2025年新高考数学一轮复习：重难点突破 圆中的范围与最值问题（八大题型）（学生版+解析）

重难点突破01圆中的范围与最值问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：斜率型.................................................................2

题型二：直线型.................................................................3

题型三：距离型.................................................................3

题型四：周长面积型.............................................................4

题型五：数量积型...............................................................4

题型六：坐标与角度型...........................................................5

题型七：长度和差型.............................................................6

题型八：方程中的参数型.........................................................7

03过关测试.....................................................................7

亡法牯自与.柒年

//\\

1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解.一般地：

（1）形如〃=2二2的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.

x-a

（2）形如t=+的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

（3）形如机=（x-a）2+（y-⑨2的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a,b）的距离平方的最值

问题.

2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：

（1）数形结合

（2）多与圆心联系

（3）参数方程

（4）代数角度转化成函数值域问题

刑归纳与的年

//15

题型一：斜率型

【典例1-1］已知实数X,y满足方程y=A/—x2+4x—1，则?的最大值为（）

A.0B.1C.5/3D.2

【典例1-2]如果实数"，满足(x-2y+V=2,则十的范围是()

A.(-1.1)B.[-1,1]C.(-oo,-l)u(l,+co)D.

【变式川若实数，、'满足条件X—,则丁的范围是（）

A.-,+°°IB.l-oo,-C.D.

【变式1-2】（2。24山东日照.二模）若实数小，满足条件工―，则行的范围是（）

A.[0,72]B.[-3,5]C.（-00-I]D.

【变式1-3]已知PW,"）为圆C:（x-孽+（y-iy=l上任意一点,则誓的最大值为（）

m+1

A.且B.-追C.1+®D.1一3

3333

题型二：直线型

【典例2-1】（2024•江西吉安・宁冈中学校考一模）已知点尸（无,，）是圆无2+y2-6x_4y+12=0上的动点，则

%+，的最大值为（）

A.5+及B.5-72C.6D.5

【典例2-2】已知点P（x,y）是圆c：（x-a）2+y2=3（a>0）上的一动点，若圆C经过点应），则L了

的最大值与最小值之和为（）

A.4B.2A/6C.-4D.-2娓

【变式2-11点P（x,y）在圆（x-2y+（y+3）2=l上，则x+y的范围是_.

【变式2-2】已知x,V满足，+/+2》_4丫=0,则2x+y的范围是.

【变式2-3］如果实数羽V满足等式/+/+4彳一2>-4=。，那么x?+产的最大值是一；2x-y的最大值

是—.

题型三：距离型

【典例3-1］三知点尸（加,〃）在圆C:（x-2y+（y-2）2=9上运动,则（加+2）2+（〃+1『的最大值为—,最小

值为___,Vm2+n2的范围为.

【典例3-2】直线7：履-、-2为+2=0（kCR）过定点Q,若尸为圆C：（X-2）2+（y-3）2=4上任意一点，则IP例

的最大值为（）

A.1B.3C.4D.2

【变式3-1］（2024•浙江・三模）已知A（—2,—2）,3（1,3）,点尸在圆f+1=4上运动,则|丛「+归砰的最大

值为（）

A.16-6V2B.26+20C.26+40D.32

【变式3-2］（2024・山东济南.三模）圆（x-l）2+（y+l）2=4上的点到直线3x+4y-14=。的距离的最大值为

A.3B.4C.5D.9

【变式3-3］已知x；+y；=君+£=8，且工/2+>1>2=0，贝1J（玉+/—2『+（%+%『的最大值为

（）

A.9B.12C.36D.48

【变式3-4］（2024•四川乐山三模）己知圆O:/+V=16,点E是/:2x-y+16=0上的动点，过E作圆。

的切线，切点分别为A3,直线A3与E。交于点则10M的最大值为（）

A.2B.75C.76D."

