中考数学总复习提升专项知识一元二次方程及其应用(练习)含答案及解析

第二章方程与不等式第07讲一元二次方程及其应用TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u👉题型01一元二次方程的定义👉题型02已知一元二次方程的解求未知数/代数式的值👉题型03选用合适的方法解一元二次方程👉题型04以注重过程性学习的形式考查解一元二次方程👉题型05配方法的应用👉题型06以开放性试题的形式考查解一元二次方程👉题型07不解方程，判断一元二次方程根的情况👉题型08根据根的情况确定一元二次方程中字母的值/取值范围👉题型09利用根的判别式求代数式的值👉题型10以开放性试题的形式考查根的判别式👉题型11不解方程，求方程中参数的值👉题型12不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值👉题型13已知一元二次方程的解满足的情况求参数值👉题型14一元二次方程的实际应用-传播/循环问题👉题型15一元二次方程的实际应用-变化率问题👉题型16一元二次方程的实际应用-几何问题👉题型17一元二次方程的实际应用-营销问题👉题型18一元二次方程的实际应用-动态几何问题👉题型19以真实问题情境为背景考查一元二次方程的实际应用👉题型20以数学文化为背景考查一元二次方程的实际应用👉题型01一元二次方程的定义1．（2024·湖南郴州·模拟预测）下列方程中是一元二次方程的是（

）A．2x2−x+1=0 C．3x+1=0 D．x+2．（2024·广西桂林·二模）一元二次方程x2−4x+2=0的一次项系数是3．（2024·福建福州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2−ax−2a+1=0，若一次项系数与常数项相等，则a的值为4．（2024·广东肇庆·一模）二次项系数为2，且两根分别为x1=1，x2=1👉题型02已知一元二次方程的解求未知数/代数式的值5．（2024·云南昆明·一模）若x=a是方程x²+2x−2=0的一个根，则代数式2a²+4a+2019的值为（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．−20236．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知方程x2−2024x+1=0的两根分别为x1，x2，则A．1 B．−1 C．2024 D．−20247．（2024·江西·模拟预测）设m，n是方程x2+x−2024=0的两个实数根，则m28．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程3x2−5x+m=0👉题型03选用合适的方法解一元二次方程9．（2024·甘肃·模拟预测）解方程：5x10．（2024·湖南郴州·模拟预测）解方程：(1)x−2(2)211．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）解方程：yy−312．（2024·宁夏银川·一模）下面是某老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务．解方程：2x解：x2−3x2−3x−342x−34=±x1=52，(1)任务一：①杨老师解方程的方法是；A．直接开平方法

B．配方法

C．公式法

D．因式分解法②第二步变形的依据是；(2)任务二：解方程：x2👉题型04以注重过程性学习的形式考查解一元二次方程13．（2024·河北石家庄·模拟预测）下面是小华同学解方程2x−3解方程：2x−3解：移项，得2x−3两边同时除以x−3，得2=3x…………第二步∴x=2(1)小华同学的解题过程从第________步开始出现错误，错误的原因是________；(2)请你写出正确的解题过程．14．（2024·江西景德镇·二模）小明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程2x(1)小明的解题过程从第__________步开始出现了错误；(2)请利用配方法正确地解方程2x15．（2024·宁夏银川·二模）下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题．解一元二次方程：6解：原方程可以化为：2x3x−1两边同时除以3x−1得：2x=−1第二步系数化为1，得：x=−1任务：(1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误；(2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程．16．（2024·山西临汾·一模）（1）计算：−1（2）下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程5x3x−2小刚同学：解：5x3x−25x=−2第二步解得x=−2小颖同学：解：5x3x−25x3x−25x−23x−25x−2=0或3x−2=0第四步解得x=25或任务一：①小刚同学的解答过程中，从第_________步开始出现错误．错误的原因是__________；②小颖同学的解答过程中，从第_________步开始出现错误．错误的原因是_________．任务二：该一元二次方程的解为__________．👉题型05配方法的应用17．（2024·内蒙古包头·模拟预测）若x=3ay=−b是方程2x+y=5的一个解，则代数式a2+b+5018．（2024·河北邢台·模拟预测）已知，图1中阴影面积为S1，图2中阴影面积为S(1)用含x的代数式表示S1，S2；当x=1时，求(2)比较S1与S19．（2024·广东东莞·一模）综合与探究【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算A−B的值，若A−B>0，则A>B；若A−B=0，则A=B；若A−B<0，则A<B．【知识运用】（1）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“>、=、<”填空）：①3−2______4−2②x−1______x+3；（2）试比较与6x2+2x+1【类比运用】（3）图（1）是边长为4的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加2aa>0得到如图（2）所示的长方形，此长方形的面积为S1；将正方形的边长增加a，得到如图（3）所示的大正方形，此正方形的面积为S2．请先判断S👉题型06以开放性试题的形式考查解一元二次方程20．（2024·湖北·模拟预测）请写一个一元二次方程，使得它的一个根为2，另一个根为负数，则这个一元二次方程可以是．（写一个即可）21．（2022·广东汕头·二模）请写出一个符合以下所有条件的一元二次方程：（1）二次项的系数为负数；（2）一个实数根为10−1的整数部分，另一个实数根为－4，则这个一元二次方程可以是22．（2024·浙江·模拟预测）设一元二次方程ax①a=1，b=3，c=2．②a=1③ba=−2，④x1+x2=0，x注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．👉题型07不解方程，判断一元二次方程根的情况23．（2024·云南曲靖·一模）一元二次方程x2−2x+1=0的根的情况是（A．有两个不相等的实数根 B．无实数根C．有两个相等的实数根 D．无法确定24．（2023·河南商丘·二模）关于x的方程4x2−4x=−1A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．无实数根25．（2024·山西·模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（

