中考数学总复习提升专项知识章节检测验收卷一数与式(测试)含答案及解析

章节检测验收卷一数与式（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．我国是最早使用负数的国家，在数据QUOTE−sin45?−sin45?，QUOTE22，0，QUOTE+7+7，QUOTE−0.5−0.5，QUOTE中是负数的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个QUOTE−0.5【新考法】生活中的数学2．我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口QUOTE30.730.7万辆．将QUOTE30.730.7万用科学记数法表示为QUOTE．则QUOTE𝑛n的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．73．有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期．下列各组有理数大小比较，正确的是（

）A．QUOTE1<−11<−1 B．QUOTE−−0.3<−13−−0.3<−13 C．QUOTE−821<−37−821<−QUOTE−−5=5>04．已知QUOTE𝑎a是有理数，QUOTE𝑏b是无理数，下列算式的结果必定为无理数的是（）A．QUOTE𝑎+𝑏a+b B．QUOTE𝑎𝑏ab C．QUOTE𝑎𝑏ab D．QUOTE𝑎2+𝑏2a2+b2QUOTEA5．若QUOTE𝑥2+𝑚𝑥+4=𝑥−22x2+mx+4=x−22，则下列结论正确的是（A．等式从左到右的变形是乘法公式，QUOTE𝑚=4m=4B．等式从左到右的变形是因式分解，QUOTE𝑚=4m=4C．等式从左到右的变形是乘法公式，QUOTE𝑚=−4m=−4D．等式从左到右的变形是因式分解，QUOTE𝑚=−4m=−4【新考法】新定义问题6．如果三个连续整数n、QUOTE𝑛+1n+1、QUOTE𝑛+2n+2的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（

）A．QUOTE−1−1 B．QUOTE−3−3 C．1 D．3QUOTE𝑛=37．已知QUOTE𝐴𝑚−1+𝐵𝑚−2=3𝑚−4𝑚−1𝑚−2Am−1+Bm−2=3m−4m−1m−2，则常数QUOTE𝐴A，QUOTE𝐵A．QUOTE𝐴=1A=1，QUOTE𝐵=2B=2 B．QUOTE𝐴=2A=2，QUOTE𝐵=1B=1C．QUOTE𝐴=−1A=−1，QUOTE𝐵=−2B=−2 D．QUOTE𝐴=−2A=−2，QUOTE𝐵=−1B=−1QUOTE𝐴=1𝐵=28．如下内容是李明在练习中的一道解题过程，在这个过程中体现的数学思想是（

）已知QUOTE𝑎+𝑏=−8a+b=−8，QUOTE𝑎𝑏=12ab=12．求QUOTE𝑏𝑎+𝑎𝑏ba+ab的值．解：QUOTE；QUOTE原式QUOTE=6412=433=6412=A．方程 B．整体 C．数形结合 D．函数【新考法】图形类规律探究问题9．无字证明是数学证明中的一道亮丽的风景线，这种亮丽甚至不需要用语言来描述，这种证明方式被认为比严格的数学证明更优雅、更有条理．借助形的几何直观性来表示数之间的关系，这种证明方法被称为数形结合．如图，请利用数形结合思想猜测，QUOTE的值最接近的有理数为（

）A．QUOTE1313 B．QUOTE1414 C．QUOTE2𝑛+12𝑛2n+12n D．QUOTE2𝑛+122𝑛2n+122nQUOTE13QUOTEQUOTE13【新考法】数式类规律探究问题10．将三项式展开，得到下列等式：aaaa…观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第k行共有QUOTE2𝑘+12k+1个数，则关于x的多项式QUOTE𝑎2+𝑎𝑥−3𝑥2+𝑥+15a2+ax−3x2+x+15的展开式中，QUOTE𝑥8A．QUOTE15𝑎2+𝑎−115a2+a−1 B．QUOTE15𝑎2C．QUOTE15𝑎2+2𝑎+315a2+2a+3 D．QUOTE15𝑎2二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．某班开展图书交换阅读活动．甲、乙、丙三名同学有相同数量的图书、甲同学借给乙同学4本，丙同学借给乙同学2本，一段时间后，他们约定：乙同学须将手中甲、丙两名同学现有图书数量总和的一半，借给甲同学，而后乙同学手上剩余图书的数量为本．12．黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为QUOTE5−125−12，其中QUOTE5−15−1介于整数QUOTE𝑛n和QUOTE𝑛+1n+1之间，则QUOTE𝑛n的值是．13．因式分解所有公式口诀是：先看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适．因式分解：QUOTE𝑎3−4𝑎=a3−4a=【新考法】跨学科类问题14．如图所示，三个电阻串联起来，串联电路电压QUOTE𝑈=𝐼𝑅1+𝐼𝑅2+𝐼𝑅3U=IR1+IR2+IR3，若线路QUOTE𝐴𝐵AB的电流QUOTE𝐼=2.5𝐴I=2.5A，三个电阻阻值分别为QUOTE，则电压为【新考法】新定义类问题15．对于实数a、b，定义运算：①QUOTE②QUOTE例如①QUOTE依此定义方程QUOTE的解为．【新考法】获取信息类问题16．古埃及数字是古代人类最重要、最基本的数字之一.约公元前4000年，古埃及人就创造的一种以10为基数象形文数字如左图.如图①所表示的数为11205，那么把图②中所表示的数用科学记数法来表示应为.三．解答题（共8小题，满分72分，其中17、18题每题6分，19题、20题每题8分，21题、22题9分，23题10分，24题13分）17．（1）计算：QUOTE；