题型四：周长面积型

【典例4-1】（2024・高三•河南•开学考试）若直线/：后一，+2—%=0与圆C:/+/-4x-2y-4=0交于A,

B两点，则当zMBC周长最小时，k=（）

A.—B.C.1D.—1

22

【典例4-2】在直角坐标系尤Oy中，已知4（4,0）,3（1,3）,C（0,T）,动点/满足黑=2,则AM4c面积

的范围为

【变式4-1］若圆C的方程为f+/+皿+2%+（%-2）=0,则圆C的最小周长为（）

.36万018亚兀„12后「6&

A.D.-------------C•---------♦--------

5555

【变式4-2】已知点A3在直线，：x-2y-2=0上运动，且|锄|=26，点C在圆（x+iy+/=5上，则

VABC的面积的最大值为（）

A.8B.5C.2D.1

题型五：数量积型

【典例5-1】已知PQ,MN是半径为5的圆。上的两条动弦，|迎|=6,|网=8,则|两+则最大值是

A.7B.12C.14D.16

jr

【典例5-21在AABC中，BC=2,NR4c="。为2C中点，在AABC所在平面内有一动点P满足

ULILUMULUlUL1U_____._____.

PB-PD=PC•PD，则AP8C的最大值为（）

A.逅B.空C.&D.逑

333

【变式5-1】已知圆（x-2）2+V=9的弦Ag的中点为点尸为圆上的动点，则丽.丽的最大值为

A.2B.6A/2-3C.8D.4+60

【变式5-2］在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,尸为矩形ABCD所在平面内的动点，且上4=1,则

而•无的最大值是（）

A.9B.10C.11D.12

题型六：坐标与角度型

【典例6-1】已知圆C：（尤-l）2+y2=l,点、P（xo,yo）在直线x-y+l=0上运动.若C上存在点。，使/

CPQ=30°,则xo的取值范围是.

【典例6-2】已知X,y满足/+9=4y-3,则俨+1的最大值为（）

犷+V

A.1B.2C.6D.75

【变式6-1］动圆M经过坐标原点，且半径为1,则圆心M的横纵坐标之和的最大值为（）

A.1B.2C.72D.2A/2

2

【变式6-2］（2024•湖南召邸日•三模）已知直线/：x—y—2=0与圆°：x+/=1＞过直线/上的任意一

点尸作圆0的切线E4，PB，切点分别为A，B，则上APS的最大值为（）

A.—B.—C.-D.-

4326

【变式6-3］（2024・湖南衡阳•模拟预测）如图，己知尸是圆C:（x-2）2+（y-3）2=2上一点,

A（-1,O）,B（1,O）,则上4P3的正切值的最大值为（

AO\

B.亚C.坦

【变式6-4】已知圆。：（彳一。）2+丁=/&>0）与x轴相交于A、B两点，且圆C：d+（y-5）2=9,点

M（0,3）.若圆C与圆。相外切，贝UtanNAMB的最大值为（）

题型七：长度和差型

【典例7-1】已知复数4=<2+历，z2=c+di,a,b,c,deR,若闵=㈤=2,且ac+bd=2,则

|a+6-4|+2|c+d-4|的最大值为—.

【典例7-2】（2024.黑龙江佳木斯•三模）已知圆炉+丁=8上两点A（玉,％）,8（々,%），O为坐标原点，若

^AOB=120°,贝（I|玉+%—4|+,+%—4的最大值是（）

A.8B.6及C.872D.12

【变式7-1】设A为直线x+y-2=0上一点，P,。分别在圆G：（x+；；+y2=；与圆

C2:（xT）2+（y-4）2=l上运动，则|AQ|-|AP|的最大值为（）

A3+V13„1+屈小3+773「-3+773

2222

【变式7-2]在定圆C：/+y2=4内过点P（-M）作两条互相垂直的直线与C分别交于A,B和M,N,贝U

|AB|\MN\

的范围是（

\MN\|AB|

【变式7-3]（2024•广西贵港•模拟预测）已知圆C：（x-2），+（y—2）2=4,直线/：（m+2）x-wy-4=0,若

/与圆C交于A,B两点，设坐标原点为。，则1。4+2］。8|的最大值为（）

A.4>/3B.673C.4715D.2回

题型八：方程中的参数型

【典例8-1】（2024•山东泰安.二模）已知在矩形428中，AB=1,AD=6，动点尸在以点C为圆心且与

BD相切的圆上，则Q.而的最大值为；若福=加通+”而（m,〃eR）,则加+〃的最大值为.

