中考数学总复习提升专项知识锐角三角函数及其应用(练习)含答案及解析

第四章三角形第22讲锐角三角函数及其应用TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u👉题型01理解锐角三角函数的概念👉题型02求角的三角函数值👉题型03由三角函数求边长👉题型04由特殊角的三角函数值求解👉题型05由特殊角的三角函数值判断三角形形状👉题型06特殊角三角函数值的混合运算👉题型07根据特殊角三角函数值求角的度数👉题型08已知角度比较三角函数值的大小👉题型09利用同角的三角函数求解👉题型10三角函数综合👉题型11在平面直角坐标系中求锐角三角函数值👉题型12特殊角三角函数值的另类应用👉题型13在网格中求锐角三角函数值👉题型14解直角三角形的相关计算👉题型15构造直角三角形求不规则图形的边长或面积👉题型16运用解直角三角形的知识解决视角相关问题👉题型17运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题👉题型18运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题👉题型19运用解直角三角形的知识解决实际问题👉题型20运用解直角三角形的知识解决实际问题（新考法/新情境）👉题型01理解锐角三角函数的概念1．（2024·广西·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，则下列选项错误的是（

）A．sinA=ac B．cosB=ac2．（2022·湖北·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，BD是斜边AC上的高，AB≠BC，则下列比值中等于sinA的是（A．ADAB B．BDAD C．BDBC3．（2023·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中作△ABC，使tan∠A=1(2)在图②中作△ABD，使tan∠A=(3)在图③中作△ABE，使tan∠A=2👉题型02求角的三角函数值4．（2024·陕西西安·模拟预测）直角三角形的斜边与一直角边的比是5:1，且较大的锐角为θ，则sinA．5 B．55 C．12 5．（2024·湖南·模拟预测）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为25，小正方形面积为1，则cosα的值为（

A．34 B．43 C．356．（2025·上海奉贤·一模）等腰三角形ABC中，AB=AC,BD、CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，那么tan∠ABC=7．（2024·北京·模拟预测）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=1，AD⊥BC，BH⊥AC．已知【探究】你能否从这里得出sin2α👉题型03由三角函数求边长8．（2025·上海奉贤·一模）在平面直角坐标系的第一象限内有一点P,OP=10，射线OP与x轴正半轴的夹角为α，如果sinα=35，那么点P9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=45°，D为直线BC边上一动点，将线段AD绕点A逆时针旋转45°得到AE，连接BE，若BC=2，则BE的最小值为．10．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，AB=2，A1，0，∠DAB=60°，将菱形ABCD绕点A顺时针旋转90°后，得到菱形AB1A．2+3，−3 B．3，−311．（2024·安徽·三模）如图，△ABC中，AB=30，以AB为直径的⊙O经过点C，交△ABC的角平分线AD于点D，DE是⊙O的切线，交AC延长线于点E．(1)求证：BC∥DE；(2)延长AB交ED的延长线于点F，tan∠F=34👉题型04由特殊角的三角函数值求解12．（2024·贵州·模拟预测）Rt△ABC中，∠C=90°，∠A:∠B=1:2，则tan∠A的值（A．12 B．32 C．3313．（2024·浙江·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，三角形的其中两边长如下：AB=π−30+214．（2023·浙江宁波·模拟预测）平面直角坐标系中，点A与点B(cos60°,−3)关于x轴对称，如果函数y=kx15．（2023·山东青岛·一模）计算：sin30°+3👉题型05由特殊角的三角函数值判断三角形形状16．（2024·江苏淮安·一模）在△ABC中，若cosA−22+1−tanB2=0，17．（2021·贵州黔西·模拟预测）在△ABC中，若∠A，∠B都是锐角，且sinA=12，cosB=1A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形👉题型06特殊角三角函数值的混合运算18．（2023·四川绵阳·模拟预测）（1）计算：3−2（2）化简求值：m2−2m−19．（2024·湖南·模拟预测）先化简，再求值：x2−2x−220．（2024·云南昆明·模拟预测）计算：6sin👉题型07根据特殊角三角函数值求角的度数21．（23-24九年级上·福建泉州·期中）某水库大坝，其坡面AB的坡度i=1:3，则斜坡AB的坡角的度数为°22．（2023·云南昆明·模拟预测）在△ABC中，已知∠A，∠B是锐角，若tanA−3+2sin23．（2023·辽宁·一模）如图所示是潜望镜工作原理的平面示意图．一条平行光线l经镜面BC反射到EF后得到光线m，且l∥m．虚线所示为光线反射轨迹．若测得两条平行光线间的距离为3，虚线长度为2，则虚线与m所夹钝角的度数为（

）A．110° B．120° C．135° D．150°24．（2023·安徽六安·二模）如图，⊙C过原点O，与x轴、y轴分别交于A､D两点，已知C−1,n,OD=23

👉题型08已知角度比较三角函数值的大小25．（2020·甘肃张掖·模拟预测）若0°<α<90°，则下列说法不正确的是（

）A．sinα随α的增大而增大 B．cosα随α的减小而减小C．tanα随α的增大而增大 D．0<sinα<126．（2020·内蒙古·二模）在直角三角形ABC中，角C为直角，锐角A的余弦函数定义为，写出sin70º、cos40º、cos50º的大小关系．27．（2023·上海静安·一模）如果0°<∠A<60°，那么sinA与cosA．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定28．（2023·江苏苏州·一模）化简sin28°−cos28°A．sin28°−cosC．cos28°−sin👉题型09利用同角的三角函数求解29．（2024·江苏泰州·二模）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BD⊥AB，BD=AB，连接CD，若要计算△BCD的面积，只需知道（

）A．AB长 B．AC长 C．CD长 D．BC长30．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，AB为⊙O的直径，点C是弧AB的中点，点D在圆O上，点E在AB的延长线上，且EF=ED．

