2022年北京市初三一模数学试题汇编：旋转变换

第1页/共1页2022北京初三一模数学汇编旋转变换一、单选题1．（2022·北京·一模）如图，△ABC经过变换得到△AB'C'，其中△ABC绕点A逆时针旋转60°的是（）A． B．C． D．二、填空题2．（2022·北京顺义·一模）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，将矩形ABCD绕顶点C顺时针旋转90°，得到矩形EFCG，连接AE，取AE的中点H，连接DH，则_______．3．（2022·北京·一模）如图，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝图象相交于A、B两点，若点A的坐标是（3，2），则点B的坐标是___．三、解答题4．（2022·北京大兴·一模）已知，如图，，线段BA绕点A逆时针旋转90°得到线段AC．连接BC，OA，OC，过点O作于点D．(1)依题意补全图形；(2)求的度数．5．（2022·北京门头沟·一模）如图，在等边△ABC中，将线段AC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜60°），得到线段AD，连接CD，作∠BAD的平分线AE，交BC于E．(1)①根据题意，补全图形；②请用等式写出∠BAD与∠BCD的数量关系，并证明．(2)分别延长CD和AE交于点F，用等式表示线段AF，CF，DF的数量关系，并证明．6．（2022·北京丰台·一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在边BC上（不与点B，C重合），连接AD，以点A为中心，将线段AD逆时针旋转180°﹣α得到线段AE，连接BE．(1)∠BAC+∠DAE＝°；(2)取CD中点F，连接AF，用等式表示线段AF与BE的数量关系，并证明．7．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r，对于平面上任一点P，我们定义：若在⊙O上存在一点A，使得点P关于点A的对称点点B在⊙O内，我们就称点P为⊙O的友好点．(1)如图1，若r为1．①已知点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，0）中，是⊙O的友好点的是；②若点P（t，0）为⊙O的友好点，求t的取值范围；(2)已知M（0，3），N（3，0），线段MN上所有的点都是⊙O的友好点，求r取值范围．8．（2022·北京西城·一模）已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转（），得到线段BE，连接EA，EC．(1)如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分∠ABC，AB=4，则∠AEC=______°，四边形ABCE的面积为______；(2)当点E在正方形ABCD的外部时，①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；②作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF．用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明．9．（2022·北京通州·一模）如图，在中，∠ACB＝90°，AC＝BC．点D是BC延长线上一点，连接AD．将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE．过点E作，交AB于点F．(1)①直接写出∠AFE的度数是______；②求证：∠DAC＝∠E；(2)用等式表示线段AF与DC的数量关系，并证明．10．（2022·北京·一模）在中，，点E是内一动点，连接，将绕点A顺时针旋转a，使边与重合，得到，延长与射线交于点M（点M与点D不重合）．（1）依题意补全图1；（2）探究与的数量关系为___________；（3）如图2，若平分，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．

参考答案1．D【分析】分别确定每个选项中的各组对应点，各组对应线段，观察变换前后的位置特征结合轴对称变换与旋转变换的特征逐一分析，从而可得答案.【详解】解：选项A体现的是把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到故A不符合题意；选项B体现的是把△ABC沿某条直线对折得到故B不符合题意；选项C体现的是把△ABC沿某条直线对折得到故C不符合题意；选项D体现的是把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到故D符合题意；故选D【点睛】本题考查的是轴对称变换，旋转变换，掌握轴对称变换与旋转变换的特征是解题的关键.2．【分析】根据题意构造并证明，通过全等得到，再结合矩形的性质、旋转的性质，及可求解；【详解】如图，延长DH交EF于点k，∵H是的中点又则故答案为：【点睛】本题主要考查了矩形的性质、三角形的全等证明，掌握相关知识并结合旋转的性质正确构造全等三角形是解题的关键．3．（﹣3，﹣2）【分析】由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以A、B两点关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点求出B点坐标即可．【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称，∵A的坐标为（3，2），∴B的坐标为（﹣3，﹣2）．故答案为：（﹣3，﹣2）．【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.4．(1)作图见解析；(2)∠DOC=15°．【分析】（1）由题意，只要过点O作于点D即可．(2)过点A作AE⊥BO于E，由题意可得∠1=30°，∠2=15°，∠3=15°，证明AD=DC，可得到∠DOC=∠AOD，从而得解．（1）解：由题意可以补全图形如下：（2）解：如图，过点A作AE⊥BO于E，∴∠AEB=90∘，∵∠ABO=150°，∴∠1=30°，∠BAE=60°，又∵BA=BO，∴∠2=∠3=15°，∴∠OAE=75°，∵∠BAC=90°，∴∠4=75°，∴∠OAE=∠4，∵OD⊥AC于点D，∴∠AEO=∠ADO=90°，在△AOE和△AOD中，，∴△AOE≌△AOD，∴AE=AD，在Rt△ABE中，∠1=30°，∴AE=AB，又∵AB=AC，∴AE=AD=AB=AC，∴AD=CD，又∵∠ADO=∠CDO=90°，∴OA=OC，∴∠DCO=∠4=75°，∴∠DOC=15°．