中考数学总复习提升专项知识尺规作图与定义、命题、定理(讲义2考点+2命题点18种题型)含答案及解析

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第七章图形的变化第30讲尺规作图与定义，命题，定理（思维导图+2考点+2命题点18种题型）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一尺规作图考点二定义、命题、定理04题型精研·考向洞悉命题点一尺规作图►题型01作线段►题型02作一个角等于已知角►题型03尺规作角的和、差►题型04过直线外一点作已知直线的平行线►题型05作三角形►题型06作角平分线►题型07作垂线►题型08作等腰三角形►题型09画圆►题型10过圆外一点作圆的切线►题型11作正多边形►题型12格点作图►题型13无刻度直尺作图►题型14最短路径问题命题点二定义、命题、定理►题型01判断是否是命题►题型02判定命题的真假►题型03写成命题的逆命题►题型04反证法试卷第=page11页，共=sectionpages33页

01考情透视·目标导航中考考点考查频率新课标要求尺规作图★★能用尺规作图定义、命题、定理★通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.【命题预测】本考点内容以考查尺规作图和真假命题为主，年年考查，是广大考生的得分点，分值为6分左右．预计2024年各地中考还将继续考查这两个知识点.中考对尺规作图的考查涉及多种形式，不再是单一的对作图技法操作进行考查，而是把作图与计算、证明、分析、判断等数学思维活动有效融合，既体现了动手实践的数学思维活动，也考查了学生运用数学思考解决问题的能力，为避免丢分，学生应扎实掌握．02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一尺规作图定义：最基本、最常用的尺规作图，通常称作基本作图,五种基本作图：1）作一条线段等于已知线段已知线段a求作线段0A，使OA等于a作法1）任作一条射线OP；2）以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A，则线段OA即为所求依据圆上的点到圆心的距离等于半径.2）作一个角等于已知角已知∠AOB求作∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB作法1）作射线O'A'；2）以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C，交OB于点D；3）以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E；4）以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F；5）经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求.依据1）三边分别相等的两个三角形全等；2）全等三角形的对应角相等；3）两点确定一条直线.3）作已知角的角平分线已知∠AOB求作射线OP，使∠AOP=∠BOP作法1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M，交0B于点N；2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P；3）作射线OP，射线OP即为所求.依据1）三边分别相等的两个三角形全等；2）全等三角形的对应角相等；3）两点确定一条直线.4）过一点作已知直线的垂线已知直线AB和AB上的一点M求作AB的垂线，使它经过点M作法作平角ㄥACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线.已知直线AB和AB外一点M求作AB的垂线，使它经过点M作法1）任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁；2）以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D；3）分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E；4）作直线EM，直线EM就是所求作的垂线.依据1）等腰三角形“三线合一”；

2）两点确定一条直线.5）作线段的垂直平分线已知线段AB求作线段AB的垂直平分线作法1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；2）作直线MN，直线MN就是线段AB的垂直平分线.依据1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；2）两点确定一条直线.尺规作图的关键:1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题；3)切记作图中一定要保留作图痕迹；4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键.1．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；④作直线OG，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（）A．∠AOM=∠B B．∠OMC+∠C=C．AM=CM D．OM=2．（2024·四川·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于12DE长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点F，作射线BF交AC于点G．则∠ABG的大小为3．（2024·山东德州·中考真题）已知∠AOB，点P为OA上一点，用尺规作图，过点P作OB的平行线．下列作图痕迹不正确的是（

）A．B．C． D．4．（2024·广东广州·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠B=90°(1)尺规作图：作AC边上的中线BO（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）所作的图中，将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，连接AD，CD．求证：四边形ABCD是矩形．考点二定义、命题、定理1.命题定义：判断一件事情的语句，叫做命题.组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．2.真命题、假命题内容举例注意真命题如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题‌对顶角不相等说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论假命题命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题‌相等的角是对顶角判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可3.逆命题逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．4.公理、定理公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短.定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．5.互逆定理互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．6.反证法定义：先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种证明的方法叫做反证法.反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确．1．（2024·江苏宿迁·中考真题）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理．2．（2024·山东潍坊·中考真题）下列命题是真命题的有（

）A．若a=b，则ac=bcB．若a>b，则ac>bcC．两个有理数的积仍为有理数D．两个无理数的积仍为无理数3．（2022·上海·中考真题）下列说法正确的是（

）A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题4．（2022·黑龙江绥化·中考真题）下列命题中是假命题的是（

）A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半04题型精研·考向洞悉命题点一尺规作图►题型01作线段1．（2023·山西太原·模拟预测）已知线段a、b、c．

(1)用直尺和圆规作出一条线段AB，使它等于a+c−b．（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕迹）(2)若a=6，b=4，c=7，点C是线段AB的中点，求AC的长．2．（2024·河北·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，再分别以B，D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线MN分别交AB于点E，若AD=3,BE=1，则BCA．3 B．4 C．4.5 D．53．（2024·广东·模拟预测）如图，在等边△ABC中，AD为BC边上的高．(1)实践与操作：利用尺规，以CD为边在CD下方作等边△CDE，延长ED交AB于点M；（要求：尺规作图并保留作图痕迹、不写作法，标明字母）(2)应用与证明：在（1）的条件下，证明CE=BM．QUOTEQUOTEQUOTE►题型02作一个角等于已知角1．（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）作射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C（3）过点D'作射线O'B

上述方法通过判定△C'O'D'≌△CODA．三边分别相等的两个三角形全等B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等2．（2024·河南·中考真题）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BE∥DC交AC

