2025年新高考数学一轮复习：重难点突破 直线与圆的综合应用（八大题型）（学生版+解析）

重难点突破03直线与圆的综合应用

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：距离的创新定义.........................................................2

题型二：切比雪夫距离...........................................................3

题型三：曼哈顿距离'折线距离、直角距离问题.....................................4

题型四：闵氏距离问题...........................................................5

题型五：圆的包络线问题.........................................................6

题型六：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题'阿波罗尼斯球问题.........................7

题型七：圆中的垂直问题.........................................................8

题型八：圆的存在性问题.........................................................9

03过关测试.....................................................................9

亡法牯自与.柒年

//\\

直线与圆的综合应用方法主要包括几何法和代数法。

题型一：距离的创新定义

【典例1-1】数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为

几何问题加以解决，例如，与J（x-4）2+（y-6）2相关的代数问题,可以转化为点A（x,y）与点8（。⑼之间

距离的几何问题.结合上述观点，可求得方程+4*+5+_4/+5=6的解是（）

A,2B.+逅C,述D.+述

4455

【典例1-2】人脸识别中检测样本之间相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和

余弦距离.若二维空间有两个点双石,乂），5（孙％）则曼哈顿距离为：d（A5）=|%—到+n―

余弦距离为1—cos（AB）.

余弦相似度为高T隽

若4（—1,2），则48之间的余弦距离为（）

A.1_好B.1+@C.i_@D.i_避

5555

【变式1-1】费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120。时，

费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120。.根据

以上性质，已知A(-2,0),8(2,0),C(0,4),尸为VABC内一点,记〃尸)=|网+归却+|尸。，则“P)的

最小值为()

A.2A/3B.4+2百

C.4+石D.2+73

【变式1-2］以三角形边3C,CA,43为边向形外作正三角形BCA',CAB',ABC,则A4',BB',

CC三线共点，该点称为VABC的正等角中心.当VA3c的每个内角都小于120。时，正等角中心点P满足

以下性质：

(1)?APB2Ape?BPC120?；(2)正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点(也即费

马点).由以上性质得"上+(y-1)?+J/+(y+l)2+J(x-2)2+J的最小值为

【变式1-3］已知平面上的线段/及点尸，任取/上一点Q,线段尸2长度的最小值称为点尸到线段/的距离,

记作d(P,/).请你写出到两条线段34距离相等的点的集合O={PS(P，4)=或尸，4)}，其中4=AB,

k=CD,A,B,C,。是下列两组点中的一组.对于下列两种情形，只需选做一种，满分分别是①3

分；②5分.①A(L3),B(l,0),C(-l,3),0(-1,0)；②4(1,3),B(l,0),C(-l,3),。(-1,-2).你选择

第一种情形，到两条线段心。距离相等的点的集合。=.

题型二：切比雪夫距离

【典例2-1］在平面直角坐标系中，定义d(A,3)=max{|xj-X2川%-%|}为两点A(%,yJ、3(々,%)的“切比

雪夫距离”，又设点P及I上任意一点Q，称"(RQ)的最小值为点P到直线/的“切比雪夫距离”记作d(PJ)，给

出下列四个命题：

①对任意三点A,B,C,都有d(CA)+d(CB)2d(AB)；

4

②已知点P(3,1)和直线/:2x-y-1=。,则d(P,/)=-；

③到原点的“切比雪夫距离'’等于1的点的轨迹是正方形；

其中真命题的是()

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【典例2-2】在平面直角坐标系中，定义d(A,2)=l芯-尤21+1%-%1为两点4和%)、取%,%)的“切比雪夫