【典例8-2］如图，在直角梯形ABCD中，A=8=90o,AD=4,AB=5C=2,点”在以8为直径的半圆

上，且满足由=根荏+〃•万，则〃的最大值为（）

1

AB

A.2B.3C.--D.碗+5

24

【变式8-1］已知0（0,0）,P（"l）,Q（l+4cos。,百一4sin@,6e［0,2句，则△OPQ面积的最大值为

（）

Q

A.4B.5C.5A/3D.-73

\PB

【变式8-2】已知点A（0,Y）,点B（2,0）,P为圆。:犬+丁=4上一动点，则胃的最大值是（）

A2君R36「4君n3^3

3432

【变式8-3】已知过点八百）的动直线/与圆C:/+V=16交于A3两点，过A3分别作。的切线，两切

线交于点N.若动点M（cosasine）（0V0<2%）,则|肱V|的最小值为.

过蠹试

1.（多选题）已知实数x,y满足方程f+/-4x-2y+4=。，则下列说法正确的是（）

A.上的最大值为:B.x+y的最大值为3+0

x3

C.7+,的最大值为百+1D..+；+目的范围是［2,4］

2.（多选题）已知圆。：（》-1）2+丁=1,4（3,1）,点尸为圆。上一动点，O为坐标原点，则下列说法中正确

的是（）

A.的最大值为石+1

B.|。尸|+|尸闻的最小值为2企

-4'

C.直线”的斜率范围为。,耳

D.以线段AC为直径的圆与圆C的公共弦方程为y=-2x+］

3.（多选题）点P（%,%）是圆C：/+V-8.x-6y+21=0上的动点，则下面正确的有（）

A.圆的半径为3

B.」、既没有最大值，也没有最小值

%-3

C.2%+%的范围是［11-2下,11+2君］

D.其+必+2%+3的最大值为72

4.（多选题）（2024•高三•福建福州•期末）已知4—3,0）,3（3,0）,动点C满足IC4|=2|C3|,记c的

轨迹为「过A的直线与r交于「，。两点，直线成与r的另一个交点为出,则（）

A.Q,M关于x轴对称B.的面积的最大值为60

C.当/PMQ=45。时，|PQ|=40D.直线AC的斜率的范围为［-百,0］

5.（多选题）若实数X、》满足条件/+丁=1,则下列判断正确的是（）

A.x+y的范围是B.炉-4戈+9的范围是［-3,5］

C.孙的最大值为1D.三■的范围是（---。

x+1I4J

6.（多选题）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被

后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,AB=AC=4,点仅一1,3）,点C（4,-2）,且

其“欧拉线”与圆M：。-3）2+丫2=产相切，则下列结论正确的是（）

A.圆M上点到直线x-y+3=0的最小距离为20

B.圆M上点到直线无->+3=0的最大距离为3点

C.圆M上到直线8C的距离为;的点有且仅有2个

D.圆（彳一。-1）2+（丫一〃）2=8与圆/有公共点，则a的范围是口一20,1+20]

7.（多选题）设点P（x,y）为圆。：/+必=1上一点，已知点A（4,0）,8（5,0）,则下列结论正确的有（）

A.无+1的最大值为方

B.尤2+-4x-4y的最小值为一8

C.存在点P使忸到=&|上4|

D.过A点作圆C的切线，则切线长为相

8.（多选题）（2024•高三•辽宁鞍山•开学考试）已知直线/：区-'+左=0,圆

。:9+,2-6彳+5=0,尸（毛,％）为圆。上任意一点，则下列说法正确的是（）

A.篇+就的最大值为5

B.&的最大值为拽

为5

C.直线/与圆C相切时，k=士是

3

D.圆心C到直线/的距离最大为4

9.（多选题）（2024•江西宜春•三模）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗

尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A,8之间的距离为a（非零常数），动点/到A,8的距离之比为