(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM=∠A，且射线CM交BE于点F（保留作图痕迹，不写作法）．(2)证明（1）中得到的四边形CDBF是菱形3（2021·山东青岛·中考真题）已知：∠O及其一边上的两点A，B．求作：Rt△ABC，使∠C=90°，且点C在∠O内部，∠BAC=∠O．►题型03尺规作角的和、差1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知∠PAQ及AP边上一点C．(1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O，使得∠COQ=2∠CAQ；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，以点O为圆心，以OA为半径的圆交射线AQ于点B，用无刻度直尺和圆规在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）(3)在（1）、（2）的条件下，若sinA=35，CM=122．（2022·江苏镇江·中考真题）操作探究题(1)已知AC是半圆O的直径，∠AOB=180n°（n是正整数，且n操作：如图1，分别将半圆O的圆心角∠AOB=180n°交流：当n=11时，可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB=180探究：你认为当n满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB=180(2)如图2，⊙o的圆周角∠PMQ=2707°．为了将这个圆的圆周QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE►题型04过直线外一点作已知直线的平行线1．（2024·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形ABCD，E为DC边上一点．求作：四边形内一点P，使EP∥BC，且点P到AB,AD的距离相等．2．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，一次函数y=x−2的图象与反比例函数y=mx的图象交于A，B3,n两点，且直线AB与坐标轴分别交于P(1)求m和n的值；(2)已知点M0,2，请用无刻度的直尺和圆规过点M作直线AB(3)若（2）中所作的平行线交x轴负半轴于点N，连接NP，QM，求四边形QUOTE►题型05作三角形1．（2022·广西贵港·中考真题）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A=90°,AB=m,BC=n．2．（2023·江苏南京·中考真题）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A旋转一个角度θ(0°<θ<180°)，再将旋转后的多边形以点A为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作T(A，顺θ，k)；若逆时针旋转，记作T(A，逆θ，k)．例如：如图①，先将△ABC绕点B逆时针旋转50°，得到△A1BC1，再将△A1BC1以点B为位似中心缩小到原来的(1)如图②，△ABC经过T(C，顺60°，2)得到△A'B(2)如图③，△ABC经过T(B，逆α，k1)得到△EBD，△ABC经过T(C，顺β，k2)得到△FDC，连接AE，(3)如图④，在△ABC中，∠A=150°,AB=2,AC=1.若△ABC经过（2）中的变换得到的四边形AFDE是正方形．①用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；②直接写出AE的长．►题型06作角平分线1．（2024·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，作射线BP交AC于点F．已知CF=3，AF=5，则BF的长为2．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以B、E为圆心，大于12BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF3．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在△ABC中，AB>AC．(1)尺规作图：作∠BAC的角平分线，在角平分线上确定点D，使得DB=DC；（不写作法，保留痕迹）(2)在（1）的条件下，若∠BAC=90°，AB=7，AC=5，则AD的长是多少？（请直接写出AD的值）►题型07作垂线1．（2021·江苏南京·中考真题）如图，已知P是⊙O外一点．用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．►题型08作等腰三角形1．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=4，C是直线BO上一个动点，若△ABC(1)用直尺和圆规作出点C的位置（不写作法，保留作图痕迹）．(2)求OC的长．►题型09画圆1．（2023·内蒙古通辽·中考真题）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°求作：Rt△ABC作法：如图2．（1）分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于P，（2）作直线PQ，交AB于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O即为所求作的圆．

下列不属于该尺规作图依据的是（

）A．两点确定一条直线B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等2．（2024·甘肃·中考真题）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知⊙O和圆上一点M．作法如下：①以点M为圆心，OM长为半径，作弧交⊙O于A，B两点；②延长MO交⊙O于点C；即点A，B，C将⊙O的圆周三等分．(1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将⊙O的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；(2)根据（1）画出的图形，连接AB，AC，BC，若⊙O的半径为2cm，则△ABC的周长为______cm3．（2022·甘肃武威·中考真题）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：原文释义甲乙丙为定直角．以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；乙与己及庚相连作线．如图2，∠ABC为直角．以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA，BC分别于点D，E；以点D为圆心，以BD长为半径画弧与DE交于点F；再以点E为圆心，仍以BD长为半径画弧与DE交于点G；作射线BF，BG．

(1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；(2)根据（1）完成的图，直接写出∠DBG，∠GBF，∠FBE的大小关系．►题型10过圆外一点作圆的切线1．（2023·黑龙江绥化·中考真题）已知：点P是⊙O外一点．

