2024-2025学年高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.2.1组合与组合数公式练习新人教A版选修2-3

PAGE2-2-1组合与组合数公式[综合训练·实力提升]一、选择题（每小题5分，共30分）1．给出下列问题：①从1，2，3，…9这九个数字中任取3个，组成多少个三位数？②有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？其中组合问题的个数是A．0B．1C．2D．3解析①是排列问题，和依次有关．②，③是组合问题，和依次无关，故选C.答案C2．已知Ceq\o\al(x－2,12)＝Ceq\o\al(2x－4,12)，则x的值是A．2B．6C.eq\f(1,2)D．2或6解析依据组合数性质Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)可得到：若Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(p,n)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤m≤n，,0≤p≤n，,m＝p或m＋p＝n，))依据题意得到：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x－2≤12，,0≤2x－4≤12，,x－2＝2x－4或（x－2）＋（2x－4）＝12.))解得x＝2或x＝6.答案D3．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建马路的条数为A．4B．8C．28D．64解析由于“村村通”马路的修建，是组合问题．故共须要建Ceq\o\al(2,8)＝28条马路．答案C4．已知Ceq\o\al(7,n＋1)－Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n)，则n等于A．14B．12C．13D．15解析∵Ceq\o\al(7,n＋1)＝Ceq\o\al(8,n＋1)，∴7＋8＝n＋1，∴n＝14.答案A5．计算Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3,2012)的值为A．Ceq\o\al(4,2013)B．Ceq\o\al(5,2013)C．Ceq\o\al(4,2013)－1D．Ceq\o\al(5,2013)－1解析Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(3,6)＋…＋Ceq\o\al(3,2012)＝Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,2012)－Ceq\o\al(4,4)＝Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋…＋Ceq\o\al(3,2012)－1＝…＝Ceq\o\al(4,2012)＋Ceq\o\al(3,2012)－1＝Ceq\o\al(4,2013)－1.答案C6．某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现须要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，假如按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是A．Ceq\o\al(3,10)Ceq\o\al(3,5)B．Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(2,5)C．Ceq\o\al(5,15)D．Aeq\o\al(4,10)Aeq\o\al(2,5)解析按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则需从10名男性中抽取4人，5名女性中抽取2人，共有Ceq\o\al(4,10)Ceq\o\al(2,5)种抽法．答案B二、填空题（每小题5分，共15分）7．若Ceq\o\al(m－1,n)∶Ceq\o\al(m,n)∶Ceq\o\al(m＋1,n)＝3∶4∶5，则n－m＝________．解析由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(Ceq\o\al(m－1,n),Ceq\o\al(m,n))＝\f(3,4)，,\f(Ceq\o\al(m,n),Ceq\o\al(m＋1,n))＝\f(4,5)，))由组合数公式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3n－7m＋3＝0，,9m－4n＋5＝0，))解得n＝62，m＝27.n－m＝62－27＝35.答案358．Ceq\o\al(0,3)＋Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(18,21)的值等于________．解析原式＝Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(18,21)＝Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(18,21)＝…＝Ceq\o\al(17,21)＋Ceq\o\al(18,21)＝Ceq\o\al(18,22)＝Ceq\o\al(4,22)＝7315.答案73159．(2024·全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参与科技竞赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写答案)解析通解可分两种状况：第一种状况，只有1位女生入选，不同的选法Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12(种)；其次种状况，有2位女生入选，不同的选法有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)＝4(种)．依据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同选法有16种．优解从6人中任选3人，不同的选法有Ceq\o\al(3,6)＝20(种)，从6人中任选3人是男生，不同的选法有Ceq\o\al(3,4)＝4(种)，所以至少有1位女生入选的不同的选法20－4＝16(种)．答案16三、解答题（本大题共3小题，共35分）10．（10分）计算：(1)Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(48,50)·Ceq\o\al(9,9)；(2)Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(5,5)；(3)Ceq\o\al(n,n＋1)·Ceq\o\al(n－1,n).解析(1)原式＝Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,50)×1＝eq\f(7×6×5,3×2×1)＋eq\f(50×99,2×1)＝35＋1225＝1260.(2)原式＝2(Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5))＝2(Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,5))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(5×4,2×1)))＝32.(3)解法一原式＝Ceq\o\al(n,n＋1)·Ceq\o\al(1,n)＝eq\f(（n＋1）！,n！)·n＝eq\f(（n＋1）·n！,n！)·n＝(n＋1)·n＝n2＋n.解法二原式＝(Ceq\o\al(n,n)＋Ceq\o\al(n－1,n))·Ceq\o\al(n－1,n)＝(1＋Ceq\o\al(1,n))·Ceq\o\al(1,n)＝(1＋n)·n＝n2＋n.答案(1)1260(2)32(3)n2＋n11．（12分）解不等式Ceq\o\al(n－5,n)>Ceq\o\al(3,n－2)＋2Ceq\o\al(2,n－2)＋Ceq\o\al(1,n－2).解析因为Ceq\o\al(n－5,n)＝Ceq\o\al(5,n).所以原不等式可化为Ceq\o\al(5,n)>(Ceq\o\al(3,n－2)＋Ceq\o\al(2,n－2))＋(Ceq\o\al(2,n－2)＋Ceq\o\al(1,n－2))，即Ceq\o\al(5,n)>Ceq\o\al(3,n－1)＋Ceq\o\al(2,n－1)，也就是Ceq\o\al(5,n)>Ceq\o\al(3,n)，所以eq\f(n！,5·（n－5）！)>eq\f(n！,3！·（n－3）！)，即(n－3)(n－4)>20，解得n>8或n<－1.又n∈N*，n≥5，所以n≥9且n∈N*.答案n≥9且n∈N*12．（13分）现有10件产品，其中有2件次品，随意抽出3件检查．(1)恰有一件是次品的抽法有多少种？(2)至少有一件是次品的抽法有多少种？解析(1)从2件次品中任取1件，有Ceq\o\al(1,2)种抽法；从8件正品中取2件，有Ceq\o\al(2,8)种抽法．由分步乘法计数原理可知，共有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,8)＝56种不同的抽法．(2)解法一含1件次品有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(2,8)种抽法，含2件次品有Ceq\o\al(2,2)×Ceq\o\al(1,8)种抽法．由分类加