湖南省部分高中2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

湖南省高一年级12月考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名，考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题后，用船笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A段必修第一册第一章至第四章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式求得集合，再利用交集的定义求解.【详解】因为，所以.故选：D.2.“”是“为指数函数”的（）A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【详解】当时，是指数函数；若是底数为的指数函数．则，且，解得，故“”是“为指数函数”的充分不必要条件．故选：C.3.函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数解析式可判断是奇函数，排除除C，D，再由时的取值符号，可得结论.【详解】因为，所以是奇函数，所以的图象关于原点对称，排除C，D.当时，，排除B，故选：A.4.近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月……中国航天硕果累累，令国人备感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：m/s），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：m/s），是火箭起飞时的总质量（单位：kg），m是火箭自身的质量（单位：kg）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用的某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为50m/s，火箭自身的质量为4kg，燃料的质量为5kg，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，至燃料燃尽时，该试验火箭的理想速度大约为（）（，）A.40m/s B.36m/s C.78m/s D.95m/s【答案】A【解析】【分析】根据题中条件确定kg，kg，m/s，按公式直接运算即可.【详解】解：由于，其中kg，kg，m/s，所以（m/s）.故选：A.5.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数奇偶性定义可判断AC为偶函数，可排除，易知不是增函数，根据对数运算法则计算可得为奇函数，且单调递增，符合题意.【详解】对于A，易知定义域为，满足，为偶函数，不合题意；对于B，，易知定义域为，满足，为奇函数，但取两个自变量，对应的函数值，不满足增函数的定义，不合题意；对于C，易知定义域为，满足，为偶函数，不合题意，对于D，令，则，满足奇函数定义，且由复合函数单调性法则知在上单调递增，符合题意.故选：D6.若函数的最小值是8，则实数m的值为（）A.6或10 B.6或10 C.6或10 D.6或10【答案】A【解析】【分析】根据绝对值的几何意义求出最小值即可得解.【详解】因为，所以，解得或，故选：A7.已知函数的零点为，的零点为，则下列结论错误的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】在同一坐标系中分别作出的图象，图象的交点即为零点，结合函数对称性质即可判断ABD，结合函数单调性和可判断C.【详解】由和得，函数与关于直线对称，在同一坐标系中分别作出的图象如图所示，联立得两直线交点坐标为，则且关于点对称，所以，又，所以，故选项A、B、D正确；因为在R上单调递增，且，所以，所以，故C错误.故选：C.8.设，若函数有4个不同的零点，，，，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出的大致图象，结合图象得到，可知，进而得到，利用对勾函数的性质，即可求解．【详解】由题意，，函数当时，，可得的图象关于直线对称.作出的大致图象，如图所示.由，可知.由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，所以当时，，所以，则.由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增，所以，即，即的取值范围是.故选：A.【点睛】方法点睛：本题属于根据函数零点的性质求代数式的取值范围，通过函数图象的应用，利用数形结合思想及函数的单调性解决问题.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列关于不等式的说法正确的是（）A.，B.若，，则C.若，，，则D.，，【答案】ABD【解析】【分析】根据不等式的性质判断．【详解】对于A，移项可变为，，显然成立.，A正确对于，则，由不等式的性质得，所以.对于C，忽视了大小关系，例如，原不等式不成立.对于D，，原不等式成立.故选：ABD．10.下列关于对数运算正确的是（）A.设均为正实数，且，则B.若方程的两根为，则C.已知，则D.【答案】AD【解析】【分析】根据对数运算法则、换底公式依次验证各个选项即可.【详解】对于A，设，则，，，，A正确；对于B，，或，或，，B错误；对于C，，，即，，整理可得：，或，C错误；对于D，，D正确.故选：AD.11.定义“正对数”现有四个命题，其中是真命题的有（）A.若，，则B.若，，则C.若，.则D.若，，则【答案】ACD【解析】【分析】对于A，由“正对数”的定义对两种情况进行推理.对于B，通过举反例说明错误.对于C，D，分别对四种情况（当时；当时；当时；当时）进行推理，由此可得结论.【详解】对于A，当时，，从而，；当时，，从而，.故当时，，A正确.对于B，当时，满足，而，，B错误.对于C，由“正对数”的定义知，且.当时，，而；当时，有，而，当时，，而当时，，则.故当时，，C正确.对于D，由“正对数”的定义知，当时，.当时，，从而.当时，，从而.当时，，从而.当时，，，从而，D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据“正对数”的新定义，再结合对数运算法则对的取值范围进行逐一验证即可得出结论.三､填空题：本题共3小题，小每小题5分，共15分.12.已知函数在上具有单调性，则实数m的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】利用二次函数的单调性列出不等式求解.【详解】函数的对称轴为，开口向上，因为函数在上具有单调性，所以或，所以或.则实数m的取值范围是.故答案为：.13.已知定义在R上的函数满足①是偶函数；②在上为增函数．