2024-2025学年新教材高中数学第四章概率与统计4.3.2独立性检验课时分层作业含解析新人教B版选择性必修第二册

PAGE1-课时分层作业(二十二)独立性检验(建议用时：40分钟)一、选择题1．为了探讨中学学生对乡村音乐的看法(喜爱和不喜爱两种看法)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算得χ2＝7.01，则认为“喜爱乡村音乐与性别有关系”的把握约为()A．0.1% B．1%C．99% D．99.9%C[易知χ2＝7.01>6.635，比照临界值表知，有99%的把握认为喜爱乡村音乐与性别有关系．]2．某探讨所为了检验某血清预防感冒的作用，把500名运用了该血清的志愿者与另外500名未运用该血清的志愿者一年中的感冒记录作比较，提出假设H：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得χ2≈3.918，经查临界值表知P(χ2≥3.841)＝0.05.则下列叙述中正确的是()A．有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”B．若有人未运用该血清，那么他一年中有95%的可能性得感冒C．这种血清预防感冒的有效率为95%D．这种血清预防感冒的有效率为5%A[χ2≈3.918>3.841，因此有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”，故选A.]3．给出下列实际问题：①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种病是否有区分；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟是否与性别有关系；⑤网吧与青少年的犯罪是否有关系．其中用独立性检验可以解决的问题有()A．①②③ B．②④⑤C．②③④⑤ D．①②③④⑤B[独立性检验是推断两个分类变量是否有关系的方法，而①③都是概率问题，不能用独立性检验．]4．下表是甲、乙两个班级进行数学考试，按学生考试及格与不及格统计成果后的2×2列联表，则χ2的值为()不及格及格合计甲班123345乙班93645合计216990A.0.559 B．0.456C．0.443 D．0.4A[χ2＝eq\f(90×12×36－33×92,45×45×21×69)≈0.559，故选A.]5．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是()A．若χ2>6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C．若从χ2统计量中得出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误D．以上三种说法都不正确C[A，B是对χ2的误会，99%的把握认为吸烟和患肺病有关，是指通过大量的视察试验得出的一个数值，并不是100个人中必有99个人患肺病，也可能这100个人全健康．]二、填空题6．(一题两空)在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671人，经过计算χ2＝7.63，依据这一数据分析，有______的把握说，打鼾与患心脏病是________的．(“有关”或“无关”)99%有关[∵χ2＝7.63，∴χ2>6.635，因此，有99%的把握说，打鼾与患心脏病是有关的．]7．若两个分类变量x和y的列联表为：yxy1y2x1515x24010则x与y之间有关系的概率约为________．0.999[χ2＝eq\f(5＋15＋40＋105×10－40×152,5＋1540＋105＋4015＋10)≈18.822.∵18.822>10.828，∴x与y之间有关系的概率约为1－0.001＝0.999.]8．某高校“统计初步”课程的老师随机调查了选该课程的一些学生状况，详细数据如下表：非统计专业统计专业男1310女720为了推断主修统计专业是否与性别有关系，依据表中数据，得到χ2＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈4.844>3.841，所以断定主修统计专业与性别有关系，那么这种推断出错的可能性约是________．5%[∵P(χ2≥3.841)＝0.05，故推断出错的可能性为5%.]三、解答题9．某高校餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜爱甜品不喜爱甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100(1)依据表中数据，问是否有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异；(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜爱甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜爱甜品的概率．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cb＋dc＋d)，P(χ2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635[解](1)将2×2列表中的数据代入公式计算，得χ2＝eq\f(100×60×10－20×102,70×30×80×20)＝eq\f(100,21)≈4.762.由于4.762>3.841，所以有95%的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异．(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本领件空间Ω＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}，其中ai表示喜爱甜品的学生，i＝1,2，bj表示不喜爱甜品的学生，j＝1,2,3.基本领件空间Ω由10个基本领件组成，且这些基本领件的出现是等可能的．用A表示“3人中至多有1人喜爱甜品”这一事务，则A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)}．事务A由7个基本领件组成，因而P(A)＝eq\f(7,10).10．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，其次组工人用其次种生产方式．依据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)依据茎叶图推断哪种生产方式的效率更高？并说明理由．