2025年新高考数学一轮复习：指数与指数函数（八大题型）（练习）（学生版+解析）

第04讲指数与指数函数

目录

模拟基础练......................................................................2

题型一：指数幕的运算..........................................................................2

题型二：指数函数的图象及应用..................................................................2

题型三：指数函数过定点问题....................................................................3

题型四：比较指数式的大小......................................................................3

题型五：解指数方程或不等式....................................................................4

题型六：指数函数的最值与值域问题..............................................................4

题型七：指数函数中的恒成立问题................................................................4

题型八：指数函数的综合问题....................................................................5

重难创新练......................................................................6

真题实战练......................................................................9

梢阳建础飨

//

题型一：指数幕的运算

x2+x-2-l

1.已知%+f；=3，计算:

IIT•

x+x~l+X2+X2

10Z4—

2.42+(72-1)-8§-4§+(忘p=

3.化简求值：

⑴代访(a>0)

4/^3.-1

⑵7%7)--匕1+2-(e-l)°-8；4xi/2

OJ7+2

题型二：指数函数的图象及应用

4.若函数g(x)与函数/(力=2,+1的图象关于直线y=x对称，则g(x)的大致图象是()

A.[-l,+oo)B.C.--,+°ojD.(-oo,-l]

6.当x>2时，函数y=4ai(a>0,且a*l)的图象恒在函数y=3x-4的图象下方，则。的取值范围

为.

7.设。、分另IJ是方程2工+%+2=0与log?x+x+2=0的根，则a+6=.

题型三：指数函数过定点问题

8.己知函数/(劝=4+优+|(“>0,“*1)的图象经过定点尸，则点尸的坐标是.

9.对。>0且。力1的所有正实数，函数了=。川-2的图象一定经过一定点，则该定点的坐标是.

10.已知函数7(%)=产+4(u>0,31)恒过定点则函数g(x)="7+〃，的图像不经过第象

限.

11.已知常数。>0且。W1,假设无论。取何值，函数y=log〃(x+8)-2的图像恒过定点A,且点A的横坐

标为七.又已知常数b>0且6片1,假设无论b取何值，函数y=6'』+l的图像恒过定点8,则点8的坐标

为.

题型四：比较指数式的大小

12.若。="9,6=2「5,0="9,贝I]()

A.c>a>bB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

13.(2024•全国•模拟预测)已知〃=4e《，b=9^9c=6f则〃，b,c()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

J_2

14.已知q===则()

A.c>b>aB.a>b>c

C.c>a>bD.b>a>c

题型五：解指数方程或不等式

15.方程5*+5X+1+5X+2=3*+3X+1+3>2的解为.

16.方程方5A2y+5g=2的解为.

17.不等式8>3口的解集是.

18.设则关于X的不等式4/3+3>/的解集是.

题型六：指数函数的最值与值域问题

19.函数y=3匹(04x44)的最大值是

20.函数/(x)=4'—2x2、—3,xe[0,2]的最小值是,

e*+e'—2,x20

21.(2024•四川绵阳•模拟预测)已知函数/(》)=则/(x)的值域为

x2+2x,x<0

22.设函数/(x)是定义域为R的偶函数，g(x)是定义域为R的奇函数，且/(x)+g(x)=2可

⑴求/(力与g(x)的解析式；

⑵若h(x)=〃2x)-2zng(x)在［1,内)上的最小值为-2,求加的值.

题型七：指数函数中的恒成立问题

23.不等式4，_2，+1+°>0对任意》611都成立，则实数4的取值范围________.

24.若实数此［-1,2］,使得»(a+b)“恒成立，则实数a的取值范围是.

25.已知指数函数/(x)=(34-10〃+4)优(。>0且awl)在其定义域内单调递增.设函数

g(x)=/(2x)-(m-4)/(x)-3,当me［2,6］时，函数g(x)20恒成立,则x的取值范围是

丫21

26.已知函数/(力是定义在R上的奇函数，当x<0时，/(x)=——+1.

⑴求函数〃x)的解析式；

(2)若对于任意实数x,不等式/k2")+241*)20恒成立，求实数。的取值范围.

