2025中考数学二轮复习：一线三等角-专项训练【含答案】

2025中考数学二轮专题复习-一线三等角.专项训练

选择题（共7小题）

1.如图，己知直线相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABC。

的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ABCD的面积为（

A.4B.5C.9D-¥

2.如图，直线11//12//13,一等腰直角三角形ABC的三个顶点A,B,C分别在/i,12,h

上，ZACB=90°,AC交/2于点。，已知/1与/2的距离为1,/2与/3的距离为3,这样

)

D・誓

3.直线/1〃/2〃/3,且/1与/2的距离为1,/2与/3的距离为3,把一块含有45°角的直角三

角形如图放置，顶点A,B,C恰好分别落在三条直线上，AC与直线/2交于点。，则线

D-T

4.如图，。是等边△ABC边48上的一点，且4。=1,BD=2,现将△ABC折叠，使点C

与。重合，折痕ER点、E、尸分别在AC和BC上，若BF=L25,则A£=（）

C

3355

5.如图，矩形A8CZ）中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形

ABC。的周长为（）

A.12如B.1073C.8泥D.8+4遥

6.如图，正方形A8C。的边长为4,E是8c上一点，过点E作交8C于点孔

连接AR则的最小值是（）

AD

口

BEC

A.5B.V7C.2V2D.3

7.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,点。在边BC上，点E在/C内部，且△AOE是等

边三角形，NCBE=60：若BC=5,BE=3,则△A3。的面积为（）

CD

A.^/1_B.373

C.4V3D.573

2

二.填空题（共4小题）

8.如图，已知在四边形A3ED中，点C是线段AB的中点，且BE=2,

AD=8,那么AC=.

9.如图，等边三角形ABC中，放置等边三角形。所，且点。，E分别落在AB,BC上,AD

=5,连结CR若CF平分/AC2,则BE的长度为.

10.已知，如图，RtZ\A8C中，ZACB=90°,AC=BC,D为BC上一点,CE_LA。于E,

若CE=2,贝ijS&BEC=.

11.如图，点M、N是边长为6的正△ABC的边46、AC上的动点，将△AMN沿MN折叠,

恰好使A点落在BC边上的D点处.若BD：8=2：3,则AM：AN的值

三.解答题(共8小题)

12.如图①，点3、C在NMAN的边AM、AN上，点E,尸在/MAN内部的射线A。上，

/I、N2分别是△ABE、的外角.已知A8=AC,Z1=Z2=ZBAC.求证：△

ABE^/XCAF.

应用：如图②，在△ABC中，AB=AC,AB>2C,点D在边BC上，且0)=22。，点E,

尸在线段上.Z1=Z2=ZBAC,若△ABC的面积为15,求△A8E与△<?£)尸的面积

之和.

图①图②

13.如图，已知矩形ABCD的顶点A,。分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6,AD：AB

=3：1,CE垂直y轴于点E.

(1)求证：XCDEs△DAO；

(2)直接写出点8和点C的坐标.

14.如图，一次函数〉=依+6(AWO)的图象与x轴，y轴分别交于A(-9,0),B(0,6)

两点，过点C(2,0)作直线/与BC垂直，点E在直线/位于x轴上方的部分.

(1)求一次函数y=hr+b(AW0)的表达式；

(2)若△ACE的面积为H,求点E的坐标；

(3)当NC8E=NAB0时，点E的坐标为.

15.如图，等边三角形△AC8的边长为3,点P为BC上的一点，点。为AC上的一点,

连接AP、PD,ZAPD=60°.

(1)求证：®AABP^/\PCD；®AP2=AD-AC；

(2)若PC=2,求CD和AP的长.

D

50,

BPC

16.如图，△ABC和△£>£厂是两个全等的等腰直角三角形，ZBAC^ZEDF^9Q°,4DEF

的顶点£与△ABC的斜边BC的中点重合.将尸绕点E旋转，旋转过程中，线段。E

与线段相交于点P,线段所与射线CA相交于点。.

(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP=A。时，求证：ABPE沿ACQE；

(2)如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：ABPEs'EQ.

图①图②

17.如图，M为线段A8的中点，AE与BD交于点、C,ZDME=ZA=ZB=a,且。M交

AC于尸，ME交BC于G.

(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对;

(2)连接尸G,如果a=45°,A8=4*历，AF=3,求FC和尸G的长.