(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式其次种生产方式(3)依据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828[解](1)其次种生产方式的效率更高．理由如下：(ⅰ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用其次种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多80分钟．因此其次种生产方式的效率更高．(ⅱ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用其次种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此其次种生产方式的效率更高．(ⅲ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需平均时间高于80分钟；用其次种生产方式的工人完成生产任务所需平均时间低于80分钟．因此其次种生产方式的效率更高．(ⅳ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用其次种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布．又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用其次种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少．因此其次种生产方式的效率更高．(以上给出了4种理由，答出其中随意一种或其他合理理由均可)(2)由茎叶图知m＝eq\f(79＋81,2)＝80.列联表如下：超过m不超过m第一种生产方式155其次种生产方式515(3)因为χ2＝eq\f(4015×15－5×52,20×20×20×20)＝10>6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．11．某人探讨中学生的性别与成果、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1成果性别不及格及格总计男61420女102232总计163652表2视力性别好差总计男41620女122032总计163652表3智商性别偏高正常总计男81220女82432总计163652表4阅读量性别丰富不丰富总计男14620女23032总计163652A.成果 B．视力C．智商 D．阅读量D[A中，χ2＝eq\f(52×6×22－10×142,20×32×16×36)＝eq\f(13,1440)；B中，χ2＝eq\f(52×4×20－12×162,20×32×16×36)＝eq\f(637,360)；C中，χ2＝eq\f(52×8×24－8×122,20×32×16×36)＝eq\f(13,10)；D中，χ2＝eq\f(52×14×30－2×62,20×32×16×36)＝eq\f(3757,160).因此阅读量与性别相关的可能性最大，所以选D.]12．(多选题)有两个分类变量X，Y，其列联表如下所示，Y1Y2X1a20－aX215－a30＋a其中a,15－a均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为X，Y有关，则a的值为()A．6 B．7C．8 D．9CD[依据公式，得χ2＝eq\f(65×[a30＋a－15－a20－a]2,20×45×15×50)＝eq\f(13×13a－602,20×45×3×2)＞3.841，依据a＞5且15－a＞5，a∈Z，求得当a＝8或9时满意题意．]13．(一题两空)为探讨某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：无效有效合计男性患者153550女性患者64450合计2179100设H：服用此药的效果与患者的性别无关，则χ2≈________(小数点后保留一位有效数字)，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种推断出错的可能性为________．4.95%[由公式计算得χ2≈4.9.∵χ2>3.841，∴我们有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而有5%的可能性出错．]14．某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜爱足球进行调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如下列联表：不喜爱足球喜爱足球总计高于40岁pq50不高于40岁153550总计ab100若工作人员从全部统计结果中任取一个，取到喜爱足球的人的概率为eq\f(3,5)，则有超过________的把握认为年龄与足球的被喜爱程度有关．附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).P(χ2≥k)0.050.0250.0100.001k3.8415.0246.63510.82895%[设“从全部人中随意抽取一个，取到喜爱足球的人”为事务A，由已知得P(A)＝eq\f(q＋35,100)＝eq\f(3,5)，所以q＝25，p＝25，a＝40，b＝60.χ2＝eq\f(100×25×35－25×152,40×60×50×50)＝eq\f(25,6)≈4.167>3.841.故有超过95%的把握认为年龄与足球的被喜爱程度有关．]15.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图：旧养殖法新养殖法(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事务“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并依据列联表推断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．箱产量<50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法附：P(χ2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d).[解](1)记B表示事务“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事务“新养殖法的箱产量不低于50kg”，由P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)，旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，故P(B)的估计值为0.62，新养殖法的箱产