(1)尺规作图：如图，过点P作出⊙O的两条切线PE，PF，切点分别为点E、点F．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）(2)在（1）的条件下，若点D在⊙O上（点D不与E，F两点重合），且∠EPF=30°．求∠EDF的度数．2．（2023·北京东城·模拟预测）下面是小明设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O及圆上一点A．求作：直线AB，使得AB为⊙O的切线，A为切点．小明的作法如下：①连接OA并延长到点C；②分别以点A,C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧交于点D（点D在直线③以点D为圆心，DA长为半径作⊙D；④连接CD并延长，交⊙D于点B，作直线AB．则直线AB就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，完成下列问题：(1)使用直尺和圆规，完成作图；（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明：连接AD．∵___________=AD∴点C在⊙D上，CB是⊙D的直径．∴___________=90°．（___________）∴AB⊥________．∵OA是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．（___________）∵CD=AD►题型11作正多边形1．（2024·甘肃临夏·中考真题）根据背景素材，探索解决问题．平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形ABCDEF背景素材六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述．已知条件点C与坐标原点O重合，点D在x轴的正半轴上且坐标为2,0操作步骤①分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P；②以点P为圆心，PC长为半径作圆；③以CD的长为半径，在⊙P上顺次截取DE=④顺次连接DE，EF，FA，AB，BC，得到正六边形ABCDEF．问题解决任务一根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）任务二将正六边形ABCDEF绕点D顺时针旋转60°，直接写出此时点E所在位置的坐标：______．2．（2024·上海闵行·二模）沪教版九年级第二学期的教材给出了正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法，但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动．活动一：如图1，展示了一种用尺规作⊙O的内接正六边形的方法．①在⊙O上任取一点A，以A为圆心、AO为半径作弧，在⊙O上截得一点B；②以B为圆心，AO为半径作弧，在⊙O上截得一点C；再如此从点C逐次截得点D、E、F；③顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA．(1)根据正多边形的定义，我们只需要证明__________，________（请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形ABCDEF是正六边形．活动二：如图2，展示了一种用尺规作⊙O的内接正五边形的方法．①作⊙O的两条互相垂直的直径PQ和AF；②取半径OP的中点M；再以M为圆心、MA为半径作弧，和半径OQ相交于点N；③以点A为圆心，以AN的长为半径作弧，与⊙O相截，得交点B．如此连续截取3次，依次得分点C、D、E，顺次连接AB、BC、CD、DE、EA，那么五边形ABCDE是正五边形．(2)已知⊙O的半径为2，求边AB的长，并证明五边形ABCDE是正五边形．（参考数据：sin22.5°=2−22，cos22.5°=2+1►题型12格点作图1．（2024·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD，使其是轴对称图形且点C、D均在格点上．(1)在图①中，四边形ABCD面积为2；(2)在图②中，四边形ABCD面积为3；(3)在图③中，四边形ABCD面积为4．2．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．

(1)在方格纸中画出△ABE，且AB=BE，∠ABE为钝角（点(2)在方格纸中将线段CD向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到线段MN（点C的对应点是点M，点D的对应点是点N），连接EN，请直接写出线段EN的长．3．（2021·湖北荆州·中考真题）如图，在5×5的正方形网格图形中小正方形的边长都为1，线段ED与AD的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上．请在网格图形中画图：(1)以线段AD为一边画正方形ABCD，再以线段DE为斜边画等腰直角三角形DEF，其中顶点F在正方形ABCD外；(2)在（1）中所画图形基础上，以点B为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形ABCD和△DEF面积之和，其它顶点也在格点上．►题型13无刻度直尺作图1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图是6×7的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆ACB上的点A，(1)在图中作出弧BC的中点D．(2)连结AC，作出∠BAC的角平分线．(3)在AB上作出点P，使得AP=AC．2．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．(1)在图（1）中，画射线AD交BC于点D，使AD平分△ABC的面积；(2)在（1）的基础上，在射线AD上画点E，使∠ECB=∠ACB；(3)在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转90°到点C，再画射线AF交BC于点G；(4)在（3）的基础上，将线段AB绕点G旋转180°，画对应线段MN（点A与点M对应，点B与点N对应）．3．（2023·湖北·中考真题）已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）．

(1)在图1中作出以BE为对角线的一个菱形BMEN；(2)在图2中作出以BE为边的一个菱形BEPQ．

►题型14最短路径问题1．（2020·江苏南京·中考真题）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别发铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建气站，所得路线ACB是最短的，为了让明点C的位置即为所求，不妨在l直线上另外任取一点C'，连接AC（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由），①生市保护区是正方形区域，位置如图③所示②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．2．（2024·广东·模拟预测）综合与实践【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，请问怎样走才能使总路程最短？【分析问题】如图1，取点A关于河岸线的对称点A'，连接AP，A'P，当A'，【解决问题】（1）当A'，P【迁移应用】（2）如图2，A，B两个村庄在河岸CD的同侧，两村到河岸CD的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，(CD=3千米，现要在河岸CD上建一水厂P，从P处向①请在河岸CD上作出水厂P的位置，并写出作图过程；②若铺设水管的工程费用为20000元/千米，求出铺设水管最节省的总费用．命题点二定义、命题、定理►题型01判断是否是命题1．（2020·四川雅安·中考真题）下列四个选项中不是命题的是（

）A．对顶角相等B．过直线外一点作直线的平行线C．三角形任意两边之和大于第三边D．如果a=b，a=c，那么b=c2．（2023·广西南宁·模拟预测）下列语句中，不是命题的是（

）A．如果b+1<a+1，那么a+1>b+1 B．对顶角相等C．两点之间，线段最短 D．过一点作已知直线的垂线3．（2023·广东揭阳·二模）下列句子中哪一个是命题（

）A．你的作业完成了吗？ B．美丽的天空．C．猴子是动物． D．过直线l外一点作l的平行线．►题型02判定命题的真假1．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若a>b，则a−3<b−3”是命题．（填“真”或“假”）2．（2024·湖南·中考真题）下列命题中，正确的是（

）A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等C．正五边形的外角和为720° D．直角三角形是轴对称图形3．（2023·内蒙古通辽·中考真题）下列命题：①a3②−π>−3.14；③圆周角等于圆心角的一半；④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是必然事件；⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差也增加4．其中真命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4QUOTE►题型03写成命题的逆命题1．（2022·江苏无锡·中考真题）请写出命题“如果a>b，那么b−a<0”的逆命题：．2．（2022·浙江湖州·中考真题）“如果a=b，那么a=b”的逆命题是3．（2024·陕西西安·模拟预测）《原本》是古希腊数学家欧几里得的著作，它以公理和原名为基础推演出更多的结论，是流传最广、影响最大的一部世界数学名著．请写出命题“如果a=b，那么a2=b►题型04反证法1．（2023·湖南·中考真题）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”．假设三角形没有一个内角小于或等于60°，即三个内角都大于60°．则三角形的三个内角的和大于180°，这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°．上述推理使用的证明方法是（