距离”，又设点尸及直线/上任意一点。，称"(P，2)的最小值为点尸到直线/的“切比雪夫距离”，记作成尸,/),

给出下列三个命题：

①对任意三点A、B、C,都有4。,4)+或。,8)2或48)；

4

②己知点P(3,l)和直线l-.2x-y-l=0,则d(P,l)=］；

③定义。（0,0）,动点尸（X,y）满足d（P,O）=l,则动点P的轨迹围成平面图形的面积是4；

其中真命题的个数（）

A.0B.1C.2D.3

【变式2-1］（2024・上海•二模）在平面直角坐标系中，定义d（A,3）=max｛|X］-xJ』X-y2l｝为两点4（出，“）、

8%,%）的“切比雪夫距离”，又设点P及/上任意一点。，称“（P，Q）的最小值为点P到

直线/的“切比雪夫距离”，记作d（P,0,给出下列三个命题：

①对任意三点A、B、C,都有或。,为+或。,8）2或48）；

4

②已知点尸（3,1）和直线/：2万一、一1=0,则d（P,/）=］；

③定点耳（一。,0）、骂（。,0）,动点P（x,y）满足|d（P,£）-d（P,6）|=2a（2c>2a>0）,

则点P的轨迹与直线、=左（左为常数）有且仅有2个公共点；

其中真命题的个数是

A.0B.1C.2D.3

【变式2-2］（2024.高三.上海浦东新.期中）在平面直角坐标系中，定义d（A,B）=max｛归-耳,也-%|｝为两

点A6,yJ、3（%为）的“切比雪夫距离”，又设点P及/上任意一点。，称〃（P，Q）的最小值为点P到直线/

的“切比雪夫距离”，记作d（PJ）,给出四个命题，正确的是—.

①对任意三点A、B、C,都有d（C,A）+d（C,B）Wd（A,B）；

②到原点的“切比雪夫距离”等于I的点的轨迹是正方形；

4

③已知点尸（3,1）和直线/：2x—y—l=0,则d（P,/）="

④定点4（-c，0）、耳（G。），动点P（x,y）满足|d（P，G）-d（尸，鸟）|=2a（2c>2a>o）,则点P的轨迹与直线

y=k（左为常数）有且仅有2个公共点.

题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题

【典例3-1］（多选题）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐

标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点4（不弘）,3（七，%）的曼哈顿距离

d（A3）=|%一知+|%-%|,则下列结论正确的是（）

A.若点尸（2,4）,0（—2,1）,则d（P,Q）=7

B.若点M（—l,0）,N（l,0）,则在x轴上存在点/>,使得d（P,M）+d（P,N）=l

C.若点加（2,1）,点P在直线x-2y+6=0上，则d（P,M）的最小值是3

D.若点加在圆/+丁=4上，点N在直线2x-y+8=0上，则d（〃,N）的值可能是4

【典例3-2】（2024.高三.江苏无锡・开学考试）“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如

下：设A（占,％）,B（x2,y2）,则A,3两点间的曼哈顿距离d（AB）=|百-司+|%-%＞己知加（4,6）,点N

在圆C:尤2+/+6尤+4y=0上运动，若点P满足d（M,P）=2,则|PN|的最大值为.

【变式3-1］在平面直角坐标系中，定义d（P,Q）=l玉-9|+|%-%|为两点。（々，%）之间的“折

线距离”，则圆（彳-4）2+（丫-3）2=4上一点与直线了+〉=0上一点的“折线距离”的最小值是_.

【变式3-2］（2024・广东广州.二模）在平面直角坐标系无0y中，定义d（AB）=忖-可+回一%|为

3（孙力）两点之间的“折线距离”.已知点。（LO）,动点尸满足d（Q,P）==，点M是曲线V=!上任意一点,

2x

则点P的轨迹所围成图形的面积为,d（P,M）的最小值为

题型四：闵氏距离问题

【典例4-1】（2024•全国•模拟预测）闵氏距离（Minkowskidistance）是衡量数值点之间距离的一种非常常

见的方法，设点A、2坐标分别为（耳,兀），（巧,无），则闵氏距离

与（A,2）=佃一々（+N-yJ）%（peN*）.若点A、B分别在y=e'和y=x-1的图像上，则与（A,8）的最

小值为（）

A.21/pB.2。C.e1/pD.ep

【典例4-2】（2024・高三・安徽阜阳•期末）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两

组数据分别为A=（冈吗,…，%）和3=色也,…也），这两组数据间的闵氏距离定义为dAB（g）J为4_4,丁

_k=l_

其中q表示阶数.现有下列四个命题：

①若A=（1,2,3,4）,B=（0,3,4,5）,则“项（1）=4；

②若A=（a,a+1）,8=（6-1,6）,其中a,6eR,则⑴=0w（2）;

③若A=（a,6）,8=（。/）,其中a,6,c,deR,则北式1）2乙8（2）;

④若4=,,〃）,2=（6*-I）,其中q/eR,则乙B（2）的最小值为述.

8

其中所有真命题的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【变式4-1］（2024.全国.模拟预测）在直角坐标系中，已知点4（%,%）,8（%,为），记

dp（A,8）=佃+、-%「），其中P为正整数，称E（A3）为点A,8间的M距离.下列说法正确的

是（）.