C

D

•E

18.感知：如图①，在四边形A8CD中，AB//CD,/B=90°,点尸在BC边上，当/APD

=90°时，可知△ABPS2\PCD（不要求证明）

探究：如图②，在四边形ABCZ）中，点尸在8C边上，当NB=/C=/AP。时，求证：

丛ABPs丛PCD.

拓展：如图③，在△ABC中，点尸是边BC的中点，点。、E分别在边AB、AC上.若

/B=NC=NDPE=45°,BC=6近,BD=4,则DE的长为.

BP

图①图②图③

19.【模型建立】如图1,等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,CB=CA,直线ED经过

点C,过点A作AD±ED于点D,过点B作BELED于点E,易证明△BEC之△CZM（无

需证明），我们将这个模型称为“K形图”.接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：

【模型运用】（1）如图2,在平面直角坐标系中，等腰RtZXACB,ZACB=90°,AC=

BC,AB与y轴交点。，点C的坐标为（0,-2）,A点的坐标为（4,0）,求2,。两点

坐标；

（2）如图3,在平面直角坐标系中，直线/函数关系式为：y=4x+4,它交y轴于点A,

交无轴于点C,在x轴上是否存在点B,使直线A8与直线/的夹角为45°?若存在，求

出点8的坐标；若不存在，请说明理由.

【模型拓展】（3）如图4,在RtZkABC中，ZC=90°,AC=6,8C=8,点方在AC上，

点E在BC上，CD=2,分别连接BQ,AE交于F点.若NBFE=45。，请直接写出CE

的长.

图1图2图3图4

参考答案与试题解析

选择题(共7小题)

1.【解答】解：作跖，/2,交11于E点,交14于F点、.

'：h//l2//h//U,EFLh,

：.EF1h,EF±k,

即/AE£)=/Z)PC=90°.

为正方形，

/.ZADC=9Q°.

：.ZADE+ZCDF^90°.

：.ZCDF=ZDAE.

在△&£>£1和△QCP中

，ZDEA=ZCFD

,ZEAD=ZCDF

AD=DC

AAADE^ADCF(AAS),

：.CF=DE=\.

•：DF=2,

.•.CD2=l2+22=5,

即正方形ABCD的面积为5.

故选：B.

2.【解答］解：如图，作8尸，/3,AEL13,

•.•直线/i〃/2〃/3,AZ）：CD=1：3,

：.AG：EG=1：3,

设AG=1,EG=3,

,：ZACB=90°,

AZBCF+ZACE^9Q°,

,：ZBCF+ZCBF=90°,

ZACE=ZCBF,

rZBFC=ZCEA

在△ACE和△C8F中，＜NCBF=/ACE，

BC=AC

/.LACE咨ACBF,

：.CE=BF,CF=AE,

V/i与h的距离为1,/2与/3的距离为3,

；.AG=1,BG=EF=CF+CE=7

；•AB=7BG2+AG2=5&,

'：ll//l3,

・DG=1

"CEI

.,.OG=LCE=3,

44

工BD=BG-DG=1-3=空，

44

•AB=4点

"BD5

故选：A.

3.【解答】解：分别过点A、B、。作AFL/3,BE±h,DG±h,

「△ABC是等腰直角三角形，

：.AC=BC,

,：ZEBC+ZBCE=90°,ZBCE+ZACF=90°,ZACF+ZCAF=90°,

/EBC=ZACF,ZBCE=ZCAF,

在△BCE与△CAP中，

，ZEBC=ZACF

'BC=AC，

ZBCE=ZCAF

:.ABCE经ACAF(ASA)

：.CF=BE,CE=AF,

Vh与h的距离为1,/2与与的距离为3,

:.CF=BE=3,CE=AF=3+l=4,

在RtAACF中，

：AF=4,CP=3,

•■•AC=VAF2+CF2=^42+32=5，

'：AF1h,DG±h,

.•.△CZJG^ACAF,

.•.理■=&5!■,旦=里，解得。£)=至，

AFAC454

在RtABCD中，

•：CD=^-,BC=5,

4

•■•SD=VBC2+CD2=^52+(^-)=-y-

故选：A.

4.【解答】解：・・・△ABC为等边三角形，

：.BC=AB=3,ZA=ZB=ZC=60°.

由翻折的性质可知：ZEDF=60°.

ZFDB+ZEDA=120°.