【点睛】本题考查旋转的综合应用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定和性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形和直角三角形的性质是解题关键．5．(1)①作图见解析；②∠BAD＝2∠BCD，证明见解析(2)AF＝CF+DF，证明见解析【分析】（1）①依照题意画出图形即可；②由等边三角形的性质和等腰三角形的性质分别求出∠BAD和∠BCD的度数，即可求解；（2）由角的数量关系可求∠F＝60°，由直角三角形的性质可求解．（1）解：①补全图形，如图所示：②∠BAD＝2∠BCD，证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∵将线段AC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜60°），得到线段AD，∴AC＝AD，∠CAD＝α，∴∠ACD＝∠ADC，∴∠BAD＝60°﹣α，∠BCD60°＝30°，∴∠BAD＝2∠BCD；（2）解：AF＝CF+DF，证明：如图，过点A作AH⊥CD于H，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF＝30°，∴∠F＝∠ADC﹣∠DAF（30°）＝60°，∵AH⊥CD，∴∠FAH＝30°，∴AF＝2FH，∵AD＝AC，AH⊥CD，∴DH＝CHCD，∴AF＝2FH＝2（CF﹣CH）＝2（CFCD）＝2[CF（CF﹣DF）]＝CF+DF．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，求出∠F的度数是解题的关键．6．(1)180(2)，证明见解析；【分析】（1）由旋转可知∠DAE=180°-a，所以得到：∠BAC+∠DAE=a+180°-a=180°；（2）连接并延长AF，使FG=AF，连接DG，CG；因为DF=CF，AF=GF；可以得到四变形ADGC为平行四边形；从而有∠DAC+∠ACG=180°，再证∠ACG=∠BAE继而证明△ABE≌△CAG得到BE=AG，即可得线段AF与BE的数量关系；【详解】（1）解：由旋转可知∠DAE=180°-a，∠BAC+∠DAE=a+180°-a=180°故答案为：180（2）解：如图所示：连接并延长AF，使FG=AF，连接DG，CG；∵DF=CF，AF=GF；∴四变形ADGC为平行四边形；∴∠DAC+∠ACG=180°，即∠ACG=180°-∠DAC，∠BAE=∠BAC+∠DAE-∠DAC=180°-∠DAC，所以∠ACG=∠BAE，∵四变形ADGC为平行四边形；∴AD=CG，又∵AD=AE，AE=CG，在△ABE和△CAG中，∴△ABE≌△CAG，∴BE=AG，∴AF=AG=BE，故线段AF与BE的数量关系：AF=；【点睛】本题考查了旋转的性质，旋转角的定义，以及全等三角形的性质的判定，解题的关键是熟悉并灵活应用以上性质．7．(1)①；②或(2)【分析】（1）由⊙O友好点的定义可判段出结果；点P应在半径为的圆环内．（2）根据定义可列出不等式组，解出可得到结果．（1）①由题意知：当时，P为⊙O的友好点．∴⊙O的友好点是．②根据友好点的定义，只要点在半径圆环内都是⊙O的友好点，或．（2）∵M（0，3），N（3，0），∴圆心O到线段MN的距离为∴在x轴上点N到⊙O最左侧的距离为∴根据题意可列不等式组得解得∴不等式组解集为：∴r的取值范围为：【点睛】本题考查圆综合题，中心对称，列不等式组等知识，解题的关键是学会利用特殊点，特殊位置解决问题．8．(1)135，(2)①作图见解析，45°；②【分析】（1）过点E作于点K，由正方形的性质、旋转的性质及角平分线的定义可得，再利用等腰三角形的性质和解直角三角形可求出，，继而可证明，便可求解；（2）①根据题意作图即可；由正方形的性质、旋转的性质可得，再根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质求出，即可求解；②过点B作垂足为H，由等腰三角形的性质得到，再证明即可得到，再推出为等腰直角三角形，即可得到三者之间的关系．（1）过点E作于点K四边形ABCD是正方形BE平分∠ABC，AB=4，将线段BA绕点B旋转（），得到线段BE，，四边形ABCE的面积为故答案为：135，（2）①作图如下四边形ABCD是正方形由旋转可得，②，理由如下：如图，过点B作垂足为H，∠EBC的平分线BF交EC于点G为等腰直角三角形即【点睛】本题属于四边形和三角形的综合题目，涉及正方形的性质、旋转的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等，灵活运用上述知识点是解题的关键．9．(1)①；②见解析(2)；证明见解析【分析】（1）①根据AC=BC，∠ACB=90°，得出，根据，得出，即可得出的度数；②延长EF交EF于点G，并得出，由，，得出∠DAC＝∠E；（2）先证明，得出，根据得出，从而得出，即可得出．（1）解：①∵AC=BC，∠ACB=90°，，，，；②延长EF交EF于点G，如图所示：，，，∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，，；（2）；理由如下：∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，，∵在和中，，，，，，．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解直角三角形，旋转的性质，作出相应的辅助线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．10．（1）图见解析；（2）=；（3），证明见解析．【分析】（1）依据题中语句根据旋转的性质作出图形即可；（2）根据旋转前后对应角相等，再利用邻补角和等角的补角相等即可得出结论；（3）根据角平分线和旋转的性质可证AE//BM，再利用（2）中的结论和平行线的性质进一步证明∠MEA=∠DAE，∠DME=∠MDA，根据等角对等边可得AN=NE,MN=DN，利用线段的和差可得结论．【详解】解：（1）补全图如下：（2）∵绕点A顺时针旋转a，使边与重合，∴∠AEC=∠ADB，∵∠AEC+∠AEM=180°，∠ADB+∠ADM=180°，∴∠ADM=∠AEM，故答案为：=；（3），证明如下：∵绕点A顺时针旋