（2）化简：QUOTE．18．化简分式：QUOTE𝑎2−𝑏2𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2+1−𝑎−𝑏𝑎−𝑏a2−b2a2−2ab+b

19．先化简，再求值：QUOTE2𝑚−𝑚𝑚−2+𝑚+3𝑚−32m−mm−2+m+3m−3，其中QUOTE𝑚=520．以下是某同学化简分式QUOTE𝑎−𝑏𝑎?𝑎−2𝑎𝑏−𝑏2解：原式QUOTE…………第一步QUOTE…………第二步QUOTE=𝑎−𝑏𝑎2−𝑎−𝑏2𝑎𝑏−……(1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；(2)请你写出完整的解答过程．21．课堂上，老师提出了下面的问题：已知QUOTE3𝑎>𝑏>03a>b>0，QUOTE𝑀=𝑎𝑏M=ab，QUOTE𝑁=𝑎+1𝑏+3N=a+1b+3，试比较QUOTE𝑀M与QUOTE𝑁N的大小．小华：整式的大小比较可采用“作差法”.老师：比较QUOTE𝑥2+1x2+1与QUOTE2𝑥−12x−1的大小．小华：∵QUOTE𝑥2+1−2𝑥−1=𝑥∴QUOTE𝑥2+1>2𝑥−1x2+1>2x−1老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？…(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．(2)比较大小：QUOTE23682368__________QUOTE22652265．（填“QUOTE>>”“QUOTE==”或“QUOTE<<”）【新考法】开放性试题22．已知QUOTE𝑎>3a>3，代数式：QUOTE𝐴=2𝑎2−8A=2a2−8，QUOTE𝐵=3𝑎2+6𝑎B=3a2+6a，QUOTE𝐶=𝑎3−4(1)因式分解A；(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．【新考法】阅读理解类问题23．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为QUOTE𝑥2−𝑦2x2−y2（QUOTE均为自然数）”的问题．(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（QUOTE𝑛n为正整数）：N奇数QUOTE44的倍数表示结果1=4=3=8=5=12=7=16=9=20=一般结论