）A．x2+5x+6=0 C．x2−2x+5=0 26．（2024·山西长治·模拟预测）关于x的一元二次方程x2+2mx+mA．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数m的取值有关👉题型08根据根的情况确定一元二次方程中字母的值/取值范围27．（2024·甘肃兰州·模拟预测）关于x的一元二次方程x2+bx+1=0有两个相等的实数根，则满足条件的实数A．0 B．−1或1 C．1 D．−2或228．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2−4x−1+m=0的两根，则m的值为（A．4 B．5 C．4或5 D．3或429．（2024·湖南·模拟预测）关于x的一元二次方程a+2x2−3x+1=0有两不等实数根，则a30．（2024·贵州贵阳·一模）关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个实数根，则实数m的值可能是31．（2024·贵州黔东南·二模）若关于x的方程2x2−3x+m+1=0没有实数根，则m👉题型09利用根的判别式求代数式的值32．（2024·广东清远·模拟预测）已知关于x的方程2x2−6k=0有两个相等的实数根，则kA．−3 B．−4 C．3 D．−533．（2022·广东广州·一模）一元二次方程x2+x+k=0有两个相等的实数根，则A．34 B．12 C．5434．（2021·山东淄博·二模）若关于x的一元二次方程12x2﹣2kx＋1﹣4k＝0有两个相等的实数根，则代数式（k﹣2）2＋2k（1﹣k）的值为（

A．3 B．﹣3 C．−72 35．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知a，b分别为方程x2−2x−c=0的两个不相等的实数根，则1aA．14 B．12 C．2👉题型10以开放性试题的形式考查根的判别式36．（2022·福建漳州·模拟预测）若关于x的方程x2−k=0有两个不相等的实数根，则k的值可以是37．（2024·河南郑州·模拟预测）若关于x的一元二次方程x2−6x+m=0有实数根，且m为正整数，请写出一个合适的m值38．（2024·江苏泰州·二模）已知一元二次方程x2+mx−4=0有两个实数根，两根之和为负数，则m的值可以是👉题型11不解方程，求方程中参数的值39．（2024·云南曲靖·一模）已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为−2，则另一个根为（A．−10 B．−1 C．2 D．−540．（2024·广东湛江·模拟预测）已知m，n是方程x2−3x−2=041．（2024·山东枣庄·一模）已知3是关于x的方程x2−2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是菱形ABCD的两条对角线的长，则菱形ABCD的面积为👉题型12不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值42．（2024·湖北宜昌·一模）已知m、n是一元二次方程x2+x−2025=0的两个实数根，则代数式m2A．2025 B．2024 C．2023 D．202143．（2024·湖北·模拟预测）已知一元二次方程x2−3x−15=0的两根分别为m，n，则mn−m−n的值是（A．18 B．−12 C．−18 D．1244．（2024·贵州铜仁·一模）已知关于x的方程x2+m−1x−2=0的两实数根为x1，x2，若A．1 B．−5 C．3 D．545．（2024·湖北十堰·三模）若m、n是一元二次方程x2−x−3=0的两个实数根，多项式2n46．（2024·四川内江·二模）已知x1，x2是方程x2−x−2024=0的两个实数根，则代数式👉题型13已知一元二次方程的解满足的情况求参数值47．（2024·湖南株洲·模拟预测）关于x的一元二次方程x2−2mx+m2=4有两个根x1、48．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知x1，x2是关于x的方程x2+3x+m=0的两个实数根，且x149．（2024·湖北随州·一模）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：该方程总有实数根；(2)设该方程的两个实数根分别为x1，x2，若x1>0，50．（2024·四川眉山·二模）已知关于x的一元二次方程x2(1)求m的取值范围；(2)设方程两实数根分别为x1、x2，且满足x1👉题型14一元二次方程的实际应用-传播/循环问题51．（2024·湖北·模拟预测）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为（

）A．1+x+x2=73C．x+x2=7352．（2024·贵州黔东南·二模）化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？53．（2024·山东济南·模拟预测）在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场．若共比赛了15场，则参赛的球队数为．👉题型15一元二次方程的实际应用-变化率问题54．（2024·云南曲靖·一模）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一种方式，如图所示是甜甜和她的妹妹在六一儿童节期间的对话：请问：2020年到2022年甜甜和她妹妹在“六一”收到红包的年增长率是多少？55．（2024·广西南宁·模拟预测）某商场一种商品的进价为30元/件，售价为40元/件，经统计销量发现，该商品平均每天可以销售48件．商场为尽快减少该商品的库存，决定对该商品进行降价促销活动．(1)对该商品进行了两次降价后的售价为32.4元/件，求平均每次降价的百分率．(2)经调查，若该商品每件降价1元，则每天可多销售8件．若商场销售该商品想要每天获得504元的利润，则每件应降价多少元？👉题型16一元二次方程的实际应用-几何问题56．（2024·贵州贵阳·一模）被誉为“蕴藏着人类上古文明密码的哲学之书”的古老苗绣，在贵州文旅市场和时尚行业中，展现出匠人匠心的“针”功夫．小星奶奶手绣了一幅长为38cm、宽为23cm的矩形绣品(如图所示)，为了完好保存绣品，计划将其塑封，塑封时需四周留白(上下左右宽度相同)，且塑封后整幅图的面积为1000cm2，设留白部分的宽度为A．(38−2x)(23−2x)=874 B．(38+2x)(23+2x)=874C．(38−2x)(23−2x)=1000 D．(38+2x)(23+2x)=100057．（2024·辽宁·模拟预测）如图，公园原有一块长34m、宽10m的矩形空地．后来在这块空地中划出不同区域种植不同品种的鲜花，中间铺设同样宽度的石子路将各区域间隔开．已知各区域鲜花面积的和为58．（2024·浙江绍兴·模拟预测）根据以下素材，完成探索任务．探索果园土地规划和销售利润问题素材1某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB=200米，BC=300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度2x不超过24米，且不小于10米．素材2该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．问题解决任务1解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．（1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围．（2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求．任务2解决果园种植的预期利润问题．（净利润=草莓销售的总利润−路面造价费用−果园承包费用−新苗购置费用−其余费用）（3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．👉题型17一元二次方程的实际应用-营销问题59．（2024·山西大同·模拟预测）阅读与思考下面是小明在数学笔记本上记录的父亲工厂里实际出现过的一个问题，请认真阅读，并帮助小明解答小明父亲给的以下任务：小明父亲的工厂里加工一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，售价不得低于成本价且利润率不高于80%，销售一段时间后市场调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x销售单价x（元/件）…354045…每天销售数量y（件）…908070…（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？（3）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？任务一：要解决小明父亲提出的问题，主要运用的数学思想是________；A．公理化思想