）A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法2．（2024·山西长治·三模）请阅读以下关于“圆的切线垂直于过切点的半径”的证明过程．已知：直线l与⊙O相切于点C．求证：OC与直线l垂直．证明：如图，假设OC与直线l不垂直，过点O作OM⊥直线l于点M．∴OM<OC，即圆心O到直线l的距离小于⊙O的半径．∴直线l与⊙O相交．这与已知“直线l与⊙O相切”相矛盾．∴假设不成立．∴OC与直线l垂直．这种证明方法为（）A．综合法 B．归纳法 C．枚举法 D．反证法3．（2024·江苏南京·模拟预测）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”第一步应假设直角三角形中．

第七章图形的变化第30讲尺规作图与定义，命题，定理（思维导图+2考点+2命题点18种题型）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一尺规作图考点二定义、命题、定理04题型精研·考向洞悉命题点一尺规作图►题型01作线段►题型02作一个角等于已知角►题型03尺规作角的和、差►题型04过直线外一点作已知直线的平行线►题型05作三角形►题型06作角平分线►题型07作垂线►题型08作等腰三角形►题型09画圆►题型10过圆外一点作圆的切线►题型11作正多边形►题型12格点作图►题型13无刻度直尺作图►题型14最短路径问题命题点二定义、命题、定理►题型01判断是否是命题►题型02判定命题的真假►题型03写成命题的逆命题►题型04反证法

01考情透视·目标导航中考考点考查频率新课标要求尺规作图★★能用尺规作图定义、命题、定理★通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.【命题预测】本考点内容以考查尺规作图和真假命题为主，年年考查，是广大考生的得分点，分值为6分左右．预计2024年各地中考还将继续考查这两个知识点.中考对尺规作图的考查涉及多种形式，不再是单一的对作图技法操作进行考查，而是把作图与计算、证明、分析、判断等数学思维活动有效融合，既体现了动手实践的数学思维活动，也考查了学生运用数学思考解决问题的能力，为避免丢分，学生应扎实掌握．02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一尺规作图定义：最基本、最常用的尺规作图，通常称作基本作图,五种基本作图：1）作一条线段等于已知线段已知线段a求作线段0A，使OA等于a作法1）任作一条射线OP；2）以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A，则线段OA即为所求依据圆上的点到圆心的距离等于半径.2）作一个角等于已知角已知∠AOB求作∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB作法1）作射线O'A'；2）以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C，交OB于点D；3）以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E；4）以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F；5）经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求.依据1）三边分别相等的两个三角形全等；2）全等三角形的对应角相等；3）两点确定一条直线.3）作已知角的角平分线已知∠AOB求作射线OP，使∠AOP=∠BOP作法1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M，交0B于点N；2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P；3）作射线OP，射线OP即为所求.依据1）三边分别相等的两个三角形全等；2）全等三角形的对应角相等；3）两点确定一条直线.4）过一点作已知直线的垂线已知直线AB和AB上的一点M求作AB的垂线，使它经过点M作法作平角ㄥACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线.已知直线AB和AB外一点M求作AB的垂线，使它经过点M作法1）任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁；2）以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D；3）分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E；4）作直线EM，直线EM就是所求作的垂线.依据1）等腰三角形“三线合一”；

2）两点确定一条直线.5）作线段的垂直平分线已知线段AB求作线段AB的垂直平分线作法1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N；2）作直线MN，直线MN就是线段AB的垂直平分线.依据1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；2）两点确定一条直线.尺规作图的关键:1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题；3)切记作图中一定要保留作图痕迹；4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键.1．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；④作直线OG，交AC于点M．下列结论不一定成立的是（）A．∠AOM=∠B B．∠OMC+∠C=C．AM=CM D．OM=【答案】D【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出∠AOM=∠B，根据平行线的判定得出OM∥BC，根据平行线的性质得出∠OMC+∠C=180∘，根据平行线分线段成比例得出【详解】解：A．根据作图可知：∠AOM=∠B一定成立，故A不符合题意；B．∵∠AOM=∠B，∴OM∥∴∠OMC+∠C=180C．∵O是边AB的中点，∴AO=BO，∵OM∥∴AMCM∴AM=CM一定成立，故C不符合题意；D．OM=12．（2024·四川·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于12DE长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点F，作射线BF交AC于点G．则∠ABG的大小为【答案】35【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的尺规作法，熟练掌握等腰三角形的性质和角平分线的尺规作法是解题的关键．根据AB=AC，∠A=40°，由等边对等角，结合三角形内角和定理，可得∠ABC=∠ACB=70°，由尺规作图过程可知BG为∠ABC的角平分线，由此可得∠ABG=∠GBC=1【详解】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠ACB=70°，根据尺规作图过程，可知BG为∠ABC的角平分线，∴∠ABG=∠GBC=1故∠ABG=35°，故答案为：35°．3．（2024·山东德州·中考真题）已知∠AOB，点P为OA上一点，用尺规作图，过点P作OB的平行线．下列作图痕迹不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查作图-复杂作图．作一个角等于已知角，作一个角的平分线，平分线的判定，菱形的判定和性质，据此判断即可．【详解】解：A、由作图知，OC是∠AOB的平分线，且PO=PC，∴∠1=∠2，∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴PC∥B、由作图知，PD是∠APC的平分线，且PO=OC，∴∠3=∠4，∠1=∠2，不能说明∠2与∠4相等，∴PD与OB不平行，故本选项符合题意；C、由作图知，PO=OD=CD=CP，∴四边形POCD是菱形，∴PC∥D、由作图知，∠1=∠O，∴PC∥故选：B．4．（2024·广东广州·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠B=90°(1)尺规作图：作AC边上的中线BO（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）所作的图中，将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO，连接AD，CD．求证：四边形ABCD是矩形．【答案】(1)作图见解析(2)证明见解析【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，矩形的判定，平行四边形的判定与性质,旋转的性质；（1）作出线段AC的垂直平分线EF，交AC于点O，连接BO，则线段BO即为所求；（2）先证明四边形ABCD为平行四边形，再结合矩形的判定可得结论．【详解】（1）解：如图，线段BO即为所求；（2）证明：如图，∵由作图可得：AO=CO，由旋转可得：BO=DO，∴四边形ABCD为平行四边形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形．考点二定义、命题、定理1.命题定义：判断一件事情的语句，叫做命题.组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．2.真命题、假命题内容举例注意真命题如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题‌对顶角不相等说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论假命题命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题‌相等的角是对顶角判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可3.逆命题逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．4.公理、定理公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短.定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．5.互逆定理互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．6.反证法定义：先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种证明的方法叫做反证法.反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确．1．（2024·江苏宿迁·中考真题）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理．【答案】同位角相等，两直线平行【分析】本题考查了逆定理的改写，根据题意，将题设与结论交换位置即可．【详解】解：定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是同位角相等，两直线平行，故答案为：同位角相等，两直线平行．2．（2024·山东潍坊·中考真题）下列命题是真命题的有（