(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)连接BC，若tan∠BCD=12，DE=631．（2023·江苏淮安·二模）如图，已知AB是⊙O的直径，OE∥BC，AE的延长线交BC于点D，∠ABC=2∠CAD．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若CD=2，tan∠CAD=1332．（2023·海南海口·模拟预测）如图，直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是2，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，A．3 B．4 C．5 D．6👉题型10三角函数综合33．（2024·山西朔州·模拟预测）如图，AB是⊙O的切线，P为切点，连接OA，OB，分别与⊙O相交于点C，点D，若∠A=30°，AP=23，BP=2，则CDA．7π3 B．4π3 C．34．（2023·上海普陀·三模）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则tanE=35．（2024·山东潍坊·模拟预测）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD∥OE，直线CE是线段OD的垂直平分线，CE分别交OD，AD于点F，G，连接DE．当CD=4时，求EG的长．👉题型11在平面直角坐标系中求锐角三角函数值36．（2023·江苏苏州·二模）如图，点O为坐标系原点，点A为y轴正半轴上一点，点B为第一象限内一点，OA=AB，∠OAB=90°，将△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角度数至△OA'B'，此时反比例函数y=kxk>0刚好经过OA',OB'的中点，则tanA．12 B．5−12 C．337．（2022·河南商丘·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为0,3，点B在x轴上．(1)在坐标系中求作一点M，使得点M到点A，点B和原点O这三点的距离相等，在图中保留作图痕迹，不写作法；(2)若函数y=kx的图象经过点M，且sin∠OAB=38．（2022·江苏常州·一模）如图，平面直坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=kxk>0的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA=10，sin∠AOC=(1)求反比例函数的表达式；(2)求一次函数的表达式．39．（2023·河北张家口·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点A1,1；B1,−1，直线l的解析式为y=kx+b，点A，点B关于直线l的对称点分别为点A(1)当k=1时，①若点A'的坐标为2,0，则A'B'的长为______，b的值为______，此时②若AA'=(2)当b=0时，若点A'，B'都在直线a上，且直线a经过点C0,2，直接写出直线l👉题型12特殊角三角函数值的另类应用40．（23-24九年级上·四川巴中·阶段练习）进入高中后，我们还会学到下面的三角函数公式：sin(α+β)=sinαtan(α+β)=(1)sin(2)cos41．（23-24九年级上·山东菏泽·期中）下面是我们将在高中阶段所要学习的一个内容，请先阅读这段内容．再解答问题，三角函数中常用公式sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ，求sin75°👉题型13在网格中求锐角三角函数值42．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，是由7×5的小正方形组成的网格，小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则sin∠ABC的值是（

A．53434 B．33434 C．43．（2024·广东佛山·三模）如图，网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接AB、CD交于点P，则∠BPC的正切值是（

）A．2 B．32 C．52 44．（2024·贵州·模拟预测）如图，A、B、C、D四点均在由边长为1的小正方形组成的网格格点上，则sinB+sinDA．3102+522 B．345．（2024·山东淄博·一模）如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E都在网格的格则∠ADC的正弦值为（

）A．102 B．13 C．23👉题型14解直角三角形的相关计算46．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）在△ABC中，∠A=30°,BD,CE分别是边AC,AB上的高，则DEBC=（A．13 B．12 C．2247．（2024·河北石家庄·二模）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点P为CD的中点，若点P绕AB上的点Q旋转后可以与点B重合，则AQ的长为（

）A．6 B．116 C．3 48．（2024·四川绵阳·三模）如图△ABC中，tan∠C=12，DE⊥AC，若CE=5，DE=1，且△BEC的面积是△ADE面积的10倍，则BEA．52 B．72 C．5 49．（2024·湖北·模拟预测）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，∠ACB=60°，AB=53，BC=8，则△BDE的面积是（

A．10 B．85 C．2534👉题型15构造直角三角形求不规则图形的边长或面积50．（2020·浙江金华·一模）如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF<AB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（）