B．统计思想

C．函数思想

D．分类思想任务二：请帮助小明解决相关的3个问题．60．（2024·湖南长沙·模拟预测）某景区新开发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于52元，并且为整数；销售一段时间调研发现，每天的销售数量y(单位：件)与销售单价x(单位：元/件)满足一次函数关系，部分数据如表所示：销售单价x/(元/件)…354045…每天销售数量y/件…908070…(1)【探究】根据上表中的数据，请判断y=kx和y=kx+b(k，b为常数)哪一个能正确反映每天的销售数量y与销售单价x的函数关系？并求出y关于(2)【应用】若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？👉题型18一元二次方程的实际应用-动态几何问题61．（2021·安徽·三模）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遺人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价格，求这批椽的数量有多少株？62．（2024·甘肃武威·二模）如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB=30cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿BA方向运动，动点Q同时从点C出发，沿CB方向运动，如果点P、Q的运动速度均为1cm/s，经过多长时间P、Q63．（2023·贵州黔东南·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1(1)当点P移动时间为2秒时，△PCQ的面积为多少？(2)点P移动多少秒时，△PCQ的面积为8m(3)在点P、Q的运动过程中，△PCQ的面积是否会达到10m👉题型19以真实问题情境为背景考查一元二次方程的实际应用64．（20224金华市模拟）电影《热辣滚烫》是2024贺岁档的最大惊喜，自上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房收入约867万元，第三天累计票房收入约达到3046万元，设票房收入每天平均增长率为x，下面所列方程正确的是（

）A．867(1+x)2=3046C．867(1−x)2=304665．（2024临川市模拟）“八月十五谓中秋，民间以月饼相送，取团圆之意”．每年中秋节前是购买月饼的高峰期，2024年中秋节前期某商场在销售一种月饼时发现，如果以20元/kg的单价销售，则每天可售出100kg，如果销售单价每增加0.5元，则每天的销售量会减少2kg．该商场为使每天的销售额达到1800元，销售单价应为多少?设销售单价应为x元/A．20+x100−2x=1800 C．x100−x−200.566．（2024·山西大同·二模）2023年12月6日，中央广播电视总台2024龙年春晚吉祥物“龙辰辰”正式发布亮相．其从我国历史出土文物中提取“龙”的要素作为设计特色，精美别致，充满了趣味和古韵．某批发商场在春节前以60元的进价购进了一批龙辰辰玩偶，计划以每个80元销售．春节来临之际，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售．已知玩偶销售量y（单位：个）与每个玩偶的降价x（单位：元）0<x<20之间满足一次函数关系，其图象如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)设商场销售y个玩偶所获利润为w（单位：元），请直接写出w与x之间的函数关系式：_____；(3)若商场要想获利2600元，且让顾客获得更大实惠，这种玩偶每个应降价多少元？67．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）在2024国际射联射击世界杯总决赛上，中国射击运动员谢瑜以244.6环的优异成绩摘得男子10米气手枪金牌，激励着千千万万的青少年坚定理想、奋力拼搏．谢瑜的家乡贵州省某地盛产核桃，某农户2022年种植核桃80公顷，他逐年扩大规模，到2024年，核桃种植面积达到了115.2公顷．(1)求该农户这两年种植核桃公顷数的年均增长率；(2)某销售核桃的干果店经市场调查发现，当核桃售价为20元/kg时，每天能售出200kg，售价每降低1元、每天可多售出50kg，为了尽快减少库存，该店决定降价促销，已知核桃的平均成本价为12元/kg，若要使该店销售核桃每天获利1750元，则售价应降低多少元？68．（2024芜湖市模拟）2024巴黎奥运会吉祥物“Pℎryge”玩偶一经开售，就深受大家的喜爱，某商店以每个20元的价格购进该吉祥物玩偶，以每个35元的价格出售时，平均每天可售出30个，为扩大销售，该商店准备适当降价出售，经过一段时间测算，每个吉祥物每降低1元，平均每天可以多售出3个．(1)若该吉祥物玩偶的销售单价为32元，则当天的销售量为________个；(2)若该商店想每天销售该玩偶的利润为450元，那么每个玩偶应售价多少元？👉题型20以数学文化为背景考查一元二次方程的实际应用69．（2024·山西大同·三模）古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+2x−35=0，即xx+2=35为例．三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，其中，大正方形的面积是x+x+22，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，据此易得x=5．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：构造图2，其中，大正方形的面积为x+1A．分类讨论思想 B．数形结合思想C．函数方程思想 D．转化思想70．（2023·宁夏银川·二模）伊斯兰数学家塔比·伊本·库拉TℎabitibnQurra，830−890在其著作《以几何方法证明代数问题》中讨论了二次方程的几何解法．例如：可以用如图来解关于x的方程x2+mx=n，其中ABFE为长方形，ABCD为正方形，且DE=m，BF×CD=n

71．（2020·江苏南通·中考真题）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为．72．（2023·陕西西安·三模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B处有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，设正方形城池的边长为x步．根据题意整理成一元二次方程的一般形式．73．（2024铜山区二模）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？1．（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c=ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1=2×1+3=5．若关于A．m<14 B．m>14 C．m>14且2．（2024·四川德阳·中考真题）宽与长的比是5−12的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD是黄金矩形．(AB<BC)，点P是边AD上一点，则满足PB⊥PC的点P的个数为（A．3 B．2 C．1 D．03．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．4．（2024·四川成都·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE．若BE=BC，CD=2，则BD=

5．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前n行的点数之和为______(2)体验：三角点阵中前n行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？1．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数x1,x2x1≠x2是关于xA．1 B．−1 C．12 D．2．（2024·山东济南·中考真题）若关于x的方程x2−x−m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（A．m<−14 B．m>−14 C．3．（2024·山东潍坊·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2−mx−n2+mn+1=0，其中m,nA．无实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定4．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于x的一元二次方程9x2−6x+c=0有两个相等的实数根，则c=A．−9 B．4 C．−1 D．15．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（

