南京•二模）品（刀为正整数）的近似值可以这样估算：个y丁厂,其中〃是最接近〃

27m

的完全平方数.例如：衣管=4.9,这与科学计算器计算旧的结果4.8989…很接近.

不妨假设邓=y[m+a哦,

其中|a|VL

（1）按照以上方法，估计属的近似值（精确到0.1）；

（2）结合图中思路，解释该方法的合理性.

12.（2024•江苏南京•二模）与几何证明一样，代数推理也需要有理有据.请先完成第（1）题的填空,

再完成第（2）题的证明.

（1）已知实数x,y满足x>y>0,求证x2>V.

证明：V%>y>0,

x+y>0（实数的加法法则），

x-y>0（不等式的基本性质1）.

二（x+y）（x-y）>0（①）.

（x+y）（x-y）=x?-y2（②），

x2-y2>0.

(③).

（2）已知实数x,y满足x>y>0,求证石〉方.（注：无需写出每步的依据.）

能力拔高训练

13.（2024•江苏南京•模拟预测）整数。满足/一&<°</+1成立，贝匹为（）

A.0B.1C.-1D.1或一1

14.（2024•江苏宿迁•三模）下列说法正确的是（）

A.调查一批手机的防摔能力采用普查

B.为了解2022年泗阳县中考数学成绩，随机抽取了500名学生成绩，那么样本容量是500

C.“泗阳县今年7月15日12点有雨”是不可能事件

D.厄与后不是同类二次根式

15.（2024•江苏南京•一模）如图，实数机在数轴上对应的点M到原点的距离为5.下列各数中，与，"最

接近的是（）

M

----••------------>

m------0

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