题型八：指数函数的综合问题

|4%_]\x<l

27.(2024•全国•模拟预测)已知函数“尤)=1,卜一，若方程2「〃x)T-(a+2)"(x)+a=0有

x-6x+8,x>1

7个不同的实数根，则实数。的取值范围是.

28.已知函数〃司二三二，=

(1)若存在xe(O,『)，使得=成立，求实数f的取值范围；

⑵若不等式"2x)+2维⑴20,对任意的xe[l，4恒成立，求实数b的取值范围.

29.已知函数〃尤)=(2，y_2x2=8

(1)求不等式/(x)20的解集；

(2)求“力的值域;

(3)当xeR时，不等式/(%)>相2,-已恒成立，求加的取值范围.

30.(2024•河南•模拟预测)已知/(无)为定义在R上的偶函数，g(x)=¥?,且〃x)+g(x)=2向.

⑴求函数“X),g(x)的解析式；

⑵求不等式2[/(力了-3g(x)W8的解集.

31.设函数/。）=讶-「（。>0且awl）是定义域为R的奇函数.

（1）若/⑴>0,试求不等式/（d+2幻+/（尤-4）>0的解集；

（2）^/（1）=-,且g（x）=/*+a3-4/（x）,求g（x）在口,+8）上的最小值及取得最小值时的x的值.

1.（2024•广东茂名•模拟预测）自“ChatGPT”横空出世，全球科技企业掀起一场研发AI大模型的热潮，

随着AI算力等硬件底座逐步搭建完善，AI大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软

件领域已出现较为成熟的落地应用.Sigmoid函数和Tanh函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经

网络的激活函数，Tanh函数的解析式为tanhx=±|；,经过某次测试得知tanh%],则当把变量减半

时，tanh—=()

2

；或

A.iB.3C.1D.3

3

2.(2024・山东•二模）已知p:1<2"<4,q:Y一一1<0,若。是q的充分不必要条件，则（）

33

A.a>—B.0<«<-C.a>2D.0va<2

22

3.已知实数W满足根+Inm=4,nlnn+n=e3，则加〃的值为（)

A./B.e3C.e4D.e5

2*+i—8,%(1

4.(2024•山东泰安•二模)已知函数/(x)=<dlog[(x+l),x>l且/(租)=T2,则/(6—〃z)=()

、2

A.-1B.-3C.-5D.-7

riY

5.（2024•江西景德镇•三模）已知函数〃x）=是奇函数，则x>0时，g（x）的解析式为（）

g（x）,x>0

A.-g]B.QJC.一2'D.r

6.（2024•贵州毕节•三模）已知函数八尤）=J^是奇函数，若/（2023）>〃2024）,则实数a的值为（）

QX+a

A.1B.-1C.+1D.0

7.（2024•福建南平•二模）对任意非零实数a,当国充分小时，（1+xf®l+a-x>：

V5=V47T=2^171«2X^1+1X^=2.25,用这个方法计算S■的近似值为（）

A.1.906B.1.908C.1.917D.1.919

8.（2024•广东广州•二模）若看是方程/■（8（切=8（〃力）的实数解，则称％是函数y=/（x）与y=g（x）

的“复合稳定点”.若函数"X）="3>0且。*1）与g（x）=2x-2有且仅有两个不同的“复合稳定点”，贝匹的

取值范围为（）

臼,x>0,

9.（2024•山东潍坊•二模）已知函数〃x）=【2）则图象上关于原点对称的点有（）

-|x2+2x|,x<0,

A.1对B.2对C.3对D.4对

10.（多选题）（2024•吉林长春•模拟预测）已知函数/（司=或1，则下列说法正确的是（）

A.函数/（x）单调递增

B.函数/⑴值域为（0,2）

C.函数/⑴的图象关于（0』）对称

D.函数/（尤）的图象关于。,1）对称

11.（多选题）（2024•福建厦门•三模）若a<b<0,则（）

/74b

A.a2>b2B.ab<b2C.2a>2bD.-+一>4

ba

12.（多选题）（2024•云南曲靖•二模）已知集合S,T,定义S7={x"xeS,yeT},则下列命题正确的

是（）

A.若S={1921,1949},T={0,1},则歹与片的全部元素之和等于3874

B.若5={2021},R表示实数集，R+表示正实数集，则SR=R+

C.若5={2024},R表示实数集，则RS-R

D.若5={2049}国+表示正实数集，函数〃尤尸卜员孙尤/4式)'，则2049属于函数/⑺的值域

13.(2024•四川•模拟预测)已知实数办〃满足下列等式8"T+?w=?,log4标工！+〃?=力贝|

883

4m+n=.