9：ZEDA^-ZAED=120o,

・•・ZAED=ZFDB.

：.△AEDs^BDF.

...妪型即胆=2,解得：AE=8

ADFB11.255

故选：c.

5.【解答】解：..•小正方形的面积为1,.•.小正方形的边长也为1

设CE=y,

VZAEB+ZCEF=90a,WZEFC+ZC£F=90°

/AEB=/EFC

又,：/B=NC=90°,AE=EF=4

:.AABE咨ECF(A4S)

：.AB=EC=y,BE=CF=x

...由勾股定理可得/+y2=42

而同理可得NEFC=NPG。，且/C=NO=90°

:.△ECFsAFDG

.EC_CF_EF_4

"FD"DG"FG"2

.,.即=&。=_1丫，

22y

'：AB^CD

.,1

..y=x+-=-y

2

.\y=2x,将其代入/+y2=42中

于是可得x=遗尸还

55_

而矩形A8C£>的周长=2(x+y)+2y=5y=5X^Z§_=8V5

5

故选：c.

6•【解答】解：•・,四边形ABCQ是正方形，

：.AB=BC=CD^AD=4,ZB=ZC=ZD=9Q°,

：.ZBAE+ZAEB=90°,

BE=x,贝!jEC=8C-3E=4-x,

VEF±AE,

AZAEF=90°,

ZAEB+ZFEC=180°-ZAEF=90°,

：.ZBAE=ZFEC,

：.AABEsdECF,

•AB=BE

"ECCF'

•••4--—x“,

4-xCF

...b=x(4-x)

4

=--J?+X

4

—_-(x-2)，+l,

4

.,.当x=2时，CF最大=1,

此时DF最a、=DC-CF=3,

在RtAADF中，AF=^AD2+DF=1/42+DF2，

当。F最小=3时，AF取最小值，

•••AF最小=V42+32=5,

・・・A/的最小值是5,

故选：A.

7.【解答］解：如图，在3C的延长线上取点R使NA阳=60°,

A

「△AOE是等边三角形，

：.AD=DE=AEfZADE=60°,

・.,ZADB=ZAFD-^-ZDAF=NADE+NEDB,

：./DAF=/EDB,

又/CBE=60°,

ZAFD=ZDBE=60°,

：.AAFD^ADBE(A4S),

:・FD=BE=3,AF=BD,

设CF=x,贝UCD=3-x,

BD=5-(3-x)=X+2,

VZACB=90°,

.ZACF=90°，

：.ZCAF=90°-60°=30°,

•A,F=,2CF=^X9

.*.2x=x+2,

•・1=2,

:,CF=2,

，AC=2愿，AF=BD=4

•'△ABD=^-BD'AC=yX4X2«=4料，

故选：C.

二.填空题（共4小题）

8.【解答】解：VZA=ZB=ZDCE,

VZAZ）C=180°-ZA-ZACD,ZBCE=180°-ZDCE-ZACD,

：.ZADC=ZBCE,

：.MACDsABCE,

•AD=AC

"BCBE"

;点C是线段AB的中点，

J.AC^BC,

：.AC2=AD'BE=16,

：.AC=4,

故答案为：4.

9.【解答］解：如图，在BC上截取EG=BD,连接歹G,

AABC和4DEF是等边三角形,

：.DE=EF,AB=BC,/DEF=NB=/ACB=60°,

/DEC=NBDE+/B=ZDEF+ZFEG,

・•・ZBDE=NFEG,

在43皮)和△G/E中，

rDE=EF

<NBDE=NFEG，

BD=EG

AABED^AGFE(SAS),

：.ZB=ZEGF=60°,BE=FG,

二月。平分NAC8,

AZACF=ZECF=30°,

ZEGF=/GFC+/FCG,

・•・NG尸C=NGC尸=30°,

:・FG=CG=BE,

*：AB=BC,BD=EG,

：.AD=BE+CG=2BE=5,

：.BE=2.5.

故答案为：2.5.

10.【解答］解：如图，过点5作交CE的延长线于点”,

VZACB=90°,

AZACE+ZBCH=90°,

•：BHLCE,

：.ZBHC=9Q°,

:・/HBC+NBCH=9U°,

JZHBC=NACE,

在△3"。与△CEA中，

'NBHC=ZCEA=90°

<ZHBC=ZECA，

BC=AC

AABHC^ACEA(AAS),

：.BH=CE=2,

.c_CEXBH_2X2_o

-bABEC=_2--2Y

故答案为：2.