）A．x−22=−1 B．x−22=0C．6．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程x2A．17或13 B．13或21 C．17 D．137．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程x2−2x=0的解是（A．x1=3，x2=1 B．x1=2，x2=0 C．8．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a=（

）A．1 B．2−1 C．2+1 9．（2024·重庆·中考真题）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，根据题意，可列方程为．10．（2024·四川凉山·中考真题）已知y2−x=0，x211．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程x2+4x−1=0的一个根，则(m+5)(m−1)的值为12．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为x1,x2，且13．（2024·浙江·中考真题）已知关于x的方程m2−1x2−33m−1x+18=0有两个正整数根（m是整数）．△ABC的三边a(1)求m的值．(2)求△ABC的面积（结果允许保留双重根号），14．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：x2（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．15．（2024·广东广州·中考真题）关于x的方程x2(1)求m的取值范围；(2)化简：1−m16．（2023·湖北黄石·中考真题）关于x的一元二次方程x2+mx−1=0，当(1)求黄金分割数；(2)已知实数a，b满足：a2+ma=1,b2−2mb=4(3)已知两个不相等的实数p，q满足：p2+np−1=q,q17．（2023·内蒙古通辽·中考真题）阅读材料：材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根x1，x2和系数a，材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求解：∵m，n是一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根，∴m+n=1,mn=−1．则根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)应用：一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根为x1，(2)类比：已知一元二次方程2x2+3x−1=0的两个实数根为m，n(3)提升：已知实数s，t满足2s2+3s−1=0，218．（2023·湖北·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；(2)设该方程的两个实数根为a，b，若2a+ba+2b=20，求

第二章方程与不等式第07讲一元二次方程及其应用TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u👉题型01一元二次方程的定义👉题型02已知一元二次方程的解求未知数/代数式的值👉题型03选用合适的方法解一元二次方程👉题型04以注重过程性学习的形式考查解一元二次方程👉题型05配方法的应用👉题型06以开放性试题的形式考查解一元二次方程👉题型07不解方程，判断一元二次方程根的情况👉题型08根据根的情况确定一元二次方程中字母的值/取值范围👉题型09利用根的判别式求代数式的值👉题型10以开放性试题的形式考查根的判别式👉题型11不解方程，求方程中参数的值👉题型12不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值👉题型13已知一元二次方程的解满足的情况求参数值👉题型14一元二次方程的实际应用-传播/循环问题👉题型15一元二次方程的实际应用-变化率问题👉题型16一元二次方程的实际应用-几何问题👉题型17一元二次方程的实际应用-营销问题👉题型18一元二次方程的实际应用-动态几何问题👉题型19以真实问题情境为背景考查一元二次方程的实际应用👉题型20以数学文化为背景考查一元二次方程的实际应用👉题型01一元二次方程的定义1．（2024·湖南郴州·模拟预测）下列方程中是一元二次方程的是（

）A．2x2−x+1=0 C．3x+1=0 D．x+【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫一元二次方程，逐一判断即可解答．【详解】解：A、2xB、2xC、3x+1=0是一元一次方程，故此选项不符合题意；D、x+1故选：A．2．（2024·广西桂林·二模）一元二次方程x2−4x+2=0的一次项系数是【答案】−4【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的含义”是解题的关键．根据一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为a，【详解】解：一元二次方程x2−4x+2=0的一次项系数为故答案为：−4．3．（2024·福建福州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程x2−ax−2a+1=0，若一次项系数与常数项相等，则a的值为【答案】1【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2∴−a=−2a+1，解得：a=1，故答案为：1．4．（2024·广东肇庆·一模）二次项系数为2，且两根分别为x1=1，x2=1【答案】2【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，根据题意得出x1+x2=【详解】解：∵二次项系数为2，两根分别为x1=1∴a=2，x1∴b=−3，c=1∴这个方程为：2x故答案为：2x👉题型02已知一元二次方程的解求未知数/代数式的值5．（2024·云南昆明·一模）若x=a是方程x²+2x−2=0的一个根，则代数式2a²+4a+2019的值为（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．−2023【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的解，代数式求值是解题的关键．由题意得，a²+2a−2=0，即a²+2a=2，根据2a²+4a+2019=2a²+2a【详解】解：∵x=a是方程x²+2x−2=0的一个根，∴a²+2a−2=0，即a²+2a=2，∴2a²+4a+2019=2a²+2a故选：C．6．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知方程x2−2024x+1=0的两根分别为x1，x2，则A．1 B．−1 C．2024 D．−2024【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系．根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得x12=2024【详解】解：∵方程x2−2024x+1=0的两根分别为x1∴x12−2024∴x1∴x12−2024x2=2024故选B．7．（2024·江西·模拟预测）设m，n是方程x2+x−2024=0的两个实数根，则m2【答案】−1【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，根据一元二次方程的解的定义可得出m2=2024−m，根据一元二次方程根与系数的关系可得出m+n=−1，【详解】解∶∵m，n是方程x2∴m2+m−2024=0，m+n=−1，∴m2∴m=2024−m+2m+n+mn=2024+m+n+mn=2024+=−1，故答案为：−1．8．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知关于x的一元二次方程3x2−5x+m=0【答案】方程的另一个根是23，m【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，掌握一元二次方程的解和解一元二次方程的方法是解题的关键．把x=1代入方程3x2−5x+m=0【详解】解：把x=1代入方程3x2−5x+m=0把m=2代入方程3x2−5x+m=0解方程得：x1=1，∴方程的另一个根是23，m👉题型03选用合适的方法解一元二次方程9．（2024·甘肃·模拟预测）解方程：5x【答案】x1=1【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：5xx−1∴x−1=0或5x+3=0解得x1=1，10．（2024·湖南郴州·模拟预测）解方程：(1)x−2(2)2【答案】(1)x1=5(2)x1=1【分析】本题考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．（1）用直接开平方法求解即可；（2）先计算判别式，用公式法求解可得．【详解】（1）解：x−32x−3=±2，∴x−3=2或x−3=−2，∴x1=5，（2）解：2x∴a=2，b=1，c=−3，∴Δ=∴x=−b±∴x1=1，11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）解方程：yy−3【答案】y1=3【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：yy−3yy−3y−3y+2有y−3=0或y+2=0，解得y1=3，12．（2024·宁夏银川·一模）下面是某老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务．解方程：2x解：x2−3x2−3x−342x−34=±x1=52，(1)任务一：①杨老师解方程的方法是；A．直接开平方法