若不等式成立，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性以及一元二次不等式的解法求解.【详解】因为是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，所以函数的图象关于对称，又因为函数在上为增函数，所以函数在上为减函数，所以要使不等式成立，则，则有，整理得，即，解得，故答案为：.14.设是定义在R上的奇函数，当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】根据函数的奇偶性求得函数的解析式，然后根据函数的单调性列出不等式，转化为最值问题，即可求得结果.【详解】设，则，因为当时，，则，且函数是定义在R上的奇函数，则所以，则．因此，原不等式等价于．由解析式知在R上是增函数，所以，即．又，所以当时，取得最大值．因此，，解得．故a的取值范围是．故答案为:四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知关于x的不等式．（1）若，，且，试求它的解集；（2）若，，试求它的解集．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由题意化简一元二次不等式求解即可；（2）根据题意化简不等式后再分类讨论求解即可.【小问1详解】因为，，且，所以，即，所以，解得，不等式的解集为.【小问2详解】若，，则，即，当时，不等式为，解得；当时，不等式，解得；当时，因为，所以解得或；当时，，所以由不等式可解得；当时，，所以由不等式可得.综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.16.已知函数.（1）若，求的最小值；（2）若，存在实数，，使得当的定义域为时，的值域为，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用换元法，结合二次函数的性质计算可得；（2）首先判断的单调性，即可得到在上有两个不同的实数解，令，则问题转化为在上有两个不同的实数解，结合二次函数根的分布得到不等式组，解得即可.小问1详解】若时，.令，则，该二次函数开口向上，其图象的对称轴为直线，所以当时，，即最小值为.【小问2详解】因为，则与均在上单调递增，所以在上单调递增，当的定义域为时，则的值域为，所以，即在上有两个不同的实数解，即在上有两个不同的实数解，令，所以在上有两个不同的实数解，所以，解得，所以实数的取值范围为.17.2023年全年，中国新能源汽车产量、销量分别达到958.7万辆和949.5万辆，同比分别增长35.8%和37.9%，我国新能源汽车产销量占全球比重超过60%，连续9年位居世界第一，新能源汽车出口120.3万辆，同比增长77.2%，均创历史新高．2024年中国数家车企推出多款电动新能源汽车，引起市场轰动，电动新能源汽车进步成为人们购车的热门选择.有关部门在高速公路上对葲型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量P（单位：）与速度v（单位：）的数据，如下表所示：v60708090100110120P810.413.216.4202428.4经画图研究可知该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量P与速度v的关系为．（1）求出函数的函数解析式．（2）张某驾驶一辆同型号电动汽车从A地出发，经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为510km的B地．出发前，汽车电池存量为，汽车到达B地后至少要保的的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）．已知该高速公路上服务区有功率为18kW的充电桩（充电量=充电功率充电时间）．若不充电，该电动汽车能否到达B地?并说明理由，若需要充电，求该电动汽车从A地到达B地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值（结果保留一位小数）．【答案】（1）（2）不充电不能到达，理由见解析，充电，则所用时间最小值为7.4小时.【解析】【分析】（1）利用点在二次函数图象上，列方程求解；（2）利用函数关系，利用双勾函数的性质和基本不等式求解.【小问1详解】将点代入函数，可得，解得，所以.经检验，点均满足，所以.【小问2详解】设所需消耗电量为，若不充电，则，因为函数在上单调递增，所以在单调递增，所以，所以若不充电，该电动汽车不能到达B地.若充电，所需充电量的最小值为，所需充电时间的最小值为，设该电动汽车从A地到达B地所用时间的最小值为，，则，因为，当且仅当，即时取得等号，所以，所以该电动汽车从A地到达B地所用时间的最小值为7.4小时.18.已知通数为偶函数.（1）求a的值；（2）求的最小值；（3）若对任意恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据偶函数定义化简计算可得；（2）将函数并利用基本不等式以及函数单调性计算可得结果；（3）利用单调性定义证明在上为增函数且为偶函数，解不等式可得，利用基本不等式计算可得结果.【小问1详解】因为为偶函数，所以，则，所以，即恒成立.因为不恒为0，所以，故.经检验，符合题意；即.【小问2详解】由（1）得.因为，则，当且仅当，即时，等号成立，所以，故最小值为.【小问3详解】因为，任取且，所以.因为且，所以，所以，即，所以，则在上为增函数.又因为为偶函数，，所以.当时，恒成立，则.当时，，所以，设，当且仅当，即时，等号成立.由复合函数的单调性易得在上单调递增，且当时，，当时，，所以有解，即有解，所以等号能成立，所以，则，解得19.设A，B是非空实数集，如果对于集合A中的任意两个实数x，y，按照某种确定的关系f，在B中都有唯一确定的数z和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个二元函数，记作，，，其中A称为二元函数f的定义域．（1）已知，若，，，求．（2）设二元函数f的定义域为I，如果存在实数M满足①，都有，②，，使得，那么我们称M是二元函数的下确界．若，，且，判断函数是否存在下确界．若存在，求出此函数的下确界；若不存在，说明理由．（3）设的定义域为R，若，，．，则称f在D上关于m单调递增．已知在上关于单调递增，求实数k的取值范围．【答案】（1）（2）存在，（3）【解析】【分析】（1）由二元函数的定义求解即可；（2）根据基本不等式即二次函数的性质判断即可；（3）根据二元函数在定义域上单调递增的定义求解即可；【小问1详解】由可得，，由可得，，由又，所以；【小问2详解】由可得，，由可得，，所以，，当且仅当，即，时取等号.【小问3详解】因为在上是关于单调递增，所以，即存在，对于任意的，，都有，化简可得，即，下面求函数的最小值，设，，，当时，若时，