）A．若a=b，则ac=bcB．若a>b，则ac>bcC．两个有理数的积仍为有理数D．两个无理数的积仍为无理数【答案】AC【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了等式及不等式的性质、无理数及有理数的积．利用等式及不等式的性质、无理数及有理数的积分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、由等式的性质可得，若a=b，则ac=bc，原命题为真命题；B、由不等式的性质可得，若a>b，且c>0，则ac>bc，原命题为假命题；C、两个有理数的积仍为有理数，原命题为真命题；D、两个无理数的积不一定为无理数，比如2×故选：AC．3．（2022·上海·中考真题）下列说法正确的是（

）A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题【答案】A【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案．【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意；D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．4．（2022·黑龙江绥化·中考真题）下列命题中是假命题的是（

）A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半【答案】B【分析】利用三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A.三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；B.如果两个角互为邻补角，那么这两个角不一定相等，故此选项是假命题，符合题意；C.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，是真命题，故此选项不符合题意；D.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；故选：B【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质．04题型精研·考向洞悉命题点一尺规作图►题型01作线段1．（2023·山西太原·模拟预测）已知线段a、b、c．

(1)用直尺和圆规作出一条线段AB，使它等于a+c−b．（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕迹）(2)若a=6，b=4，c=7，点C是线段AB的中点，求AC的长．【答案】(1)作图见解析(2)4.5【分析】（1）作射线AM，在射线AM上顺次截取AE=a,EF=c，在线段FA上截取FB=b，则线段AB即为所求；（2）由（1）中结论及已知条件，求得AB的长，再利用线段中点的性质即可解得AC的长．【详解】（1）解：如图，线段AB即为所求：

（2）如图，

∵a=6，b=4，c=7，∴AB=a+c−b=6+7−4=9∵点C是线段AB的中点，∴AC=即AC的长4.5．【点睛】本题考查基本作图、线段的和差、线段的中点等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．2．（2024·河北·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，再分别以B，D为圆心，大于12BD的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线MN分别交AB于点E，若AD=3,BE=1，则BCA．3 B．4 C．4.5 D．5【答案】B【分析】本题考查了，作图等长线段，作图垂直平分线，勾股定理，解题的关键是：由作图方法得到等量关系式．根据取等长线段的做法，垂直平分线的做法，得到AC=AD=3，DE=BE，即可求出AB=AD+BD=5，在Rt△ABC【详解】解：根据作图可得：AC=AD=3，MN为BD的垂直平分线，∵BE=1，∴BD=2BE=2，∴AB=AD+BD=5，∵∠ACB=90°，∴BC=A故选：B．3．（2024·广东·模拟预测）如图，在等边△ABC中，AD为BC边上的高．(1)实践与操作：利用尺规，以CD为边在CD下方作等边△CDE，延长ED交AB于点M；（要求：尺规作图并保留作图痕迹、不写作法，标明字母）(2)应用与证明：在（1）的条件下，证明CE=BM．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了作线段，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握作线段，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．（1）如图，分别以C、D为圆心，CD的长为半径画弧，交点为E，连接CE、DE，则等边△CDE即为所作，延长ED交AB于点M，点M即为所作；（2）证明△BMD≌△CEDASA，进而可证CE=BM【详解】（1）解：如图，分别以C、D为圆心，CD的长为半径画弧，交点为E，连接CE、DE，则CD=CE=DE，等边△CDE即为所作，延长ED交AB于点M，点M即为所作；（2）证明：∵△ABC为等边三角形，AD为BC边上的高，∴∠B=∠ACB=60°，∵等边△CDE，∴∠ECD=60°，∴∠B=∠ECD，又∵∠MDB=∠EDC，∴△BMD≌△CEDASA∴CE=BM．QUOTEQUOTEQUOTE►题型02作一个角等于已知角1．（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）作射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C（3）过点D'作射线O'B