14.(2024•全国•模拟预测)已知私"为均不等于1且不相等的正实数.若函数"x)=3*("-是奇

函数，则根九=.

15.(2024•北京房山•一模)若对任意相,〃eR,函数/(幻满足人》/5)=/(根+〃)，且当加>九时，都有

/(租)<f(n),则函数/(x)的一个解析式是.

16.(2024•上海黄浦•二模)设aeR,函数/(x)=二口.

2'-1

⑴求a的值，使得y=/(x)为奇函数；

⑵若/(2)=a,求满足f(x)>a的实数x的取值范围.

17.已知函数〃同=二+4,且〃Ig2)+〃lg5)=3.

⑴求。的值；

⑵当尤4-1,1]时，/(x"4'+加恒成立，求机的取值范围.

7

18.已知关于x的不等式4、+4一"W2"+2一、+:的解集为M.

⑴求集合M；

⑵若根,〃£加，且相>0,n>0,y[m+2yfn=1,求」嬴的最小值.

4mnn

19.已知函数/(司=3"xeR

⑴若/（x）-=求X的值；

⑵若方程一人）=9在[1,2]上有实数解，求实数。的取值范围.

1.（2023年新课标全国I卷数学真题）设函数/'（尤）=2«F）在区间（0,1）上单调递减，则。的取值范围是（）

A.2]B.[—2,0）

C.（0,2]D.[2,+oo）

2.（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）己知9'"=10,。=10加一11,6=8"'-9,则（）

A.a>0>bB.a>6>0C.b>a>0D.b>0>a

3.（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数/。『士，则对任意实数无，有（）

1+2

A./（-元）+/（无）=0B./（-%）-/（%）=0

C./（-无）+f（x）=lD./（-x）-/（x）=1

4.（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷））函数y=优-工（。>0,。*1）的图像可能

y

cD,

421

5.(2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标3卷精编版))已知a=2§，6=/，c=25”

则()

A.b<a<cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<a<b

6.(2020年山东省春季高考数学真题)已知函数y=/(x)是偶函数，当xe(0,+s)时，y="(0<a<l),

7.(2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(湖南卷))设函数/(x)=其中

c>a>0,c>Z?>0.

(1)设集合加={(。也c)|a,瓦c不能构成一个三角形的三条边，且。=耳.则(a,b,c)eM所对应的/⑴的零

点的取值集合为.

(2)若瓦。是三角形ABC的三条边，则下列结论正确的是.

①Vx«7U),/(x)>0.

②AwR,使优,不能构成一个三角形的三条边长.

③若三角形A3C是钝角三角形，则*41,2),使〃x)=0.

8.（2008年普通高等学校招生全国统一考试数学文科（江西卷））不等式242一〈1的解集为.

r%_|_]]<0

9.（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版））设函数/（无）=>'；'则

[2',尤>0,

满足/（x）+/（x-；）>1的龙的取值范围是.

10.（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（山东卷））函数》="-%。>0,。*1）的图象恒过定点

A,若点A在直线""+见附>0）上，则工+工的最小值为.

mn

第04讲指数与指数函数

目录

模拟基础练......................................................................2

题型一：指数幕的运算..........................................................................2

题型二：指数函数的图象及应用..................................................................2

题型三：指数函数过定点问题....................................................................3

题型四：比较指数式的大小......................................................................3

题型五：解指数方程或不等式....................................................................4

题型六：指数函数的最值与值域问题..............................................................4

题型七：指数函数中的恒成立问题................................................................4

题型八：指数函数的综合问题....................................................................5

重难创新练......................................................................6

真题实战练......................................................................9

题型一：指数幕的运算

丁+――7

1.已知%+f；=3，计算:

x+x~l+X2+X2

【解析】因为1+_3,所以/+X5

人I人—J=9,所以％+%T+2=9,

I7

所以x+—=7,所以(x+/)2=72,gPx2+x-2+2=49.