常数2（A>0,且4wl）,则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，已知

A（T,0）,3（2,0）,点M满足|MA|=2|M3],则下列说法正确的是（）

A.AAMB面积的最大值为12B.必•丽的最大值为72

C.若。（8,8）,贝1]|始|+2|m。|的最小值为10D.当点M不在x轴上时，M。始终平分NAAZB

10.（多选题）已知点尸在圆C：（x-4y+（y-4）2=9上，点A（4,0）,B（0,2）,则（）

A.直线AB与圆C相切

B.点尸到直线43的距离小于7

C.当NPBA最大时，|依|=而

D.NPBA的最小值小于15。

11.（多选题）（2024•高三•浙江宁波•期末）己知"为直线尤->+5=0上的一点，动点N与两个定点

0（0,0）,A（3,0）的距离之比为2,则（）

A.动点N的轨迹方程为（x-4）2+V=4B.|MN|22+竽

1JT

C.|MN|十大.0]的最小值为4^/^D.NACW的最大角为"

26

12.（多选题）已知点时在圆Q：/+（y+2）2=4上，点?是直线/：4x-3y+6=0上一点，过点?作圆。的

两条切线，切点分别为A、B,又设直线,分别交x，y轴于c,O两点，则（）

A.的最小值为争B.直线A3必过定点

C.满足的点有两个D.|MD|+21Mq的最小值为屈

13.（2024•高三•山东济宁•开学考试）过直线/：x+y-4=0上一点尸作圆C：/+y2—2x—2y+l=0的

两条切线，切点分别为A3,则线段A3的长度的范围是—.

14.已知《：g_y_3m+1=0与，2：%+my—3/一1=0相交于点尸线段是圆C：（x+l）2+（y+l）2=4的一

条动弦，且|明=2否则国+闸的范围为

15.（2024•高三•上海闵行•开学考试）阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为

常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点4B间的距离为3,动点尸满足

PA

—=2，则尸4尸8的范围为.

16.（2024•江西宜春•一模）已知点4（—1,-1）,3（1,—1）,若圆（x-a）?+（y-2a+4尸=1上存在点又满足

MAMB=3＞则实数。的取值的范围是.

17.已知4-m,0）,8（加,0）（加＞0）,若圆（7:/+丁+6兀-8》+21=0上存在点尸，使得|尸4『+|尸8『=4一,则

m的范围____.

18.（2024•上海•一模）已知点。为圆O：f+y2=4的弦的中点，点A的坐标为。，。），且威TA&=I，

则小的范围是—•

19.已知A（l，2）,B（-3,-1）,若圆/+y2=r2（r＞0）上恰有两点河，N,使得和△N4B的面积

均为5,贝卜的范围是.

20.（2024•高三•河北邢台•开学考试）己知实数。/满足。2+62=2。一2"则=的最大值为.

21.已知圆G：/+V+4x-4y=。，动点尸在圆。2：一+必_4x-12=0上，则△PGG面积的最大值

为一

22.（2024•河南周口•模拟预测）已知点A（I,O）,/为圆/+/=4上一动点，N为直线2x—y+7=0上

一点，则21AMi+|%V|的最小值为一.

23.已知x，y满足尤2+丁=4,贝［函数T=3j5—2x+J13—6y的最小值为.

重难点突破01圆中的范围与最值问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：斜率型.................................................................2

题型二：直线型.................................................................3

题型三：距离型.................................................................3

题型四：周长面积型.............................................................4

题型五：数量积型...............................................................4

题型六：坐标与角度型...........................................................5

题型七：长度和差型.............................................................6

题型八：方程中的参数型.........................................................7

03过关测试.....................................................................7

亡法牯自与.柒年

//\\

1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解.一般地：

(1)形如〃=2心的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.

x-a

(2)形如t=+的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

(3)形如机=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b1的距离平方的最值

问题.