QUOTE2𝑛−1=𝑛2−𝑛−12QUOTE4𝑛=4n=______按上表规律，完成下列问题：（QUOTE）QUOTE24=24=（

）QUOTE2−2−（

）QUOTE22；（QUOTE）QUOTE4𝑛=4n=______；(2)兴趣小组还猜测：像QUOTE这些形如QUOTE4𝑛−24n−2（QUOTE𝑛n为正整数）的正整数QUOTE𝑁N不能表示为QUOTE𝑥2−𝑦2x2−y2（QUOTE均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：假设QUOTE4𝑛−2=𝑥2−𝑦24n−2=x2−y2，其中QUOTE分下列三种情形分析：QUOTE若QUOTE均为偶数，设QUOTE𝑥=2𝑘x=2k，QUOTE𝑦=2𝑚y=2m，其中QUOTE均为自然数，则QUOTE𝑥2−𝑦2=2𝑘2−2𝑚2=4𝑘2−而QUOTE4𝑛−24n−2不是QUOTE44的倍数，矛盾．故QUOTE不可能均为偶数．QUOTE若QUOTE均为奇数，设QUOTE𝑥=2𝑘+1x=2k+1，QUOTE𝑦=2𝑚+1y=2m+1，其中QUOTE均为自然数，则QUOTE𝑥2−𝑦2=2𝑘+12−2𝑚+12=x2而QUOTE4𝑛−24n−2不是QUOTE44的倍数，矛盾．故QUOTE不可能均为奇数．QUOTE若QUOTE一个是奇数一个是偶数，则QUOTE𝑥2−𝑦2x2−y2为奇数．而QUOTE4𝑛−24n−2是偶数，矛盾．故QUOTE不可能一个是奇数一个是偶数．由QUOTE可知，猜测正确．阅读以上内容，请在情形QUOTE的横线上填写所缺内容．【新考法】利用数形结合解决计算问题24．【阅读理解】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．例如：求1+2+3+4+…+的值（其中是正整数）．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1+2+3+4+…+的值，方案如下：如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1+2+3+4+…+的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有行，每行有个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为，即．【问题提出】求的值（其中是正整数）．【问题解决】为解决上述问题，我们借鉴已有的经验，采用由特殊到一般，归纳的研究方法，利用数形结合法，借助图形进行推理获得结论．探究1：如图2，可以看成1个的正方形的面积，即探究2：如图3，表示1个的正方形，其面积为：；表示1个的正方形，其面积为：；分别表示1个的长方形，其面积的和为：；的面积和为，而恰好可以拼成一个的大正方形．由此可得：．(1)探究3：请你类比上述探究过程，借助图形探究：______=______．（要求自己构造图形并写出推证过程）(2)【结论归纳】将上述探究过程发现的规律，推广到一般情况中去，通过归纳，我们便可以得到：______=______（要求直接写出结论，不必写出推证过程）(3)【结论应用】图4是由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？为了准确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即数出棱长分别是1，2，3，4，5，6的正方体的个数，再求总和．例如：棱长是1的正方体有：个，棱长是2的正方体有：个，……棱长是6的正方体有：个；然后利用上面归纳的结论，通过计算，可得图4中大小正方体的个数为______．(4)【逆向应用】如果由若干个棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，大小正方体一共有36100个，那么棱长为1的小正方体的个数为_________．(5)【拓展探究】观察下列各式：若（为正整数）按上面规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则的值______．

章节检测验收卷一数与式（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．我国是最早使用负数的国家，在数据QUOTE−sin45?−sin45?，QUOTE22，0，QUOTE+7+7，QUOTE−0.5−0.5，QUOTE中是负数的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查负数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．小于0的数即为负数，据此即可求得答案．【详解】解：QUOTE，QUOTE−0.5−0.5是负数，共2个，故选：B．【新考法】生活中的数学2．我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口QUOTE30.730.7万辆．将QUOTE30.730.7万用科学记数法表示为QUOTE．则QUOTEnn的值是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为QUOTE的形式，其中QUOTE，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，【详解】解：QUOTE30.730.7万QUOTE，则QUOTEn=5n=5，故选：B．3．有理数大小比较的历史可以追溯到古希腊和古印度时期．下列各组有理数大小比较，正确的是（

）A．QUOTE1<−11<−1 B．QUOTE−−0.3<−13−−0.3<−13 C．QUOTE−821<−37−821<−【答案】B【分析】本题考查的是有理数的大小比较，先化简各个数字，再比较大小即可．【详解】A.QUOTE1>−11>−1，原说法错误，不符合题意；B.QUOTE−−0.3=0.3−−0.3=0.3，QUOTE−13=13−13=13，则C.QUOTE−821<−37−821<−37D.QUOTE−−5=5>0−−5=5>0故选：B．4．已知QUOTEaa是有理数，QUOTEbb是无理数，下列算式的结果必定为无理数的是（）A．QUOTEa+ba+b B．QUOTEabab C．QUOTEabab D．QUOTEa2+b2a2+b2【答案】A【分析】本题考查了无理数和有理数，根据无理数和有理数的定义即可求解，掌握无理数的定义是解题的关键．【详解】解：QUOTEaa是有理数，QUOTEbb是无理数，则QUOTEa+ba+b必定为无理数，当QUOTEa=0a=0时，QUOTEab=0ab=0，QUOTEab=0ab=0是有理数，当QUOTEa=1a=1，QUOTEb=3b=3时，QUOTEa2+b2a2+b2故选：QUOTEAA．5．若QUOTEx2+mx+4=x−22x2+mx+4=A．等式从左到右的变形是乘法公式，QUOTEm=4m=4B．等式从左到右的变形是因式分解，QUOTEm=4m=4C．等式从左到右的变形是乘法公式，QUOTEm=−4m=−4D．等式从左到右的变形是因式分解，QUOTEm=−4m=−4【答案】D【分析】将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可．本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．【详解】解：∵QUOTEx2+mx+4=x−22xQUOTE，则QUOTEm=−4m=−4，原等式从左到右的变形是因式分解，从右到左的变形是乘法公式．故选：D．【新考法】新定义问题6．如果三个连续整数n、QUOTEn+1n+1、QUOTEn+2n+2的和等于它们的积，那么我们把这三个整数称为“和谐数组”，下列n的值不满足“和谐数组”条件的是（