B．配方法

C．公式法

D．因式分解法②第二步变形的依据是；(2)任务二：解方程：x2【答案】(1)①B；②等式的性质(2)x1=1【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的求解过程是解答的关键．（1）①根据解方程过程可得结论；②根据等式的性质求解即可；（2）仿照例题中的配方法求解过程求解即可．【详解】（1）解：①杨老师解方程的方法是配方法，故选：B；②第二步变形的依据是等式的性质，故答案为：等式的性质；（2）解：xxx+1x+1=±2解得x1=1，👉题型04以注重过程性学习的形式考查解一元二次方程13．（2024·河北石家庄·模拟预测）下面是小华同学解方程2x−3解方程：2x−3解：移项，得2x−3两边同时除以x−3，得2=3x…………第二步∴x=2(1)小华同学的解题过程从第________步开始出现错误，错误的原因是________；(2)请你写出正确的解题过程．【答案】(1)二；忽略x−3=0的情况(2)x=3或x=【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程：（1）首先判定小明的解法从第二步开始出现错误；（2）利用因式分解的方法与步骤求得方程的解即可．【详解】（1）解：小明的解法从第二步开始出现错误；错误原因是忽略x−3=0的情况；故答案为：二，忽略x−3=0的情况；（2）解：2x−3x−3=0或2−3x=0x=3或x=214．（2024·江西景德镇·二模）小明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程2x(1)小明的解题过程从第__________步开始出现了错误；(2)请利用配方法正确地解方程2x【答案】(1)二(2)x1=2+【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程．（1）根据等式的性质判断②错误；（2）移项，二次项系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】（1）解：上述过程中，从第二步开始出现了错误，故答案为：二；（2）解：2x移项，得2xx2配方，得x2−4x+4=−3∴x−2=±10∴x1=2+1015．（2024·宁夏银川·二模）下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题．解一元二次方程：6解：原方程可以化为：2x3x−1两边同时除以3x−1得：2x=−1第二步系数化为1，得：x=−1任务：(1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误；(2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程．【答案】(1)二(2)x=13或【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法．（1）第二步不符合等式的性质；（2）先移项得到2x3x−1+3x−1=0，再利用因式分解法把方程转化为【详解】（1）解：他从第二步开始出现了错误，故答案为：二；（2）解：62x2x2x+13x−1=0或2x+1=0，解得：x=13或16．（2024·山西临汾·一模）（1）计算：−1（2）下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程5x3x−2小刚同学：解：5x3x−25x=−2第二步解得x=−2小颖同学：解：5x3x−25x3x−25x−23x−25x−2=0或3x−2=0第四步解得x=25或任务一：①小刚同学的解答过程中，从第_________步开始出现错误．错误的原因是__________；②小颖同学的解答过程中，从第_________步开始出现错误．错误的原因是_________．任务二：该一元二次方程的解为__________．【答案】（1）109；（2）任务一：①二，方程两边同时除以可能为0的代数式3x−2；②三，提公因式3x−2时，后边的2−3x任务二：x=−25【分析】本题考查了解一元二次方程，实数的运算．（1）根据乘方，绝对值，零次幂的性质计算即可求解；（2）根据因式分解法解一元二次方程的步骤求解即可．【详解】解：（1）−===10（2）任务一：①小刚同学的解答过程中，从第二步开始出现错误．错误的原因是方程两边同时除以可能为0的代数式3x−2；故答案为：二，方程两边同时除以可能为0的代数式3x−2；②小颖同学的解答过程中，从第三步开始出现错误．错误的原因是后边的2−3x没有变号．故答案为：三，提公因式3x−2时，后边的2−3x未变号．任务二：5x3x−25x3x−25x+23x−25x+2=0或3x−2=0，解得x=−25或👉题型05配方法的应用17．（2024·内蒙古包头·模拟预测）若x=3ay=−b是方程2x+y=5的一个解，则代数式a2+b+50【答案】36【分析】该题主要考查了二元一次方程的解，完全平方公式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．将x=3ay=−b代入2x+y=5求出b=6a−5，再代入a2+b+50【详解】解：∵x=3ay=−b是方程2x+y=5∴6a−b=5，∴b=6a−5，∴a==a+3∴代数式a2故答案为：36．18．（2024·河北邢台·模拟预测）已知，图1中阴影面积为S1，图2中阴影面积为S(1)用含x的代数式表示S1，S2；当x=1时，求(2)比较S1与S【答案】(1)S1=x2(2)S1【分析】本题考查列代数式，整式的加减运算，完全平方公式：（1）直接利用梯形和长方形的面积公式进行计算，列出代数式即可，将x=1，代入所列代数式，进行计算即可；（2）判断两个代数式相减后与0的大小关系，即可得出结论．【详解】（1）解：∵S1S2S1当x=1时，S1（2）S1理由如下：∵S1=∴S∵(x−6)∴(x−6)∴S19．（2024·广东东莞·一模）综合与探究【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算A−B的值，若A−B>0，则A>B；若A−B=0，则A=B；若A−B<0，则A<B．【知识运用】（1）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“>、=、<”填空）：①3−2______4−2②x−1______x+3；（2）试比较与6x2+2x+1【类比运用】（3）图（1）是边长为4的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加2aa>0得到如图（2）所示的长方形，此长方形的面积为S1；将正方形的边长增加a，得到如图（3）所示的大正方形，此正方形的面积为S2．请先判断S【答案】（1）>，<；（2）6x2+2x+1>5x2【分析】（1）利用作差法即可求解；（2）利用作差再结合配方法法即可求解；（3）利用作差即可求解；本题考查了整式和实数的大小比较，掌握作差法是解题的关键．【详解】（1）①∵3−2∴3−2故答案为：>；②∵x−1−x+3∴x−1<x+3，故答案为：<；（2）6x理由如下：6=x∵x−12∴x−12∴6x（3）S1∵S1=44+2a∴S1∴S1👉题型06以开放性试题的形式考查解一元二次方程20．（2024·湖北·模拟预测）请写一个一元二次方程，使得它的一个根为2，另一个根为负数，则这个一元二次方程可以是．（写一个即可）【答案】x2【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据另一个根为负数，令方程另一个根为−1，结合根与系数的关系，得2+(−1)=1，2×(−1)=−2，则该一元二次方程为x2【详解】解：依题意，令方程另一个根为−1，则2+(−1)=1，2×(−1)=−2，∴该方程可以为x2故答案为：x221．（2022·广东汕头·二模）请写出一个符合以下所有条件的一元二次方程：（1）二次项的系数为负数；（2）一个实数根为10−1的整数部分，另一个实数根为－4，则这个一元二次方程可以是【答案】−x−2【分析】先确定出10−1【详解】∵9＜10＜16，∴3＜10＜4，∴2＜10-1＜3，∴10−1∵方程的另一个根为-4，且二次项系数为负数，∴方程可以写为−(x−2)(x+4)=0，答案不唯一，故答案为：−(x−2)(x+4)=0，（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了按条件构造一元二次方程以及确定二次根式整数部分的知识，确定方程的另一个根为2是解答本题的关键．22．（2024·浙江·模拟预测）设一元二次方程ax①a=1，b=3，c=2．②a=1③ba=−2，④x1+x2=0，x注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．【答案】见解析【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，得到一元一次方程，然后利用解一元二次方程的方程求解即可．【详解】解：选择条件①解方程，则这个方程为x2∴x+1x+2∴x1=−1，选择条件②解方程，则这个方程为ax即x2∵Δ<0∴此方程无解．选择条件③解方程，则这个方程为ax2−2ax+a=0∴x−12∴x1选择条件④解方程，则这个方程为x2∴x1=1，👉题型07不解方程，判断一元二次方程根的情况23．（2024·云南曲靖·一模）一元二次方程x2−2x+1=0的根的情况是（A．有两个不相等的实数根 B．无实数根C．有两个相等的实数根 D．无法确定【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，计算根的判别式Δ=−22−4×1×1=0，即可得出答案，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0根的判别式【详解】解：Δ=∴一元二次方程x2故选：C．24．（2023·河南商丘·二模）关于x的方程4x2−4x=−1A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．无实数根【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键．由题意知，Δ=【详解】解：∵4x∴4x∴Δ=∴方程有两个相等的实数根，故选：A．25．（2024·山西·模拟预测）下列一元二次方程中，没有实数根的是（