2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：

(1)数形结合

(2)多与圆心联系

(3)参数方程

(4)代数角度转化成函数值域问题

㈤2

〃题型归纳与总结\\

题型一：斜率型

【典例1-1］已知实数"»满足方程1=5/-突+4-1，则2的最大值为()

-X

A.0B.1C.73D.2

【答案】B

【解析】方程尸7-x2+4^-l化为(x-2『+V=3(y20),

表示的图形是一个以(2,0)为圆心，百为半径的半圆，

令上=k,即y=近，如图所示，

解得左=石或/=一石(负值不满足条件，舍去),

所以2的最大值为6,

X

故选：C.

【典例1-2]如果实数X,V满足(x-2y+y2=2,则?的范围是()

A.(-1,1)B.[-1,1]C.(^x),-l)u(l,+co)D.(田包)

【答案】A

【解析】设2=3则＞=履表示经过原点的直线，左为直线的斜率.

如果实数X,y满足(X—和十=左，即直线y=履同时经过原点和圆上的点(x,y).

其中圆心C(2,0),半径厂=应

从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且刚好与圆相切，设此时切点为E

则直线的斜率就是其倾斜角NEOC的正切值，易得|0C|=2,|CE|=r=&,

可由勾股定理求得\OE\=VOC2-CE2=0,于是可得到k=tanZEOC=釜=1为?的最大值;

同理，上的最小值为一1.

X

则?的范围是［-U］.

故选：B.

【变式1-1］若实数X、y满足条件/+y=1,则叶—的范围是()

~1}(11(11「1

A.二，+8B.-00,-C.-8,1D.-,+oo

4)(4(22

【答案】A

【解析】令^^^=左，可得(％-i)x-y+左+1=。,

则直线("l)x—y+A+l=0与圆1+丁=1有公共点,

1^+111

所以，1/、241，解得上4，

小一1)2+14

即叶一L的取值范围是(_肛：.

x+1I4J

故选：B.

【变式1-2](2024•山东日照.二模)若实数小V满足条件Y+y2=l,则—的范围是()

A.[。,弦]B.[-3,5]C.(-co,-l]D,f-co,--|

【答案】D

【解析】行的几何意义即圆上的点到定点(-L2)的斜率，由图知，斜率的范围处在圆的两条切线

斜率之间，其中AC斜率不存在，设A3的斜率为4,

则AB的方程为y=k(x+1)+2=kx+k+2,

由切线性质有，4^=1，解得上=-;，故匕的取值范围为

y/1+k24X+11I1-8,4

故选：D

【变式1-3]已知P(见")为圆C：d)2+(y-1)一上任意一点，则”三的最大值为()

m+1

A,息D.1一3

B.一昱C1+

33-T3

【答案】B

m+nm+l+n—1,n—1

【解析】--------------=1+-------

m+1m+1m+1

由于尸(见")为圆C:(x-l)2+(y-l)2=1上任意一点,

故篙可看作圆上任意一点PM到定点A(—U)的斜率'

当直线B4与圆相切时，此时斜率最大,

PC_1

由于相切时，|4。=2,依「|=1故|削=6,此时斜率左=

~AP~43'

故窘的最大值为I+*

题型二：直线型

【典例2-1】（2024•江西吉安・宁冈中学校考一模）已知点尸（羽》）是圆月+/一6x-4y+12=0上的动点，则

天+丁的最大值为（）

A.5+&B.5-&C.6D.5

【答案】D

cc・fX=3+COS3r-71

【解析】由（％-3）+（y—2）=1,令｛.,则x+y=5+V^sin（e+T）,

[y=2+sm94

所以当sin（e+?□时，x+y的最大值为5+技

故选：A

【典例2-2】已知点P（x,y）是圆C：（x-a）2+y2=3（a>o）上的一动点，若圆C经过点，则yr

的最大值与最小值之和为（）

A.4B.2A/6C.-4D.-2娓

【答案】B

【解析】因为圆C：（x—°）2+y2=3（a>0）经过点

（l-a）2+2=3.又a>0,所以a=2,

y-尤可看成是直线y=x+b在y轴上的截距.如图所示,

\2-0+b\

当直线y=x+b与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，此时-6，解得Z?=—2土y/69

6

所以y-%的最大值为-2+C，最小值为-2-C，故丁-％的最大值与最小值之和为t.

故选：c.

【变式2-1】点P(x,y)在圆(x-2y+(y+3)2=l上，则x+y的范围是_.