）A．QUOTE−1−1 B．QUOTE−3−3 C．1 D．3【答案】D【分析】根据题意，逐个判断出所给QUOTEnn的值，是否满足三个连续整数QUOTE的和等于它们的积，进而判断出哪个QUOTEnn的值不满足“和谐数组”条件即可．此题主要考查了数字规律类“和谐数组”，解答此题的关键是判断出所给QUOTEnn的值，是否满足三个连续整数QUOTE的和等于它们的积．【详解】解：A、当QUOTEn=−1n=−1时，QUOTE−1+−1+1+−1+2=0−1+QUOTE，∵QUOTE0=00=0，∴QUOTEn=−1n=−1满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意；B、当QUOTEn=−3n=−3时，QUOTE−3+−3+1+−3+2=−6−3+QUOTE，∵QUOTE−6=−6−6=−6，∴QUOTEn=−3n=−3满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意；C、当QUOTEn=1n=1时，QUOTE1+1+1+1+2=61+QUOTE，∵QUOTE6=66=6，∴QUOTEn=1n=1满足“和谐数组”条件，故选项不符合题意；D、当QUOTEn=3n=3时，QUOTE3+3+1+3+2=123+QUOTE，∵QUOTE12鈮?012鈮?0，∴QUOTEn=3n=3不满足“和谐数组”条件，故选项符合题意．故选：D．7．已知QUOTEAm−1+Bm−2=3m−4m−1m−2Am−1+Bm−2=3m−4m−1m−2，则常数QUOTEAA，A．QUOTEA=1A=1，QUOTEB=2B=2 B．QUOTEA=2A=2，QUOTEB=1B=1C．QUOTEA=−1A=−1，QUOTEB=−2B=−2 D．QUOTEA=−2A=−2，QUOTEB=−1B=−1【答案】A【分析】本题考查异分母分式的加法，将等式左边利用异分母分式的加法进行求解，根据恒等式，求出QUOTEA,BA,B的值即可．【详解】解：QUOTEAm−1+Bm−2=A∴QUOTEA+B=32A+B=4A+B=32A+B=4，解得：QUOTEA=1B=2A=1B=2；故选A．8．如下内容是李明在练习中的一道解题过程，在这个过程中体现的数学思想是（

）已知QUOTEa+b=−8a+b=−8，QUOTEab=12ab=12．求QUOTEba+abba+ab的值．解：QUOTE；QUOTE原式QUOTE=6412=433=6412=A．方程 B．整体 C．数形结合 D．函数【答案】B【分析】本题考查了二次根式的化简求值，算术平方根的非负性，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据求代数式值中的整体思想，即可解答．【详解】在这个过程中体现的数学思想是整体的数学思想，故选：B．【新考法】图形类规律探究问题9．无字证明是数学证明中的一道亮丽的风景线，这种亮丽甚至不需要用语言来描述，这种证明方式被认为比严格的数学证明更优雅、更有条理．借助形的几何直观性来表示数之间的关系，这种证明方法被称为数形结合．如图，请利用数形结合思想猜测，QUOTE的值最接近的有理数为（