11•【解答】解：:△ABC是等边三角形，

AZA=60°,

由翻折可知：/Affi>N=NA=60°,

:.NMDB+/NDC=120°,

在中，ZMDB+ZBMD^12.0o,

：.ZBMD=ZNDC,

.,.MBDMS4CND,

「△ABC是边长为6的等边三角形，BD：CD=2：3,

：.BD^2A,CD=3.6,

,:△BDMsACND,

：.BM：CD=BD-.CN=DM-.DN,

"：AM=MD,AN=ND,BM^6-AM,CN=6-AN,

：.(6-AM)：3.6=2.4：(6-AN)=AM：AN,

：.3.6AM=6AN-AN-AM®,

2AAN=6AM-AM'AN®,

①-②得，3.6AM-2.4AN=6AN-6AM,

即9.6AM=8.4AM

：.AM：AN=(8.4)：(9.6)=7：8.

故答案为：z.

8

三.解答题(共8小题)

12.【解答】证明：(1)VZ1=Z2=ZBAC,且=Z2^ZFAC+ZFCA,

ZBAC=ZBAE+ZFAC,

：.ZBAE^ZFCA,ZABE=ZFAC,且AB=AC,

.•.△ABE^ACAF(ASA)

(2)：/l=N2=NB4C,且N1=NBAE+NA8E,/2=NFAC+/FCA,ZBAC^Z

BAE+ZFAC,

：.ZBAE=ZFCA,ZABE=ZFAC,1.AB=AC,

：.AABE^/\CAF(ASA)

••S/\ABE-S/\CAF>

,:CD=2BD,△ABC的面积为15,

••S/^ACD—10—SAABE+SACDF.

13•【解答】(1)证明：•..四边形ABCD是矩形，

：.CD=AB,ZADC=9Q°,

：.ZADO+ZCDE=ZCDE+ZDCE=90°,

:.NDCE=/ADO,

.•.△CDE^AADO.

(2)解：:△CDEsADAO,

•-•一C.E一_D,E_C—D,

0D0AAD

VOD=2OA=6,AD：AB=3：1,

，OA=3,CD：A£)=」，

3

.,.CE=4Z)=2,£)E”OA=1,

33

：.OE=1,

：.C(2,7),

利用平移的性质可得8(5,1).

14.【解答】解：(1)；一次函数丫=依+6(AWO)的图象与无轴，y轴分别交于A(-9,0),

B(0,6)两点，

-9k+b=0

b=6

b=6

一次函数y—kx+b的表达式为y——x+6；

-3

(2)如图，设点E到x轴的距离为//,

VA(-9,0),C(2,0),

S^ACE=-AC'/i=-1Xll/i=ll,

22

：.h=2,即点E的纵坐标为2,

记直线/与y轴的交点为。，

:BC_U,

：.ZBCD^90°=NBOC,

：.ZOBC+ZOCB^ZOCD+ZOCB,

：./OBC=/OCD,

,：ZBOC=ZCOD,

:.△OBCs8ocD,

•OB0C

"ocW

,:B(0,6),C(2,0),

：.OB=6,OC=2,

•-•-6--~---2--,

20D

：.OD=2L,

3

：.D(0,-2),

3

VC(2,0),

；・直线/的解析式为y=L-2,

33

当y=2时，.Xx--=2,

33

・\x=8,

：.E(8,2)；

(3)如图，过点E作跖，x轴于R连接BE,

/ABO=NCBE,ZAOB=ZBCE=90°

△ABOsAEBC,

BC_B02s

cf"AO"3"

/BCE=90°=ZBOC,

NBCO+NCBO=ZBCO+ZECF,

ZCBO=ZECF,

ZBOC=ZEFC=90°,

△BOCsXCFE,

BQPC_BC_2

CF'EF'CE

_6__2_^2

乐声而，

CF=9,EF=3,

OF=11,

E(11,3).

故答案为(lb3).