）A．x2+5x+6=0 C．x2−2x+5=0 【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题的关键．直接利用一元二次方程根的判别式对每个方程逐一计算即可求解．【详解】A、Δ=B、Δ=C、Δ=D、方程化为x2−6x+9=0，故选C．26．（2024·山西长治·模拟预测）关于x的一元二次方程x2+2mx+mA．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数m的取值有关【答案】A【分析】先计算出根的判别式的值得到Δ<0，然后利用根的判别式的意义对各选项进行判断．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2【详解】解：依题意，x∴Δ=∴方程无实数根．故选：A．👉题型08根据根的情况确定一元二次方程中字母的值/取值范围27．（2024·甘肃兰州·模拟预测）关于x的一元二次方程x2+bx+1=0有两个相等的实数根，则满足条件的实数A．0 B．−1或1 C．1 D．−2或2【答案】D【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0根的情况与根的判别式Δ=b2−4ac的关系：当【详解】解：∵一元二次方程x2∴Δ=b2故选：D．28．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2−4x−1+m=0的两根，则m的值为（A．4 B．5 C．4或5 D．3或4【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的解，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的定义，分3为底边长或腰长两种情况讨论是解题的关键．分3为底边长或腰长两种情况求解即可．【详解】解：当3为腰时，此时a=3或b=3，把x=3代入方程x2−4x−1+m=0得解得m=4，此时方程为x2解得x1=3，当3为底时，此时a=b，Δ=解得m=5，此时方程为x2解得x1综上所述，m的值为4或5．故选C．29．（2024·湖南·模拟预测）关于x的一元二次方程a+2x2−3x+1=0有两不等实数根，则a【答案】a<14【分析】本题主要考查学生对一元二次方程的掌握以及一元一次不等式，利用根的判别式求出a的范围，再结合一元二次方程的定义即可．【详解】关于x的一元二次方程a+2xΔ=(−3)2解得：a<14故答案为：a<14且30．（2024·贵州贵阳·一模）关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个实数根，则实数m的值可能是【答案】0（答案不唯一）【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．根据方程有两个实数根，得出Δ≥0，建立关于m的一元一次不等式，求出m【详解】解：由题意可知：Δ=∴m≤1，∴实数m的值可能是0，故答案为：0（答案不唯一）．31．（2024·贵州黔东南·二模）若关于x的方程2x2−3x+m+1=0没有实数根，则m【答案】m>【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ=【详解】解：∵关于x的方程2x∴Δ=∴m>1故答案为：m>1👉题型09利用根的判别式求代数式的值32．（2024·广东清远·模拟预测）已知关于x的方程2x2−6k=0有两个相等的实数根，则kA．−3 B．−4 C．3 D．−5【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ=b2【详解】解：∵关于x的方程2x∴Δ=∴k=0，∴k2故选：B．33．（2022·广东广州·一模）一元二次方程x2+x+k=0有两个相等的实数根，则A．34 B．12 C．54【答案】D【分析】根据题意可得Δ=12【详解】解：由题意可得：Δ=12k+1故选：D【点睛】此题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，以及二次根式的化简，解题的关键是正确求得k的值并掌握二次根式的化简．34．（2021·山东淄博·二模）若关于x的一元二次方程12x2﹣2kx＋1﹣4k＝0有两个相等的实数根，则代数式（k﹣2）2＋2k（1﹣k）的值为（