）A．QUOTE1313 B．QUOTE1414 C．QUOTE2n+12n2n+12n D．QUOTE2n+122n2n+122n【答案】A【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现阴影部分面积变化的规律是解题的关键．根据所给图形，发现阴影部分面积变化的规律即可解决问题．【详解】解：由所给图形可知，当n越来越大时，阴影部分的面积越来越接近正方形面积的QUOTE1313，所以当n无穷大时，QUOTE的值最接近QUOTE1313．故选：A．【新考法】数式类规律探究问题10．将三项式展开，得到下列等式：aaaa…观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第k行共有QUOTE2k+12k+1个数，则关于x的多项式QUOTEa2+ax−3x2+x+15a2+ax−3x2+x+15的展开式中，QUOTEx8A．QUOTE15a2+a−115a2+a−1 B．QUOTE15a2C．QUOTE15a2+2a+315a2+2a+3 D．QUOTE15a2【答案】D【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，根据广义杨辉三角形的定义可得QUOTEx2+x+14x2+x+14的展开式，进而确定QUOTEx2+x+15x2+x+15的展开式中QUOTEx8x8项的系数为QUOTE1+10+4=151+10+4=15，QUOTEx7x7项的系数为QUOTE16+10+4=3016+10+4=30，据此确定QUOTEa2+ax−3x2+x+15a2+ax−3x2+x+15的展开式中，QUOTE【详解】解：由题意得，QUOTEx2+x+14=x8∴QUOTEx2+x+15x=∴QUOTEx2+x+15x2+x+15的展开式中QUOTEx8x8项的系数为QUOTE1+10+4=151+10+4=15，QUOTEx7x7项的系数为QUOTE16+10+4=3016+10+4=30，∴QUOTEa2+ax−3x2+x+15a2+ax−3x2+x+15的展开式中，QUOTEx8x8项的系数为QUOTE15a2+30a−4515a故选：D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．某班开展图书交换阅读活动．甲、乙、丙三名同学有相同数量的图书、甲同学借给乙同学4本，丙同学借给乙同学2本，一段时间后，他们约定：乙同学须将手中甲、丙两名同学现有图书数量总和的一半，借给甲同学，而后乙同学手上剩余图书的数量为本．【答案】9【分析】本题主要考查了整式加减的意义，设一开始三名同学各有x本图书，则甲、丙借完图书给乙后乙有图书QUOTEx+4+2x+4+2本，而甲、丙剩余图书之和为QUOTEx−4+x−2x−4+x−2，再根据题意列式求解即可．【详解】解：设一开始三名同学各有x本图书，由题意得，乙同学手上剩余图书的数量为QUOTEx+4+2−x−4+x−22=x+6−x−3=9故答案为：9．12．黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为QUOTE5−125−12，其中QUOTE5−15−1介于整数QUOTEnn和QUOTEn+1n+1之间，则QUOTEnn的值是．【答案】QUOTE11【分析】本题考查了无理数的估算，利用夹逼法可得QUOTE4<5<94<5<9，即得QUOTE2<5<32<5<3，进而得QUOTE1<【详解】解：∵QUOTE4<5<94∴QUOTE2<5<32<5<3∴QUOTE1<5−1<21<5−1<2∴QUOTEn=1n=1，故答案为：QUOTE11．13．因式分解所有公式口诀是：先看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适．因式分解：QUOTEa3−4a=a3−4a=【答案】QUOTEaa+2a−2aa+2【分析】该题主要考查了因式分解法，解题的关键是掌握因式分解常见方法：提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等．先提取公因式，再用平方差公式分解即可；【详解】解：QUOTEa3−4a=aa2−4=a故答案为：QUOTEaa+2a−2aa+2a−2【新考法】跨学科类问题14．如图所示，三个电阻串联起来，串联电路电压QUOTEU=IR1+IR2+IR3U=IR1+IR2+IR3，若线路QUOTEABAB的电流QUOTEI=2.5AI=2.5A，三个电阻阻值分别为QUOTE，则电压为【答案】115【分析】本题考查了代数式求值，把三个电阻阻值分别为QUOTE，QUOTEI=2.5AI=2.5A代入QUOTEU=IR1+IR2+IR3U=IR1+IR【详解】∵三个电阻阻值分别为QUOTE，QUOTEI=2.5AI=2.5A∴QUOTEV，故答案为：QUOTE115115．【新考法】新定义类问题15．对于实数a、b，定义运算：①QUOTE②QUOTE例如①QUOTE依此定义方程QUOTE的解为．【答案】QUOTEx=3x=3【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．先根据题意列出方程，再去分母，转化为解一元二次方程，最后需要注意分母不为0．【详解】解：由题意得，QUOTE2xx2−22−QUOTE2x−x−2=x2−4xQUOTEx−3x+2=0x−3x+2=0解得：QUOTEx=3x=3或QUOTEx=−2x=−2，当QUOTEx=−2x=−2时，QUOTE2+x=02+x=0，不符合题意，∴原方程的解为：QUOTEx=3x=3，故答案为：QUOTEx=3x=3．【新考法】获取信息类问题16．古埃及数字是古代人类最重要、最基本的数字之一.约公元前4000年，古埃及人就创造的一种以10为基数象形文数字如左图.如图①所表示的数为11205，那么把图②中所表示的数用科学记数法来表示应为.【答案】QUOTE1.22?1061.22?10【分析】此题主要考查了古代数字的表示，科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为QUOTE的形式，其中QUOTE，QUOTEnn为整数，表示时关键要正确确定QUOTEaa的值以及QUOTEnn的值．先表示这个数，然后根据科学记数法的表示形式为QUOTE的形式，其中QUOTE，QUOTEnn为整数．确定QUOTEnn的值时，要看把原数变成QUOTEaa时，小数点移动了多少位，QUOTEnn的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值QUOTE时，QUOTEnn是正整数；当原数的绝对值QUOTE<1<1时，QUOTEnn是负整数．【详解】解：图②中的数为：QUOTE，∴QUOTE．故答案为：QUOTE1.22?1061.22?106三．解答题（共8小题，满分72分，其中17、18题每题6分，19题、20题每题8分，21题、22题9分，23题10分，24题13分）17．（1）计算：QUOTE；