A.若4（O,A）=l,则点A的轨迹是正方形

B.若4（43）=4（43）,则A与B重合

C.4（A,3）404（A,3）

D..（AB）24（A3）

【变式4-2］（多选题）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为

I

A=（q,4,…0）和8=3也,…也），这两组数据间的闵氏距离定义为“（q）=为%-研〃，其中4表示

_k=l_

阶数.下列命题中为真命题的是（）

A.若A=（l,2,3,4）,3=（0,3,4,5）,则%（1）=4

B.若A=（〃,Q+1）,B=（b-l,b）,其中〃，Z?GR,则％⑴=%（2）

C.若A=（a,5）,B=（c,d）,其中a,b,c,deR,则“⑴2dA^（2）

D.若4=仙。2）,B=（b,b-D，其中a,6eR,则服B（2）的最小值为逑

8

题型五：圆的包络线问题

【典例5-1】（多选题）设有一组圆C*：（x-A+l『+（y-3^）2=2/（左©N*）.下歹！J四个命题中真命题的是

A.存在一条定直线与所有的圆均相切

B.存在一条定直线与所有的圆均相交

C.存在一条定直线与所有的圆均不相交

D.所有的圆均不经过原点

【典例5-2】（多选题）设有一组圆C/（尤-l）2+（y-Q2=/（左©N*）.下列四个命题正确的是

A.存在左，使圆与无轴相切

B.存在一条直线与所有的圆均相交

C.存在一条直线与所有的圆均不相交

D.所有的圆均不经过原点

【变式5-1］（多选题）己知圆M:（》-1-cos0）2+（y-2-sin0）2=l,直线/：kx-y-k+2=G,下面五个命

题，其中正确的是（）

A.对任意实数左与仇直线/和圆M有公共点;

B.对任意实数人与仇直线/与圆M都相离；

C.存在实数左与仇直线/和圆M相离；

D.对任意实数鼠必存在实数仇使得直线/与圆M相切：

E.对任意实数仇必存在实数也使得直线/与圆M相切；

【变式5-2］（多选题）已知圆M：（x-l-cos6＞）2+（y-sin6＞）2=1,直线/：kx-y-k=O,下面命题中正

确的是（）

A.对任意实数％与。，直线/和圆M有公共点；

B.对任意实数A:与6,直线/与圆M都相离；

C.存在实数上与。，直线/和圆M相交；

D.对任意实数距必存在实数。，使得直线/与圆/相切.

题型六：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题

【变式5-3］（多选题）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学

三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值〃几＞0,且几/1）的点的轨迹是圆，

PA1

此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xOy中，A（-2.0）,5（4,0）,点尸满足=设点p的轨迹为

FD2

曲线C,则下列说法正确的是（）

A.C的方程为（x+4）2+V=16

B.点A3都在曲线C内部

C.当A,6,P三点不共线时，则=

D.若0（2,2）,则|理+2|「。的最小值为46

【变式5-4】圆的反演点：已知圆。的半径是「，从圆心。出发任作一条射线，在射线上任取两点

若|OMHON|=/,则M,N互为关于圆。的反演点.圆的反演点还可以由以下几何方法获得：若点加在圆

。外，过M作圆的两条切线，两切点的连线与的交点就是点"的反演点；若点加在圆。内，则连接

OM,过点M作。M的垂线，该垂线与圆两交点处的切线的交点即为知的反演点.已知圆O:/+y2=4,

点”（1,3）,则知的反演点的坐标为.

【变式5-5】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，

他研究发现：如果一个动点尸到两个定点的距离之比为常数几（2＞0,且4/1）,那么点尸的轨迹为圆，

这就是著名的阿波罗尼斯圆.已知圆C：天2+9=24,点“（2,2）,平面内一定点N（异于点”）,对于圆

上任意动点A,都有比值|AN|:|A图为定值，则定点N的坐标为—.

【变式5-6】阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称亚历山大时期数学三巨匠.他发

现：“平面内到两个定点A,8的距离之比为定值九(Xwl)的点的轨迹是圆.”人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆,

简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(-3,1),5(-3,5),点尸是满足1%|=3|丛|的阿氏圆上的任意

一点，则该阿氏圆的方程为;若。为抛物线C：V=4x上的动点，。在y轴上的射影为则

I1+3(1PQI+1QMI)的最小值为.