X2+X-2-747—7

所以炉十厂2=47,所以-------T~-=4

—7+3

X+%T+x2+X2

2-42+(72-1)°-8i-41+(>/2=-

【答案】-3

10---1241

【解析】4?+(志一1)-83=(22)2+1-(23)3-234-25=2+l-4-2=-3-

故答案为：-3.

3.化简求值:

小aQa<a.

⑴门…

77--1-/—

⑵丘)3+^一+2-(e-l)°-84x^/2.

8V7+2

【解析】(1)

37

4

a-aQ4I;

----1-=---1="

a4a2a2

77_112L177-232

(2)(—)3+-=—+2.(e-l)0-84x^=+2-24-24

8V7+27-4

◎+年+2.2号分邛

题型二：指数函数的图象及应用

4.若函数g(x)与函数/(力=2，+1的图象关于直线y=x对称，则g(x)的大致图象是()

【解析】由题意函数g(x)与函数〃"=2,+1互为反函数，

所以尤=26)+1，解得g(x)=log2(x-l),它在定义域。,内)内单调递增，且过定点(2,0),

对比选项可知A符合题意.

故选：A.

5.要使/(耳=[3]+'+1的图象不经过第一象限，贝心的取值范围是()

A.[-l,+oo)B.[-<»,一〈C.-〈，+8)D.(-oo,-l]

【答案】B

+t的图象与y轴的交点坐标为(0,；+/),且为减函数,

【解析】函数/(x)

要使/(%)图象不经过第一象限，则;+Y0,解得区

故选：B.

6.当%>2时，函数y=4〃i(〃>0,且awl)的图象恒在函数y=3%-4的图象下方，则〃的取值范围

为.

【答案】

【解析】由题意，得当x>2时不等式4a'T<3x-4恒成立，即—令/(力=，\g(x)=、x-l,

分类讨论。>1和0<。<1两种情况，并在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图像，由图像得到关于。的

3

不等式，解不等式得解由题意，得当尤>2时不等式4优t<3%-4恒成立，即优龙-1,

4

令/（X）=/T,g（X）=-X-l,在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象，

当时，如图所示，

3

由图可知，V尤wR,1恒成立，故不满足题意;

4

当Ovavl时，如图所示，

3Q11

由图可知，要22,小<不-1恒成立，需〃2）<g⑵，即/七x2-1,解得a故。

综上可知：。的取值范围是（o,g.

7.设“、8分另IJ是方程2工+了+2=0与bg2x+x+2=0的根，则a+6=.

【答案】-2

【解析】如图，分别作出函数y=k>g2X,y=2x,y=-2-x的图象，

且函数y=-2—x与y=2*、y=log2尤分别相交于点尸，Q.

由题意log2”=-2-。，2b=-2-b.而y=log2X（x>0）与>=2*互为反函数，

直线y=-2-无与直线y=尤互相垂直，所以点尸与Q关于直线y=x对称.

所以a=2“=-2-。.所以a+b=—2.

故答案为：-2.

题型三：指数函数过定点问题

8.己知函数/(劝=4+优+|(“>0,“*1)的图象经过定点尸，则点尸的坐标是.

【答案】(-1,5)

【解析】在函数/(x)=4+a，M(a>0,awl)中，当x+l=O,即x=-l时，/'(元)=4+1=5,

所以点P的坐标是(-1,5).

故答案为：(T,5)

9.对a>0且awl的所有正实数，函数y=a*U-2的图象一定经过一定点，则该定点的坐标是.

【答案】(-1--D

【解析】由函数y=a'M-2,当尤=一1时，可得了=/一2=-1,

所以该函数恒经过定点(TT).

故答案为：(-LT).

10.已知函数/(x)=a，+5+4(a>0,awl)恒过定点M(九〃)，则函数g(x)=%+〃'的图像不经过第象

限.

