2024-2025学年高一数学上学期高频考点突破专题04基本不等式含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE10专题04基本不等式基本不等式1．均值定理：假如，（表示正实数），那么，当且仅当时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．2．均值不等式推广：，其中须要前提条件．叫做平方平均值．3．可以认为基本元素为，，；其中随意一个为定值，都可以求其它两个的最值．考点1：常规基本不等式问题例1.（1）已知，则的最小值为A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：，当且仅当即时取等号，故选：．（2）已知，则取最大值时的值为A． B． C． D．【解答】解：，则，当且仅当即时取最大值故选：．（3）已知函数，当时，取得最小值，则等于A．9 B．7 C．5 D．3【解答】解：，，，当且仅当，即时取等号，取得最小值，此时，．故选：．考点2：基本不等式易错点例2.（1）已知，，，则的最小值是A． B． C． D．【解答】解：由，得，解得且，①当时，，，，当且仅当即时取等号；②当时，，，当且仅当即时取等号．综上可得，最小值故选：．（2）已知，，则下列不等式中不成立的是A． B． C． D．【解答】解：，；，当时取“”；，当时取“”；，当时取“”；该不等式成立；，当时取“”；，当时取“”；，当时取“”；该不等式成立；．，当时取“”；，当时取“”；该不等式成立；，当时取“”；；，当时取“”；该不等式不成立．故选：．考点3：基本不等式常见变形例3.已知，且，则取得最小值时，等于A． B． C． D．【解答】解：（当且仅当即取得最小值时，满意故选：．例4.（1）已知正数，满意，则的最小值是A．9 B．10 C．11 D．12【解答】解：正数，满意，，，，当且仅当时取等号，的最小值为9．故选：．（2）已知，，且，则最大值是．【解答】解：，，令，上式化为，解得．的最大值即最大值是．故答案为：．（3）若实数，满意，则的最大值是A．6 B．4 C． D．【解答】解：实数，满意，即．再由，可得，解得，，故的最大值为，故选：．例5.（1）已知，，，则的最小值是A．4 B． C．5 D．9【解答】解：，，，，当且仅当，即，时取等号，故选：．（2）若正数，满意，则的最小值是A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：正数，满意，，当且仅当即且时取等号，的最小值是5故选：．例6.（1）设，，且，求的最大值．【解答】解：，，且，当且仅当即且时取等号，的最大值为（2）设，则的最小值是A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：当且仅当取等号即取等号．的最小值为4故选：．例7.设正实数，，满意．则当取得最大值时，的最大值为A．0 B．1 C． D．3【解答】解：，，又，，均为正实数，（当且仅当时取“”，，此时，．，，当且仅当时取得“”，满意题意．的最大值为1．故选：．例8.（1）函数的最小值为A．2 B．3 C． D．2.5【解答】解：令，则在，上单调递增，，即，函数的最小值为2.5，故选：．（2）已知，则函数的最小值为．【解答】解：，，．．当且仅当，即时取得最小值．故答案为：．（3）函数的最大值为．【解答】解：设，则，．，当且仅当时取最值．．．即原函数的最大值为．故答案为．课后作业：1．若，，，则的最小值为A． B．4 C． D．3【解答】解：因为，，，则，当且仅当且，即，时取等号．故选：．2．已知，，，则的最大值是A．100 B．50 C．20 D．10【解答】解：由，可得：，解得，当且仅当时取等号．则的最大值是50．故选：．3．实数，，，且满意，则的最小值是A．1 B． C．2 D．3【解答】解：实数，，，且满意，，化为：，，，．解得，当且仅当时取等号．的最小值是2．故选：．4．若，则的最大值为A． B． C． D．【解答】解