（2）化简：QUOTE．【答案】（1）1；（2）QUOTE1a1a【分析】本题考查了分式的混合运算、零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键．（1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根的运算法则分别计算即可；（2）根据分式的混合运算法则计算即可．【详解】（1）解：原式QUOTEQUOTE=1=1；（2）解：原式QUOTE=a+2a2?a+2QUOTE=1a=1a18．化简分式：QUOTEa2−b2a2−2ab+b2+1−a−ba−ba2−b2a2−2ab+b

【答案】QUOTE1a−b1a−b；QUOTE1515【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算；根据对话可求得QUOTEaa，QUOTEbb的值，将原分式化简后代入数值计算即可．【详解】解：依题意，QUOTEa=−3a=−3，QUOTE1<b<51<b<5且QUOTEbb为整数，又QUOTE2<5<32<5<3，则QUOTEb=2b=2，a==QUOTE=1a−b=1a−b当QUOTEa=−3a=−3，QUOTEb=2b=2时，原式QUOTE=1−3−2=−15=1−3−2=−1519．先化简，再求值：QUOTE2m−mm−2+m+3m−32m−mm−2+m+3m−3，其中QUOTEm=5【答案】QUOTE4m−94m−9；QUOTE11【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可．【详解】解：QUOTE2m−mm−2+m+3m−3=2m−QUOTE=4m−9=4m−9．当QUOTEm=52m=52时，原式QUOTE．20．以下是某同学化简分式QUOTEa−ba?a−2ab−b2解：原式QUOTE…………第一步QUOTE…………第二步QUOTE=a−ba2−a−b2ab−……(1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；(2)请你写出完整的解答过程．【答案】(1)一(2)见解析【分析】（1）根据解答过程逐步分析即可解答；（2）根据分式混合运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：QUOTEa−ba?a−2ab−b==故第一步错误．故答案为：一．（2）解：QUOTEa−ba?a−2ab−b====QUOTE=1a−b=1a−b【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键．21．课堂上，老师提出了下面的问题：已知QUOTE3a>b>03a>b>0，QUOTEM=abM=ab，QUOTEN=a+1b+3N=a+1b+3，试比较QUOTEMM与QUOTENN的大小．小华：整式的大小比较可采用“作差法”.老师：比较QUOTEx2+1x2+1与QUOTE2x−12x−1的大小．小华：∵QUOTEx2+1−2x−1=x∴QUOTEx2+1>2x−1x2+1>2x−1老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？…(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．(2)比较大小：QUOTE23682368__________QUOTE22652265．（填“QUOTE>>”“QUOTE==”或“QUOTE<<”）【答案】(1)QUOTEM>NM>(2)QUOTE<<【分析】（1）根据作差法求QUOTEM−NM−N的值即可得出答案；（2）根据作差法求QUOTE2368−226523【详解】（1）解：QUOTEM−N=ab−a+1b+3=QUOTE，QUOTE，QUOTE；（2）解：QUOTE，QUOTE．故答案为：QUOTE<<．【点睛】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运算的方法．【新考法】开放性试题22．已知QUOTEa>3a>3，代数式：QUOTEA=2a2−8A=2a2−8，QUOTEB=3a2+6aB=3a2+6a，QUOTEC=a3−4(1)因式分解A；(2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．【答案】(1)QUOTE2a+2a−22a+2(2)见解析【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可；（2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可．【详解】（1）解：QUOTEA=2a2−8=2a2−4（2）解：①当选择A、B时：QUOTEBA=3a2+6aQUOTEAB=2a2−8②当选择A、C时：QUOTECA=a3−4aQUOTEAC=2a2−8③当选择B、C时：QUOTECB=a3−4aQUOTEBC=3a2+6a【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化简的方法．【新考法】阅读理解类问题23．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为QUOTEx2−y2x2−y2（QUOTE均为自然数）”的问题．(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（QUOTEnn为正整数）：N奇数QUOTE44的倍数表示结果1=4=3=8=5=12=7=16=9=20=一般结论