15.【解答】(1)证明：①在等边三角形△ACB中，ZB=ZC=60°,

VZAPD=60°,AAPC^ZPAB+ZB,

:.NDPC=NPAB,

：.AABPS^PCD；

②：/%C=/ZMP,ZC=ZAPD=60°,

AADP^AAPC,

•APAD

,•而H

J.AP2^AD'AC；

(2)解：，；AABPs^pCD,AB=AC=3,

•ABBP

"PCW

.-.cz)=22£i=2,

33

/.AD=3-2=工，

33

•.•等边三角形△ACB的边长为3,PC=2,AP2=AD'AC,

；.AB=3,BP=L

：.AP=y/7>

:.CD=4

3

16.【解答】证明：(1);△ABC是等腰直角三角形，

；./B=NC=45°,AB=AC.

'：AP^AQ,

：.BP=CQ.

是BC的中点，

；.BE=CE.

在△BPE和△CQE中，

'BE=CE

<NB=NC，

BP=CQ

:.ABPE0ACQE(SAS)；

(2)'：ZBEF=ZC+ZCQE,ZBEF=ZBEP+ZDEF,且/C=/OEF=45°,

：.ZCQE=ZBEP,

'：ZB=ZC,

:.△BPEs^CEQ,

17.【解答】解：(1)AAMEs^MFE,ABMDsAMGD,4AMFsABGM,

VZAMD=ZB+ZD,ZBGM=ZDMG+ZD

又/B=/A=/DME=a

：.ZAMF=ZBGM,

：.AAMFsABGM,

(2)连接FG,

由(1)知，AAMFsABGM,

•BGBM

,•瓦

是线段AB中点，

/.AB=4-/2，AM=BM=2近,

；BG=&,Za=45°,

3

.•.△ABC为等腰直角三角形，

：.AC=BC=4,CF=AC-AF=1,

CG=4-旦工

33

/.由勾股定理得FG=H

3

18•【解答】解：感知：•.•NAP£)=90°,

/.ZAPB+ZDPC^90a,

VZB=90°,

ZAPB+ZBAP=90a,

：.ZBAP=ZDPC,

'：AB//CD,ZB=90°,

.•.NC=N2=90°,

AABP^/\PCD.

探究：VZAPC=ZBAP+ZB,ZAPC=ZAPD+ZCPD,

：.ZBAP+ZB=ZAPD+ZCPD.

\'ZB=ZAPD,

：.ZBAP=ZCPD.

■:NB=/C,

：.AABPSAPCD,

拓展：同探究的方法得出，ABDPsACPE,

•BD_BP

"CP

:点尸是边8c的中点，

:.BP=CP=35

'：BD=4,

.43V2

.飞鱼=CE'

；.CE=9,

2

VZB=ZC=45°,

/.ZA=180°-ZB-ZC=90°,

即AC±AB且AC^AB=6,

：.AE=AC-CE=6-9=工，AD=AB-BD=6-4=2,

22

在RtAWE中，O£=7AD2+AE2=^(2)2+22=1.

故答案为：1.

2

19.【解答】解：(1)如图1,过点B作8E_Ly轴于E,

•.•点C的坐标为(0,-2),A点的坐标为(4,0),

；.OC=2,04=4,

•.•等腰RtAACB,ZACB=90°,AC=BC,

又轴，y轴，x轴，

NBEC=ZAOC=ZACB=90",

：.ZBCE+ZACO^9Q0,/BCE+/CBE=9Q°,

/.ZACO=ZCBE,

在△CEB和△AOC中，

,ZBEC=ZAOC

<ZCBE=ZACO-

BC=AC

.,.△CEB^AAOC(AAS),

:.BE=OC=2,CE=AO=4,

：.OE=CE-OC=4-2=2,

：.B(-2,2),

设直线A8的解析式为y=fcc+b(左#0),

VA(4,0),B(-2,2),

.f4k+b=0

*l-2k+b=2，

k」

3

直线AB的解析式为y=-lx+1,

33

：AB与y轴交点。，

：.D(0,A)；

3

(2)存在符合条件的点艮理由如下：

①点8在x轴负半轴上，如图2,

过点C作CDLAC,交AB于点D,过点D作DELx轴于点E,

：/BAC=45°,ZACD=90°,

J.CA^CD,

ZDEC=ZACD=ZACO=90°,

：.ZBCD+ZACO^90°,NBCD+/CDE=90°,

/./ACO=NCDE,

丝△AOC(AAS),

：.DE=OC=1,CE=AO=4,

：.OE=5,

：.D(-5,1),

设直线AD的解析式为y=kix+bi(RWO),

VA(0,4),Z)(-5,1),

.%i=4

-5.+b「I

解得：45,

b1=4

/.直线A