A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小51．（2023·北京东城·模拟预测）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC=2(1)求证：直线AC是圆O的切线；(2)若OD⊥OC，∠ACB=75°，圆O的半径为4，求BC52．（2023·四川乐山·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为弧BC的中点，过点D作DE⊥AC，垂足为AC的延长线上的点E，连接DA．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)延长ED交AB的延长线于F，若AE=8，tan∠ADE=2，求BF53．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥DC，连接AC，BC，BC=2．(1)求证：AC(2)若ADAB=354．（2023·四川达州·模拟预测）如图，BC是⊙O的弦，AB是⊙O的直径，E是OB的中点，过点E作EF⊥AB，连接FC并延长交BA的延长线于点D，已知∠F=2∠B．(1)判断DF与⊙O的位置关系，并给予证明；(2)若∠B=30°，EF=53👉题型16运用解直角三角形的知识解决视角相关问题55．（2024·福建泉州·模拟预测）某公园里有一座凉亭，亭盖呈圆锥状，如图所示，凉亭的顶点为O，点O在圆锥底面、地面上的正投影分别为点O1，O2，点P为圆锥底面的圆上一点，数据显示，该圆锥的底面半径为2米（即O1(1)若OO(2)现计划对亭盖的外部进行喷漆作业，需测算亭盖的外部面积（即圆锥的侧面积）．因凉亭内堆积建筑材料，导致无法直接测量OO2的高度，工人先在水平地面上选取观测点A，B（A，B，O2在同一直线上），利用测角仪分别测得点O的仰角为α，β，其中tanα=12，tanβ=25，再测得A，B56．（2022·四川成都·模拟预测）如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得点C处的俯角为45°．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，则教学楼BC的高度为多少米？（3≈1.7357．（2024·贵州·模拟预测）甲秀楼位于贵阳市南明河上，一座三层三檐四角攒尖顶的木结构建筑，始建于明代，后经多次修缮，至今仍保持着古朴典雅的风貌，楼内雕梁画栋，美轮美奂．在综合与实践活动中，某学习小组要利用测角仪测量甲秀楼的高度，如图，AB前有一座高为DE的观景台，已知CD=12m，∠DCE=30°，点E，C，A在同一条水平直线上．在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°(1)求DE的长；(2)求塔AB的高度．（tan27°≈0.5，👉题型17运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题58．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，一艘轮船在海面上航行，准备要停靠到码头C，当轮船航行到A处时，测得码头C在北偏东60°方向上，此时收到北偏东30°方向B处的一发生故障渔船的求助信号，这艘轮船调整航向，沿着AB方向继续航行30海里到达B处对渔船进行了救助，又沿着南偏东70°方向航行到达码头C．(1)求∠C的度数；(2)求轮船从A处到码头C距离．（结果精确到1海里．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.259．（2024·湖北恩施·一模）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持40海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C．(1)求cos∠ACB的值．（保留2个有效数字，2≈1.414，(2)求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）60．（2024·上海浦东新·一模）如图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为22km，南门O设立在A6A(1)∠CA1A2=__________°(2)求点A1到道路BC(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到0.1km，参考数据：2≈1.41，cos14°≈0.97，cot14°≈4，👉题型18运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题61．（2024·湖北宜昌·三模）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长CD与AB交于E点，已知坡道AB的坡比i=1:2.4是指坡面的铅直高度CE与水平宽度AC的比，AC的长为7.2米，CD的长为0.4米．(1)请求出DE的长？(2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，确定该车库入口的限高数值（即点D到AB的距离）．62．（2024·湖北武汉·模拟预测）某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高AD为6m，坡角∠ABD为30°，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB=16°，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度BC=（结果精确到0.1m，参考数据：sin16°≈0.28，cos63．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD=3m，坝高AE=DF=6m，斜坡CD的坡度为1:3，斜坡AB的坡角∠B=45°👉题型19运用解直角三角形的知识解决实际问题64．（2025·上海奉贤·一模）桔槔gao是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度．如图所示，线段OM代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段BD、AC是无弹力、固定长度的麻绳，绳长AC=3米，木质杠杆AB=6米．(1)当水桶C的位置低于地面0.5米（如图1所示），支架OM与绳子BD之间的距离OH是1.6米，且cotB=0.75，求这个桔槔支架OM(2)向上提水桶C上升到地面上方0.6米（如图2所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度．65．（2025·甘肃·模拟预测）某校三个数学研究小组测量某古城墙的高度．测量方案与测量数据如下表：项目测量古城墙的高度测量工具测角仪，皮尺等测量小组第一小组第二小组第三小组测量方案说明点A，B在古城墙的地面边缘线EF上，点C，D在古城墙的上部边缘线GH上，且EF∥GH测量数据∠CAB=65.6°，∠CBA=39.4°，AB=22∠DAB=65.6°，∠CBA=39.4°，AB=15∠CAF=65.6°，∠CBA=39.4°，AB=10问题解决：(1)直接指出所有可行方案的小组；(2)在可行方案的小组里，任选一种方案，按照所测数据，计算古城墙的高度；(精确到1m，参考数据：sin65.6°≈0.9，cos65.6°≈0.4，tan65.6°≈2.2，sin39.4°≈0.6(3)计算的古城墙的高度和实际结果有一定的误差，请提出一条减小误差的合理建议．66．（2025·安徽·模拟预测）生活中，我们经常用平均速度的大小来描述物体的运动快慢．如图为某校物理兴趣小组利用小球在斜面上运动模拟汽车区间测速的装置．先将木板CE垫成倾斜角为12°的斜面，让小球从E点（此时小球的速度为0）沿斜面下滑到C点，测出这一过程中小球运动的时间为2s，再将同样长度的木板放置在AB处，使点A在CE上，且B，C，D在同一水平线上，测得BC=50cm，此时倾斜角为8°，按照同样的条件测得小球从A点沿斜面运动到B点所用的时间为4s．求木板端点A到BD的高度．（结果保留一位小数．参考数据：sin8°≈0.14，cos8°≈0.99，tan8°≈0.14，67．（2025·山东临沂·一模）某中学为新操场采购了一批可调节高度的篮球架，右图是其侧面示意图，底座高度忽略不计．已知其支架AD=221cm，DE=140cm，安装完毕后小明测得∠CAB=72°，∠ADE=138°，国家规定中学生所用篮球架中篮筐距地面标准高度约为280cm👉题型20运用解直角三角形的知识解决实际问题（新考法/新情境）68．（2024·黑龙江绥化·一模）根据以下素材，探索完成任务．素材1图①是宁宁家安装的户外遮阳篷．图②是其侧面示意图，已知该遮阳篷安装在垂直于地面BC的墙面上，篷面安装点A离地面4米，篷面与墙面的夹角∠DAB=60°，篷面宽AD=3米．除此之外，为了保障遮阳篷的稳定性，还加装了支架MN稳定篷面．支架MN的安装方式如下：点M固定在墙面上，位于点A的正下方，即点A，M，B共线；点N固定在篷面上离A点1米处（点A，N，D共线），即AN=1米，支架MN与墙面的夹角∠AMN=45°．素材2宁宁所在地区某天下午不同时间的太阳高度角α（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表：时刻12点13点14点15点角α的正切值432.52素材3宁宁养了一株龙舌兰（图③），该植物喜阳，所以宁宁经常把龙舌兰搬到能被太阳光照射到的地方，以保证龙舌兰有充足的光照，如图②，这株龙舌兰摆放的位置记为点E．任务1确定安装点请求出支架MN的固定点M与A点的距离AM的长．任务2确定影子长请求出这天13点时遮阳篷落在地面上影子的长度．任务3判断能否照射到这天14点，宁宁将龙舌兰摆放到点E处，为了保证龙舌兰能被太阳光照射到，请求出此时摆放点离墙角距离的取值范围．69．（2023·江西吉安·三模）学科综合：我们在物理学科中学过：光线从空气射入水中会发生折射现象（如图1），我们把n=sinαsinβ称为折射率（其中α观察实验：为了观察光线的折射现象，设计了图2所示的实验，即通过细管MN可以看见水底的物块C，但不在细管MN所在直线上，图3是实验的示意图，四边形ABFE为矩形，点A，C，B在同一直线上，测得BF=12cm，DF=16(1)求入射角α的度数．(2)若BC=7cm，求光线从空气射入水中的折射率n．（参考数据：sin53°≈45，70．（2023·四川达州·模拟预测）阅读理解：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c（注：sin90°=1∵sinA=ac，sinB=bc∵sin90°=1，拓展探究：如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．思考特例中的结论asin解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC=40m，∠A=75°，∠C=60°．请用前面的结论，求点A到点B71．（2024·江西南昌·模拟预测）图1是某折叠资料架，图2为其侧面示意图，已知AB∥CD∥EF∥GH，MC∥BE∥DG∥FO，M，N，P，Q四点分别是AB，CD，EF，GH的中点（N，P两点也分别在BE和DG上），FO⊥底座HI，垂足为O，经测量，(1)求证：四边形MBNC为菱形．(2)求折叠资料架的高（点A到底座HI的距离）．（参考数据：sin48°≈0.7472．（2024·河北邯郸·模拟预测）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=10cm，如图1和图2所示，CD为水面截线，MN为台面截线，MN∥CD，半圆O与MN相切于水槽最低点P．如图1，初始情况下A，C重合，∠AOP=60°(1)求圆心O到水面CD的距离；(2)探究图1中的水槽沿MN向右无滑动的滚动，使水流出一部分，当CD=8cm时停止滚动，此时B，D①求水位下降的高度；②求圆心移动的距离，并比较圆心移动的距离与半径的大小．（参考数据：sin53°=4573．（2024·广东深圳·模拟预测）【项目式学习】探究古代建筑，屋檐之上的数学密码——探究屋面结构与建筑高度的关系背景介绍在世界的历史长河中，中国的古建筑最具有视觉美感，历史源远流长、绵延不绝．大诗人李白的诗句：“危楼高百尺，手可摘星辰”，表述了他对建筑、数学以及宇宙星辰的认知．而中国古建筑屋顶是我国传统建筑造型艺术中非常重要的构成因素，不仅样式多，而且组成部分也很繁杂．中国屋顶多为坡屋面，从顶上屋脊或宝顶到下边的屋檐是一个向下弯曲的凹弧面，表达出顺应自然的谦卑，似与天空恰当而友善的对话．而弯曲屋面的出现，经历了漫长的过程．其中最具代表的就是两宋的建筑成就．建筑高度是建筑设计中的一个重要参数．学习小组的同学想要更全面具体地了解宋代建筑与数学的关系，来到了宋代建筑代表作——山西太原的晋祠圣母殿．想通过建模的方式探究屋面结构与建筑高度的关系．实践任务以晋祠圣母殿为例，通过建模的方式，探究屋面结构与建筑高度的关系．资料查阅1、晋祠圣母殿是常见的坡屋面式结构之一，在《建筑设计防火规范》（GB50016-2014）（2018年版）A．0.1条中，建筑高度应为建筑室外设计地面至其檐口与屋脊的平均高度，即：建筑高度(ℎ)=室外设计地面至檐口的高度（ℎ1）+(如图1，建筑高度ℎ=ℎ12、如图2，根据晋祠圣母殿和《营造法式》中的几个典型的屋面剖面图的资料总结得出，从檐口到屋脊，坡屋面竖直高度ℎ2/半坡宽度W≈0.5模型初建将晋祠圣母殿的屋面近似成平面结构，其剖面图可以简化成数学几何图形（简化为一层房檐)．如图3，△ABC为等腰三角形，AB=AC，假定BC=8米，DF=10米．