上述方法通过判定△C'O'D'≌△CODA．三边分别相等的两个三角形全等B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等【答案】A【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可.本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键.【详解】解：根据上述基本作图，可得OC=O故可得判定三角形全等的依据是边边边，故选A.2．（2024·河南·中考真题）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BE∥DC交AC

(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM=∠A，且射线CM交BE于点F（保留作图痕迹，不写作法）．(2)证明（1）中得到的四边形CDBF是菱形【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是：（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；（2）先证明四边形CDBF是平行四边形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出CD=BD=1【详解】（1）解：如图，

；（2）证明：∵∠ECM=∠A，∴CM∥∵BE∥∴四边形CDBF是平行四边形，∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB∴CD=BD=1∴平行四边形CDBF是菱形．3（2021·山东青岛·中考真题）已知：∠O及其一边上的两点A，B．求作：Rt△ABC，使∠C=90°，且点C在∠O内部，∠BAC=∠O．【答案】见解析【分析】先在∠O的内部作∠DAB=∠O，再过B点作AD的垂线，垂足为C点．【详解】解：如图，Rt△ABC为所作．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．►题型03尺规作角的和、差1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知∠PAQ及AP边上一点C．(1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O，使得∠COQ=2∠CAQ；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，以点O为圆心，以OA为半径的圆交射线AQ于点B，用无刻度直尺和圆规在射线CP上求作点M，使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）(3)在（1）、（2）的条件下，若sinA=35，CM=12【答案】(1)作图见详解(2)作图见详解(3)BM=6【分析】（1）根据尺规作角等于已知角的方法即可求解；（2）根据尺规作圆，作垂线的方法即可求解；（3）根据作图可得MW⊥AQ，CM=WM=12，AB是直径，结合锐角三角函数的定义可得AM的值，根据勾股定理可求出AC的值，在直角△BCM中运用勾股定理即可求解．【详解】（1）解：如图所示，∴∠COQ=2∠CAQ；点O即为所求（2）解：如图所示，连接BC，以点B为圆心，以BC为半径画弧交AQ于点B1，以点B1为圆心，以任意长为半径画弧交AQ于点C1，D1，分别以点C1，D1为圆心，以大于∵AB是直径，∴∠ACB=90°，即BC⊥AP，根据作图可得B1∴MB1⊥AQ，即∠MB1B=90°，∵BC=BB∴Rt△BCM≌∴CM=B点M即为所求点的位置；（3）解：如图所示，根据作图可得，∠COQ=2∠CAQ，MC=MW=12，MW⊥AQ，连接BC，∴在Rt△AMW中，sin∴AM=5WM∴AC=AM−CM=20−12=8，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴sinA=设BC=3x，则AB=5x，∴在Rt△ABC中，5x解得，x=2（负值舍去），∴BC=3x=6，在Rt△BCM中，BM=【点睛】本题主要考查尺规作角等于已知角，尺规作垂线，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．2．（2022·江苏镇江·中考真题）操作探究题(1)已知AC是半圆O的直径，∠AOB=180n°（n是正整数，且n操作：如图1，分别将半圆O的圆心角∠AOB=180n°交流：当n=11时，可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB=180探究：你认为当n满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB=180(2)如图2，⊙o的圆周角∠PMQ=2707°．为了将这个圆的圆周【答案】(1)作图见解析；交流：60°−9×18028°=探究：正整数n（n不是3的倍数），理由见解析(2)作图见解析【分析】（1）由操作可知，如果(60n)°可以用60°（2）将圆周14等分就是把∠PMQ=2707°所对的圆周角【详解】（1）操作：交流：60°−9×18028°=探究：设60°−k180n°=60n或设k180n°−60°=60n所以对于正整数n（n不是3的倍数），都可以仅用圆规将半圆O的圆心角∠AOB=180（2）【点睛】本题考查了用圆规作图的基本技能，需要准确理解题意，对于复杂图形的作图要学会将其转化成基本图形去作，本题第二问利用转化思想，转化为第一问的思路从而得以解决，这也是本题求解的关键．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE►题型04过直线外一点作已知直线的平行线1．（2024·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形ABCD，E为DC边上一点．求作：四边形内一点P，使EP∥BC，且点P到AB,AD的距离相等．【答案】见解析【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，解题的关键是掌握作角平分线和作一个角等于已知角的尺规作图方法．作∠DAB的平分线AM，以E为顶点，ED为一边作∠DEN=∠C，EN交AM于P，点P即为所求．【详解】解：作∠DAB的平分线AM，以E为顶点，ED为一边作∠DEN＝∠C，EN交AM于P，如图，点2．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，一次函数y=x−2的图象与反比例函数y=mx的图象交于A，B3,n两点，且直线AB与坐标轴分别交于P(1)求m和n的值；(2)已知点M0,2，请用无刻度的直尺和圆规过点M作直线AB(3)若（2）中所作的平行线交x轴负半轴于点N，连接NP，QM，求四边形【答案】(1)m=3，n=1(2)见解析(3)8【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，尺规作图：（1）将B3,n代入y=x−2可得n的值，将B3,n代入y=m（2）以M为顶点，y轴为角的一边，作一个角等于∠MPB即可；（3）先求出直线AB与坐标轴的交点坐标，可得△OMN为腰长是2的等腰直角三角形，再根据S四边形【详解】（1）解：一次函数y=x−2经过点B3,n，代入解得n=1∵B3,1在反比例函数y=∴m=1×3=3；（2）解：所作平行线如图所示：（3）解：由（1）知反比例函数解析式为y=3当x=0时，y=0−2=−2，当y=0时，0=x−2，解得：x=2，则y=x−2交坐标轴于Q2,0，P∴OP=OQ=OM=2，PM=4，∴∠OMN=∠OPQ=45°，∴△OMN为腰长是2的等腰直角三角形，∴S四边形QUOTE►题型05作三角形1．（2022·广西贵港·中考真题）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：如图，已知线段m，n．求作△ABC，使∠A=90°,AB=m,BC=n．【答案】见解析【分析】作直线l及l上一点A；过点A作l的垂线；在l上截取AB=m；作BC=n；即可得到△ABC．【详解】解：如图所示：△ABC为所求．注：（1）作直线l及l上一点A；（2）过点A作l的垂线；（3）在l上截取AB=m；（4）作BC=n．【点睛】本题考查作图——复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．2．（2023·江苏南京·中考真题）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A旋转一个角度θ(0°<θ<180°)，再将旋转后的多边形以点A为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作T(A，顺θ，k)；若逆时针旋转，记作T(A，逆θ，k)．例如：如图①，先将△ABC绕点B逆时针旋转50°，得到△A1BC1，再将△A1BC1以点B为位似中心缩小到原来的(1)如图②，△ABC经过T(C，顺60°，2)得到△A'B(2)如图③，△ABC经过T(B，逆α，k1)得到△EBD，△ABC经过T(C，顺β，k2)得到△FDC，连接AE，(3)如图④，在△ABC中，∠A=150°,AB=2,AC=1.若△ABC经过（2）中的变换得到的四边形AFDE是正方形．