【答案】二

【解析】由已知条件得当》=-5时，/(-5)=5,则函数Ax)恒过点(3,5),

即机=-5,"=5,此时g(无)=一5+5",

由于g(x)由y=5,向下平移五个单位得至IJ,且过点(0,-4),

由此可知g(x)不过第二象限，

故答案为：二.

11.已知常数。>0且。工1,假设无论。取何值，函数y=log〃(x+8)-2的图像恒过定点A,且点A的横坐

标为％.又已知常数b>0且6片1,假设无论万取何值，函数y=Z/』+l的图像恒过定点8,则点8的坐标

为.

【答案】(-7,2)

【解析】由对数函数过定点可知：函数y=log〃(x+8)-2的图像恒过定点A(-7,-2),

则有x0=-7,又因为指数函数y=厅一'。+1的图像恒过定点8（玉,2）,

所以点3的坐标为（-7,2）,

故答案为：（-7,2）.

题型四：比较指数式的大小

12.若a=2L9,6=2",c="9,则（）

A.c>a>bB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c

【答案】B

【解析】•••指数函数y=2”在R上单调递增，

且1.9>1.5,

**•21,9>21,5>a>b.

•.•塞函数〉=尤"在（o,+8）上单调递增，且3>2,

...3I.9>2I.9,即c>°,

c>a>b.

故选：A.

13.（2024•全国•模拟预测）已知〃=0=9—c=6f则小6，c（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【答案】C

【解析】令y（x）=M,o<x<i,求导得/a）=（.L?1,

当Ovxvl时,r（x）<0,则/（九）在（0,1）上单调递减，

则'即4e^<9”'而e>；,于是4e，>4x（；），=6,

所以cvavb.

故选：D

£2

14.已知〃=/=[],°=2。+1，则（）

A.c>b>aB.a>b>c

C.c>a>bD.b>a>c

【答案】A

【解析】«60=A

1Q

因为Ov—<—<1,故°6>b6即故OVZ;VQV1.

1627

因为a+6—l>26—l=2x[j一i=2—>o,

所以c=2"J>2°=1,所以c>a>6.

故选：C.

题型五：解指数方程或不等式

15.方程5*+5向+5»2=3*+3川+3A2的解为.

,13

【答案】x=l°g?下

【解析】因为5*+5X+1+5C+2=3*+3t+1+3X+2，

所以5*(1+5+52)=3*0+3+32),即IM

所以x=log5下.

3J1

113

故答案为：x=log工方.

16.方程364+5乒=2的解为

|%=2

【答案】<

[y=5

【解析】因为，5x-2y之。且正工》。，由指数函数的图象和性质可知：当时，、=优（“>1）恒大于等

17.不等式>3。'的解集是.

【答案】（一2,4）

【解析】9）>3-2=3-『+8>3口=一/+8>一2尤=一2<尤<4-

故答案为：（-2,4）.

18.设0<a<l,则关于龙的不等式/3+3>a6的解集是.

【答案】(-1⑶

【解析】因为且优23+3>。6,则根据指数函数的单调性可知，--2x+3<6,解得—l<x<3,所

以不等式的解集为(T,3).

故答案为：(-L3)

题型六：指数函数的最值与值域问题

19.函数丫=3g(04尤<4)的最大值是.

【答案】9

【解析】由题可知：0VxV4,所以"工«0,2]

又指数函数y=3,为R上的增函数，所以>=3句(0<尤44)的最大值为3:9

故答案为：9

20.函数/(x)=4「2x2X-3,xe[0,2]的最小值是.

【答案】-4

【解析】令Z=2x,xG[0,2],则/£[1,4].

原函数化为g(t)=t2-2t-3=(r-1)2-4,

当Ul时，g(0有最小值，即/(%)有最小值为-4.

故答案为：-4.

21.(2024•四川绵阳•模拟预测)已知函数〃x)="广一2+0,则/⑺的值域为________

[x+2x,x<0

【答案】[T,”)

xxxx

【解析】由题意可知*20时，y=Q+&-2>2^e-e-2=0-当且仅当x=0时取得等号，

xvO时，y=%2+2x=(x+l)2-1>-1,当且仅当户一1时取得等号，

故〃x)N-L

故答案为：[-1,+°°).