图3模型优化屋面除了审美需求，也要便于房屋采光和排水．晋祠圣母殿的屋面正是中国古建筑中最具代表的凹曲屋面，使建筑物产生独特而强烈的视觉效果和艺术感染力．学习小组通过查阅资料可知，屋面可以近似看作圆心角为30o的圆弧．如图所示，弧AB和弧AC是半径为17m、圆心角为30o的圆弧，檐口B到地面的距离为15补充模型从对屋顶曲线进行数学模拟时，却发现圆弧的拟合度并非最佳．学习小组的同学经过探索，发现运用到了最速降线的理论．最速降线可以使得物体下滑所需时间最短，达到排水的目的．古人如何造出“最速降线”的呢？查阅资料得知，宋朝古人利用“举折法”测定屋顶坡度及屋盖曲面线．如图5所示，折线C−M1−M2−M3−A为宋代常见的一种屋顶建筑．N1、N2、N3是△ABC中AB边上的四等分点，过N1作N1P1⊥AB交AC于P1，将P1降低110BC米得到M1，连接AM1；重复上述步骤，过N2作N“举之峻慢，折之圆和”，求此曲面线，谓之定侧样．这就是古代的“举折法”．

图5问题解决任务1模型初建（1）根据“资料查阅”第一条，求出简易图中的建筑高度；任务2模型优化（2）根据“资料查阅”两条内容，直接写出屋脊A与檐口B的竖直高度h2和建筑高度h（结果保留整数部分，3≈1.7任务3补充模型（3）若M3N31．（2024·山西·中考真题）如图，在▱ABCD中，AC为对角线，AE⊥BC于点E，点F是AE延长线上一点，且∠ACF=∠CAF，线段的延长线交于点G．若AB=5，AD=4，tan∠ABC＝2，则2．（2024·宁夏·中考真题）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（hè），图2是其示意图．已知管状短流AB=2cm，四边形BCDE是器身，BE∥CD,BC=DE=11cm,∠ABE=120°,∠CBE=80°．器身底部CD距地面的高度为21.5cm，则该陶盉管状短流口A距地面的高度约为cm（结果精确到3．（2024·内蒙古·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB=24cm,BE=13AB(1)求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）(2)实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE=28cm，MN=8cm，4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上．连接CD，交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过点A作⊙O的切线交BP于点G．(1)求证：AG∥CD；(2)求证：PA(3)若sin∠APD=13，PG=65．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形OABC是平行四边形，点C在反比例函数y=kx的图象上，点C的横坐标为2，点提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为P1x1,y1，(1)求反比例函数的表达式；(2)如图2，点D是AB边的中点，且在反比例函数y=kx图象上，求平行四边形(3)如图3，将直线l1:y=−34x向上平移6个单位得到直线l2，直线l2与函数y=kxx>0图象交于M1，M2两点，点P为6．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．【特例探究】（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表图序角平分线AD的长∠BAD的度数腰长两腰之和两腰之积图①160°244图②145°222图③130°__________________请补全表格中数据，并完成以下猜想．已知△ABC的角平分线AD=1，AB=AC，∠BAD=α，用含α的等式写出两腰之和AB+AC与两腰之积AB⋅AC之间的数量关系：______．【变式思考】（2）已知△ABC的角平分线AD=1，∠BAC=60°，用等式写出两边之和AB+AC与两边之积AB⋅AC之间的数量关系，并证明．【拓展运用】（3）如图④，△ABC中，AB=AC=1，点D在边AC上，BD=BC=AD．以点C为圆心，CD长为半径作弧与线段BD相交于点E，过点E作任意直线与边AB，BC分别交于M，N两点．请补全图形，并分析1BM1．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠B=120°，点O是对角线AC的中点，以点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF，点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为（

）A．π2−34 B．π−2．（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面119m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行74m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M,N,A,B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（（结果精确到1m．参考数据：sinA．41m B．42m C．48m3．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（

A．2 B．2 C．3 D．54．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中点，则sin∠EBC的值为（

A．35 B．75 C．21145．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA=1，则OG=（

）A．125564 B．12564 C．646．（2024·四川雅安·中考真题）在数学课外实践活动中，某小组测量一栋楼房CD的高度（如图），他们在A处仰望楼顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进50米至B处，测得仰角为60°，那么这栋楼的高度为（人的身高忽略不计）（

）A．253米 B．25米 C．252米7．（2024·四川雅安·中考真题）如图，⊙O的周长为8π，正六边形ABCDEF内接于⊙O．则△OAB的面积为（

）

A．4 B．43 C．6 D．8．（2024·四川资阳·中考真题）第14届国际数学教育大会（JCME−14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH=1：3，则A．55 B．35 C．459．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A4,2在函数y=kxk>0,x>0的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y=kxk>0,x>0A．0,5 B．0,3 C．0,4 D．10．（2024·吉林长春·中考真题）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（）

A．asinθ千米 B．asinθ千米 C．acos11．（2024·广东广州·中考真题）如图，⊙O中，弦AB的长为43，点C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC=30°．⊙O所在的平面内有一点P，若OP=5，则点P与⊙O的位置关系是（

A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定12．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形ABCD中，E,F是边BC上两点，且BE=EF=FC，连接DE,AF,DE与AF相交于点G，连接BG．若AB=4，BC=6，则sin∠GBF的值为（