【变式5-7]如图，己知平面a[\p=l,A、3是直线/上的两点，C、。是平面月内的两点，且

DALI,CBLl,AD=3,AB=6,CB=6.P是平面。上的一动点，且直线尸。，尸C与平面口所成角

相等，则二面角尸-的余弦值的最小值是—.

【变式5-8]如图，在正方体ABC。一中，48=3百，点瓦厂在线段上，且DE=EF=FB],

PEOE

点M是正方体表面上的一动点，点尸，。是空间两动点，若方=诙=2且囤=4,则痔.版的最小

值为一.

题型七：圆中的垂直问题

【变式5-9](2024・海南•模拟预测)已知直线4：x-3y+l=O,直线。过点。,0)且与直线《相互垂直，圆

C:x2+y2-4x-2y-3=0,若直线4与圆C交于M,N两点,则|MN卜.

【变式5-10](2024•全国•模拟预测)已知AC,8。为圆O:尤2+/=9的两条相互垂直的弦，垂足为

加(2,2),则|4。・|比＞|的最大值为一.

【变式5-11](2024.高三.北京•期中)已知AC、3。为圆O：x2+y2=9的两条相互垂直的弦，垂足为

M(l,g)则四边形ABCD的面积的最大值为

【变式5-12]过定点M(l,2)作两条相互垂直的直线乙、3设原点到直线晨4的距离分别为4、d2,则

4+4的最大值是

【变式5-13］（2024.江苏.二模）在平面直角坐标系xOy中，圆。:仁-加了=产。〃>o）.已知过原点。且

相互垂直的两条直线4和4,其中4与圆C相交于A,B两点，4与圆C相切于点。.若AB=OD,则直线乙

的斜率为.

题型八：圆的存在性问题

【典例6-1】（2024•江苏南京•模拟预测）已知圆C:（x-l）2+y2=80,点尸在直线/：y=履+7（左eR）上.若存在

过点P的直线与圆C相交于A,8两点，且|A8|=16,AP=^PB,则上的取值范围是.

【典例6-2】（2024.黑龙江.三模）已知圆C：（x-l）2+（y-4）2=/（,>0）,A（-3,0）,B（-l,0）,若C上存在

点P,使得NAP5=90。，则r的取值范围为.

【变式6-1】已知圆C:（无一6产+（y-8）z=l和两点4（0,-加）,B（Q,m）（m>0）.若圆C上存在点尸，使得

APYBP,则加的最大值为.

【变式6-2］（2024•重庆.模拟预测）已知圆。:炉+,2=8及圆4：（工一4+（尸1）2=1,若圆A上任意一点

P,圆。上均存在一点。使得45。，则实数。的取值范围是—.

【变式6-3］（2024•广东韶关•模拟预测）已知抛物线C：y2=4x的焦点为忆过尸且斜率为的直线/交

抛物线C于A,8两点，则以线段为直径的圆。的方程为—；若圆。上存在两点P,Q,在圆T：

（x+2）2+（y+7）2="（a>0）上存在一点使得/加。=90。，则实数°的取值范围为一.

0

〃过关测试,\

1.定义平面内任意两点尸（为％）,。（肛%）之间的距离42="-力+卜-耳，称为尸。之间的曼哈顿距

离.若点A在直线y=：x-2上，点8为抛物线y=/+2x上一点，则AB之间的曼哈顿距离的最小值为

（）

A23班R69„23n3

4040162

2.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点

4（%,％）,3优，%）的曼哈顿距离为：4（4,3）=|%-司+|%-%|・已知点"在圆。：/+y2=1上，点"在直

线/:3x+y-9=0上，则d（KN）的最小值为（）

A9M9A/10［「18-2A/10

Rn°回

101053

3.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点

公（%,必）,3优，%）的曼哈顿距离4（43）=|占-司+|%-%|，则下列结论正确的是（）

A.若点尸（2,4）,0（-2,1）,则d（P,Q）=6

B.若点M（T,0）,N（l,0）,则在x轴上存在点P,使得d（P,M）+d（P,N）=l

C.若点M（2,l）,点尸在直线x-2y+6=0上，则刈尸,㈣的最小值是5

D.若点M在圆/+必=4上，点N在直线2x—y+8=O上，则d（M,N）的值可能是4

4.（2024.福建泉州.模拟预测）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技

术.在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦

距离.设4（%,%）,网程为），则曼哈顿距离4（>5）=归一引+|乂一%|*余弦距离e（A,B）=l-cos（A,B）,

其中cos（AB）=cos（次，砺）（。为坐标原点）.已知M（2,l）,d（M,N）=l,则e（M,N）的最大值近似等

于（）

（参考数据：V2®1.4B拓。2.24.）

A.0.052B.0.104C.0.896D.0.948

5.（2024.重庆沙坪坝•模拟预测）十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点尸（a%）,

。（々,%）的曼哈顿距离为。（尸,。）=5一百+|%|.我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好