【答案】

【解析】设x=2+cos6,y=-3+cos。，gpP(2+cos0,-3+sin0),

所以x+y=sin9+cos9-l=+-1,

因为一1Wsin+W1,所以——1Vx+yV—1.

故答案为：[-72-1,72-1]

【变式2-2】已知X,V满足/+y2+2x-4y=0,则2尤+y的范围是.

【答案】[—5,5]

【解析】因为/+v+2x-4y=o,所以(x+l)2+(y_2)2=5,表示以(-1,2)为圆心，新为半径的圆，即

点(x,y)为圆(x+l)2+(y-2)2=5上的点,

令2x+y=z,即2x+y-z=0,当直线与圆(尤+l)2+(y-2『=5相切时z取得最值，所以

(/)—-=\[5,即目=5,解得z=±5,所以一5«2x+y45

VF7F11

故答案为：[-5,5]

【变式2-3]如果实数羽V满足等式£+丁+4工一2>-4=。，那么/+的最大值是一；2x-y的最大值

是—.

【答案】14+6番/6番+143A/5-5/-5+3A/5

【解析】Efex2+/+4x-2y-4=0,得(x+2>+(y-1>=9,f+/的几何意义为圆(升2-+(y-l>=9上的

动点到原点距离的平方.

因为圆心(-2,1)到原点的距离为新，所以圆上的动点到原点距离的最大值为斯+3，

贝U-+y2的最大值是(非+3)2=14+66.

令2x-y=t,则T是直线2%-了=/在丫轴上的截距，

当直线与圆相切时，直线2%->=/在、轴上的截距，一个是最大值，一个是最小值,

|-4-l-z|

此时，圆心(-2,1)到直线2x-y=t的距离d==3,解得r=-5±3也，

所以2x-y的最大值为3际-5.

故答案为：14+6正；375-5.

题型三：距离型

【典例3-1】已知点〃)在圆C:(无-2)2+(y-2『=9上运动，则(机+2『+("+1『的最大值为_,最小

值为___,Vm2+n2的范围为.

【答案】644[3-272,3+2^]

【解析】由圆C的圆心为(2,2),半径为3,且P在圆C上，

则(加+2)2+(w+l)2表示在圆C上点到(-2,-1)距离的平方，

而圆心到(-2,-1)的距离为7[2-(-2)]2+[2-(-1)]2=5>3,

所以在圆C上点到(-2,-1)距离的最大值为8,最小值为2,

故(7〃+2)2+(力+1)2的最大值为64,最小值为4；

又Vm2+n2表示在圆C上点到原点的距离，而圆心到原点距离为2a<3，

所以的范围为13-2/,3+2/].

故答案为：64,4,[3-2应,3+2&]

【典例3-2】直线/：h-y-2%+2=0/eR)过定点Q,若尸为圆C:(x-2『+"-3)2=4上任意一点，则|尸。|

的最大值为()

A.1B.3C.4D.2

【答案】A

【解析】由/：履7-2k+2=0(丘R),得y-2=左@-2),

所以直线过定点Q（2,2）,

由<7:@-2）2+。-3）2=4,知圆心坐标（2,3）,半径为2,

所以。到圆心的距离为d=7（2-2）2+（2-3）2=1<2,则。在圆内，

则的最大值为d+2=3,

故选：B

【变式3-1］（2024・浙江・三模）已知A（-2,-2）,3（1,3）,点尸在圆/+9=4上运动，则尸城的最大

值为（）

A.16-672B.26+20C.26+40D.32

【答案】B

【解析】设P（2cos6,2sin。），

贝修1尸8「=（2cos（9+2）2+（2sin<9+2『+（2cos61—1P+（2sin6—3）2

=4cos2^+8cos0+4+4sin2^+8sin0+4+4cos26-4cosJ+l+dsii?6—12sin6+9

=4cos-4sin0+26=4A/2COS+26,

当cos［。+：）=1时，+|PB「取得最大值26+40.

故选：C.