A．1010 B．31010 C．113．（2024·山东青岛·中考真题）计算：18+114．（2024·山东青岛·中考真题）如图，△ABC中，BA=BC，以BC为直径的半圆O分别交AB，AC于点D，E，过点E作半圆O的切线，交AB于点M，交BC的延长线于点N．若ON=10，cos∠ABC=3515．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线y=34x上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在x轴上移动时，线段AB16．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为0,4，点B,C均在x轴上．将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB'C'，则点17．（2024·江苏南京·中考真题）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB=118°，厂房高AB=8m，房顶AM与水平地面平行．小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离CD是多少？（结果精确到0.1 m，参考数据：sin34°≈0.56，tan18．（2024·西藏·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，连接AC，BC，CO平分∠ACD，CE⊥DB，交DB延长线于点E．(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为5，sinD=3519．（2024·山东德州·中考真题）如图，▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD．

(1)求证：▱ABCD是菱形；(2)若AC=8，∠DCB=74°，求菱形ABCD的边长．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，20．（2024·海南·中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．

航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西60°方向上的A处．记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西45°方向上的B处．记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东15°方向．请你根据以上信息解决下列问题：(1)填空：∠PAB=________°，∠APC=________°，AB=________海里；(2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．（参考数据：2≈1.4121．（2024·江苏镇江·中考真题）图1、2是一个折叠梯的实物图．图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图．图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在AC上，已知AB=AC，sin∠BAC≈45，点D、F、G、J在AB上，DE、FM、GH、JK均与BC所在直线平行，DE=FM=GH=JK=20cm，DF=FG=GJ=30cm．点N在AC上，AN、MN的长度固定不变．图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时AB、AC重合，点E、M、H、N、K【分析问题】（1）如图5，用图中的线段填空：AN=MN+EM+AD−_________；（2）如图4，sin∠MEN≈_________，由AN=EN+AE=EN+AD，且AN的长度不变，可得MN与EN【解决问题】（3）求MN的长．22．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BD，(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CE=1，sin∠BAD=13

第四章三角形第22讲锐角三角函数及其应用TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u👉题型01理解锐角三角函数的概念👉题型02求角的三角函数值👉题型03由三角函数求边长👉题型04由特殊角的三角函数值求解👉题型05由特殊角的三角函数值判断三角形形状👉题型06特殊角三角函数值的混合运算👉题型07根据特殊角三角函数值求角的度数👉题型08已知角度比较三角函数值的大小👉题型09利用同角的三角函数求解👉题型10三角函数综合👉题型11在平面直角坐标系中求锐角三角函数值👉题型12特殊角三角函数值的另类应用👉题型13在网格中求锐角三角函数值👉题型14解直角三角形的相关计算👉题型15构造直角三角形求不规则图形的边长或面积👉题型16运用解直角三角形的知识解决视角相关问题👉题型17运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题👉题型18运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题👉题型19运用解直角三角形的知识解决实际问题👉题型20运用解直角三角形的知识解决实际问题（新考法/新情境）👉题型01理解锐角三角函数的概念1．（2024·广西·模拟预测）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，则下列选项错误的是（

）A．sinA=ac B．cosB=ac【答案】D【分析】本题主要考查了三角函数的相关定义，根据正弦，余弦，正切的定义一一判断即可．【详解】解：A．sinA=B．cosB=C．tanA=D．tanB=故选：D．2．（2022·湖北·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，BD是斜边AC上的高，AB≠BC，则下列比值中等于sinA的是（A．ADAB B．BDAD C．BDBC【答案】D【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根据正弦三角函数的定义判断即可；【详解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，∴∠A=∠DBC，A．ADAB=cosAB．BDAD=tanAC．BDBC=cos∠DBC=cosAD．DCBC=sin∠DBC=sinA故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键．3．（2023·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图．(1)在图①中作△ABC，使tan∠A=1(2)在图②中作△ABD，使tan∠A=(3)在图③中作△ABE，使tan∠A=2【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）由于tan∠A=1，因此作一个以B为直角顶点或以C（2）由于tan∠A=12，因此作一个以D为直角顶点的直角三角形，其中BD=（3）由于tan∠A=2，因此作一个以E为直角顶点的直角三角形，其中BE=22，【详解】（1）解：如图，△ABC为所求作的三角形．或（2）解：如图，△ABD为所求作的三角形．（3）解：如图，△ABE为所求作的三角形．【点睛】本题主要考查了正切函数的定义，在网格中作直角三角形，解题的关键是熟练掌握正切函数的定义，网格中作垂线的方法．👉题型02求角的三角函数值4．（2024·陕西西安·模拟预测）直角三角形的斜边与一直角边的比是5:1，且较大的锐角为θ，则sinA．5 B．55 C．12 【答案】D【分析】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．设斜边与一直角边分别为5k、k【详解】解：设斜边与一直角边分别为5k、k由勾股定理得，另一直角边5k∵较大的锐角为θ，∴sinθ=故选：D．5．（2024·湖南·模拟预测）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为25，小正方形面积为1，则cosα的值为（