点”，已知三角形VABC的三个顶点坐标为A（2,4）,8（8,2）,C（12,10）,贝UVABC的“好点”的坐标为（）

A.（2,4）B.（6,8）C.（0,0）D,（5,1）

6.在平面直角坐标系中，设点P（x,y）,定义［OP］=|x|+|y|,其中。为坐标原点.对于下列结论：

（1）符合［OP］=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；

（2）设点P是直线：盾+2y-2=0上任意一点，则［0尸/=孚；

（3）设点尸是直线：>=履+1化eR）上任意一点，则“使得［OP］最小的点P有无数个”的充要条件是

“左=±1";

（4）设点P是椭圆J+V=1上任意一点，则［0尸］皿=5.

其中正确的结论序号为（）

A.（1）、⑵、（3）B.⑴、(3)、(4)

C.⑵、（3）、（4）D.⑴、⑵、(4)

7.设力（巧，yj,5（巧,为平面直角坐标系上的两点，其中乙，%，xB,%均为整数.若

民-”+|%-%|=3，则称点8为点A的“相关点”.已知点々是坐标原点。的“相关点”，点外是点月的“相

关点”，点鸟是点鸟的“相关点”，……，依此类推，点取23是点心）22的“相关点''.注：点4（%，%），8（%，%）

间的距离|A却=J（/-,）2+（%-%）则点。与点心23间的距离最小值为（）

A.0B.1C.2D.3

8.定义：平面直角坐标系中，点尸（％y）的横坐标X的绝对值表示为国，纵坐标y的绝对值表示为M，我

们把点尸（X,y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点尸（x,y）的折线距离，记为卜W+3（其中的“+”是

四则运算中的加法）.若抛物线丁=62+法+1与直线y=x只有一个交点“，已知点"在第一象限，且

2<|M|<4,令r=2〃_4a+2022,则f的取值范围为（）

A.2018<f<2019B.2019</<2020

C.20204W2021D.2021W2022

9.（2024.浙江•模拟预测）“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼・闵可夫斯

基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若

8®,%）,则A,B两点的“曼哈顿距离”为卜2-%|+|%-%|，下列直角梯形中的虚线可以作为

A,8两点的“曼哈顿距离”是（）

10.（2024・安徽合肥•模拟预测）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代

数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题,可以转化为点A（x,

y）与点8（a,b）之间的距离的几何问题，结合上述观点，可得方程&+6x+10-_6%+10=4的解

是（）

11.设直线系M：xcos0+（y-2）sin0=1（0<0<2TT）,则下列命题中是真命题的个数是（）

①存在一个直线与所有直线相交；②加中所有直线均经过一个定点；③对于任意实数”523),存在正“

边形，其所有边均在M中的直线上；④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.

A.0B.1C.2D.3

12.(2024•高三•上海浦东新•期中)设直线系Af:xcos6+(y-2)sin6=l(0<。<2万)，则下列命题中是真

命题的个数是()

①存在一个圆与所有直线相交；

②存在一个圆与所有直线不相交；

③存在一个圆与所有直线相切；

®M中所有直线均经过一个定点；

⑤不存在定点P不在M中的任一条直线上；

⑥对于任意整数之3),存在正〃边形，其所有边均在M中的直线上；

⑦加中的直线所能围成的正三角形面积都相等.

A.3B.4C.5D.6

13.设直线系M:xcos9+(y-2)sinJ=l,O<0<2,TT,对于下列四个命题：

(1)M中所有直线均经过一个定点；

(2)存在定点P不在”中的任意一条直线上；

(3)对于任意整数〃，”23,存在正〃边形，其所有边均在M中的直线上；

(4)M中的直线所能围成的正三角形面积都相等；其中真命题的是()

A.(2)(3)B.(1)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)

14.设直线系M:尤cos6+(y—2)5m。=1(04。42万)，对于下列四个结论：

(1)当直线垂直于久轴时，。=0或万；

TT

(2)当。时，直线倾斜角为120。；

(3)版中所有直线均经过一个定点；

(4)存在定点P不在M中任意一条直线上.