【变式3-2］（2024・山东济南.三模）圆1）2+（》+1尸=4上的点到直线3x+4y-14=0的距离的最大值为

（）

A.3B.4C.5D.9

【答案】B

【解析】圆（x-l）2+（y+l）2=4的圆心为C（l,-1）,半径r=2,

|3-4-14|

则圆心C（l,-1）到直线3元+4y-14=0的距离为d」」=3,

V32+42

所以圆（Al）?+（>+1）2=4上的点到直线3x+4y-14=0的距离的最大值为3+2=5.

故选：C.

【变式3-3】已知"+靖=君+£=8，且玉々+乂%=0，则（％+马_2『+（%+%『的最大值为

（）

A.9B.12C.36D.48

【答案】B

【解析】设A（玉,%）与5（芍,上）为圆0：%2+,2=8上一点，

则OA-OB=王X2+%%=o,得-oy，网=侬=2及，

即AAB。为等腰直角三角形，设"为AB的中点，

则|。闾=席+求=2,得力+另=4，

即点M在以0为圆心，2为半径的圆上，

故（玉+々―2）2+（%+%『=4［口时_1）2+'/］,

因为点Af到定点。（1,0）的距离的最大值为4=3,

因此（占+%-2）~+（%+必）2的最大值为36.

故选：C

【变式3-4］（2024・四川乐山.三模）己知圆O:/+V=16,点E是/：2元-,+16=0上的动点，过E作圆。

的切线，切点分别为A3,直线A3与EO交于点则的最大值为（）

A.2B.75C.>/6D."

【答案】A

【解析】由题意作出图形如图所示

、y\OA\\OM\

设A/(x,y)，E(x',/)，由△AOESAMOA,可得出^=踵而

|OE|Q多,即心任/即怎=二的’

所以F710ML

\OM|\OM|2

16x16y

所以(/,_/)=

16x

x2+y

所以

16y

16x16y

所以点石

x2+y2?x2+y

将点£的坐标代入直线/：2x-y+16=0中，

化简可得=：（x，y不同时为0）,

所以点”的轨迹是以“m为圆心，手为半径的圆，

所以IW的最大值为卜I-Op+f+手=互

故选：B.

题型四：周长面积型

【典例4-1】（2024•高三・河南•开学考试）若直线/：Xy+2—左=0与圆（7:/+/—4X一2丫-4=0交于4

B两点，则当AABC周长最小时，k=（）

A.—B.C.1D.—1

22

【答案】B

【解析】直线/：-y+2—左=0的方程可化为，-2=左（％—1）

所以直线/恒过定点。（1,2）,

因为12+22-4x1-2x4-4=-11<0

所以点。在圆内，

由圆的性质可得当CD，/时，|A3|最小，VABC周长最小，

又C（2,1）,0（1,2）

所以左8=-1,此时左=1.

故选：C.

【典例4-2】在直角坐标系xOy中，已知A（4,0）,B（l,3）,C（0,T）,动点M满足黑=2,则面积

的范围为

【答案】[8,24]

［解析］设点M(x,y),则1MAi=7(X-4)2+/,\MB\=J(x-l)2+(y-3)2

由已知得|叫

所以“x-W+yZ=2jd)2+(y_3)2,即Y+y2_8y+8=0

22

故点M的轨迹方程为二+9一8>+8=0,［ipx+(y-4)=8,其圆心。4),半径为「=20.

直线AC的方程为:+七=1,即无一y-4=0

4-4

则点M到边AC的距离的最小值为d-r=4后-2版=20，最大值为d+r=472+272=60

又|AC|=7(4-0)2+(0+4)2=472

则△A4AC面积的最小值为gx4应x2衣=8,最大值为gx4血x60=24,

所以AM4C面积的范围为[8,24].

故答案为：[8,24].

【变式4・1】若圆。的方程为12+丁2+必+2的+(根-2)=0,则圆C的最小周长为()

36万18«乃心12小兀「6A/57r

5555

【答案】D

【解析】因为圆C的方程为龙?+y2+mx+2my+(m-2)=0,

(____________________________If_2?36

所以圆C的半径为J疗+(2⑼2-4(,”-2),5/2-4一+8