A．34 B．43 C．35【答案】D【分析】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理，设大正方形的边长为c，直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，根据正方形面积计算公式可得c2=25，b−a2=1，则b−a=1，【详解】解：设大正方形的边长为c，直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，∵大正方形面积为25，小正方形面积为1，∴c2∴b−a=1，∴b=a+1，由勾股定理得a2∴a2∴a=3或a=−4（舍去），∴b=4，∴cosα=故选：D．6．（2025·上海奉贤·一模）等腰三角形ABC中，AB=AC,BD、CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，那么tan∠ABC=【答案】3【分析】设BD与CE交于Q，连接AQ并延长交BC于点H，由题意得，点Q为△ABC的重心，则H为BC中点，AQ=2QH，则△QBH为等腰直角三角形，设QH=m，则BH=m,AQ=2m，即可求解．【详解】解：设BD与CE交于Q，连接AQ并延长交BC于点H，由题意得，点Q为△ABC的重心，∴H为BC中点，AQ=2QH∵AB=AC，∴AH⊥BC，∵BD⊥CE，H为BC中点∴QH=HB=HC=1∵AH⊥BC，∴△QBH为等腰直角三角形，∴设QH=m，则BH=m,AQ=2m，∴tan∠ABC=故答案为：3．【点睛】本题考查了求一个角的正切值，等腰三角形的性质，重心的性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握知识点是解题的关键．7．（2024·北京·模拟预测）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=1，AD⊥BC，BH⊥AC．已知【探究】你能否从这里得出sin2α【答案】题空：S△ABC=探究：sin【分析】此题主要考查了锐角三角形函数恒等式．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形面积证法，正弦和余弦定义，是解题的关键．填空：根据等腰三角形性质得到AB=AC=1，AD⊥BC，BH⊥AC，其面积的两种表示法为探究：得到BH=AD⋅BC，结合等腰三角形性质得到BH=2AD⋅BD，根据∠BAD=α，∠BAC=2α，sin2α=BH，sinα=BD，cosα=AD【详解】题空：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC=1，∴S△ABC=1故答案为：S△ABC=1探究：∴BH=AD⋅BC，∵BC=2BD，∴BH=2AD⋅BD，∵∠BAD=α，∴∠BAC=2α，∴sin2α=BHAB=BH，∴sin2α=2👉题型03由三角函数求边长8．（2025·上海奉贤·一模）在平面直角坐标系的第一象限内有一点P,OP=10，射线OP与x轴正半轴的夹角为α，如果sinα=35，那么点P【答案】8,6【分析】过点P作PM⊥x轴于点M，利用三角函数的定义，勾股定理，点的坐标的意义解答．本题考查了正弦函数的应用，勾股定理，坐标的确定，熟练掌握正弦函数，勾股定理是解题的关键．【详解】解：如图，过点P作PM⊥x轴于点M，∵sinα=PMOP∴PM=10×3∴OM=O∴点P8,6故答案为：8,6．9．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=45°，D为直线BC边上一动点，将线段AD绕点A逆时针旋转45°得到AE，连接BE，若BC=2，则BE的最小值为．【答案】2【分析】连接CE，先证明△ACE≌△ABDSAS，得到点E在直线CE上运动，过点B作BG⊥CE于点G【详解】解：连接CE，∵AB=AC，∠BAC=45°，AD=AE，∠DAE=45°，∴∠ABC=∠ACB=180°−45°2=67.5°∴∠BAD=∠CAD+45°=∠CAE，∵AB=∴△ACE≌△ABDSAS∴CE=BD，∠ABD=∠ACE=67.5°．故点E在直线CE上运动，∠BCG=45°，过点B作BG⊥CE于点G，根据垂线段最短，得当点E与点G重合时，BE取得最小值，∵BC=2，∴BG=BE=BCsin故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，三角函数的应用，熟练掌握全等的性质，垂线段最短，三角函数的应用是解题的关键．10．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，AB=2，A1，0，∠DAB=60°，将菱形ABCD绕点A顺时针旋转90°后，得到菱形AB1A．2+3，−3 B．3，−3【答案】C【分析】如图，连接AC，AC'，作CM⊥x轴于M，作C'N⊥x轴于N，由菱形ABCD，AB=2，∠DAB=60°，可得BC=2，∠BAC=30°，∠ABC=120°，则∠CBM=60°，BM=BC⋅cos60°=1，CM=BC⋅sin60°=3，AC=2CM=23，由旋转的性质可知，AC【详解】解：如图，连接AC，AC'，作CM⊥x轴于M，作C'∵菱形ABCD，AB=2，∠DAB=60°，∴BC=2，∠BAC=30°，∠ABC=120°，∴∠CBM=60°，∴BM=BC⋅cos60°=1，∴AC=2CM=23由旋转的性质可知，AC'=AC=2∴∠C∴AN=AC'⋅∴点C1的坐标是1+故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，正弦，余弦，点坐标等知识．熟练掌握菱形的性质，旋转的性质，正弦，余弦，点坐标是解题的关键．11．（2024·安徽·三模）如图，△ABC中，AB=30，以AB为直径的⊙O经过点C，交△ABC的角平分线AD于点D，DE是⊙O的切线，交AC延长线于点E．(1)求证：BC∥DE；(2)延长AB交ED的延长线于点F，tan∠F=34【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）连接OD，交BC于点M．由角平分线的定义可得出∠BAD=∠DAC，进而可得出BD=CD，进而可得出∠OMC=90°，由圆的切线性质可得出∠ODE=90°，进而可判定（2）先得出OM为△ABC的中位线，由三角形中位线的性质可得出OM=12AC，由直径所对的圆周角等于90°可得出∠ACB=90°，由（1）得结论可得出∠E=∠ACB=90°，∠F=∠ABC，进而证明四边形CEDM是矩形，由矩形的性质可得出CE=MD，由正切的定义得出tan∠F=tan∠ABC=ACBC=34，设AC=3x【详解】（1）证明：连接OD，交BC于点M．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∴BD=∴OD⊥BC，∴∠OMC=90°，∵DE是⊙O切线，∴∠ODE=90°，∴∠OMC=∠ODE=90°，∴BC∥DE．（2）由（1）可知，点M为BC中点，∴OM为△ABC的中位线，∴OM=∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵BC∥DE，∴∠E=∠ACB=90°，∠F=∠ABC，又∵∠OMC=∠ODE=90°，∴四边形CEDM是矩形，∴CE=MD，在Rt△ABC中，设AC=3x，则BC=4x，由勾股定理得3x2解得x=6，∴AC=18，∴OM=9，∴CE=MD=OD−OM=15−9=6．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，圆切线的性质，直径所对的圆周角等于90°，正切的定义，矩形的判定以及性质，三角形中位线的判定以及性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键．👉题型04由特殊角的三角函数值求解12．（2024·贵州·模拟预测）Rt△ABC中，∠C=90°，∠A:∠B=1:2，则tan∠A的值（A．12 B．32 C．33【答案】C【分析】本题主要考查了求特殊角的三角函数值，以及直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余得出∠A，然后根据特殊角的三角函数值求解即可．【详解】解：如下图：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A=90°×1∴tan∠A=故选：C．