其中正确的是()

A.①②B.③④C.②③D.②④

15.设有一组圆C-(1+1)"_3匹=2/优［N*).下列四个命题：

①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；

③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点.

其中真命题的序号是()

A.①③B.②④C.②③D.③④

16.已知直线cosa-(x-l)+sina-y+l=0(ae&与圆(x-3y+(y-&y=4相切，则满足条件的直线/有

A.1条B.2条C.3条D.4条

17.已知直线/：xcostz+ysin（z—l=0（aeR）与圆（x-2y+y2=i相切，则满足条件的直线/有（）条

A.4B.3C.2D.1

18.（2024・广西•模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期

数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点尸到两个定点的距离之比为常数4（2>0且4/1）,那么点P的

轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点P到4（2,0）,8（-2,0）的距离比为右，则点P到直线/：

2缶-、-5/1=0的距离的最大值是（）

A.3A/2+2A/3B.2+2若C.4右D.66

19.（2024.云南昆明.一模）在棱长均为2百的四面体A3CD中，点E为8的中点，点尸为砥的中点.若

点N是平面88内的两动点，M--=—=2,MN=2,则AM4N的面积为

MFNF

A.4四B.3

C.2A/2D.2

20.（多选题）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为V+y2-4x=0.若直线^=%（》+1）上存在一点P,

使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数上的取可以是

A.1B.2C.3D.4

21.（2024・山东烟台.三模）在平面直角坐标系中，若定义两点A（玉，%）和4（%，%）之间的，距离”为

卜一尤2I回一%|

⑶闻，=max<其中max{p,q}表示P，q中的较大者，则点4（0,0）与点4（1,2）之

1+|%1-X2|1+|%一%|

间的"f距离''为；若平面内点A（x,y）和点&（1,1）之间的，距离''为:，则A点的轨迹围成的封闭图形

的面积为.

22.平面中两条直线乙、4相交于点。，对于平面上任意一点〃，若p,q分别是M到直线《和乙的距离,

则称有序非负实数对（P，。）是点"的“距离坐标”.已知常数q>0,给出下列命题:

（1）若P=4=0,贝I“距离坐标”为（0,。）的点有且仅有1个;

（2）若。4=。，p+q^O,贝“距离坐标”为（p,q）的点有且仅有2个;

（3）若pqw。，贝广距离坐标”为（p,q）的点有且仅有4个.

以上命题中，正确的命题是.

23.在平面直角坐标系中，定义1（4,8）=1113\{|玉-%2|,|%-%|}为两点4>1，%）,以%，%）的“切比雪夫距

离”.又设点P及/上任意一点。，称d（P,。）的最小值为点P到直线/的“切比雪夫距离”，记作d（P,

/）.给出下列四个命题：①对任意三点A,B,C,都有d（C,A）+d（C,B）2d（A,B）；②已知点尸（3,1）

4

和直线/:2尤-丁-1=0,贝Ud(P,/)=(；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形.其中正确

的序号为_.

24.(2024•广东韶关•一模)我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好

多种距离.平面上，欧几里得距离是4(%,%)与3(%,%)两点间的直线距离，即服8=5/(&一々)2+(%-%)2・

切比雪夫距离是AQ,乂)与B(X2,%)两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即

41s=111皎{|%-引,|%-%|}.已知尸是直线/：2x+yT5=0上的动点，当p与O(。为坐标原点)两点之间

的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为.

25.(2024・四川凉山•三模)点”是AABC内部或边界上的点，若加■到AABC三个顶点距离之和最小，则

称点”是AABC的费马点(该问题是十七世纪法国数学家费马提出).若4(0,2)，5(-1,0)，C(l,0)时,

点风是AA6C的费马点,且已知/在'轴上,贝1|4阎+忸的大小等于一.