22.设函数是定义域为R的偶函数，g(x)是定义域为R的奇函数，且〃x)+g(x)=2号

⑴求“X)与g(x)的解析式；

⑵若/Z(x)=/(2x)-2771g(力在[1,+CO)上的最小值为_2,求机的直

【解析】⑴•."(可为偶函数，；"(一耳=/(同，

又Tg(x)为奇函数，.•.g(-x)=-g(x),

-：f［x）+g［x）=T+x,①

x）+g（r）=2-加，即/（尤）-g（x）=2-"i,②

由曾产得：〃X）=2，+2T,越可得g（x）=2-2二

（2）•1-/（2x）=22V+Tlx=（2r-Tx）2+2,

所以，=/（2尤）一2,“g（尤）=（2工一2T）2-2m（2x-2-x）+2,

令/=2*-2-*,因为函数;y=2*、>=-2-，在［l,+8）上均为增函数，

13

故/=2'-2f在［1,+s）上单调递增，贝卜=2,-2T22-q=：,

3

设人⑺=/一2皿+2,t>—,对称轴1=机，

①当机>|■时，函数力。）在根］上为减函数，在（机内）上为增函数，

则人（'）min=九（根）=a2一2机2+2=2—加2=一2,解得：帆=2或%=一2（舍）；

②当冽4T时，"⑺在5+8）上单调递增，

==解得：^=f>|>不符合题意.

综上：m=2.

题型七：指数函数中的恒成立问题

23.不等式4工-2»1+0>0对任意xeR都成立，则实数〃的取值范围_________.

【答案】（1,-）.

【解析】原不等式可化为a>-4x+2Kl对xeR恒成立，

令f=2",贝卜>0,所以>=一4"+2川=-〃+2r=-（r-l）2+141,

当/=1时，>max=1，所以a>1.

故答案为：（1,E）.

24.若实数匹［-1,2］,使得2〃（a+3"恒成立，则实数a的取值范围是.

【答案】［9,+向

【解析1■（a+b）“在实数6e［-1,2］时恒成立等价于a>2b一人在实数6e［-1,2］时恒成立,则

令f(b)=2M,-b=4x(-)*-b,-：y=(-)\y=-b,为减函数，

.•./(3=22。一6在北［-1,2］上为减函数，故当6=-l时，Q2T'-虬「9,

即实数a的取值范围是［9,y).

故答案为：［9,+8).

25.已知指数函数〃力=(3/_10°+4)/<。>0且"1)在其定义域内单调递增.设函数

g(x)=/(2x)-(m-4)/(x)-3,当m42,6］时，函数g(x)“恒成立,则x的取值范围是

【答案】x>l

【解析】因为/(X)是指数函数，所以3片一1。。+4=1,解得。=3或者。=；,

又因为“X)在定义域内单调递增，所以。>1,所以。=3,所以〃力=3,，

所以g(x)=32—(4)-3”-3,

令人)=-3"根+3?"+4x3^-3,要使得g(x)20即九(加)/0恒成立,

0⑵20=产'+2x3'-320n(3X+3)(3%-1)>0

川伉6"00L?-2x3"320=［①一3)(3,+1”0，

h'-l>0

所以下CC,解得—I，

故答案为：X>1

26.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，/(x)==J+l.

⑴求函数的解析式；

(2)若对于任意实数x,不等式/［2工)+2^^，)20恒成立，求实数。的取值范围.

【解析】(1)当x=0时，〃。)=0,

当%>0时，一次<0,f(一%)=------F1,

又因为/(尤)是定义在实数集R上的奇函数,

所以〃X)=_〃T)=一一+1=一一1,

f+]

即当龙＞0时，/(x)=------1.

炉+11八

---------1,X>0

X

所以函数/（X）的解析式为=，0,x=0

X2+1.八

--------i-l,x<0

x

（2）因为对于任意实数x,不等式/卜2*）+24（1）20恒成立,

所以付上1_1+2小亡±1一1工0在R上恒成立,

e"Ie工）

即e2x+白-l+2a[eX+g-l卜0在R上恒成立，

整理得-3+2a（e*+士-1]20在R上恒成立，

=■—-,因为e、>0，所以f=e*+'N2Je".'=2,

eeve

当且仅当e'=1即x=0时，等号成立，

从而r—3+2a«—1）之0在%22上恒成立,

所以2〃2^-^=—〃一1）+'—2在.>2上恒成立，

t-1'7t-\

2

令加=/一121,g{m）=-m+——2,则242g（加）耐，

因为函数g（加）=-加+：-2在[1,+8）单调递减,可得g（m）的最大值为g（1）=-1,

所以2。2-1,所以“2-彳.