13．（2024·浙江·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，三角形的其中两边长如下：AB=π−30+2【答案】2【分析】先计算AB=π−30本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数，勾股定理，熟练掌握公式和定理是解题的关键．【详解】解：∵AB=π−30+2sin∴BC=A设BC边上的高线长为h，根据题意，得12∴ℎ=214．（2023·浙江宁波·模拟预测）平面直角坐标系中，点A与点B(cos60°,−3)关于x轴对称，如果函数y=kx【答案】32/【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”可知A点坐标；代入函数关系式求解．主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式和特殊角的三角函数值及坐标系中的对称点的坐标特点．【详解】解：∵cos∴点B1∵点A与点B(cos60°,−3)∴点A为12∵函数y=kx的图象经过点∴k=3故答案为：3215．（2023·山东青岛·一模）计算：sin30°+3【答案】1【分析】本题实数的混合运算，先根据特殊角的三角函数值和二次根式化简，再计算即可．【详解】sin30°+故答案为：12👉题型05由特殊角的三角函数值判断三角形形状16．（2024·江苏淮安·一模）在△ABC中，若cosA−22+1−tanB2=0，【答案】等腰直角【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．根据绝对值和平方的非负性可得，cosA−22【详解】解：由cosA−cosA−即cosA=解得：∠A=45°，∠B=45°，则∴△ABC为等腰直角三角形，故答案为：等腰直角．17．（2021·贵州黔西·模拟预测）在△ABC中，若∠A，∠B都是锐角，且sinA=12，cosB=1A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．直角三角形【答案】D【分析】根据特殊角的三角函数值可判断∠A=30°，∠B=60°，从而可求出∠C=90°，即证明△ABC的形状是直角三角形．【详解】∵∠A，∠B都是锐角，且sinA=12∴∠A=30°，∠B=60°，∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−30°−60°=90°，∴△ABC的形状是直角三角形．故选D．【点睛】本题考查由特殊角的三角函数值判断三角形形状，三角形内角和定理．熟记特殊角的三角函数值是解题关键．👉题型06特殊角三角函数值的混合运算18．（2023·四川绵阳·模拟预测）（1）计算：3−2（2）化简求值：m2−2m−【答案】（1）0；（2）m+1m【分析】（1）先化简零指数幂，二次根式，代入三角函数值，在进行加减运算即可求解．（2）先将括号里面的通分，进行因式分解，再将除法转成乘法运算，约分化简，再根据根与系数关系和代入m值后，得到m2−3m+1=0，【详解】（1）解：原式=2−=2−=0．（2）解：原式=====m+∵m、n为方程x2∴m2−3m+1=0，∴m+1∴原式=3【点睛】本题考查分式化简求值，零指数幂，二次根式化简求值和特殊角三角函数，一元二次方程根与系数关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．19．（2024·湖南·模拟预测）先化简，再求值：x2−2x−2【答案】2x−4；−5【分析】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，再根据30度角的正弦值为12求出x=−【详解】解：x====2=2x−4当x=−sin30°=−120．（2024·云南昆明·模拟预测）计算：6sin【答案】5【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，二次根式的化简，零次幂，负指数幂的计算，掌握实数的运算法则是解题的关键．先算特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的化简，零次幂的值，负指数幂的值，最后再根据实数的混合运算法则计算即可．【详解】解：6=6×=3=5．👉题型07根据特殊角三角函数值求角的度数21．（23-24九年级上·福建泉州·期中）某水库大坝，其坡面AB的坡度i=1:3，则斜坡AB的坡角的度数为°【答案】30【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题，利用坡度的定义及特殊锐角三角函数值可求出斜坡AB的坡角的度数，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵tanA=i=∴∠A=30°，故答案为：30．22．（2023·云南昆明·模拟预测）在△ABC中，已知∠A，∠B是锐角，若tanA−3+2sin【答案】75°/75度【分析】本题考查了三角形内角和定理，特殊角的三角函数值．根据绝对值和偶次方的非负性可得：tanA−3=0，2sinB−2=0，从而可得tan【详解】解：∵tanA−∴tanA−3∴tanA=3∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°−∠A−∠B=75°，故答案为：75°．23．（2023·辽宁·一模）如图所示是潜望镜工作原理的平面示意图．一条平行光线l经镜面BC反射到EF后得到光线m，且l∥m．虚线所示为光线反射轨迹．若测得两条平行光线间的距离为3，虚线长度为2，则虚线与m所夹钝角的度数为（

）A．110° B．120° C．135° D．150°【答案】B【分析】本题考查锐角三角函数的实际应用，求出虚线与m所夹锐角的正弦值即可．【详解】如图，设虚线与l、m的交点分别为M、N，过M作直线m的垂线交于点Q，由题意可得MQ=3，MN=2设虚线与直线m所夹锐角为θ，则sinθ=∴θ=60°，即虚线与直线m所夹钝角为120°．故选：B．24．（2023·安徽六安·二模）如图，⊙C过原点O，与x轴、y轴分别交于A､D两点，已知C−1,n,OD=23

【答案】4π【分析】如图，连接OC，OD，过C作CH⊥OD于H，由C−1,n,OD=23，可得CH=1，OH=DH=3，∠OCH=∠DCH，可得OC=3+1【详解】解：如图，连接OC，OD，过C作CH⊥OD于H，

∵C−1,n∴CH=1，OH=DH=3，∠OCH=∠DCH∴tan∠OCH=OHCH∴∠OCH=60°，∠OCD=2∠OCH=120°，∴OD的长为120π×2180故答案为：4【点睛】本题考查的是坐标与图形，勾股定理的应用，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，熟练的求解∠OCD=120°是解本题的关键．👉题型08已知角度比较三角函数值的大小25．（2020·甘肃张掖·模拟预测）若0°<α<90°，则下列说法不正确的是（

）A．sinα随α的增大而增大 B．cosα随α的减小而减小C．tanα随α的增大而增大 D．0<sinα<1【答案】B【分析】如图，作半径为1的⊙O,CD⊥EF，CD,EF均为直径，BH⊥OC,AG⊥OC,A,B都在⊙O上，利用锐角三角函数的定义分析可得答案．【详解】解：如图，作半径为1的⊙O,CD⊥EF，CD,EF均为直径，BH⊥OC,AG⊥OC,A,B都在⊙O上，∴OA=OB=1,由sin∠BOH=显然，∠BOH＜∠AOG，而BH＜AG，所以当0°<α<90°时，sinα随α同理可得：当0°<α<90°时，cosα随α的减小而增大，故B错误；当0°<α<90°时，tanα随α的增大而增大，故C正确；当α=∠AOG，当点A逐渐向F移动，边AG逐渐接近OA，∴sinα=sin当0°<α<90°时，0<sinα<1，故D正确；故选B．【点睛】本题考查的是锐角的正弦，余弦，正切的增减性，掌握利用辅助圆理解锐角三角函数的增减性是解题的关键．26．（2020·内蒙古·二模）在直角三角形ABC中，角C为直角，锐角A的余弦函数定义为，写出sin70º、cos40º、cos50º的大小关系．【答案】cosA=AC【分析】根据余弦的定义即可确定答案；根据sin70°=cos20°且正弦随角度的增大而增大，余弦随角度的增大而减小即可确定大小关系．【详解】解：∵直角三角形ABC中，角C为直角∴BC为斜边，AC为直角边且为∠A的一边∴余弦的定义为cosA=AC∵sin70°=cos20°且正弦在锐角范围内随角度的增大而增大，余弦在锐角范围内随角度的增大而减小∴sin70º==cos20º＞cos40º，cos40º＞cos50º∴sin70º＞cos40º＞cos50º．故答案为cosA=AC【点睛】本题考查了余弦函数的定义和正弦、余弦函数的增减性，掌握正弦在锐角范围内为增函数、余弦在锐角范围内为减函数是解答本题的关键．27．（2023·上海静安·一模）如果0°<∠A<60°，那么sinA与cosA．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定【答案】D【分析】利用锐角三角函数的增减性分类讨论，即可得到答案．【详解】解：当0°<∠A<45°时，∴sin∴sin⁡A<∴sin⁡A−当∠A=45°时，90°−∠A=45°，∴sinsinA=∴sin⁡A−当45°<∠A<60°，∴sin∴sin⁡A>∴sin⁡A−综上所述，sinA与cos故选：D．【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，解题关键是掌握在0°∼90°之间（不包括0°和90°），角度变大，正弦值、正切值也随之变大，余弦值随之变小．注意分类讨论．28．（2023·江苏苏州·一模）化简sin28°−cos28°A．sin28°−cosC．cos28°−sin【答案】C【分析】根据二次根式的性质得出sin28°−【详解】解：sin28°−cos28°2∵cos28°=sin∴原式=cos故选：C．【点睛】本题考查了三角函数关系，掌握三角函数的增减性是解题的关键．👉题型09利用同角的三角函数求解29．（2024·江苏泰州·二模）如图，△ABC中，∠ACB=90°，BD⊥AB，BD=AB，连接CD，若要计算△BCD的面积，只需知道（