A．3 B．﹣3 C．−72 【答案】D【分析】先根据一元二次方程根的判别式求出k的值，再代入求值即可得．【详解】解：由题意得：方程12x2整理得：2k2+4k−1=0则(k−2)2=−k=−(k=−1=7故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、代数式求值，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．35．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知a，b分别为方程x2−2x−c=0的两个不相等的实数根，则1aA．14 B．12 C．2【答案】B【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，完全平方公式，先由根与系数的关系得到a+b=2，再根据分式的混合计算法则求出所求式子的化简结果，最后利用整体代入法求解即可．【详解】解：∵a，b分别为方程x2∴a+b=2，∴1a===1故选：B．👉题型10以开放性试题的形式考查根的判别式36．（2022·福建漳州·模拟预测）若关于x的方程x2−k=0有两个不相等的实数根，则k的值可以是【答案】1（答案不唯一）【分析】利用根的判别式计算求值即可．【详解】x2−k=0的判别式为：△=4方程有两个不相等的实数根，则△＞0，4k＞0，k＞0，k=1时，方程有两个不相等的实数根±1，故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）根的判别式△=b2-4ac：△＞0时方程有两个不等的实数根；△=0时方程有两个相等的实数根；△＜0时方程没有实数根．37．（2024·河南郑州·模拟预测）若关于x的一元二次方程x2−6x+m=0有实数根，且m为正整数，请写出一个合适的m值【答案】1（答案不唯一）【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根，则Δ=b【详解】解：由题意得：Δ解得：m≤9∵m为正整数，∴m值可以为1，故答案为：1，答案不唯一38．（2024·江苏泰州·二模）已知一元二次方程x2+mx−4=0有两个实数根，两根之和为负数，则m的值可以是【答案】1（m>0即可）【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ=b2−4ac>0，则方程有两个不相等的实数根，若【详解】解：∵一元二次方程x2∴Δ=∵两根之和为负数，∴−m<0，∴m>0，∴m的值可以是1，故答案为：1（m>0即可）👉题型11不解方程，求方程中参数的值39．（2024·云南曲靖·一模）已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为−2，则另一个根为（A．−10 B．−1 C．2 D．−5【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设方程的另一个根为a，则a+−2【详解】解：设方程的另一个根为b，∴b+−2∴b=−1，故选：B．40．（2024·广东湛江·模拟预测）已知m，n是方程x2−3x−2=0【答案】−4【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若x1，x2为方程ax2+bx+c=0a≠0的两个根，则x1【详解】解：∵m、n是方程x2∴mn=−2∴2mn=−4，故答案为：−4．41．（2024·山东枣庄·一模）已知3是关于x的方程x2−2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是菱形ABCD的两条对角线的长，则菱形ABCD的面积为【答案】4.5【分析】本题主要考查了菱形的性质以及一元二次方程的解和根与系数的关系，正确得出方程的两根之积是解题关键．首先利用一元二次方程的解得出m的值，再利用根与系数的关系得出方程的两根之积，再结合菱形面积公式求出答案．【详解】解：∵3是关于x的方程x2∴32解得：m=3，∴原方程为：x2∴方程的两根之积为：x1∴菱形ABCD的面积为：4.5．故答案为：4.5．👉题型12不解方程，求出与方程两根有关的代数式的值42．（2024·湖北宜昌·一模）已知m、n是一元二次方程x2+x−2025=0的两个实数根，则代数式m2A．2025 B．2024 C．2023 D．2021【答案】B【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程解的意义．根据一元二次方程解的意义，得到m2+m=2025，再根据根与系数的关系，得到【详解】解：根据题意得：m是一元二次方程x2∴m2∴m2又m、n是一元二次方程x2∴m+n=−1，∴m2故选：B．43．（2024·湖北·模拟预测）已知一元二次方程x2−3x−15=0的两根分别为m，n，则mn−m−n的值是（A．18 B．−12 C．−18 D．12【答案】C【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握是解决问题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得m+n=3，mn=−15，把【详解】∵一元二次方程x2−3x−15=0的两根分别为m，∴m+n=3，∴mn−m−n=mn−m+n故选：C．44．（2024·贵州铜仁·一模）已知关于x的方程x2+m−1x−2=0的两实数根为x1，x2，若A．1 B．−5 C．3 D．5【答案】D【分析】本题主要考查了根与系数的关系的知识．根据根与系数的关系，得出x1+x2和【详解】解：∵关于x的方程x2+(m−1)x−2=0的两实数根为x1∴x1+∵x∴x∴−2+m−1=2，∴m=5．故选：D．45．（2024·湖北十堰·三模）若m、n是一元二次方程x2−x−3=0的两个实数根，多项式2n【答案】11【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2，则x【详解】解：由题意得：n2−n−3=0，m+n=1，∴n2∴2n故答案为：11．46．（2024·四川内江·二模）已知x1，x2是方程x2−x−2024=0的两个实数根，则代数式【答案】4049【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握方程根的定义和根与系数的关系，完全平方公式变形，整体代入法求代数式的值，是解决本题的关键．一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根为根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到x1+x2=1，x【详解】∵x1，x2是方程∴x1+x∴x1∴x=====4049．故答案为：4049．👉题型13已知一元二次方程的解满足的情况求参数值47．（2024·湖南株洲·模拟预测）关于x的一元二次方程x2−2mx+m2=4有两个根x1、【答案】−9【分析】本题考查一元二次方程根于系数的关系，根据x1+x2=−【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2−2mx+m∴x1+x∵x1∴(2x2+3)∴x2∴(2×2m−3解得：m1=3，当m1=3时，x2=2×3−3当m2=−9时，x2故答案为：−9．48．（2024·贵州遵义·模拟预测）已知x1，x2是关于x的方程x2+3x+m=0的两个实数根，且x1【答案】−2【分析】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0先利用根与系数的关系得x1+x2=−3，x1x2=m【详解】解：根据根与系数的关系得x1+x∵x∴x即m−3+1=−4，解得m=−2．故答案为：−2．49．（2024·湖北随州·一模）已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：该方程总有实数根；(2)设该方程的两个实数根分别为x1，x2，若x1>0，【答案】(1)见解析(2)a<1【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式：（1）只需要证明Δ=（2）根据根与系数的关系得到x1⋅x2=a−1，再由x【详解】（1）证明：由题意得，Δ=∴该方程总有实数根；（2）解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+a−1=0的两个实数根为x1∴x1∵x1>0，∴x1解得a<1，∴a的取值范围为a<1．50．（2024·四川眉山·二模）已知关于x的一元二次方程x2(1)求m的取值范围；(2)设方程两实数根分别为x1、x2，且满足x1【答案】(1)m的取值范围是m≤13(2)m的取值范围−1【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式等知识点，（1）根据根的判别式得出b2（2）求出x1+x2=3熟练掌握一元二次的根与系数的关系是解决此题的关键．【详解】（1）方程x2−3x=1−3m整理得∵关于x的一元二次方程x2∴b2解得：m≤13即m的取值范围是m≤13（2）∵x1+x又∵x1∴x1∴32∴m≥−1∵m≤13∴−1故m的取值范围−1👉题型14一元二次方程的实际应用-传播/循环问题51．（2024·湖北·模拟预测）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为（

