全概率公式+高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

6.1.3全概率公式1.结合古典概型，理解全概率公式.2.会利用全概率公式计算概率.*3.了解贝叶斯公式.1.条件概率2.概率的乘法公式分析：设事件Bi=“球取自i号箱”(i=1，2，3)，事件A=“取得红球”，其中B1，B2，B3两两

，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一

，即A=B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两

.问题1:如图，有三个箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同.某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取得红球的概率.互斥同时发生互斥问题1:如图，有三个箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同.某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取得红球的概率.解：运用互斥事件概率的加法公式得到P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)∴取得红球的概率为P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)再对求和中的每一项运用乘法公式得问题2:某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如表的数据：元件制造厂次品率提供元件的份额10.020.1520.010.8030.030.05设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率.分析：设事件Bi=“所取到的产品是由第i家元件制造厂提供的”(i=1，2，3)，事件A=“取到的是一件次品”，其中B1，B2，B3两两

，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一

，即A=B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两

.互斥解：运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.15×0.02+0.80×0.01+0.05×0.03=0.0125.互斥同时发生∴它是次品的概率为0.0125.思考：上述两个问题有什么共性？若A是由原因Bi(i=1，2，…，n)所引起，则A发生的概率是P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)，由于每一个原因都可能导致A发生，且各原因涵盖所有可能的情形并彼此互斥，故事件A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即设Ω是试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一组事件，若(1)BiBj＝∅，其中i≠j(i，j＝1，2，…，n)，(2)B1∪B2∪…∪Bn＝Ω.则称B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分.条件(2)表示每次试验B1，B2，…，Bn必有一个发生.条件(1)表示每次试验B1，B2，…，Bn中只能发生一个；概念生成

设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)>0(i=1，2，…，n)，则对任意一个事件A有称上式为全概率公式.如果把Bi看成导致事件A发生的各种可能“原因”，那么，事件A发生的概率恰好是事件A在这些“原因”下发生的条件概率的平均.

由全概率公式可知则根据已知，有而且

利用全概率公式解题的步骤：(1)根据题意找到相互对立的事件A和

；(2)将所求事件记为B，利用条件概率求出P(B|A)和

；(3)用全概率公式表示P(B)；(4)将已知代入公式的P(B).方法归纳例2:有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算它是第i(i＝1，2，3)台车床加工的概率．

为了求复杂事件的概率，往往可以把它分解成若干个互斥的简单事件之和，然后利用条件概率和乘法公式，求出这些简单事件的概率，最后利用概率的可加性得到结果．方法归纳例3:如图，有三个箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同.某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大.解:设事件Bi表示“球取自i号箱”(i=1，2，3)，事件A表示“取得红球”.由全概率公式，可得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)再由条件概率知，∴该球是取自1号箱的概率为该球取自3号箱的可能性最大.设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(A)>0，P(Bi)>0，(i=1，2，…，n)，则称上式为贝叶斯公式.

该公式于1763年由贝叶斯给出.它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因的概率，贝叶斯公式的思想就是“执果溯因”.概念生成1.现有12道四选一的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.张君从这12道题中随机选择1题，他做对该题的概率为

.0.73752.有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占