①用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；②直接写出AE的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)①见解析；②2【分析】（1）旋转60°，可作等边三角形DBC，ACE，从而得出B点和点A对应点D，E，进而作出图形；（2）根据△EBD和△ABC位似，△FDC与△ABC位似得出∠EBD=∠ABC，BEAB=BDBC，DFCD=ABBC，进而推出△EBA∽△DBC，从而（3）要使▱AFDE是正方形，应使∠EAF=90°，AE=AF，从而得出∠BAE+∠FAC=270°−∠BAC=120°，从而得出∠DBC+∠DCB=120°，从而∠BDC=60°，于是作等边△BCG，保证∠BDC=∠G=60°，作直径BD，保证BD=2CD，这样得出作法．【详解】（1）解：如图1，1．以B为圆心，BC为半径画弧，以C为圆心，BC为半径画弧，两弧在BC的上方交于点D，分别以A，C为圆心，以AC为半径画弧，两弧交于点E，2．延长CD至B'，使DB'=CD，延长CE至A'则△A（2）证明：∵△EBD和△ABC位似，△FDC与△ABC位似，∴∠EBD=∠ABC，BEAB=BD∴∠EBA=∠DBC，∴△EBA∽△DBC，∴AECD∴AECD∴AE=DF，同理可得：DE=AF，∴四边形AFDE是平行四边形；（3）解：如图2，1．以BC为边在BC上方作等边三角形GBC，2．作等边三角形BCG的外接圆O，作直径BD，连接CD，3．作∠DBE=∠ABC，∠BDE=∠ACB，延长BA，交⊙O于F，连接CF，DF，则四边形AFDE是正方形，证明：由上知：△EBA∽△DBC，△FAC∽△DBC，∴∠BAE=∠DCB，∠FAC=∠DBC，AECD=AB∴∠BAE+∠FAC=∠DCB+∠DBC，要使▱AFDE是正方形，应使∠EAF=90°，AE=AF，∴∠BAE+∠FAC+∠BAC=270°，BD=2CD，∴∠BAE+∠FAC=270°−∠BAC=270°−150°=120°，∴∠DBC+∠DCB=120°，∴∠BDC=60°，∴作等边△BCG，保证∠BDC=∠G=60°，作直径BD，保证BD=2CD，这样得出作法；∵∠ABE=∠DBC=30°，∠EAB=∠BCD=90°，AB=2，∴AE=3【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，确定圆的条件，尺规作图等知识，解决问题的关键是较强的分析能力．►题型06作角平分线1．（2024·西藏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC，BA于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P，作射线BP交AC于点F．已知CF=3，AF=5，则BF【答案】3【分析】本题考查了作图−基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断BF平分∠ABC，过F作FG⊥AB于G，再利用角平分线的性质得到GF=CF=3，根据勾股定理求出AG=AF2−FG2=52−32=4，证明Rt△CBF≌Rt【详解】解：过F作FG⊥AB于G，由作图得：BF平分∠ABC，FG⊥AB，∠C=90°，∴GF=CF=3，在Rt△AFG中根据勾股定理得：AG=∵FG=CF，BF=BF，∴Rt∴BG=BC，设BG=BC=x，则AB=4+x，AC=AF+CF=5+3=8，在Rt△ABCAC即：82解得：x=6，∴BC=6，在Rt△BCF中根据勾股定理得：BF=故答案为：352．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，AD是高，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E，再分别以B、E为圆心，大于12BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点F，作射线AF【答案】10°/10度【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出AF平分∠BAC，然后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：因为∠B=50°，所以∠BAC=180°−50°−30°=100°，根据题意得：AF平分∠BAC，所以∠BAF=1因为AD为高，所以∠BDA=90°，所以∠BAD=180°−50°−90°=40°,所以∠DAF=∠BAF−∠BAD=50°−40°=10°，故答案为：10°．3．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在△ABC中，AB>AC．(1)尺规作图：作∠BAC的角平分线，在角平分线上确定点D，使得DB=DC；（不写作法，保留痕迹）(2)在（1）的条件下，若∠BAC=90°，AB=7，AC=5，则AD的长是多少？（请直接写出AD的值）【答案】(1)见详解(2)6【分析】（1）作∠BAC的角平分线和线段BC的垂直平分线相交于点D，即为所求．（2）过点D作DE⊥AB交AB与点E，过点D作DF⊥AC交AC与点F，先利用角平分线的性质定理证明四边形AEDF为正方形，设AE=AF=ED=DF=x，则BE=7−x，FC=5−x，以DB=DC为等量关系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出AD．【详解】（1）解：如下图：AD即为所求．（2）过点D作DE⊥AB交AB与点E，过点D作DF⊥AC交AC与点F，则∠AED=∠AFD=90°，又∵∠BAC=90°∴四边形AEDF为矩形，∵AD是∠BAC的平分线，∴DE=DF，∴四边形AEDF为正方形，∴AE=AF=ED=DF，设AE=AF=ED=DF=x，∴BE=AB−AE=7−x，FC=AC−AF=5−x，在Rt△BED中，B在Rt△CFD中，C∵DB=DC∴D∴x2解得：x=6，∴AD=A【点睛】本题主要考查了作角平分线以及垂直平分线，角平分线的性质定理，正方形的判定以及勾股定理的应用，作出图形以及辅助线是解题的关键．►题型07作垂线1．（2021·江苏南京·中考真题）如图，已知P是⊙O外一点．用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．【答案】答案见解析．【分析】方法一：作出OP的垂直平分线，交OP于点A，再以点A为圆心，PA长为半径画弧，交⊙O于点Q，连结PQ，PQ即为所求．方法二：根据等腰三角形的性质三线合一作⊙O的切线，作射线PO，交⊙O于点M,N，以P为圆心，PO为半径作⊙P,以O为圆心，MN的长为半径画弧交⊙P于点A，连接PA,OA,OA交⊙O于点B，则△PAO是等腰三角形，OB=12OA，则PB⊥OA【详解】解：作法：连结PO，分别以P、O为圆心，大于12PO的长度为半径画弧，交于两点，连结两点交PO于点A；以点A为圆心，PA长为半径画弧，交⊙O于点Q，连结PQ，PQ作法：作射线PO，交⊙O于点M,N，以P为圆心，PO为半径作⊙P,以O为圆心，MN的长为半径画弧交⊙P于点A，连接PA,OA,OA交⊙O于点B，则△PAO是等腰三角形，OB=12OA，则PB⊥OA【点睛】本题考查了作图——复杂作图，涉及垂直平分线的作法，角平分线的作法，等腰三角形的作法，圆的作法等知识点．复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合基本几何图形的性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．►题型08作等腰三角形1．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=4，C是直线BO上一个动点，若△ABC(1)用直尺和圆规作出点C的位置（不写作法，保留作图痕迹）．(2)求OC的长．【答案】(1)见解析(2)78【分析】（1）分三种情形：AB=AC，CA=CB，BC=BA，以顶角的点为圆心，腰长为半径画弧，依次画出图形即可；（2）分三种情形求出OC的长即可．本题考查作图−复杂作图，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的射线解决问题．【详解】（1）解：当AC=BC时，点C的位置如图1所示；当AC=AB时，点C的位置如图2所示；当BC=AB时，点C的位置如图3所示；（2）解：如图2中，当AC=AB时，OB=OC=4；如图1中，当CA=CB时，设CA=CB=x，则有x2解得x=25∴OC=OB−BC=4−25如图3中，当BA=BC时，AB=O∴OC=5−4=1或OC综上所述，OC的长为4或78►题型09画圆1．（2023·内蒙古通辽·中考真题）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：已知：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°求作：Rt△ABC作法：如图2．（1）分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于P，（2）作直线PQ，交AB于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O即为所求作的圆．