重难点突破03直线与圆的综合应用

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：距离的创新定义.........................................................2

题型二：切比雪夫距离...........................................................3

题型三：曼哈顿距离'折线距离'直角距离问题.....................................4

题型四：闵氏距离问题...........................................................5

题型五：圆的包络线问题.........................................................6

题型六：阿波罗尼斯圆问题'反演点问题、阿波罗尼斯球问题.........................7

题型七：圆中的垂直问题.........................................................8

题型八：圆的存在性问题.........................................................9

03过关测试.....................................................................9

亡法牯自与.柒年

//\\

直线与圆的综合应用方法主要包括几何法和代数法。

题型一：距离的创新定义

【典例1-1]数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为

几何问题加以解决，例如，与何尸江+代-6)2相关的代数问题,可以转化为点A(x,y)与点3(a,b)之间

距离的几何问题.结合上述观点，可求得方程+4x+5+J/_4尤+5=6的解是()

A,2B.+逅C.述D.+述

4455

【答案】D

[解析]因为6+4*+5=J(x+2]+l=7[X-(-2)]2+(1-0)2,

所以&+以+5可以转化为/(羽1)到N(-2,0)的距离,

同理，Jx2-4x+5可以转化为“(x，l)到P(2,0)的距离，

因为&+4x+5+&-4-+5=6，

所以M(x,l)到两定点N(-2,0)和尸(2,0)的距离之和为6,

所以“(X,1)在以点N(-2,0)和P(2,0)为焦点的椭圆上，

22

设椭圆的标准方程为：二+2=1(4>6>0),

ab'

则，2短=6,

即a=3,

又片一k=4,

所以/=5，

22

所以椭圆的方程为：—+^=1,

95

由y=i,

得寸+',

95

解得,』还.

5

故选:D.

【典例1・2】人脸识别中检测样本之间相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和

余弦距离.若二维空间有两个点fi(x2,y2),则曼哈顿距离为：=上—回+回一％卜

余弦相似度为：COS(A,B)=Trx+厂:二丁X厂",余弦距离为1—cos(A,B).

收+看在+4商+y；J考+「

若A(—1,2)，《|，g]，则4B之间的余弦距离为()

A.[—叵B.i+仓C.D.]_好

5555

【答案】D

【解析】由题gF=Q^=逐,7^=IfT4fJ=i-

“(亦营+丁冬

所以42之间的余弦距离为i_cos(A,3)=l—坐.

故选：A.

【变式1-1】费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小120。时，

费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为120。.根据

以上性质，已知A(-2,0),8(2,0),C(0,4),尸为VABC内一点,记〃尸)=|网+怛回+|尸。，则〃P)的

最小值为()

A.2拒B.4+2百

C.4+A/3D.2+73

【答案】A

【解析】设。(0,0)为坐标原点，由A(-2,0),8(2,0),C(0,4),

知|AC|=|BC|=2有，且VABC为锐角三角形，

因此，费马点M在线段OC上，设如图，

则为顶角是120。的等腰三角形，故/z=|OB|tan30o=2，,

所以/(PR/W)=|M4|++3=4/z+4-//=4+26，

贝”/(2)的最/」、值为4+26.

故选：B

【变式1-2]以三角形边8C,CA,A3为边向形外作正三角形BC4',CAB',ABC,则A4,,BB'，

CC三线共点，该点称为VABC的正等角中心.当VABC的每个内角都小于120。时，正等角中心点P满足

以下性质：

(1)?APB?APC?BPC120?；(2)正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点(也即费

马点).由以上性质得"r+(y_l)2++(y+])2+J(x—2)2+,2的最小值为

【答案】2+6

【解析】根据题意，在平面直角坐标系中，令点AQ1),5(0,-1),C(2,0),

则J尤2+(y-1)2+Jx?+(y+1)2+-2)2+y2表示坐标系中一点(x,y)到点A、B、C的距离之和，

因为44BC是等腰三角形，AC=BC,

所以C'点在x轴负半轴上，所以CC与x轴重合，

令2MBe的费马点为尸(a,3,则尸在CC'上，贝16=0,

因为A4BC是锐角三角形，由性质(1)得NAPC=120。，

所以NAPO=60。，所以工=有，所以.=立，

a3

...P(4，0)到A、B、C的距离分别为PA=P8=半，PC=2-R,

22

所以yjx+(y-l)+J%2+(y+i)2+J(x—2)2+y2的最小值，

即为费马点。到点A、B、C的距离之和，贝!JPA+P3+尸。=2+百.

故答案为：2+百.

【变式1-3］已知平面上的线段/及点尸，任取/上一点Q,线段P。长度的最小值称为点P到线段/的距离,

记作d(/v).请你写出到两条线段4，4距离相等的点的集合。={尸1或尸，4)=或尸，4)},其中4=AB,

l2=CD,A,B,C,D是下列两组点中的一组.对于下列两种情形，只需选做一种，满