）A．1+x+x2=73C．x+x2=73【答案】A【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，熟练的表示支干与小分支的数量是解本题的关键.设每个支干长出x个小分支，则主干生出x个小分支，而x个小分支每个又生出x个小分支，所以一共有1+x+x【详解】解：设每个支干长出x个小分支，则1+x+x故选：A．52．（2024·贵州黔东南·二模）化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？【答案】一个人每节课手把手教会了6名同学【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设一个人每节课手把手教会了x名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】解：设一个人每节课手把手教会了x名同学，根据题意得：1+x2解得：x1=6，答：一个人每节课手把手教会了6名同学．53．（2024·山东济南·模拟预测）在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场．若共比赛了15场，则参赛的球队数为．【答案】6【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．设有x个队参赛，根据题意列出方程即可求出答案．【详解】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：12解得：x=6或x=−5（舍去），答：参赛的球队数为6．故答案为：6．👉题型15一元二次方程的实际应用-变化率问题54．（2024·云南曲靖·一模）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一种方式，如图所示是甜甜和她的妹妹在六一儿童节期间的对话：请问：2020年到2022年甜甜和她妹妹在“六一”收到红包的年增长率是多少？【答案】2020年到2022年甜甜和她妹妹在“六一”收到红包的年增长率为10%【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设甜甜和她妹妹在“六一”收到红包的年增长率是x，依题意得400×1+x【详解】解：设甜甜和她妹妹在“六一”收到红包的年增长率是x，依题意得：400×1+x解得：x1=−2.1（舍去）∴x=0.1=10%答：2020年到2022年甜甜和她妹妹在“六一”收到红包的年增长率为10%55．（2024·广西南宁·模拟预测）某商场一种商品的进价为30元/件，售价为40元/件，经统计销量发现，该商品平均每天可以销售48件．商场为尽快减少该商品的库存，决定对该商品进行降价促销活动．(1)对该商品进行了两次降价后的售价为32.4元/件，求平均每次降价的百分率．(2)经调查，若该商品每件降价1元，则每天可多销售8件．若商场销售该商品想要每天获得504元的利润，则每件应降价多少元？【答案】(1)平均每次降价的百分率为10%(2)每件应降价3元【分析】此题主要考查了一元二次方程应用，（1）设每次降价的百分率为x，根据“售价40元/件进行了两次降价后的售价为32.4元/件”列出方程求解即可．（2）设每天要想获得504元的利润，每件商品应降价y元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．【详解】（1）解：设平均每次降价的百分率为x，40(1−x)解得：x1=0.1=10%，答：平均每次降价的百分率为10%．（2）解：设每天要想获得504元的利润，，则每件商品应降价y元，由题意，得(40−30−y)(8y+48)=504，解得：y1=1，又∵商场为尽快减少该商品的库存，∴y=3，答：每件应降价3元．👉题型16一元二次方程的实际应用-几何问题56．（2024·贵州贵阳·一模）被誉为“蕴藏着人类上古文明密码的哲学之书”的古老苗绣，在贵州文旅市场和时尚行业中，展现出匠人匠心的“针”功夫．小星奶奶手绣了一幅长为38cm、宽为23cm的矩形绣品(如图所示)，为了完好保存绣品，计划将其塑封，塑封时需四周留白(上下左右宽度相同)，且塑封后整幅图的面积为1000cm2，设留白部分的宽度为A．(38−2x)(23−2x)=874 B．(38+2x)(23+2x)=874C．(38−2x)(23−2x)=1000 D．(38+2x)(23+2x)=1000【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程解实际问题，根据题意，塑封的长为38+2xcm，宽为23+2x【详解】解：根据题意，塑封后的长为38+2xcm，宽为23+2xcm，面积为∴列方程为：38+2x故选：D．57．（2024·辽宁·模拟预测）如图，公园原有一块长34m、宽10m的矩形空地．后来在这块空地中划出不同区域种植不同品种的鲜花，中间铺设同样宽度的石子路将各区域间隔开．已知各区域鲜花面积的和为【答案】所铺设的石子路的宽度为1【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设铺设的石子路的宽度为xm，根据种植花卉的面积为297【详解】解：设所铺设的石子路的宽度为xm根据题意，得(34−x)(10−x)=297．解得x1答：所铺设的石子路的宽度为1m58．（2024·浙江绍兴·模拟预测）根据以下素材，完成探索任务．探索果园土地规划和销售利润问题素材1某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB=200米，BC=300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度2x不超过24米，且不小于10米．素材2该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用．问题解决任务1解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．（1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围．（2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求．任务2解决果园种植的预期利润问题．（净利润=草莓销售的总利润−路面造价费用−果园承包费用−新苗购置费用−其余费用）（3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由．【答案】（1）5≤x≤12；（2）路面设置的宽度符合要求；（3）可以，理由见解析．【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）由“横向道路宽度2x不超过24米，且不小于10米”，可得出x的取值范围；（2）根据种植的面积是44