下列不属于该尺规作图依据的是（

）A．两点确定一条直线B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等【答案】D【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：OC=OA=OB即可．【详解】解：作直线PQ（两点确定一条直线），连接PA，

∵由作图，PA=PB，∴PQ⊥AB且AO=BO（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．∵∠ACB=90°，∴OC=1∴OA=OB=OC，∴A，B，C三点在以O为圆心，AB为直径的圆上．∴⊙O为△ABC的外接圆．故选：D．【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2．（2024·甘肃·中考真题）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知⊙O和圆上一点M．作法如下：①以点M为圆心，OM长为半径，作弧交⊙O于A，B两点；②延长MO交⊙O于点C；即点A，B，C将⊙O的圆周三等分．(1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将⊙O的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；(2)根据（1）画出的图形，连接AB，AC，BC，若⊙O的半径为2cm，则△ABC的周长为______cm【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）根据尺规作图的基本步骤解答即可；（2）连接AM，设AB,OM的交点为D，得到AD⊥OM，根据⊙O的半径为2cm，MC是直径，△ABC本题考查了尺规作图，圆的性质，等边三角形的性质，熟练掌握尺规作图的方法和圆的性质是解题的关键．【详解】（1）根据基本作图的步骤，作图如下：则点A，B，C是求作的⊙O的圆周三等分点．（2）连接AM，设AB,OM的交点为D，根据垂径定理得到AD⊥OM，∵⊙O的半径为2cm，MC是直径，△ABC∴∠CAM=90°，∠CMA=∠B=60°,MC=4cm∴AC=MCsin∴△ABC的周长为AB+BC+AC=63故答案为：633．（2022·甘肃武威·中考真题）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：原文释义甲乙丙为定直角．以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；乙与己及庚相连作线．如图2，∠ABC为直角．