2

题型八：指数函数的综合问题

27.（2024•全国•模拟预测）已知函数〃x）U'E,若方程2「〃疥-（a+2”（x）+a=0有

x-6x+8,x>l

7个不同的实数根，则实数。的取值范围是.

【答案】（0,2）

【解析】作出函数〃尤）的图象，如图所示.

由2[〃x）[-（a+2）"（x）+a=0,得=0,

解得〃x)=i或

由图象易知，直线y=i与的图象有3个交点，

所以方程〃力=1有3个不同的实数根，

因为方程2"(切2_(°+2)"⑺+0=0有7个不同的实数根，

所以直线》=微与的图象有4个交点，

故0<|<1,解得0<。<2,故实数。的取值范围是(0,2).

故答案为：(0,2)

QX.r\—Xr\Xr\-X

28.已知函数=g(x)==^^.

⑴若存在使得〃x)=f.2，+g成立，求实数f的取值范围；

(2)若不等式/(2力+2纭⑺“，对任意的xe[l，4恒成立，求实数6的取值范围.

【解析】(1)=〃力=加2'+'

22

...2'+2J=,.2、」_L,即"：(20一2一工+1)在xe(0,欣)有解，

222

令机=2一，40,1),所以/=[+(1加一g],

当机=:时京='!；当加趋向于0或1时f趋向于9即re

2oz|_oZy

(2)f(2x)+2bg(x)>0,即^^_^+b(2，+2T”0,

令2,-2-，=m，因为xe[l,2],所以>=2=2一£为增函数，

-315-

所以机£,则22"+2—2%=疗+2,

加2In桃2.r\315

所以生士+6机2。，化为对任意的-,—恒成立，

22m124」

e（机）=_*7*=_（g+'］在加6py-上单调递减，

2m（2m）［_24_

当加="!时，取得最大值为e［'!1=_，

所以实数6的取值范围为

12L12）

29.已矢口函数/a）=（2'）2_2x2'_8

⑴求不等式〃切之0的解集；

⑵求〃x）的值域；

（3）当xeR时，不等式/（%）>租Z'-IZ恒成立，求用的取值范围.

【解析】（1）由题意可得：（2Y）2-2X2^-8>0,BP（2v-4）（2A+2）>0.

因为2工>0,

则2,24.

因为函数y=2,在R上单调递增，且22=4，

所以x22.

故不等式20的解集为［2,+«>）

（2）由/（》）=（颦）2_2、2。8,得：函数定义域为R.

令”2，

贝!|y=--2/-8,t>0.

因为二次函数y=〃-2f-8在区间（0,1）上单调递减，在区间（L+s）上单调递增,

所以当「=1时，Jmin=12-2x1-8=-9,当f—>+=0时，y—+3O.

故〃X）的值域为［-9,+8）.

（3）由题意得：当xeR时，不等式（2*）2-2x2'-8>m2-12恒成立，

即当XER时，不等式（才）+4〉加+2恒成立,

2X

4

即当xeR时，不等式2，+->加+2恒成立.

2%7

4

令/=2,，y=t+-（t>0）.

因为函数,=/+；（»0）在区间（0,2）上单调递减，在区间（2,+s）上单调递增

所以当r=2时，/n=4.

所以优+2<4,解得：m<2

故当xeR时，不等式/(力>〃〃2'-12恒成立，加的取值范围为(y,2).

30.(2024•河南•模拟预测)已知〃x)为定义在R上的偶函数,g(尤)=令11,且〃x)+g(x)=2向.

⑴求函数/(x),g(x)的解析式;

(2)求不等式2[〃力了-3g(无)<8的解集.

【解析】⑴由题意易知,/(-%)=