）A．AB长 B．AC长 C．CD长 D．BC长【答案】D【分析】本题考查了锐角三角函数，余角的性质，以及三角形的面积公式，过辅助线如图，证明∠CBF=∠CAB，得出sin∠CBF=sin∠CAB，即CF【详解】解∶过C作CF⊥BD交DB延长线于F，∵∠ACB=90°，BD⊥AB，∴∠CBF=∠CAB=90°−∠ABC，∴sin∠CBF=∴CFBC∴CF=B∵BD=AB，∴△BCD的面积为12故选∶D．30．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，AB为⊙O的直径，点C是弧AB的中点，点D在圆O上，点E在AB的延长线上，且EF=ED．

(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)连接BC，若tan∠BCD=12，DE=6【答案】(1)见解析(2)9【分析】（1）连接OD，OC，利用等弧所对圆心角相等以及平角定义求出∠AOC=∠BOC=90°，进而求出∠OCF+∠OFC=90°，利用等边对等角可得出∠OCD=∠ODC，∠EDF=∠DFE，结合对顶角的性质可求出∠CDO=90°，利用切线的判定即可得证；（2）过D作DH⊥AB于H，利用同角的三角函数性质求出DHAH=12，设DH=x，AH=2x，半径为r，在Rt△ODH中，利用勾股定理求出r=54x，进而求出OH=3【详解】（1）解：连接OD，OC，

∵点C是弧AB的中点，∴AC=∴∠AOB=∠BOC，又∠AOC+∠BOC=180°，∴∠AOC=∠BOC=90°，∴∠OCF+∠OFC=90°，∵OC=OD，DE=FE，∴∠OCD=∠ODC，∠EDF=∠DFE，又∠OFC=∠DFE，∴∠ODC+∠CDF=90°，即∠CDO=90°，∴OD⊥DE，又OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：过D作DH⊥AB于H，

∵∠A=∠BCD，∴tanA=∴DHAH设DH=x，AH=2x，半径为r，则OH=2x−r，在Rt△ODH中，O∴r2解得r=5∴OH=3∴tan∠DOH=∴DEOD=tan∴OD=9∴AB=9．【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质与判定，勾股定理，锐角三角函数等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造直角三角形求解是解题的关键．31．（2023·江苏淮安·二模）如图，已知AB是⊙O的直径，OE∥BC，AE的延长线交BC于点D，∠ABC=2∠CAD．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若CD=2，tan∠CAD=13【答案】(1)证明见解析；(2)⊙O直径为8．【分析】（1）连接BE，由平行线得到∠ABE=∠CBE=12∠ABC，根据∠ABC=2∠CAD可得∠ABE=∠CAD，利用∠BAE+∠CAD=90°可证明AC（2）作DF⊥AC，由tan∠CAD=13设DF=x，AF=3x，由勾股定理得AD=10x，利用等角的正切值相等得到AB=5x，应用sin【详解】（1）解：连接BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠BAE+∠ABE=90°，∵OB=OE，∴∠ABE=∠BEO，∵OE∥EC，∴∠ABE=∠CBE=1又∵∠ABC=2∠CAD，∴∠ABE=∠CAD，∵∠BAE+∠ABE=90°，∴∠BAE+∠CAD=90°，∴AB⊥AC，∵AB是直径，∴AC是⊙O的切线．（2）解：作DF⊥AC交AC于点F，∵tan∴DF设DF=x，AF=3x，由勾股定理得AD=A由1得，∠ABE=∠CBE，∠AEB=90°，在△ABE和△DBE中，∠ABE=∠DBEBE=BE∴△ABE≌△DBE，∴AE=DE，∴AE=1∵∠ABE=∠CAD，∴tan∴BE=3AE=3在Rt△ABE中，AB=∵sin即5x5x+2解得x=85或∴直径AB=5x=5×8【点睛】本题考查的知识点是切线的判定、圆周角定理、三角函数的定义、勾股定理、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用三角函数定义．32．（2023·海南海口·模拟预测）如图，直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是2，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】过点A作AF⊥l3于点F，交l2熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键．【详解】解：过点A作AF⊥l3于点F，交l2∵l1∴AF⊥l∵相邻两条平行直线间的距离都是2，∴AG=GF=2,AF=4，∵正方形ABCD，∴AB=AD,∠BAD=90°，∴∠BAF=90°−∠GAD=∠ADG，∴cos∠BAF=∴AFAB∴DG=AF=4，∴tan∠BAF=∴EGAG∴EG2解得EG=1，∴DE=DG+EG=5，故选C．【点睛】本题考查了正方形的性质，正切函数，余弦函数，平行线间的距离．熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键．👉题型10三角函数综合33．（2024·山西朔州·模拟预测）如图，AB是⊙O的切线，P为切点，连接OA，OB，分别与⊙O相交于点C，点D，若∠A=30°，AP=23，BP=2，则CDA．7π3 B．4π3 C．【答案】C【分析】连接OP，根据切线的性质可得OP⊥AB，从而可得∠APO=90°，再在Rt△AOP中，利用锐角三角函数的定义求出OP的长，从而可得OP=BP=2，进而可得∠B=∠BOP=45°，然后利用三角形内角和定理可得∠AOB=105°本题考查了切线的性质，弧长的计算，锐角三角函数，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【详解】解：如图，连接OP，∵AB是⊙O的切线，P为切点，∴OP⊥AB，即