QUOTE2n−1=n2−n−12QUOTE4n=4n=______按上表规律，完成下列问题：（QUOTE）QUOTE24=24=（

）QUOTE2−2−（

）QUOTE22；（QUOTE）QUOTE4n=4n=______；(2)兴趣小组还猜测：像QUOTE这些形如QUOTE4n−24n−2（QUOTEnn为正整数）的正整数QUOTENN不能表示为QUOTEx2−y2x2−y2（QUOTE均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：假设QUOTE4n−2=x2−y24n−2=x2−y2，其中QUOTE分下列三种情形分析：QUOTE若QUOTE均为偶数，设QUOTEx=2kx=2k，QUOTEy=2my=2m，其中QUOTE均为自然数，则QUOTEx2−y2=2k2−2m2=4k2−而QUOTE4n−24n−2不是QUOTE44的倍数，矛盾．故QUOTE不可能均为偶数．QUOTE若QUOTE均为奇数，设QUOTEx=2k+1x=2k+1，QUOTEy=2m+1y=2m+1，其中QUOTE均为自然数，则QUOTEx2−y2=2k+12−2m+12=x2而QUOTE4n−24n−2不是QUOTE44的倍数，矛盾．故QUOTE不可能均为奇数．QUOTE若QUOTE一个是奇数一个是偶数，则QUOTEx2−y2x2−y2为奇数．而QUOTE4n−24n−2是偶数，矛盾．故QUOTE不可能一个是奇数一个是偶数．由QUOTE可知，猜测正确．阅读以上内容，请在情形QUOTE的横线上填写所缺内容．【答案】(1)（QUOTE）QUOTE77，QUOTE55；（QUOTE）QUOTEn+12−n−12n+12−n−12；(2)QUOTE4k2−m2【分析】（QUOTE11）（QUOTE）根据规律即可求解；（QUOTE）根据规律即可求解；（QUOTE22）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可；本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键．【详解】（1）（QUOTE）由规律可得，QUOTE24=72−5224=72−5故答案为：QUOTE77，QUOTE55；（QUOTE）由规律可得，QUOTE4n=n+12−n−124n=n+12−n−1故答案为：QUOTEn+12−n−12n+1（2）解：假设QUOTE4n−2=x2−y24n−2=x2−y2，其中QUOTE分下列三种情形分析：QUOTE若QUOTE均为偶数，设QUOTEx=2kx=2k，QUOTEy=2my=2m，其中QUOTE均为自然数，则QUOTEx2−y2=2k2−2m2=4k2−而QUOTE4n−24n−2不是QUOTE44的倍数，矛盾．故QUOTE不可能均为偶数．QUOTE若QUOTE均为奇数，设QUOTEx=2k+1x=2k+1，QUOTEy=2m+1y=2m+1，其中QUOTE均为自然数，则QUOTEx2−y2=2k+12−2m+12=4k2−而QUOTE4n−24n−2不是QUOTE44的倍数，矛盾．故QUOTE不可能均为奇数．QUOTE若QUOTE一个是奇数一个是偶数，则QUOTEx2−y2x2−y2为奇数．而QUOTE4n−24n−2是偶数，矛盾．故QUOTE不可能一个是奇数一个是偶数．由QUOTE可知，猜测正确．故答案为：QUOTE4k2−m2+k−m【新考法】利用数形结合解决计算问题24．【阅读理解】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论．初中数学里的一些代数公式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释．例如：求1+2+3+4+…+的值（其中是正整数）．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质